Modelado y control PD-Difuso en tiempo real para el sistema barra-esfera

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1 CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL DEPARTAMENTO DE CONTROL AUTOMÁTICO Modelado y control PD-Difuso en tiempo real para el sistema barra-esfera TESIS QUE PRESENTA EL: Ing. Floriberto Ortiz Rodríguez PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN LA ESPECIALIDAD DE CONTROL AUTOMÁTICO DIRECTOR DE TESIS: Dr. Wen Yu Liu México, D.F. Junio del 24

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3 Índice general 1. Introducción Motivación Estructura de la tesis Contribución Lógica difusa y sistemas difusos Conjuntosdifusosysistemasdifusos Operacionesbásicasdeconjuntosdifusos Diseñodesistemasdifusos Diseño de un sistema difuso utilizando el método de esquema de tabla debúsqueda Diseño de un sistema difuso utilizando el método del entrenamiento delgradientedescendiente Modelado matemático del Sistema Barra-esfera Modeladomatemáticodelmotor Modelo del sistema eléctrico Modelo del sistema mecánico Modeladomatemáticodelsistemabarra-esfera Forma simple FormaLagrangiana... 28

4 ii ÍNDICE GENERAL Forma Mecánica Evaluacióndelmodelovíaresultadosexperimentales Cálculodeparámetros evaluacióndelmodelodelmotor evaluacióndelmodelobarra-esfera Control PD difuso para el sistema barra-esfera Controlador PD PD en configuraciónserial PD paralelo AnálisisdeestabilidaddelControlPD Controldifusoparaelsistemabarra-esfera Diseñodeuncontroldifusovíaconocimientodelexperto Diseñodeuncontroldifusovíatabladebúsqueda Simulacióndelsistemaentiemponoreal Controladordifusopuro ControladorPD-difuso Aplicación en tiempo real Filtros Filtros continuos Filtros discretos CalibracióndelprototipoBarra-esfera Calibracióndelmotor Calibracióndelaesfera Construccióndeunmodelosimulinkentiemporeal Control PD difuso ControladorPDsincompensador ControladorPDconcompensador ControladorPDconcompensadordifuso

5 ÍNDICE GENERAL iii 5.5. Análisisdelcontroladordifusoentiemporeal Saturaciónypequeñasganancias Vibraciones Conclusiones Comotrabajofuturoseencuentranlossiguientespuntos: A. Sistema barra-esfera 139 A.1. Sistema mecánico A.2. Sistema eléctrico B. Sistema de Control 143 B..1. A/D-D/A B.1. Amplificador de potencia B.2.PC B.3.Software B.3.1. RealTimeConecctión(RT-Con) B.3.2. RealTimeWorkshop(RTW) B.3.3. RealTimeWindowsTarget(RTWT)... 15

6 iv ÍNDICE GENERAL

7 Índice de figuras 2.1. Estructuradeunsistemaexperto Funcionesdepertenenciagaussianoytriangular Configuraciónbásicadeunsistemadifusopuro Sistema difuso con fusificador y defusificador ModeloEléctricoMecánicodelmotor ModelodelSistemabarraesfera Esfera Sólida Sistema de coordenadas fijoyrelativo Relaciónentreelángulodelabarrayelángulodelmotor Modelodelmotorensimulink Señaldesalidadelaposiciónangulardelmodelodelmotor ModeloBarraEsferaentiemporeal Señaldesalidadelaposicióndelmotor Comparacióndelasseñalesdesalidadelmotor,modelovs.prototipo Modelodelmotorbarra-esfera Señaldesalidadelaposicióndelaesferaenelprototipo Comparacióndelasenaldeposicióndelaesfera,modelovs.prototipo Modelodelsistemacondiferentesentradas Señalesdesalidadelaposicióndelmotorylaesfera Señaldesalidadelaposiciondelmotorylaesfera... 48

8 vi ÍNDICE DE FIGURAS 3.17.Señaldesalida,posicióndelmotorydelaesfera Señaldesalidadelaposicióndelmotorylaesfera Señales de salida Control PD en serie ControladorPDparaelmodelodelmotor Controlador PD en configuración paralela Controlador PD en configuración paralelo modificado ControladorPDparalelorealizadoensimulink SalidadelcontroladorPDparalelo Sistema difuso Funcióndepertenenciagaussiana Funcióndepertenenciatriangular Diagramasimpledelsistemabarra-esfera Funcionesdepertenenciagaussianas Servomecanismobarra-esfera Respuesta del sistema SeñaldesalidadelsistemaPD-Difuso SalidadelcontroladorPD-Difuso Funciones de pertenencia gaussianas en las entradas y triangular en la salida Respuestadelsistemaaunaentradaescalón Funciones de pertenencia triangulares en la entrada y gaussianas en la salida Control PD y difuso en configuraciónparalelo Respuestadelsistemaconruido DiagramaabloquesdelatarjetaRT-DAC4/PCI Filtro pasa bajas pasivo Frecuencia de corte del filtropasabajas Filtro pasa altas pasivo Frecuencia de corte del filtropasaaltas... 9

9 ÍNDICE DE FIGURAS vii 5.6. Diagrama de Bode del filtropasabajas Filtradodelaseñaldeposicióndelaesfera Filtrodelaseñaldeposicióndelaesfera Filtroalaseñaldeposicióndelaesfera Señaldesalidadelaposicióndelaesfera ErrormecánicodePosición Posición de la esfera Posición de la esfera Posición de la esfera Diagramadelatarjetadeadquisición Zonamuertaenlaposicióndelmotor Valormínimoparasalirdelazonamuerta Valormínimoparasalirdelazonamuerta,sentidonegativo valormínimoparasalirdelazonamuertaconcarga para valores negativos Lagravedadafectalaposiciónangulardelmotor Notación en la configuración barra-esfera Señal real de entrada Señaldesalidarealatenuada ControladorPDsinganancia Nivelesdeerrorenlaseñal Error medio cuadrático Controlador PD-difuso Controladorconcompensador Níveles mínimos de error Señal de error Perturbación externa ControladorPDconcompensador Sistemaentiemporealconelcontroladordifuso

10 viii ÍNDICE DE FIGURAS 5.35.ControladorPDycontroladordifuso Posiciòndelmotorconelcontroladordifuso Posicióndelaesferaconelcontroldifuso Modificandolagananciadelcontroladordifuso Modificandolagananciadelcontroladordifuso ControlPD,suprimiendoelcontroldifuso Perturbaciónexternaenlaesfera Perturbacionesenlaposicióndelmotor Controlador PD y difuso en configuración paralela Controladores PD y difusos en configuración paralela Configuracióndelcontrolenparalelo Sin el control difuso Perturbaciones externas, para el sistema en configuración paralela Perturbaciónenlaseñaldelmotor Saturación de la señal Errordelaseñalenestadoestable Errormediocuadráticoenestadoestable Posiciòn del motor AjustedelcontroladorPD Señal de error Errorenestadoestacionario Errorenestadoestacionario Ajuste de parámetros Nivel de saturación modificada Respuesta del sistema Duracióndelavibraciónenlaseñal Tiempoenlarespuestatransitoria Nivelesdeerrorenlaposiciòndelmotor Modificandolasganancias

11 ÍNDICE DE FIGURAS ix 5.64.Errorenlaposiciòndelmotor A.1.Fotografíadelsistemabarra-esfera A.2.Sistemaeléctricodelprototipobarra-esfera B.1. Configuracióndelsistemadecontrol B.2.Fotografíadelprototipobarra-esfera B.3. Targeta A/D - D/A B.4.Diseñoydesarrollodelsoftware B.5. Amplificador de potencia

12 x ÍNDICE DE FIGURAS

13 Capítulo 1 Introducción Una de las áreas de la ingeniería que ha experimentado un crecimiento importante a partir de la década de los 8 s hasta la actualidad, ha sido sin duda el diseño de sistemas difusos, esta herramienta matemática no es nueva, pues sus orígenes se remontan a la decada de los 6 s, con la creación de un nuevo concepto: la lógica difusa, basada en lógica clásica, sin embargo su implementación principalmente radica en el diseño de sistemas de control difusos que a partir de la década de los ochentas ha demostrado su gran versatilidad en la resolución de una gran cantidad de problemas prácticos, desde el control del mezclado en una fábrica de cementos, pasando por el control de frenado de sistemas de transporte, hasta el control de la calidad de lavado en una lavadora. Este tipo de sistemas presentan ciertas características que los sistemas de control clásicos (PI, PD y PID) no poseen, como son: control más suave, inmunidad al ruido, una reducción importante en la complejidad matemática utilizada, poco conocimiento matemático del modelo con el cuál se desea trabajar, y se pretende producir resultados exactos a partir de datos imprecisos, por lo cual los sistemas difusos son particularmente útiles en aplicaciones electrónicas o computacionales. Los sistemas difusos combinan la información de expertos humanos (lenguaje natural) con mediciones y modelos matemáticos basados en leyes físicas. Los sistemas difusos transforman la base de conocimiento humano en una fórmula matemática. En la mayoría de los casos si

14 2 Introducción se desea implementar este tipo de sistema es necesario realizarlo en tiempo real, es decir, que el modelo debe ejecutarse y entregar resultados en una fracción de tiempo preestablecida, si las restricciones de tiempo no son respetadas entonces se dice que el sistema ha fallado, aún cuando el control difuso responda adecuadamente Motivación Casi la totalidad de los sistemas reales, son sistemas no lineales complejos en mayor o menor grado, de aquí la importancia de utilizar un método capaz de modelar y controlar procesos ó sistemas que presentan cierto grado de no linealidad, para.este tipo de sistemas, los sistemas difusos resultan ser un método altamente recomendable para modelar y controlar sistemas dinámicos no lineales, dado que el diseño de los sistemas difusos se basa en una teoría precisa que pone el conocimiento del experto acerca del sistema en forma sistemática y ordenada para su análisis. El conocimiento del experto acerca de un fenómeno puede ser representado en forma de reglas difusas tipo SI-ENTONCES donde se toman mediciones de pares de datos de ENTRADA-SALIDA. Además los sistemas difusos presentan la particularidad de poder utilizarse como controladores difusos para sistemas.no lineales. Además se propone implementar un control difuso en tiempo real para el sistema barraesfera, prototipo ubicado en el laboratorio de estudios experimentales, donde se pueden provar y experimentar diferentes tipos de algoritmos de control y programación en tiempo real, que ejemplifican y justifican el desarrollo teórico. Existen algunos aspectos que indican la necesidad de utilizar sistemas difusos, [33]: 1. En procesos complejos, si no existe un modelo de solución sencillo. 2. En procesos no lineales. 3. Cuandohayaqueintroducirlaexperienciadeunoperador experto quesebaseen conceptos imprecisos obtenidos de su experiencia.

15 1.2 Estructura de la tesis 3 4. Cuando ciertas partes del sistema a controlar son desconocidas y no pueden medirse de forma confiable (con errores posibles). 5. Cuando el ajuste de una variable puede producir el desajuste de otras. 6. En general, cuando se quieran representar y operar con conceptos que tengan cierto grado de imprecisión o incertidumbre Estructura de la tesis La estructura de la tesis que se presenta, consiste de cinco capítulos, divididos de la siguiente manera: 1. Introducción: En el capítulo II, se introducen los conceptos básicos de lógica difusa, conjunto difuso, operaciones permitidas entre conjuntos difusos, estructura de un sistema difuso puro, estructura de un sistema difuso con fusificador, motor de inferencias ydefusificador. 2. Modelado del sistema barra-esfera: En el capítulo III, se obtiene el modelo matemático del sistema barra-esfera de 3 formas diferentes, utilizando la forma sencilla, la forma mecánica y obteniendo el Lagrangianodel sistema, y linealizando el sistema no lineal. 3. Control PD-Difuso para el sistema barra-esfera: En el capítulo IV se realiza el control PD del sistema en dos configuraciones del controlador, serie y paraleo, se realiza el control Difuso del mismo y por último se obtiene el control mixto PD-Difuso con sus respectivas gráficas. 4. Aplicación en tiempo real: En el capítulo V se implementa los bloques del modelo del sistema de simulink en tiempo real, comparándose los resultados del prototipo con los obtenidos en la simulación. 5. Conclusiones: El capítulo VI describe las conclusiones del trabajo realizado y se realizan comentarios acerca del desempeño del controlador PD-Difuso en tiempo real.

16 4 Introducción 1.3. Contribución Algunas de las principales características de este trabajo de tesis incluyen aspectos no mencionados en articulos ya publicados referentes al mismo tema: Control de un sistema no lineal barra-esfera, o que son referidos de manera superficial. y que en la mayoría de los casos terminan en simulaciones ideales. El trabajo que aquí se presenta incluye los siguientes tópicos. El modelo matemático para el sistema no lineal barra-esfera es de los más completos, pues generalmente la bibliografia encontrada presenta la igualdad α = θ,alencontrarse el motor a la mitad de la barra puede realizarse esta igualdad, (el ángulo del motor es igual al ángulo de la barra) el problema que se aborda en esta tesis, muestra al motor en un extremo de la barra teniendo un ángulo θ la posición del motor y un ángulo α que es el ángulo de variación de la barra, habiendo una relación entre ambos ángulos de α = θ. 16 Se diseñan controladores difusos para sistemas no lineales con perturbaciones externas, utilizando algunas de las dos técnicas de diseño: de sistemas difusos vía conocimiento del experto o vía tabla de búsqueda, que junto a los controladores PID (Proporcional, Integral, Derivativo) logran estabilizar sistemas no lineales. Simulación del modelo matemático del sistema en Matlab, donde, satisfaciendo determinados requerimientos (estabilidad, margen de error) se implementan estos controladores en tiempo real, comparándolos con la respuesta del prototipo experimental. Así como la implementación de un término llamado compensador para disminuir los niveles de error en la posición final de la esfera. Aplicación en tiempo real del sistema con sus respectivos controladores, para la implementación en tiempo real es necesario tener instalados en una computadora la tarjeta de adquisición de datos de I/O y el software necesario para establecer la comunicación en tiempo real y poder hacer la transferancia de datos, donde los controladores estabilizan el prototipo del laboratorio. La implementación en tiempo real se logro con una

17 1.3 Contribución 5 sola PC con lo que se reducen los costos al tener al huesped y al sistema maestro en una misma máquina. La detección de las fuentes más comúnes que agregan en menor ó mayor medida niveles de error en la posición final de la esfera. Tanto en el proceso de modelación como en la implementación en tiempo real.

18 6 Introducción

19 Capítulo 2 Lógica difusa y sistemas difusos Cuando la complejidad de un problema crece, la posibilidad de analizarlo en términos precisos disminuye. La lógica difusa nace en 1965 a partir de la publicación del artículo Fuzzy sets escrito por Lotfi Zadeh en la Universidad de California en Berkeley para la revista informatión and control. En contraste con la lógica convencional que utiliza conceptos absolutos para referirse a la realidad, la lógica difusa define los conceptos en grados variables de pertenencia, siguiendo patrones de razonamiento similares a los del pensamiento humano. [3]. La lógica difusa ha cobrado una fama grande por la variedad de sus aplicaciones, las cuáles van desde el control de complejos procesos industriales, hasta el diseño de dispositivos de control de artefactos electrónicos de uso doméstico y entretenimiento, así como también en sistemas de diagnóstico. La lógica difusa es esencialmente una lógica multivaluada que es una extención a la lógica clásica. Estas últimas imponen a sus enunciados únicamente valores de falso o verdadero, sin embargo gran parte del razonamiento humano no son tan deterministas. La lógica difusa procura crear aproximaciones matemáticas en la resolución de ciertos tipos de problemas. Pretenden producir resultados exactos a partir de datos imprecisos, por lo cuál son particularmente útiles en aplicaciones electrónicas o computacionales. El adjetivo difusoaplicadoaellassedebeaquelosvaloresdeverdadno deterministas utilizadosen

20 8 Lógica difusa y sistemas difusos ellas tienen, por lo general, una connotación de incertidumbre. Lo difuso puede entenderse como la posibilidad de asignar más valores de verdad a los enunciados clásicos de falso y verdadero. El objetivo de todo sistema manejador de unalógicadifusaesdescribirlosgradosdelosenunciadosdesalidaentérminosdelosde entrada, algunos sistemas son capaces de refinar los grados de veracidad de los enunciados de salida, conforme se refinan los de la entrada. Por estas propiedades es que ciertos sistemas de lógica difusa aparentan una labor de aprendizaje, y son excelentes mecanismos de control de procesos. La lógica difusa se encuadra en el área de la llamada inteligencia artificial y han dado origenasistemasexpertosdetipodifusoyasistemasdecontrolautomático. Tradicionalmente se ha considerado un sistema experto compuesto por tres elementos fundamentales: Una base de reglas, una base de conocimientos y un motor de inferencias (razonamiento),ver Fig La base de reglas contiene un conjunto de reglas específicas, también denominadas reglas de producción, en forma de sentencias SI ENTONCES, donde se indican las acciones que se deberán realizar, es decir, en el ámbito donde va a funcionar el sistema experto, ante diferentes condiciones (ej. SI llueve ENTONCES cubrirse con un paraguas). La base de conocimientos, que en muchos casos se integra en la base de reglas, incluye un conjunto de hechos y opiniones de expertos o especialistas sobre el dominio de trabajo del sistema. Existen hechos que no ofrecen lugar a dudas (ej. el 5 es un número primo ), mientras que hay otros que no son del todo cierto y pueden depender de la opinión del experto que ofrece sus conocimientos en el desarrollo del sistema (ej. el cielo está bastante nublado, el cielo está poco nublado ). Por último el motor de inferencias es la parte del sistema que trabaja, que infiere (razona) respuestas ante determinadas consultas del sistema (ej. una consulta podría ser: Hoy está lloviendo que debo hacer, el motor, mediante un procedimiento de búsqueda en la base de regla y conocimientos, infiere como respuesta cubrirse con un paraguas.)

21 2.1 Conjuntos difusos y sistemas difusos 9 Base de R e g la s M o to r d e In fe re n c ia s Base de Conocim ientos Figura 2.1: Estructura de un sistema experto 2.1. Conjuntos difusos y sistemas difusos Operaciones básicas de conjuntos difusos. Un conjunto concreto se define como una colección de elementos que existen dentro de un universo.cada uno de los elementos del universo pertenecen o no a un determinado conjunto. Porlotanto,cadaconjuntopuededefinirse completamente por una función de pertenencia, que opera sobre los elementos del universo, y que le asigna un valor de 1 si el elemento pertenece al conjunto, y de si no pertenece. Ahora bien, un conjunto difuso se define de forma similar, con una diferencia conceptual importante: un elemento puede pertenecer parcialmente a más de un conjunto. Lasprimerasdiferenciasquesehacenevidentesentrelosconjuntosconcretosylosconjuntos difusos son las siguientes: 1. La función de pertenencia asociada a los conjuntos concretos sólo pueden tener dos valores: ó 1, mientras que en los conjuntos difusos pueden tener cualquier valor entre el intervalo y Un elemento puede pertenecer (parcialmente) a un conjunto difuso y simultáneamente

22 1 Lógica difusa y sistemas difusos grado 1 Función de pertenencia grado 1 Función de pertenencia x x Figura 2.2: Funciones de pertenencia gaussiano y triangular pertenecer (parcialmente) al complemento de dicho conjunto, lo anterior no es posible en los conjuntos concretos, ya que constituiría una violación al principio del tercer excluido. 3. Las fronteras de un conjunto concreto son exactas, en tanto que las de un conjunto difuso son, precisamente difusas, ya que existen elementos en las fronteras mismas, y estos elementos están a la vez dentro y fuera del conjunto. La lógica difusa actualmente esta relacionada y fundamentada en la teoría de los conjuntos difusos. Según esta teoría, el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto va a venir determinado por una función de pertenencia, que puede tomar todos los valores reales, comprendidos en el intervalo [, 1], ver Fig.2.2 La palabra difuso puede ser definidocomo:borroso,impreciso,confusoóvago.los sistemas difusos son sistemas basados en conocimientos ó basados en reglas. El corazón de los sistemas difusos consiste en bases de conocimientos de las llamadas reglas difusas SI ENTONCES. Definición 2.1 Un conjunto difuso en un universo de discurso o conjunto universal U es caracterizado por una función de pertenencia µ A (x) que puede tomar todos los valores reales, comprendidos en el intervalo [, 1].

23 2.1 Conjuntos difusos y sistemas difusos 11 De aquí que, un conjunto difuso es la generalización de un conjunto clásico al permitir una función de pertenencia que puede tomar cualquier valor real dentro del intervalo [, 1], y la función de pertenencia de un conjunto clásico solo puede tomar dos valores cero () ó uno (1). Un conjunto difuso A en U puede ser representado como un conjunto de pares ordenados de elementos x, y su valor de pertenencia está dado por: A = {x, µ A (x) x U} dónde U es el universo del discurso continuo (por ejemplo, todos los números reales: U = R) A se escribe comúnmente como: Z A = µ A (x) /x U Dondelaintegralnodenotaintegración;denotalacoleccióndetodoslospuntosx U, las cuáles tienen asociado una función de pertenencia µ A (x). CuandoU es discreto, A se escribe comúnmente como: A = X µ A (x) /x Donde la sumatoria no representa una suma aritmética, sino denota la colección de todos los puntos x U, los cuáles tienen asociada una función de pertenencia µ A (x). Hasta ahora se han introducido algunos conceptos básicos concerniente solamente a los conjuntos difusos sencillos (simples), estudiaremos ahora las operaciones básicas sobre estos conjuntos, asumiendo que A y B son conjuntos difusos definidos en el mismo universo del discurso U. La igualdad, el interior, el complemento, la unión e intersección de dos conjuntos difusos A y B son definidos a continuación:

24 12 Lógica difusa y sistemas difusos Definición 2.2 Se Dice que A y B son iguales si y solamente si (ssi) µ A (x) =µ B (x) para todo x U. SedicequeB está contenido o pertenece a A y lo denotamos como A B, ssi µ A (x) µ B (x) para todo x U. El complemento de A es un conjunto difuso Ā en U, cuya función de pertenencia esta definido como: µ Ā (x) =1 µ A (x) (2.1) La unión de A y B es un conjunto difuso en U, denotado por A B cuya función de pertenencia µ está dada por: µ A B (x) =máx [µ A (x),µ B (x)] (2.2) La intersección de A y B es un conjunto difuso en A B en U con función de pertenencia µ estádadapor:[?] µ A B (x) =mín[µ A (x),µ B (x)] (2.3) El lector puede preguntarse porque se utiliza el término max para la unión y el término min para la intersección, se dará una explicación intuitiva: La unión de A y B es el conjunto difuso más pequeño que contiene a ambos, a A y B,más concretamente, si C es un conjunto difuso que contiene a ambos A y B, entonces también contiene a la unión de A y B. Notemos que A B está definido por (2.2) que contiene a ambos A y B, porque máx [µ A,µ B ] µ A y máx [µ A,µ B ] µ B,ademássiC es un conjunto difuso que contiene a ambos A y B, entoncesµ C µ A y µ C µ B,deaquiqueµ C máx [µ A,µ B ]=µ A B, de manera que A B es el conjunto difuso más pequeño que contiene a ambos A y B.

25 2.2 Diseño de sistemas difusos 13 Reglas base difusas Conjunto difuso En U Motor de inferencia difusas C onjunto difuso En V Figura 2.3: Configuración básica de un sistema difuso puro Reglas base difusas x en U Fusificador Motor de inferencia difusas Defusificador Conjunto difuso En U Conjunto difuso En V y en V Figura 2.4: Sistema difuso con fusificador y defusificador 2.2. Diseño de sistemas difusos Existen diferentes tipos de sistemas difusos usados comúnmente: 1. Sistemas difusos puros, ver Fig Sistemas difusos con fusificadores y defusificadores, ver Fig.2.4 Takagi-Sugeno-Kang (TSK) Mandami La inferencia lógica consiste en la combinación de proposiciones para producir nuevas proposiciones.

26 14 Lógica difusa y sistemas difusos El motor de la inferencia difusa combina estas reglas difusas SI ENTONCES, con un mapeo de un conjunto difuso, en el espacio de entrada hacia un conjunto difuso en el espacio de salida basado en los principios lógicos difusos. Si el sistema de la Fig.2.3 tiene retroalimentación, el sistema es llamado sistema dinámico difuso. El problema principal con los sistemas difusos puros, es que las entradas y las salidas son conjuntos difusos (esto es, palabras en el lenguaje natural ), y en los sistemas de ingeníeria, las entradas y salidas son variables con valores reales, para resolver este problema Takagi, Sugeno y Kang (TSK) propusieron otro sistema difuso donde las entradas y salidas son variables con valores reales. Considerando las reglas difusas SI ENTONCES, el sistema TSK usa reglas de la siguiente forma: SI x, ENTONCES y=cx. Los problemas principales con el sistema difuso TSK son: La parte ENTONCES es una fórmula matemática, por lo tanto no puede proporcionar una forma de trabajo natural que represente el conocimiento humano y no hay mucha libertad para aplicar diferentes principios en lógica difusa, así que la versatilidad de los sistemas difusos no esta muy bien representado en esta forma de trabajo. Para resolver estos problemas se usará el tipo de sistema difuso llamado: sistema difuso con fusificador y defusificador. Se usará un sistema difuso puro y se la añadirá un método simple llamado fusificador, el cuál transforma una variable de valor real a un conjunto difuso en la entrada y un defusificador, el cuál transforma un conjunto difuso en una variable con valores reales a la salida. El resultado es un sistema difuso con fusificador y defusificador, mostrado en la Fig.2.4. Este sistema no presenta las desventajas de los sistemas difusos puros ni de los sistemas TSK, de ahora en adelante cuando hagamos referencia a los sistemas difusos, estaremos hablando de los sistemas difusos que presentan fusificador a la entrada y defusificador en la salida. Algunas características que distinguen a los sistemas difusos son: los sistemas difusos permiten múltiples entradas y una salida simple mapeando de un vector de valores reales a un valor escalar real (un mapeo de múltiples salidas puede ser descompuesto en una colección

27 2.2 Diseño de sistemas difusos 15 de mapeos de salidas simples), donde las fórmulas matemáticas de estos mapeos pueden ser obtenidos. Por otra parte los sistemas difusos son sistemas basados en conocimiento, construidos del conocimiento y experiencia del experto humano en forma de reglas difusas de la forma: SI ENTONCES. Los sistemas difusos han sido empleados en una gran variedad de campos, tales como: control de sistemas, procesamiento de señales, reconocimiento de patrones, comunicaciones y sistemas de información, manufactura de circuitos integrados, sistemas expertos, medicina. Sin embargo las aplicaciones más significativas han sido concentrados en los problemas de control, con el diseño e implementación de controladores difusos Los sistemas difusos como los mostrados en la Fig.2.4, pueden ser usados como controladores en lazo abierto ó controladores en lazo cerrado. Cuando se usa un controlador en lazo abierto, los sistemas difusos usualmente presentan un conjunto de parámetros de control y el sistema opera de acuerdo a estos parámetros de control. Algunas aplicaciones de este tipo de controladores están en el área de la electrónica. Cuando se utiliza un controlador en lazo cerrado, el sistema difuso mide la salida de los procesos y toma acciones de control sobre el proceso continuamente, sus aplicaciones más comunes se presentan en los procesos industriales. El objetivo al utilizar sistemas difusos es poner el conocimiento humano dentro de los sistemas de ingeniería de manera sistemática, eficiente y de manera organizada Diseño de un sistema difuso utilizando el método de esquema de tabla de búsqueda. Los sistemas difusos son usados para formular conocimiento humano, el conocimiento humano acerca de un problema de ingeniería en particular puede ser clasificado en dos categorías: conocimiento conciente y conocimiento subconciente. Por conocimiento conciente nosotros entendemos el conocimiento que puede ser explícito, es decir, puede ser expresado por palabras y por conocimiento subconciente nos referimos a las situaciones donde el experto

28 16 Lógica difusa y sistemas difusos humano conoce que hacer pero no sabe como expresarlo explicitamente en palabras. Para el conocimiento conciente, podemos preguntar simplemente que el experto humano exprese en términos de reglas difusas de la forma SI ENTONCES el conocimiento y ponerlas en un sistema difuso. Para el conocimiento subconciente podemos preguntar al experto humano que lo demuestre, esto es, que demuestre como reacciónan ante algunas situaciones específicas, de esta manera el conocimiento subconciente es transformado a un conjunto de pares entrada-salida. De aquí que el problema principal es construir sistemas difusos en pares de entrada-salida. Se desarrollarán métodos para la construcción de sistemas difusos con pares de entrada-salida. Supongamos que damos el siguiente par de entradassalidas: (x p,y p ), p =1, 2,..., N (2.4) donde: x p U =[α 1,β 1 ]...x [α n,β n ] R n y y p V = α y,β y R. Nuestro objetivo es el diseño de un sistema difuso f (x) basado en estos N pares de entrada-salida. Proponemos ahora los siguientes 5 pasos para el diseño de un esquema de tabla de búsqueda para un sistema difuso: Paso 1.- Definir el conjunto difuso sobre el espacio de entradas y salidas. Específìcamente para cada [α i,β i ], i =1, 2,..., n definimos N i conjuntos difusos A j i (j =1, 2,...,N i), los cuáles son requeridos para ser completados en [α i,β i ]; esto es, para algún x i [α i,β i ], existe A j i,talqueµ A j (x i ) 6=. i Paso 2.- Generamos una regla del par de entrada-salida. Primero, para cada par de entradas-salidas (x p 1,..., x p n; y), p determinamoselvalorde pertenencia de x p i (i =1, 2,..., n) en los conjuntos difusos Aj i (j =1, 2,..., N i) yelvalorde pertenencia de y p en el conjunto difuso B l,l=1, 2,..., N y, esto es, cálculamos lo siguiente: µ A j (x p i ) para j =1, 2,..., N i, (i =1, 2,..., n) y i µ B l (y) p para l =1, 2,..., N y Finalmente obtenemos una regla difusa SI ENTONCES :

29 2.2 Diseño de sistemas difusos 17 SI x 1 está en A j 1 y...y x n está en A j n,entoncesyestá en B l (2.5) Paso 3.- Asignación del grado a cada regla generada en el paso 2. Donde el número de pares de entrada-salida es usualmente grande y cada par puede generar una regla, es muy probable que existan reglas contradictorias, esto es, reglas con la misma parte SI, pero diferente parte ENTONCES. Para resolver este conflicto, asignamos un grado a cada regla generada en el paso 2, y solamente mantenemos una regla del grupo en conflicto que tenga el máximo grado. De esta forma no solamente el problema del conflicto es resuelto, si no que también, el número de reglas se reduce de manera significativa.elgrado de una regla está definida como sigue: supongamos que la regla (2.5), es generada por un par de entradas-salidas (x p ; y) p entonces su grado (de pertenencia), está definido como: D (regla) = ny i=1 µ A j i (x p i ) µ B l (yp ) (2.6) Los pares de entrada-salida tienen diferente fiabilidad y podemos determinar un número, si podemos incorporar esta información en los grados de las reglas. Específicamente, supongamos que el par entrada-salida (x p ; y) p tiene un grado seguro µ p [, 1], entonceselgrado de la regla generada por (x p ; y) p es redefinida como: D (regla) = ny i=1 µ A j i (x p i ) µ B l (yp ) µ p (2.7) Enlapráctica,selepregunta alexpertoqueverifique el dato (si el número de pares entradasalida es pequeño) y estimamos el grado µ p ó si conocemos las características del ruido en el par de datos, podemos elegir el µ p más grande que disminuya el ruido. Si no conocemos la diferencia entre el par de entrada-salida simplemente elejimos métodos µ p =1y(2.7)se reduce a (2.6). Paso4.Creandolabasedereglasdifusas. La regla difusa base consiste de los siguientes tres conjuntos de reglas: 1. Las reglas generadas en el paso 2 que no tienen conflictos con alguna otra regla.

30 18 Lógica difusa y sistemas difusos 2. Las reglas del grupo de conflicto que tienen el grado máximo, donde un grupo de reglas de conflicto, consisten de reglas con la misma parte SI. 3. Reglas lingüisticas de expertos humanos (debido al conocimiento consciente). Donde los primeros dos conjuntos de reglas son obtenidos de conocimiento subconsciente, la regla difusa base final combina ambos conocimientos consciente y subconsciente. Paso 5.- Construcción de un sistema difuso basado en la base de reglas difusas. se puede utilizar algún esquema del capítulo 9 para construir un sistema difuso basado en la base de reglas difusas generadas en el paso 4. Por ejemplo podemos elejir sistemas difusos con motor de inferencia producto, fusificador singletón y defusificador con centro promedio. Se hacen algunos comentarios del procedimiento de los 5 pasos para diseñar un sistema difuso de pares de entrada-salida: 1. Una diferencia fundamental entre este método y los métodos de aproximación de sistemas difusos, es que estos últimos requieren que seamos capaces de determinar la salida exacta g(x) para alguna entrada x U, en este método no podemos elejir libremente los puntos de entrada al dar los pares de entrada-salida. También la secuencia al diseñar este sistema difuso requieren exactitud, los métodos de aproximación requieren conocer los límites de primer orden ó segundo orden, derivada de la función a ser aproximada. mientras que en el método de esquema de tabla de búsqueda no se requiere esa información. 2. Si los pares de entrada salida ocurren en el par e i 1 1,e i 2 2, ȳ i 1i 2, con el método de aproximación entonces es fácil verificar que el sistema difuso diseñado a través de estos cinco pasos es el mismo sistema difuso diseñado con el método de aproximación. De aqui que este método puede ser visto como una generalización del método de aproximación, el caso donde los pares de entrada-salida no son elejidos arbitrariamente. 3. El número de reglas finalesenlabasedereglasdifusasestálìmitadopordosnúmeros: N, elnúmerodeparesdeentradasaliday Y n i=1 N i el número de todas las posibles

31 2.2 Diseño de sistemas difusos 19 combinaciones de los conjuntos difusos definidos por las variables de entrada. Si la dimensión del espacio de entrada n es grande(amplia), Y n N i podría ser un número i=1 enorme y podría ser mayor que N. También algunos pares de entrada-salida pueden corresponder a espacios vacios, de esa manera pueden aportar solamente una regla de la base de reglas difusas. Por consiguiente el número de reglas en dicha base pueden ser mucho menor que ambas, Y n N i y N. Consecuentemente la base de reglas difusas i=1 generadas por este método pueden no ser completas, para hacer la base de reglas difusas completas, podemos llenar los espacios vacios en la base de reglas difusas interpolando las reglas existentes Diseño de un sistema difuso utilizando el método del entrenamiento del gradiente descendiente. Eligiendo la estructura del sistema difuso. En el esquema de tabla de búsqueda de la sección I, las funciones de pertenencia son fijas en el primer paso y no depende de los pares entrada-salida; esto es, las funciones de pertenencia no son optimizados según los pares de entrada-salida. En este capítulo se propondrán otros métodos para el diseño de sistemas difusos donde las funciones de pertenencia son elejidos de tal forma que ciertos criterios son optimizados. Desde un punto de vista conceptual, el diseño de sistemas difusos de pares entrada-salida pueden ser clasificados en dos tipos de métodos: En el primer método, las reglas difusas SI ENTONCES son generadas primeramente de los pares entrada-salida y el sistema difuso es entonces construido a partir de estas reglas de acuerdo a la elección del motor de inferencia difuso, el fusificador y el defusificador. El esquema de tabla de búsqueda de la sección I, pertenece a este método. En el segundo método, la estructura del sistema difuso es especifícada primero y algunos parámetros de la estructura pueden ser cambiados, entonces estos parámetros libres son determinados de acuerdo a los pares entrada-salida. En esta sección se adaptara el segundo método. Primero, se especifica la estructura del sistema difuso a ser diseñado. Se elije un sistema difuso con motor de inferencia producto, fusificador singletón, defusificador centro promedio,

32 2 Lógica difusa y sistemas difusos y función de pertenencia gausiano dado por P Yn µ ³ 2 M l=1 ȳl exp xi x l i i=1 σ l i f (x) = P Yn µ ³ 2 (2.8) M l=1 exp xi x l i i=1 σ l i Donde M es fijo y ȳ l, x l i y σ l i son parámetros libres (se elije a l i =1). Aunque la estructura del sistema difuso es elegido como (2.8), el sistema no ha sido diseñado porque los parámetros ȳ l, x l i y σ l i no son específicados. Se especifícan los parámetros ȳ l, x l i y σ l i para obtener el diseño del sistema difuso, esto es, diseñar el sistema difuso es ahora equivalente a determinar los parámetros ȳ l, x l i y σ l i. Para determinar estos parámetros de una manera óptima, representaremos el sistema difuso f (x) de (2.8) como una red de retroalimentación hacia adelante. Específicamente, el mapeo de la entrada x U R n a la salida f (x) V R, puede ser implementada de acuerdo a las siguientes operaciones: Primero la entrada x espasadaatravésdeun operador de producto gausiano hasta llegar z l = Y µ n ³ exp xi 2 x l i ; entonces, z l es i=1 σ l i pasado a través de un operador suma y el operador suma los pesos para obtener b = P M l=1 zl y a = P M l=1 ȳl z l, finalmente la salida del sistema difuso es cálculado como f (x) =a/b. h µ =exp x x l 2 i i /σ 2 i Función de activación Gausiana para la representación neuronal de un sistema difuso. Diseño de los parámetros por el gradiente descendiente. Como en la sección I, los datos están dados por pares de entrada-salida dados por (2.4). la tarea es diseñar un sistema difuso f (x) de la forma (2.8) tal que al calcular el error e p = 1 2 [f (xp y p )] 2 (2.9) sea mínimo. La tarea es determinar los parámetros ȳ l, x l i y σ l i tal que e p de (2.9) es minimizado. En la secuencia, se usa e, f y y para denotar e p,f(x p ) y y, p respectivamente. Utilizaremos el algoritmo del gradiente descendiente para determinar los parámetros, Específicamente se

33 2.2 Diseño de sistemas difusos 21 determina ȳ l, se utiliza el algoritmo ȳ l (q +1)=ȳ l (q) α e ȳ l q (2.1) donde l =1, 2,...,M, q =, 1, 2,..., y α es la constante que da el tamaño del paso. Si ȳ l (q) converge cuando q tiende a infinito, entonces de (2.1) tenemos e =converge a ȳ l lo ȳ l cuál significa que la convergencia es un mínimo local de e. de (2.8) observamos que f (de aquí e) depende de ȳ l solo a través de a, donde f = a/b a = P M ȳl l=1 z l,b= P M l=1 zl, y z l = Y µ n ³ exp xi 2 x l i ;deaquíseutilizauncambioderegla,tenemos: i=1 σ l i e =(f y) f a ȳ l a ȳ =(f y) 1 l b zl (2.11) substituyendo (2.11) en (2.1) obtenemos el algoritmo de entrenamiento para ȳ l ȳ l (q +1)=ȳ l (f y) (q) α z l (2.12) b donde l =1, 2,...,M, y q =, 1, 2,..., para determinar x l i, utilizamos x l i (q +1)= x l i (q) α e x l q (2.13) i donde i =1, 2,...,n, y l =, 1, 2,..., f (de aquí e) depende de x l i solo a través de z l ; de aquí utilizamos el cambio de regla, tenemos entonces e =(f y) f z l =(f y) ȳl f z l 2 x p i xl i (2.14) x l i z l x l i b σ l2 i substituyendo (2.14) en (2.13) obtenemos el algoritmo de entrenamiento para x l i x l i (q +1)= x l (f y) i (q) α ȳl (q) f z l 2 x p i xl i (q) (2.15) b σ l2 i (q) donde i =1, 2,..., n, y l =, 1, 2,..., M, y q =, 1, 2,..., utilizando el mismo procedimiento, obtenemos el algoritmo de entrenamiento para σ l i σ l i (q +1)=σ l i (q) α e σ l i q = σ l (f y) i (q) α ȳl (q) f z l 2 x p i xl i (q) 2 b σ l3 i (q) (2.16) donde i =1, 2,..., n, l =, 1, 2,..., M, y q =, 1, 2,...El algoritmo de entrenamiento (2.12)(2.15)(2.16), permiten obtener el error de propagación hacia atrás.

34 22 Lógica difusa y sistemas difusos

35 Capítulo 3 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera El sistema de posicionamiento ó balanceo Barra-esfera esta clasificado como un problema clásico de sistemas dinámicos no lineales, esta es una aplicación en el área de la robótica industrial. Este problema ha sido resuelto utilizando métodos de control convencional los cuáles involucran complejas ecuaciones matemáticas. Otra manera de resolver este problema es utilizando lógica difusa, la cuál es muy conveniente para la implementación en el control de sistemas no lineales al escribir las reglas difusas y determinar valores de sus diferentes parámetros involucra el conocimiento y experiencia de un experto humano que sea capaz de plasmar su conocimiento en reglas de la forma SI ENTONCES. El sistema barra-esfera se encarga de mover una esfera sobre una viga rígida (riel). La posición de la esfera es controlada al variar el ángulo de la viga para compensar el movimiento delaesfera,deestamaneralaesferapuedeser posicionada en algún lugar deseado de la barra balanceando de manera adecuada la viga. La Lógica Difusa (LD) provee una manera de resolver algunos problemas de sistemas de control, el experto humano empieza generalmente no procesando información con valores numéricosexactos,lalógicadifusautiliza(tratadecopiar)elpensamientohumanoalre-

36 24 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera solver problemas, en lugar de utilizar complejas ecuaciones matemáticas, utilizando reglas lingüísticas ciertas, es la base por la cuál los valores de las variables de salida son determinadasporvaloresrealesdelasvariablesdeentrada,esteesunsistemadecontrolenlazo cerrado. El sistema dinámico no lineal barra-esfera es muy difícil de controlar utilizando métodos convencionales en donde se necesitan técnicas matemáticas especiales y conocimiento de la teoría de control para poder obtener ecuaciones matemáticas aproximadas del sistema. Existen varios problemas con el sistema con éstos métodos como retardos en la retroalimentación y otros asociados con acciones de control; salto de la esfera, fenómenos en la incertidumbre del sensor, etc. Un Controlador de Lógica Difusa (CLD) puede ser implementado para controlar el sistema no lineal dinámico, comparado con los controladores convencionales, reduce la complejidad matemática, presenta una alta tolerancia al ruido y una probable independencia a la gravedad y es portable a otros sistemas barra-esfera que presenten un comportamiento parecido. El problema de posicionamiento de una esfera es un ejemplo muy usado para resolverlo por medio de sistemas difusos, pues presenta muchas aplicaciones industriales, por ejemplo está relacionado en tareas de robótica de llevar y transportar objetos, esto en brazos de robots industriales y en robots móviles con articulaciones. La esfera y la viga en conjunto consisten de un diseño especial, la viga es de un material inoxidable que se mantiene muy limpio para que la esfera pueda rodar. A un lado de la viga hayunalambredeníquel cromofuncionandocomoresistorydelotroladohayunabarra de acero, cuando la esfera rueda a través de estos dos componentes se activa un dispositivo similar a un potenciómetro. La posición de la esfera a lo largo de la viga puede determinarse al medir el voltaje en el alambre de acero cuando el sensor de resistencia funciona correctamente. Las dos terminales del resistor van hacia fuera al conectarse en el bloque de soporte donde van conectados a una resistencia de 24 Ohm cada uno. Un cable conectado al alambre de acero está también conectado, manteniendo la esfera y el sensor limpios y libres. El dispositivo

37 3.1 Modelado matemático del motor 25 Ra La wm ia Vin eb J Tl Tm m Figura 3.1: Modelo Eléctrico Mecánico del motor se limpia utilizando un limpiador de contacto, nunca se debe utilizar agua para hacerlo. Los engranes proporcionan la estructura para ser usados con los mecanismos de la planta. Esto le permite al motor entregar el suficiente torque para incrementar el rango del ángulo con la cuál la barra pueda inclinarse Modelado matemático del motor Modelo del sistema eléctrico El ángulo de inclinación de la viga es controlado por el ángulo θ a la salida de la planta. La planta consiste de un motor de corriente directa (CD) y un potenciómetro de retroalimentación. El motor tiene integrado una caja de engranes a razón de 15:1, la salida de la caja está conectada a un pequeño engrane (.5"), el cuál controla un engrane más grande (2.5"), esto resulta en una disminución de la velocidad a razón de 5:1. La proporción del engrane final del motor a la salida es de 5 15 = 75 : 1. El sistema esta controlado por la siguiente ecuacion dinámica, Electricamente, despreciamos la inductancia de la armadura al presentar valores pequeños con respecto a los demás dispositivos del sistema eléctrico, ver Fig. 3.1 V in = ir m + K m ω m

38 26 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera donde V in Eselvoltajedeentrada(Volt),i Es la corriente de armadura (Amp), R m Es la resistencia de armadura (Ohm), K m Eslaconstantedetorquedelmotor(N-m/Amp),ω m Es la velocidad angular de salida (rad/s) Modelo del sistema mecánico Esto es contrarestando por la carga total de inercia T m = K m i =(J ml ω + B m ω) /K g donde ω es la velocidad angular de la carga (rad/s) = ω m /K g,j m es la inercia de carga total (N-m-s 2 /rad), B m es la fricción de carga total (N-m s/rad), K g la proporción de engranes, K m i es el torque producido por el eje del motor, con ω m = θ. µ K m µ K m θ + Vin = 1Kg J m θ + B m θ R m Por lo tanto Para el modelo de Quanser R mj K m K g K2 m K m θ + V in = J mθ + B θ m R m R m K m V in = J mθ + R m K g R m J m θ + K m K g K g µ Bm K g + K2 m R m K g θ µ Rm B m + K m θ = Vin K m K g =,1176, R m B K m K g + K m =,58823 [27] Modelado matemático del sistema barra-esfera Forma simple Cuando no se considera la dinámica de la barra ni las dimensiones de la esfera, Fig 3.2, la dinámica de la esfera queda:[27] m r = mg sin α (3.1)

39 3.2 Modelado matemático del sistema barra-esfera 27 y Posición de la esfera N R r Barra L mg sinθ F Pivote α Ángulo de inclinación De la barra guía z mg d θ Ángulo del engrane engrane Figura 3.2: Modelo del Sistema barra esfera donde m es la masa de la esfera, g es la constante de gravedad, α es el ángulo de la barra, r es la posición de la esfera sobre la barra. Para ángulos pequeños sin α α Si el motor se aproxima como un modelo estático: α = bu donde u es el voltaje de control del motor. Puede ser representado en el espacio de estados en la forma lineal siguiente: " # " #" # " # x1 1 x1 = + u x 2 x 2 b # y =[1, ] " x1 donde x 1 = r, x 1 = r. La función de transferencia es: x 2 G(s) = b s 2

40 28 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera Forma Lagrangiana Modelo de la esfera Cuando un cuerpo tiene un tamaño y cuerpo definido (cuerpo rígido), un sistema de fuerzas no concurrentes aplicados a él puede originar que se mueva y que gira al mismo tiempo, los aspectos de traslación del movimiento están gobernados por la ecuación F = ma y los aspectos de rotación, originados por el momento M están gobernados por la ecuación M = Ia α. El símbolo I en esta ecuación se llama momento de inercia, por comparación el momento de inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a la aceleración angular, del mismo modo que la masa es una medida de la resistencia del cuerpo a la aceleración. T = Mg L 2 sin α U 2 = Definiremos el momento de inercia como la integral del segundo momento con respecto a un eje, de todos los elementos de masa dm que componen al cuerpo, d es la distancia perpendicular que hay del eje al elemento arbitrario dm. ver Fig.3.3. Z I 1 = d 2 dm (3.2) m De la ec. (3.2), para el caso de una diferencial de masa de un esfera: dm (r, ϕ, θ), volumen del elemento diferencial: dv = r 2 sin (ϕ) drdϕdθ, distancia de la masa del elemento diferencial al eje z: d = r sin (ϕ), formula del volumen de una esfera: v = 4 3 πr3. Sustituyendo los valores de la distancia y la diferencial de masa correspondientes a la de una esfera, Z I 1 = r 2 sin 2 (ϕ) dm (r, ϕ, θ) (3.3) donde la diferencia de masa (dm) estádadoporm m dm = M v dv

41 3.2 Modelado matemático del sistema barra-esfera 29 z d Figura 3.3: Esfera Sólida donde M es la masa de distribución uniforme, v es el volumen es la esfera sobre el cuál se toma la diferencial, substituyendo v y dv dm = M 4 3 πr3 r2 sin (ϕ) drdϕdθ (3.4) sustituyendo (3.4) en (3.3) obtenemos, Z I 1 = r 2 sin 2 (ϕ) ³ M 4 r 2 sin (ϕ) drdϕdθ 3 πr3 = RZ m Z π Z2π r= ϕ= θ= r 2 sin 2 (ϕ) Sacando las constantes fuera de la integral, M 4 r 2 sin (ϕ) drdϕdθ 3 πr3 I 1 = = M2π 4 3 πr3 M 4 3 πr3 = 2 5 MR2 RZ RZ Z π Z2π r= ϕ= θ= Z π r= ϕ= r 4 sin 3 (ϕ) drdϕdθ = r 4 sin 3 (ϕ) drdϕ = M2π R πr3 5 M 4 3 πr3 Z π ϕ= RZ Z π r= ϕ= 2πr 4 sin 3 (ϕ) drdϕ sin 3 (ϕ) dϕ = 3 1 MR2 Z π ϕ= sin 3 (ϕ) dϕ (3.5)

42 3 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera Finalmente la Ec. (3.5) nos da el momento de inercia de la esfera. L = U T = 1 2 I α 2 Mg L 2 sin α Modelo del Balón. Las coordenadas principales para el sistema barra-esfera son la posición del balón en la barra y el ángulo de la barra θ, Podemosahoraescribirellagrangianodelsistema, L = U T (3.6) donde U es la energia cinética. y T es la energia potencial del sistema. La energía potencial es cero, de aquí que no influya en el sistema, entonces el lagrangiano está dado únicamente por la energía cinética, la cuál consiste de energía cinética.translacional y rotacional de la esfera moviendose en la viga. La energía potencial del sistema se presenta como: T = mgr sin α donde M es la masa de la barra, L es la longitud de la barra, r es la posición de la esfera en la barra Movimiento El calculo del lagrangiano se reduce entonces a determinar la energía cinética de un cuerpo (esfera) en rodadura pura, sin considerar el efecto de la fricción. La energía cinética de una partícula P está dada por, U 2 = 1 2 ρv2 pdv donde ρ : es la densidad del cuerpo. Por lo que la energía cinética total del cuerpo (sistema) se define como la suma de las energías cinéticas de las distintas partículas del sistema, esto es, U 2 = 1 Z ρv 2 2 pdv (3.7)

43 3.2 Modelado matemático del sistema barra-esfera 31 Vp y y P VG x z x z Figura 3.4: Sistema de coordenadas fijo y relativo Cuando se cálcula la energía cinética de un sistema que consiste en un gran número de partículas (como es el caso del cuerpo rígido) a menudo es conveniente considerar por separado el movimiento del centro de masa G del sistema y el movimiento del sistema relativo a un sistema de referencia en movimiento fijo en G, como se observa el sistema coordenado de la Fig.3.4. v p = v G + ω r GP (3.8) en dondep : es una partícula del sistema, v P : velocidad relativa de la partícula al sistema de referencia Oxyz, v G es la velocidad del centro de gravedad (centro de masa) relativa al sistema Oxyz, ω r GP es la velocidad relativa al sistema móvil Gx y z. Sustituyendo (3.8) en (3.7) obtenemos, U 2 = 1 Z 2 ρ (v G + ω r GP )(v G + ω r GP ) dv v desarrollando el producto, U 2 = 1 2 ρ Z = 1 2 mv2 G ρ Z v v vg 2 +2v G ( ω r GP )+( ω r GP )( ω r GP ) dv Z 2v G ( ω r GP ) dv + 1ρ ( ω r 2 GP )( ω r GP ) dv v (3.9)

44 32 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera Considerando un ángulo β entre ω y r GP para la partícula P, entonces haciendo el producto punto: ( ω r) ( ω r) =ω 2 r 2 sin 2 (β) =ω 2 r 2 (1 cos 2 (β)) = ω 2 r 2 ω 2 r 2 cos 2 (β) =( ω ω)(r r) ( ω r)( ω r) Z Z ρ ( ω r)( ω r) dv = ρ ( ω ω)(r r) ( ω r)( ω r) dv vz v Z = ρ ( ω ω (r r)) ( ω r ( ω r)) dv = ρ ( ω (r r) ω) ( ω ( ω r) r) dv Z v Z v = ρ ω [(r r) ω ( ω r) r] dv = ρ ω [(r r) ω ( ω r) r] dv v Utilizando las propiedades del producto cruz, obtenemos: Z Z ρ ω [(r r) ω ( ω r) r] dv = ω ρ (r ( ω r)) dv v Sea I igual a la integral: v Z ω v ρ (r ( ω r)) dv = ω (I ω) (3.1) De la relación, v Z 1 2 ρ por la definición del producto punto, v 2v G ( ω r GP ) dv = sustituyendo (3.1) en (3.9) obtenemos, kv G kk ω r GP k cos (v G, ω r GP )= U 2 = 1 2 m r ω (I 2 ω) = 1 2 m r I 2ω 2 (3.11) donde la ec. (3.11) es la energía cinética del cuerpo rígido de la esfera, donde, m es la masa de la esfera, I es el momento de inercia de la esfera. I 2 = 2 5 mr2

45 3.2 Modelado matemático del sistema barra-esfera 33 r = Rω Rodamiento Describiremos el movimiento de un disco o una rueda rodando sobre una superficie plana si se restringe el disco a que ruede sin resbalar, La aceleración ā de su centro de masa G y su aceleración angular a α no son independientes. suponiendo que el disco este equilibrado, de manera que coincidan su centro de masa y su centro geométrico, escribimos primero que la distancia x recorrida por G durante una rotación Ψ del disco es, x = rψ (3.12) despejando Ψ, Ψ = x r donde, r es el radio del disco (esfera), Ψ es la rotación de la esfera, x es la distancia recorrida. La distancia angular recorrida por la esfera con respecto a la vertical esta dada por la siguiente fórmula, d α = Ψ + α (3.13) reescribiendo la ec. (3.13) en términos de α, derivando la ecuación (3.14) obtenemos la velocidad angular, d α = x r + α (3.14) ω = d α = ẋ + α (3.15) r También la velocidad (v) de la esfera puede ser obtenida al hacer el diagrama de velocidad de la barra y la esfera, esta fórmula está dada por, v 2 = ẋ 2 +(x α) 2 (3.16) ³ sustituyendo la ec. (3.15) y (3.16) en la ec. (3.11), 1 2m r 2 obtenemos: 2 5 U 1 = 1 µ m r 2 (3.17)

46 34 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera La ecuación total de Lagrange es L = U T = 1 2 I1 + mr 2 α m r 2 µmgr + L2 Mg sin α (3.18) donde I 1 = 2 5 MR2.No hay fuerzas externas sobre la esfera en dirección radial, la ecuación de lagrange de movimiento está formada por: h i d L = u dt α h i d L = (3.19) dt r L α L r Como se conoce el momento inercial de la esfera según la ec. (3.5) la sustituimos en la ec. (3.18),derivando (3.18) con respecto a r y restándole la derivada de (3.18) con respecto a r, obtenemos: L = mgr + LMg cos α α 2 L α =(I 1 + mr 2 ) α L = mr α 2 (3.2) mg sin α r L r = 7m r 5 Substituyendo 3.2 en 3.19 obtenemos: (I 1 + mr 2 ) α +2mr r α + mgr + LMg cos α = u 2 7 r r α 2 + g sin α = 5 (3.21) Forma Mecánica La ecuación de las fuerzas es: m y = mg + N cos α + F sin α m z = N sin α + F cos α Donde N es la fricción, F es la fuerza rotacional, FR = J ω, ω = x R, J = 2 5 mr2

47 3.2 Modelado matemático del sistema barra-esfera 35 Multiplicando con sin α y cos α, y sumandole la fricción: Utilizando las condiciones y = r sin α, Tenemos: y = d dt m y sin α + m z cos α = mg sin α + 2 m r 5 ³ r sin α + r α cos α La dinámica del sistema barra-esfera: z = r cos α = r sin α + r α cos α + r α cos α r α 2 sin α + r α cos α ³ z = d dt r cos α r α sin α = r cos α r α sin α r α sin α r α 2 cos α r α sin α y sin α + z cos α = r + r α 2 7 r r α 2 = g sin α (3.22) 5 Comentario 3.1 Hacemos un pequeño comentario entre las ecuaciones diferenciales obtenidas (3.22), (??) y (3.1). Cada una de ellas representa el modelo matemático del sistema, cuando se utiliza el método de Euler-Lagrange se trata únicamente de resolver el problema de manera poco compleja, para el análisis del sistema vía mecánica newtoniana se necesitan conocer las fuerzas que actúan sobre los diferentes cuerpos, aumentando la complejidad del análisis, el modelo del sistema en forma simple, es un módelo bastante simplificado queseobtienedel manual del prototipo, donde muchos datos ó variables inherentes al sistema son despreciados para simplificar el problema, sin embargo cualquiera de éstos métodos debe de resolver el problema planteado, únicamente varía el número de varibles en la ecuación final del modelo que aumenta o disminuye su complejidad de resolución. Para una posición α =, La aceleración del balón está dado por r = 5 g sin α (3.23) 7

48 36 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera (3.21) and (3.1) (3.22) El Lagrangiano constituye una formulación alternativa a la formulación clásica newtoniana, en esta formulación el lagrangiano del sistema estará dado por L=K-V, la energía cinética menos la energía potencial. La principal ventaja práctica que tiene esta formulación, es que de partida, el número de variables es el mínimo posible para determinar la configuración del sistema y además que no es necesario conocer el detalle de las fuerzas de vínculos para su formulación, resultando en un método menos laborioso, que la formulación clásica newtoniana donde es necesario conocer a detalle las fuerzas que actuán sobre el sistema. Una vez obtenido la formulación del sistema para poder conocer su comportamiento bajo ciertas condiciones, es necesario realizar una simulación del sistema a partir de la ecuación diferencial obtenida, para ello si se trabaja bajo ciertas características ó condiciones iniciales es posible simplificar dicha ecuación sin alterar demasiado el comportamiento del sistema, esta reducción de variables puede observarse claramente si comparamos la ecuación diferencial (3.22) con la ecuación (3.1), donde apartirdelaprimerecuaciónbajociertas restricciones generamos la segunda. El Lagrangiano es una función que indicará el camino que elige la naturaleza entre dos puntos (definidos por unas variables que no tienen porque ser espaciales) y que va a ser el más corto. Además con el Lagrangiano uno podrá calcular las ecuaciones de movimiento del sistema en cuestión. Por otro lado el Hamiltoniano nos dará la energía total del sistema que como todos sab4emos, se conserva. Comentario: El lagrangiano es la función que da la acción (producto energía tiempo) y para la "trayectoria"que seguirá el sistema será extremal (mínima, máxima o estacionaria)

49 3.3 Evaluación del modelo vía resultados experimentales 37 L α d θ Figura 3.5: Relación entre el ángulo de la barra y el ángulo del motor 3.3. Evaluación del modelo vía resultados experimentales Cálculo de parámetros Los valores nominales de los parámetros del servosistema barra-esfera son tomados del manual ([27]) en la sección de especificaciones, ver Fig.3.5. k = 5,k 7 g =75,r s =3, m, l =,45m, k m =,75Nm/amp, k e =,75volts s/rad, R a =9Ω, B=1,6 1 3 Nm s/rad, J =7, Nms 2 /rad. En donde k es,kg es, r s,l,k m,k e,r a,b,j. Finalmente, la relación entre α y θ es requerida, esta relación es no lineal pero puede ser aproximado por la siguiente ecuación, para ángulos pequeños, el tamaño del arco del circulo grande (Lα) esigualalarcodel circulo pequeño (dθ), donde se obtiene la relación d = 1,deaquí: L 16 α =(1/16) θ

50 38 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera evaluación del modelo del motor Una vez obtenido el modelo matemático del sistema no lineal barra-esfera (el cuál incluye el modelo matemático del sistema eléctrico y mecánico de un motor de corriente directa, el momentodeinerciadeunaesfera, laenergíacinética de la esfera rodando, sin considerar la fricción, obtenemos el lagrangiano de la esfera, compuesto de energía cinética y energía potencial, además de la descripción del movimiento de una esfera rodando sobre una superficie, para poder obtener su posición), pasamos a la etapa de simulación, esto es simular el modelo matemático en Matlab para observar gráficamente como es su comportamiento, además de compararlo con el prototipo del laboratorio y verificar que tan aproximado resulta, como todos sabemos un modelo matemático es una aproximación de determinado prototipo representado a través de ecuaciones diferenciales. Primero simularemos el comportamiento del motor de corriente directa, la cuál esta representada por las siguientes ecuaciones, correspondientes al sistema eléctrico y al sistema mecánico: V in = ir m + K m ω m K m i =(J ml ω + B m ω) /K g ³ R mj m R K mk g θ + mb m K mk g + K m θ = Vin Para el modelo R mj R K m K g =,1176, m B R K m K g + K m =, Del prototipo real m J K m K g =,1176, R m B K m K g + K m =, Utilizando el Simulink de Matlab con una señal senoidal de entrada, ±2 V, y una frecuencia de,7rad/s, Fig Obtuvimos la siguiente respuesta, ver Fig.3.7. Esta señal de salida representa la posición del eje del motor a la salida del modelo, donde el eje x es el tiempo en milisegundos, y el eje y representa la posición angular del motor en radianes. En el caso del modelo del motor fue despreciada la inductancia de la armadura del sistema eléctrico del motor, debido a esto, y a que el modelo es una aproximación del sistema real, la respuesta presentará algunas diferencias con la respuesta del prototipo real. Una limitación del sistema es la saturación del servo debiéndose por ello restringir el valor de la ganancia

51 3.3 Evaluación del modelo vía resultados experimentales 39 f(u) 1 s 1 s MATLAB Function U2 motor dd(phi) d(phi) si g phi u Figura 3.6: Modelo del motor en simulink 8 6 Señal de salida del modelo del motor Señal de salida 4 Posición angular (rad) Tiempo (ms) Figura 3.7: Señal de salida de la posición angular del modelo del motor

52 4 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera de retroalimentación de tal manera que no se produzca la saturación. El bloque Matlab Function hace una llamada a una función escrita en el editor del Matlab el cuál permite cambiar los valores de theta (posición del motor) cuando se encuentra fuera del rango [2π, 2π], fuera de este rango la posición del motor realiza cambios bruscos, como se observa en la figura, mostramos el código realizado en el editor de Matlab: function y=singt(u) PI= ; tha=u; if u>2*pi tha=-2*pi+(u-2*pi); end if u<-2*pi tha=2*pi+(u+2*pi); end y=tha; Estas señales las vamos a comparar con las respuestas del prototivo barra-esfera ubicado en el laboratorio de estudios experimentales. la manera de como se obtuvieron los datos de entrada y salida del motor fue corriendo el prototipo en el laboratorio el cuál también se encuentra realizado en el simulink y guardando los datos obtenidos en el espacio de trabajo del Matlab (guardándolo en un archivo). correspondientes a su señal de entrada y la señal de salida, para poder graficarlas, se guardan en un archivo del editor de Matlab, mostramos estas gráficasylascomparamosconelmodelo.aproximado. Mostramos el diagrama a bloques del sistema en simulink, Fig. 3.8: La señal de entrada al prototipo es una señal senoidal con una amplitud ±,8, y una frecuencia de,11236 rad/s evaluación del modelo barra-esfera obteniendo la señal de salida del motor del prototipo del laboratorio, ver Fig. 3.9.

53 3.3 Evaluación del modelo vía resultados experimentales 41 m position of ball Clock ptim e RT-DAC Analog Inputs position of m otor votage Sine Wave Constant1 RT-DAC PCI Analog Outputs start stop re m o v e Figura 3.8: Modelo Barra Esfera en tiempo real donde el eje x es el iempo en segundos y el eje y es la posición angular del motor en radianes Si comparamos la salida del prototipo con la del modelo observamos que ambas son muy aproximadas, ver Fig donde el eje x es el tiempo en segundos y el eje y es la posición del motor en radianes Por lo que podemos comentar que el modelo matemático traducido en un bloque de simulink es bastante aproximado al modelo real. Cabe hacer notar que entre más aproximado sea el modelo con respecto al sistema real, es necesario añadir más parámetros físicos que representan características del sistema, cuyas variables, traducidas como parámetros de las ecuaciones diferenciales del modelo del sistema aumentan la complejidad del mismo, asi como de su simulación, en la cual, la mayoria de las veces resulta poco propiado. Durante la simulación del prototipo pudimos observar que la salida del motor (posición) solo trabaja de manera correcta en el intervalo [2π, 2π], fuera de este rango presenta algunos problemas como es el caso de discontinuidades y cambios de signo en la señal debido a los efectos de saturación en el motor, al observar este problema se modificó el bloque en simulink

54 42 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera 8 Señal de salida de la posición del motor del prototipo Señal de salida 6 4 Posición (rad) Tiempo (s) Figura 3.9: Señal de salida de la posición del motor

55 3.3 Evaluación del modelo vía resultados experimentales Señal de salida del motor, modelo vs. prototipo Prototipo Modelo 4 Posicion (rad) Tiempo (s) Figura 3.1: Comparación de las señales de salida del motor, modelo vs. prototipo añadiendo al final del motor un bloque function que llama a un programa realizado en *.m el cual actualiza los valores de θ (posición) cuando se encuentra fuera del intervalo [2π, 2π] y los ajusta a lo realizado por el prototipo. Añadiremos ahora el bloque del modelo de la esfera al bloque del motor, ver Fig La señal de entrada que recibe el modelo de la esfera será la señal de salida (posición) del motor, esta es representada por una señal senoidal con cierta amplitud y frecuencia. La respuesta de salida que obtenemos del prototipo real es el siguiente, ver Fig. 3.12: donde el eje x es el tiempo en segundos y el eje y es la posición de la esfera donde la señal representa la posición de la esfera en la viga, podemos observar que esta señal sufre una saturación si rebasa los ±6V, si comparamos esta salida del prototipo real con el modelo obtenemos, ver Fig donde el eje x es el tiempo en segundos y el eje y es la posición de la esfera Podemos observar que la respuesta del modelo presenta algunas diferencias con la respuesta del prototipo real, pues a la salida del modelo implementamos un saturador ±6, también

56 44 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera f(u) Ball1 1 s ddr 1 s dr Saturation r /16 Gain /16 Gain1 U f(u) motor1 1 s dd(phi) 1 s d(phi) MATLAB Function si g1 phi Figura 3.11: Modelo del motor barra-esfera 8 6 Señal de salida del prototipo Señal de salida 4 2 Posición Tiempo (s) Figura 3.12: Señal de salida de la posición de la esfera en el prototipo

57 3.3 Evaluación del modelo vía resultados experimentales Señal de salida de la posición de la esfera, modelo vs. prototipo Prototipo Modelo 4 2 Posicion Tiempo (s) Figura 3.13: Comparación de la senal de posición de la esfera, modelo vs. prototipo se debe a que no fueron incluidas todas las variables del sistema físico en la simulación. Cuando se realizan modelados de sistemas físicos, esto es, tratar de expresar los comportamientos del sistema físico en sistemas de ecuaciones diferenciales, siempre es necesario incluir la mayoría de las variables que representan ciertas características de dicho sistema dentro de las ecuaciones, de esta manera nos aseguramos que el modelo matemático es muy aproximado al sistema real y sus comportamientos serán muy parecidos. Sin embargo el incluir todas las variables del sistema físico en una ecuación diferencial significa incrementar la complejidad y el orden de la ecuación diferencial, lo que aumentaria la dificultad para poder resolverlas, habrá que hacer un compromiso entre que tan aproximado se quiere el modelo sin aumentar demasiado la complejidad al tratar de resolverlo. Simulación del modelo del sistema con diferentes señales de entrada Se simulará el comportamiento del sistema completo, el modelo del motor acoplado al modelo barra-esfera y se observará su comportamiento a diferentes señales de entrada, mod-

58 46 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera f(u) Ball1 1 s ddr 1 s dr Saturation r /16 Gain /16 Gain1 U2 f(u) motor1 1 s dd(phi) 1 s d(phi) MATLAB Function si g1 phi Manual Switch Signal Generator Figura 3.14: Modelo del sistema con diferentes entradas ificando su amplitud y su frecuencia respectivamente, mostramos el diagrama a bloques del sistema, ver Fig. 3.14: Conservamos los valores de amplitud 2V y frecuencia.7 rad/s y modificamos únicamente el tipo de señal de entrada, ver Fig donde el eje x es el tiempo en segundos y el eje y es la posición angular del motor y la posición de la esfera: Donde las señales de entrada son senoidal y cuadrada. Modificando las señales de entrada (senoidal y cuadrada) con una amplitud de 2V y una frecuencia.3 rad/s, ver Fig. 3.16: amplitud 2V y frecuencia 1.3 rad/s, ver Fig Donde el eje x representa el tiempo en ms y el eje y la posición. amplitud.8v y frecuencia.7 rad/s, ver Fig. 3.18, amplitud 3V y frecuencia.7 rad/s, ver Fig. 3.19, Comentario 3.2 Es importante hacer notar que los valores de entrada que alimentan al sistema, en este caso al motor, no deben ser valores grandes pues con las ganancias presentes en el sistema estos valores sufren un incremento en términos de magnitud y pueden llegar a

59 3.3 Evaluación del modelo vía resultados experimentales 47 8 Señal de salida del m odelo del m otor Señal de salida 6 Señal de salida de la posición de la esfera Señal de salida Posición (rad) 2-2 Posición Tiem po (m s) Tiem po (m s) 1 Señal de salida de la posición del m otor Señal de salida 6 Señal de salida de la posición de la esfera Señal de salida Posición (rad) -5 Posicion Tiem po (m s) Tiem po (m s) Figura 3.15: Señales de salida de la posición del motor y la esfera

60 48 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera Posición del m odelo del motor Señal de salida 6 4 Posición de la esfera Señal de salida 6 2 Posición (rad) Posición Tiem po (m s) Tiem po (m s) 1 5 Posición del m otor Señal de salida 6 Posición de la esfera S eñal de s alida Posición (rad) Posición Tiem po (m s) Tiempo (m s) Figura 3.16: Señal de salida de la posicion del motor y la esfera

61 3.3 Evaluación del modelo vía resultados experimentales 49 2 Posición del m otor Señal de salida 6 Posición de la esfera Señal de salida 1 4 Posicion (rad) Posición Tiem po (m s) Tiem po (m s) 8 Posición del m otor Señal de salida 6 Posición de la esfera Señal de salida Posición (rad) 2-2 Posición Tiem po (m s) Tiem po (m s) Figura 3.17: Señal de salida, posición del motor y de la esfera

62 5 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera Posición del motor Señal de salida 6 Posición de la esfera Señal de salida Posición (rad) -3 Posición Tiem po (m s) Tiem po (m s) 8 Posición del motor Señal de salida 6 Posición de la esfera Señal de salida Posición (rad) 2-2 Posición Tiem po (m s) Tiem po (m s) Figura 3.18: Señal de salida de la posición del motor y la esfera

63 3.3 Evaluación del modelo vía resultados experimentales 51 8 Posición del m otor Señal de salida 6 Posición de la esfera Señal de salida Posición (rad) 2-2 Posición Tiem po (m s) Tiem po (m s) 1 Posición del m otor Señal de salida 6 Posición de la esfera Señal de salida Posición (rad) -5-1 Posición Tiem po (m s) Tiem po (m s) Figura 3.19: Señales de salida

64 52 Modelado matemático del Sistema Barra-esfera saturar al sistema, en este caso pueden afectar la posición de la esfera, esto sucede con las diferentes señales de entrada (senoidal y cuadrada). Se debe elejir entonces la amplitud y la frecuencia de la señal de entrada que mejor convengan, para evitar estos problemas.

65 Capítulo 4 ControlPDdifusoparaelsistema barra-esfera Se utilizará el modelo establecido en el capítulo anterior El sistema barra-esfera es un prototipo de laboratorio utilizado comúnmente para la enseñanza de la ingeniería en los sistemas de control, este sistema es muy utilizado por que es bastante simple de entender como sistema y por sus técnicas de control utilizadas, tanto clásicas PID (controladores: Proporcional, Integral y Derivativo), como métodos de diseño más modernos. Este sistema consta de una esfera que rueda libremente a lo largo de una viga,unmotoreléctricoacopladoalavigacontrolasuángulodegirorotacional,laposición de la esfera es medido utilizando una resistencia variable ubicada a lo largo de la viga. El objetivo del sistema barra-esfera es que para cualquier posición inicial de la esfera que se encuentre dentro de los límites de la barra el objetivo del control, es ubicar la esfera en una nueva posición cambiando el ángulo de la viga a través del motor eléctrico y la esfera ruede libremente. Para posicionar la esfera en su nuevo punto será necesario modificar los valores de θ, lacuálmodifica la pendiente de la barra, hasta lograr que la esfera se desplace a través de la barra (sin deslizarse) a su nueva posición y como única entrada al sistema será la alimentación del motor de cd. Esta es una tarea de control con cierto grado de complejidad por que la esfera no permanece en el mismo lugar al rodar por la viga, pero se mueve con

66 54 Control PD difuso para el sistema barra-esfera una aceleración proporcional al ángulo del motor. Este sistema es inestable en lazo abierto al no conocer continuamente la nueva posición de la esfera y decidir si ha alcanzado la posición deseada, sin embargo en lazo cerrado este dato se puede conocer retroralimentando al sistema y así colocar a la esfera en su nueva posición. La dinámica del sistema barra-esfera (solamente la dinámica sin el control PD), está dada por la siguiente ecuación: 7 r r α 2 = g sin α 5 Para una posición α =, La aceleración del balón está dado por r = 5 7 g sin α Considerando el control, esto es: (I 1 + mr 2 ) α +2mr r α + mgr + LMg cos α = u 2 7 r r α 2 + g sin α = 5 Si consideramos que la barra mide 4 cm. para fines prácticos ubicamos el centro de la misma en 2 cm. quedando 2 cm. hacia la derecha vista de frente, como la parte positiva de la barra y 2 cm. hacia la izquierda como la parte negativa. Si además definimos que el ángulo θ (posición angular del motor) es positivo al girar hacia arriba del eje imaginario horizontal y negativo al desplazarse hacia abajo de dicho eje, para ambos casos, la velocidad de la esfera al desplazarse a través de la barra y la velocidad rotacional del motor para ubicar el nuevo ángulo serán mínimas (cercanas a cero), de aquí definimos el vector de estado del sistema, x =(r, ṙ, θ, θ),donde la salida del sistema y = r será la nueva posición de la esfera en la barra, y el control u será la aceleración de θ. Como se mencionó anteriormente el propósito del control es determinar u (x) tal que el sistema de salida en lazo cerrado y pueda converger a cero de una condición inicial arbitraria a una nueva posición. El universo del discurso para el vector de estado esta dado por, U =[ 2, 2] [ 2, 2] [ π/3,π/3] [ π/16,π/16].

67 4.1 Controlador PD Controlador PD PD en configuración serial Un controlador que funciona típicamente como un amplificador con una ganancia constante k se conoce formalmente como control proporcional, ya que la señal de control a la salida del controlador está relacionada con la entrada del controlador mediante una constante proporcional. El controlador de tipo Proporcional derivativo (PD) Presenta la siguiente función de transferencia, G (s) =K P + K D s Por lo tanto la señal de control aplicada al proceso es de (t) u (t) =K P e (t)+k D dt donde K P,K D son las constantes proporcional y derivativa. Otra forma de ver el control derivativo es que ya que de(t) representa la pendiente de e (t), el control PD es esencialmente dt un control anticipativo, esto es, al conocer la pendiente, el controlador puede anticipar la dirección del error y emplearla para controlar mejor el proceso. Normalmente en sistemas lineales si la pendiente de e (t) ó y (t) debida a la entrada escalón es grande, subsecuentemente ocurrirá un sobrepaso alto. El control derivativo mide la pendiente instantánea de e (t), predice el sobrepaso grande adelante en el tiempo, y hace un esfuerzo correctivo antes de que el sobrepaso excesivo ocurra. En forma intuitiva, el control derivativo afecta el error en estado estable de un sistema sólo si el error en estado estable varía con el tiempo. Si el error en estado estable de un sistema es constante con respecto al tiempo, la derivada con respecto al tiempo de este error es cero, y la porción derivativa del controlador no provee ninguna entrada al proceso. Pero si el error en estado estable se incrementa con el tiempo, se genera otra vez un par en proporción a de(t), lo cuál reduce la magnitud del error. dt El principio de diseño del controlador PD involucra el localizar la frecuencia de corte del controlador, ω = K p /K D, tal que se logre un mejoramiento efectivo del margen de fase en la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

68 56 Control PD difuso para el sistema barra-esfera Para un sistema dado, existe un intervalo de valores de K p /K D queesóptimoparamejorar el amortiguamiento del sistema. Otra consideración práctica al seleccionar los valores de K p y K D está en la implementación física del controlador PD. Otro efecto aparente del control PD en el dominio de la frecuencia es que debido a las características del filtro pasa altas, en la mayoría de los casos incrementa el ancho de banda (BW) del sistema y reduce el tiempo de levantamiento de la respuesta al escalón. La desventaja práctica del controlador PD es que la parte diferencial es un filtro pasa altas, el cuál usualmente acentúa el ruido de alta frecuencia que se introduce por la entrada. El control PD propuesto para el motor y para la esfera es el siguiente: µ u = k pm (θ θ )+k dm θ θ θ =16α ³ α = k pb (r r)+k db r r θ =16α Donde: θ es la señal de salida de la posición angular del motor, θ es la posición deseada y θ, θ son sus respectivas derivadas, velocidad del motor. r es la señal de salida de la esfera y r es la señal de salida de la esfera deseada, r y r son sus respectivas derivadas, velocidad de la esfera. u es el control PD del motor y α es el control PD de la esfera. Para el problema de regulación r =. Combinando ambos controladores PD: u = k pm (16α 16α )+k dm (16 α 16 α ) u =16(k pm (α α )+k dm ( α α )) (4.1) donde: r = r r, y r =, entonces: α = k pb r k db r ³ ³ µ µ u =16 k pm α k pb r k db r + k dm α k pb r kdb r

69 4.1 Controlador PD 57 Entrada Control PD Control PD Modelo del Motor Modelo de la Esfera Salida Figura 4.1: Control PD en serie u = k pm α k pm k pb r + k pm k db r + kdm α k dm k pb r + kdm k db r Finalmente el controlador queda: u = k pm k pb er k pm k db r kpm α k dm k pb r kdm k db r k dm α + π = a 1 er a 2 r a3 r a 4 α a 5 α (4.2) donde a 1 = k pm k pb,a 2 =(k pm + k dm ) k db,a 3 = k dm k db,a 4 = k pm,a 5 = k dm. La figura 4.1 muestra la configuración del sistema más comúnmente utilizado, con el controlador colocado en serie con el proceso controlado, la configuración es llamada compensación en serie o en cascada. este esquema de compensación tiene un grado de libertad ya que sólo hay un controlador en cada sistema, aún cuando el controlador pueda tener más de un parámetro que pueda variar, ver Fig. 4.1 La simulación del sistema con controladores clásicos PD en serie muestran buena respuesta permitiendo controlar el sistema. Ahora observamos la simulación con los controladores proporcionales previamente diseñados, ver Fig. 4.2: Donde las entradas fueron señales de onda cuadrada y senoidales, ver Fig.??, enelprimer caso observamos que el control PD logra estabilizarse despues de cierto tiempo, en ambos estados tanto en la parte alta como en la parte baja, para la señal senoidal sucede los mismo, el control tarda cierto tiempo para estabilizarse y poder seguir a la señal de entrada. Un controlador PD diseñado adecuadamente afectará el desempeño de un sistema de control de la siguiente forma:

70 58 Control PD difuso para el sistema barra-esfera f(u) motor 1 s dd(phi) 1 s d(phi) MATLAB Function sig phi 5.79 Step1 Kp du/dt Derivative.22 Kd Figura 4.2: Controlador PD para el modelo del motor 1. Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo 2. Reduce el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento 3. Incrementa el ancho de banda 4. Mejora el margen de ganancia, el margen de fase 5. Puede acentuar el ruido en altas frecuencias 6. No es efectivo para sistemas ligeramente amortiguados ó inicialmente inestables PD paralelo Tenemos un control PD en configuración paralelo en el dominio del tiempo expresado por: µ µ de (t) de (t) u (t) = K Pm e (t)+k dm + K pb e (t)+k db dt dt

71 4.1 Controlador PD 59 Controlador Señal de referencia PD 2 θ Motor Esfera r Controlador PD 1 Figura 4.3: Controlador PD en configuración paralela Control PD en paralelo para el sistema barra-esfera: U = ³ h ³ i k pm α k dm α + k pb (r r)+k db r r donde π es el término de compensación, con r = U = k pb er k db r kpm α k dm α + π (4.3) comparándolo con (4.2), de aquí a 1 = k pb,a 2 = k db,a 3 =,a 4 y a 5 son los mismos como en (4.2): k pm =5,79, k dm =,22 k pb =2,2, k db =,8 Se muestra el diagrama a bloques de la configuración del controlador PD en paralelo: ver Fig. 4.3 El diagrama a bloques precedente se puede representar de la siguiente forma: ver Fig.4.4 El diagrama de simulink se presenta a continuación: ver Fig. 4.5 Los resultados que se obtienen de la simulación son: ver Fig. 4.6 La respuesta del control PD en configuración paralelo es inestable.

72 6 Control PD difuso para el sistema barra-esfera θ Controlador Motor Esfera PD 1 r 1 Señal de referencia θ Controlador Motor Esfera PD 2 r 2 r Figura 4.4: Controlador PD en configuración paralelo modificado r alpha r1 phi1 PD_ball1 phi U phi1 phi U d(phi) motor1 phi r d(phi) ballb1 r1 reference1 PD_motor1 Figura 4.5: Controlador PD paralelo realizado en simulink

73 4.1 Controlador PD Posición de la esfera Señal de salida -1 Posición Tiempo (ms) Figura 4.6: Salida del controlador PD paralelo Análisis de estabilidad del Control PD Configuración PD serial Para obtener la función de transferencia del sistema es necesario relacionar las ecuaciones diferenciales del modelo matemático de cada una de ellas, µ R m J m Rm B m θ + + K m θ = u (4.4) K m K g K m K g R En donde, mj R K mk g =,1176, mb R K mk g + K m =, Para el prototipo real mj K mk g =,1176, R mb K mk g + K m =, Obteniendo la transformada de Laplace de 4.4, u (s) =,58823sθ (s)+,1176s 2 θ (s) Donde la función de transferencia para el motor es θ (s) u (s) = 1,58823s +,1176s 2 La función de transferencia para el sistema barra-esfera, Consideramos primero la dinámica de la esfera rodando. La aceleración de la esfera está dada por la ecuación:

74 62 Control PD difuso para el sistema barra-esfera aceleración = mg sin α Donde α es el ángulo de inclinación de la viga y g es la aceleración gravitacional, esta ecuación se linealiza cerca de valores pequeños de α. Reescribiendo la ecuación con aceleración = r, r = mg sin α Cuando linealizamos cerca de valores pequeños de α obtenemos sin α α Quedando como r = mgα Aplicando la transformada de Laplace a s 2 r (s) sr () x () = mgα (s) donde las condiciones iniciales son iguales a cero r () =, r () =. Quedando como s 2 r (s) =mgα (s) r (s) α (s) = mg s 2 Donde r es la posición del balón a lo largo de la viga. Otra forma de ver el control derivativo es que de(t) representa la pendiente de e (t),el control PD es esencialmente un control dt anticipativo, esto es, al conocer la pendiente, el controlador puede anticipar la dirección del error y emplearla para controlar mejor el proceso. El control derivativo afecta el error en estado estable de un sistema sólo si el error en estado estable varía con el tiempo, si el error en estado estable de un sistema es constante con respecto al tiempo, la derivada con respecto al tiempo de este error es cero, y la porción derivativa del controlador no provee ninguna entrada al proceso. Por lo tanto el control PD para el sistema está dado por la siguiente función de transferencia, en su configuración serie. mostramos éste en términos de la función de transferencia. Los valores de m =5/7, g =9,8m/s 2

75 4.1 Controlador PD 63 Por lo tanto Los controladores PD del motor y de la esfera en configuración serie están dados en términos de la función de transferencia del motor u e θ = k pm + k dm s, G m = θ u = 1,58823s +,1176s 2 donde e θ = θ θ. Sustituyendo los valores del controlador PD del motor k pm =5,79,k dm =, El sistema en lazo cerrado: Para la esfera donde: er = r r. G o1 = e θ er = k pb + k db s, k pm + k dm s,58823s +,1176s 2 G o1 G 1 = 1+G o1 G b = r θ = mg s 2 G o2 = e θ θ mg =(k er e pb + k db s) G 1 θ s 2 Sustituyendo los valores del controlador PD para la esfera k pb =2,2,k db =,8, G(s) = G o2 1+G o2 = 35,424s +89,166,474s 4 +2,35292s 3 +23,4s 2 +32,424s +89,166 Las raíces que se obtienen son x 1 = 37,372, x 2 = 11,551, x 3 =, ,223i, x 4 =,5496 2,223i. Si observamos el denominador de la función de transferencia, utilizando el criterio de Ruth-Hurwitz, si todos los coeficientes del polinomio del denominador son positivos, entonces todas sus raíces serán negativas, por lo tanto el sistema es estable. Paralelo Uncontrolador PDensuconfiguración en paralelo que controla al sistema está dado por la siguiente ecuación u (x) =u PD1 + u PD2 *

76 64 Control PD difuso para el sistema barra-esfera G PD1 = u e θ = k p1 + k d1 s, G PD2 = k p2 + k d2 s, Donde: e θ = θ θ. Sustituyendo los valores del controlador PD del motor k pm =5,79,k dm =, k p1 + k d1 s G o3 =,58823s +,1176s 2 El primer subsistema es: G p1 = G o3 G b 1+G o3 k p2 + k d2 s mg G o4 = G PD2 G m G b =,58823s +,1176s 2 s 2 El segundo subsistema es: G p2 = G o4 1+G o4 donde las constantes son mg (K Dm + K Db )=,2 9,8(,22 +,8) = 1,99, mg (K Pm + K Pb )=,2 9,8(5,79 + 2,2) = 15,6. Por lo tanto la función de transferencia queda, 1,96 G (s) =G p1 + G p2 =,1176s 4 +,58823s 3 +1,99s +15,6 Tenemos las siguientes raíces, 5,765, 2,647, 1, ,86i, 1,352 2,86i. Por lo tanto el sistema es inestable al utilizar controladores PD en configuración paralelo, pues la parte real de las raíces al menos una de ellas es negativa. Este tipo de configuración muestra inestabilidad en el sistema barra-esfera. Si observamos el denominador de la función de transferencia, utilizando el criterio de Ruth-Hurwitz, si todos los coeficientes del polinomio del denominador son positivos, entonces todas sus raíces serán negativas, para este caso no lo cumple por lo tanto el sistema es inestable. Comentario 4.1 Para el controlador PID 1 G (s) =K P + K D s + K I s El orden del sistema en lazo cerrado podría ser de sexto orden, esto es más difícil de estabilizar. La ventaja del controlador PID es que puede hacer el error en estado estacionario cero, pero se podría utilizar un compensador difuso que tenga la función del integrador en el controlador PID.

77 4.2 Control difuso para el sistema barra-esfera 65 Base de reglas difusas Entrada Fuzificador Motor de inferencias difusas Defuzificador Salida Figura 4.7: Sistema difuso 4.2. Control difuso para el sistema barra-esfera Dentro del funcionamiento de los sistemas de control difuso, se pueden distinguir 3 partes fundamentales, una primera etapa de fuzificación de los valores de entrada, otra de evaluación de reglas de control difusas y una última de defuzificación, para obtener valores reales de salida, ver Fig. 4.7, La fuzificación de la entrada es el proceso por el cuál se cálcula el grado de pertenencia de uno ó varios de los conjuntos difusos en que se divide el rango de los posibles valores de dicha entrada. Para el ejemplo del sistema barra-esfera el estado r tendrá dos funciones de pertenencia, positivo y negativo al igual que el ángulo del motor θ, para sus respectivas velocidades ṙ y θ tendrán solo uno, çercano a cero". Cuando se trabajo con conjuntos difusos es necesario establecer funciones de pertenencia de los elementos a los diferentes conjuntos, lo cuál permite derminar, a partir del valor de un elemento su grado de pertenencia al conjunto, siendo éste un valor real normalizado entre (no pertenece en absoluto) y 1 (pertenece al 1 %), esta función se denota como µ (x),siendo x el valor del elemento. Las funciones de pertenencia deben definirse a partir de la experiencia ó la intuición ó simplemente utilizando el sentido común del diseñador, suelen tener forma triangular gaussiana o trapezoidal. La función de pertenencia gaussiana y triangular están dadas por, ver Figs. 4.8 y 4.9,

78 66 Control PD difuso para el sistema barra-esfera Figura 4.8: Función de pertenencia gaussiana Figura 4.9: Función de pertenencia triangular

79 4.2 Control difuso para el sistema barra-esfera 67 µ µ A l i (x i )=exp µ A l i (x i )= ( x i ˆx l i) σ l i 1 [ x i ˆx l i] σ l i 2 µ... 1 [ x n ˆx l n] σ l n xi ˆx l i <σ l i en otro caso donde, ˆx l i,σ l i son parámetros constantes, i =1, 2,..., n, l =1, 2,..., m Diseño de un control difuso vía conocimiento del experto Evaluación de las reglas de control. Para poder controlar el funcionamiento del sistema, debemos establecer una serie de reglas de la forma SI ENTONCES para indicar la acción a realizar en función del conjunto al que pertenece la entrada al sistema. Una vez establecidos los conjuntos, se pueden crear las reglas de control, como se menciono anteriormente estas reglas de control están basadas en la intuición, sentido común y experiencia (prueba y error). Las entradas al sistema son, la posición de la esfera en la viga r,suvelocidadṙ, la posición angular θ del motor, y su velocidad angular θ. y la única salida del sistema será la nueva posición de la esfera. en donde r = x 1, ṙ = x 2,θ= x 3, θ = x 4. R1 L, SI x 1 es positivo y x 2 está cerca de cero y x 3 es positivo y x 4 está cerca de cero, ENTONCES u es negativo R2 L, SI x 1 es positivo y x 2 está cerca de cero y x 3 es negativo y x 4 está cerca de cero, ENTONCES u es mayormente positivo R3 L, SI x 1 es negativo y x 2 está cerca de cero y x 3 es positivo y x 4 está cerca de cero, ENTONCES u es mayormente negativo R4 L, SI x 1 es negativo y x 2 está cerca de cero y x 3 es negativo y x 4 está cerca de cero, ENTONCES u es positivo Tomemos la regla R 1 como ejemplo, si la esfera se encuentra en una posición como lo muestra la figura 4.1, (lo cuál corresponde a la parte SI de la regla R 1 ), entonces se puede

80 68 Control PD difuso para el sistema barra-esfera r u theta Figura 4.1: Diagrama simple del sistema barra-esfera mover la barra tal que reduzca θ, esto es equivalente a decir que el control u es negativo, porque el control u es igual a la aceleración de θ. Defuzificación de las salidas. La defuzificación de las salidas consiste en obtener un valor numérico para cada una de las salidas del sistema a partir de los conjuntos difusos a los que pertenecen, la salida y del sistema barra-esfera será la nueva posición y = r. El fuzificador está definido como un mapeo de un punto de valor real x U R n a un conjunto difuso A en U. Entrelosfuzificadores más utilizados se encuentra el singletón, el gaussiano y el triangular. Definimos a continuación las funciones de pertenencia para el sistema, Dondelospositivosparax 1 es un conjunto difuso P 1 con función de pertenencia " µ # 2 (x1 c) µ P 1 (x 1 )=exp el negativo para x 1 es un conjunto difuso N1 con función de pertenencia " µ # 2 (x1 + c) µ N1 (x 1 )=exp σ 2 σ 2

81 4.2 Control difuso para el sistema barra-esfera 69 cerca de cero para ambos x 2 y x 4 es un conjunto difuso ZO con " µ # " 2 µ # 2 (x2 + c) (x4 + c) µ CZ (x 2 )=exp, µ CZ (x 4 )=exp el positivo para x 3 es un conjunto difuso P 3 con " µ # 2 (x3 c) µ P 3 (x 3 )=exp σ 2 el negativo para x 3 es un conjunto difuso N3 con función de pertenencia " µ # 2 (x3 + c) µ N3 (x 3 )=exp el positivo para u es un conjunto difuso Pu con " µ # 2 (u c) µ Pu (u) =exp el negativo para u es un conjunto difuso Nu con " µ # 2 (u + c) µ Nu (u) =exp el mayormente positivo para u es un conjunto difuso PBu con " µ # 2 (Bu c) µ PBu (u) =exp el mayormente negativo para u es un conjunto difuso NBu con " µ # 2 (Bu + c) µ NBu (u) =exp Mostramos la siguiente tabla con los valores respectivos de las constantes, para cada una de las funciones de pertenencia de los pares de entrada-salida utilizadas en la simulación, donde c, σ son equivalentes a ˆx l i,σ l i. σ 2 σ 2 σ 2 σ 2 σ 2 σ 2 σ 2

82 7 Control PD difuso para el sistema barra-esfera c σ µ P 1 (x 1 ) 2 2 µ N1 (x 1 ) 2 2 µ CZ (x 2 ) ±2 2 µ P 3 (x 3 ) π/32 π/32 µ N3 (x 3 ) π/32 π/32 µ CZ (x 4 ) ±,2 2 µ Pu (u),3,3 µ Nu (u),3,3 µ PBu (u),5,5 µ NBu (u),5,5 Operación difusa µ P 1 (x 1 ) µ CZ (x 2 ) µ P 3 (x 3 ) µ CZ (x 4 )=µ 1 (R 1 ) µ P 1 (x 1 ) µ CZ (x 2 ) µ N3 (x 3 ) µ CZ (x 4 )=µ 2 (R 2 ) µ N1 (x 1 ) µ CZ (x 2 ) µ P 3 (x 3 ) µ CZ (x 4 )=µ 3 (R3) µ N1 (x 1 ) µ CZ (x 2 ) µ P 3 (x 3 ) µ CZ (x 4 )=µ 4 (R 4 ) implicación Mamdani [µ P 1 (x 1 ) µ CZ (x 2 ) µ P 3 (x 3 ) µ CZ (x 4 )] µ Nu (u) [µ P 1 (x 1 ) µ CZ (x 2 ) µ N3 (x 3 ) µ CZ (x 4 )] µ PBu (u)

83 4.2 Control difuso para el sistema barra-esfera 71 [µ N1 (x 1 ) µ CZ (x 2 ) µ P 3 (x 3 ) µ CZ (x 4 )] µ NBu (u) [µ N1 (x 1 ) µ CZ (x 2 ) µ P 3 (x 3 ) µ CZ (x 4 )] µ Pu (u) Donde el defuzificador con centro promedio es, u DIF (x) = µ 1 (R 1 ) µ Nu (u)+µ 2 (R 2 ) µ PBu (u)+µ 3 (R3) µ NBu (u)+µ 4 (R 4 ) µ Pu (u) µ 1 (R 1 )+µ 2 (R 2 )+µ 3 (R3) + µ 4 (R 4 ) (4.5) Diseño de un control difuso vía tabla de búsqueda Para el diseño de un sistema difuso a partir de un esquema de tabla de búsqueda necesitamos obtener datos de los pares de entrada-salida del sistema, en nuestro caso podemos hacerlo utilizando el modelo del sistema ball and beam de simulink que está implementado con controladores PD y de los cuáles podemos conocer sus datos, con lo que podemos generar los pares de entrada-salida. t x ẋ θ θ u 1 2 5,7 58, ,28,3944,981 69,923 23,4198 3,721 1,7822 1,561 4,1962 1, ,9155,494,2235,1671, ,8762,2552,914,12,55 6,39,644,5,374,177 Paso 1. Definimos los conjuntos difusos que cubren espacio de entrada y salida, definiendo n conjuntos difusos (funciones de pertenencia), ver Fig. 4.11, para cada entrada ó salida y elegimos entre las diferentes formas que pueden tomar, triangular, gaussiana, etc.

84 72 Control PD difuso para el sistema barra-esfera Figura 4.11: Funciones de pertenencia gaussianas Paso 2. Del par de entrada-salida de la tabla de búsqueda generamos una regla, se generarán tantas reglas como pares de entrada-salida tenga la tabla. r POS Neg Ce PosG CE Ce Ce Ce NEG NegG Ce Pos POS CE NEG θ Paso 3 Determinamos el peso o grado de cada una de las reglas generadas, multiplicando entre ellas el valor de la función de pertenencia asignadas.

85 4.2 Control difuso para el sistema barra-esfera 73 r θ grado POS POS,98 POS CE,32 POS NEG,95 CE POS,25 CE CE,67 CE NEG,12 NEG POS,92 NEG CE,29 NEG NEG,91 Paso 4 Creamos la base de reglas, con todas las reglas generadas previamente, si existen reglas en conflicto (mismo antecedente, pero diferente antecedente) dejamos las de mayor peso y eliminamos las demás, las hacemos consistentes con el conocimiento o experiencia de un experto o por el conocimiento del funcionamiento del sistema. r θ u POS POS Neg POS NEG PosG NEG POS NegG NEG NEG Pos Paso 5 Construimos el sistema difuso en base al motor de inferencias (reglas difusas) y utilizando toda la información obtenida en los pasos anteriores. reglas difusas R j, SI x 1 está en A j 1 Y x n está en A j n ENTONCES y está en B j (1) Fuzzificador (singleton) ( 1 si x = x µ A (x) = otro caso

86 74 Control PD difuso para el sistema barra-esfera así que xi está en A j i µa j (x i ) i (2) operación difusa, (x 1 está en A j 1 Y x n está en A j n) ny i µ A j (x i ) i implicación Mamdani (motor de inferencia producto) ny i µ A j (x i ) µ i B j (y) (3)Defuzificador, supongamos que y j es el centro de B j, el peso de los l conjuntos difusos ny estádadopor, µ A j (x i ) µ i B j yj, y µb j yj =1(conjunto difuso normalizado), con el i centro promedio está dado por, y = à mx n! Y y j µ A j (x i ) i j=1 i à mx Y n j=1 i! (4.6) µ A j (x i ) i Para el diseño del sistema difuso establecemos fija su estructura, pudiendo modificar el conjunto de reglas lingüisticas. Comentario 4.2 Existen dos maneras de diseñar sistemas difusos: el primero es el diseño de sistemas difusos basado en el conocimiento del experto; en este método no es necesario conocer a profundidad el modelo matemático del sistema, únicamente se puede realizar con el conocimiento intuitivo del funcionamiento del sistema, el segundo método es el diseño de sistemas difusos basado en datos conocidos y a través de fijar la estructura del sistema difuso (fusificador, motor de inferencia, defusificador) con el cuál se va a trabajar, (4.5) y (4.6), se debe elegir el más conveniente según sea el caso..

87 4.3 Simulación del sistema en tiempo no real 75 y Posición de la esfera N R r Barra Pivote L mg sinθ α z Ángulo de inclinación De la barra guía F mg Engrane d θ Ángulo del engrane Motor Figura 4.12: Servomecanismo barra-esfera 4.3. Simulación del sistema en tiempo no real Se muestra el sistema barra-esfera con el que se pretende realizar la simulación en tiempo real y logre equilibrar la esfera en una posición deseada: ver Fig donde la planta del sistema está dado por las siguientes ecuaciones diferenciales: motor µ R m J m Rm B m θ + + K m θ = u K m K g K m K g barra-esfera 7 r r α 2 = g sin α 5 aproximación lineal de la relación de ángulos de la barra y el engrane del motor: θ =16α Controlador difuso puro Los motivos por los que se empieza a utilizar la lógica difusa en el diseño de controladores, se refieren sobre todo a su simplicidad, ya que no requiere constructores matemáticos complejos (no es preciso conocer la expresión algebraica exacta que gobierna el funcionamiento del sistema), permitiendo en cambio diseñar mediante la descripción del funcionamiento con

88 76 Control PD difuso para el sistema barra-esfera 15 x 113 Respuesta del sistema al controlador difuso Señal de referencia Señal del sistema 1 Posición Tiempo (ms) Figura 4.13: Respuesta del sistema lenguaje natural y facilitando también las tareas de prueba y mantenimeinto del sistema. Otras características de los sistemas difusos son su mayor suavidad en el control en el caso de sistemas convencionales y su posible combinación con tecnologías clásicas ya establecidas como son redes neuronales, controladores PD, PID. Pappis y Mamdani (1977) mostraron que un controlador difuso conseguía tiempos de espera menores que si se usaba otro tipo de controlador convencional (PID), ver Fig.?? y4.13. Sin embargo como se observa en la figura 4.13, para un controlador difuso con únicamente 4 reglas lingüisticas de control para el sistema barra-esfera, no resulta suficiente para poder estabilizar a dicho sistema, es necesario agregar más reglas, el número de reglas necesarios para tal objetivo se desconoce, la única manera de saberlo es añadiendolas y simularlo, pues no existe un criterio que nos diga, con que número de reglas lingüisticas para cierto tipo de sistemas funcionará de manera correcta. Existen algunos métodos de diseño para implementar controladores difusos pero no nos garantiza que logren controlar al sistema.

89 4.3 Simulación del sistema en tiempo no real 77.5 x 133 Inestabilidad de la señal de salida Señal de referencia Señal del sistema Posición Tiempo (ms) Figura 4.14: Señal de salida del sistema PD-Difuso Por lo tanto el control difuso para el sistema está dado por, u (x) =u DIF motor (x)+u DIFesfera (x) Controlador PD-difuso Para que un sistema pueda conservar características de estabilidad, El controlador difuso debe de tener un número suficiente de reglas tal que pueda regular el balon del origen a una cierta región dada, pero en particular este sistema en lazo cerrado es inestable, esto nos da la idea de añadir en paralelo al controlador difuso ³ un controlador clásico PD, que toma precisamente el vector de entradas del sistema x = r, ṙ, θ, θ y las suma con un factor de.5 al controlador difuso que presenta una ganancia de.5, sin embargo este controlador hybrido compuesto por un controlador clásico PD que controla el 5 % al sistema y un controlador difuso controla el otro 5 % del sistema,no logra estabilizar el sistema, ver Fig

90 78 Control PD difuso para el sistema barra-esfera Posición de la esfera Señal de salida Posición Tiempo (ms) Figura 4.15: Salida del controlador PD-Difuso Por lo tanto el control PD-difuso para el sistema está dado por, u (x) = 1u 2 PD (x)+ 1u 2 DIF (x) u PD (x) =u PDmotor (x)+u PDesfera (x) u DIF (x) =u DIF motor (x)+u DIFesfera (x) Cambiamos nuevamente los parámetros de las ganancias de los controladores, pero conservando la estructura del controlador PD-difuso y observamos que efectivamente con estas nuevas ganancias logra estabilizar el sistema, ver Fig. 4.15: Por lo que el control total del sistema estabilizado, esta dado por la siguiente ecuación. u (x) =(,1) u PD (x)+(,9) u DIF (x) Como se ha descrito anteriormente (Cap. I) cada regla tiene asociada una función de pertenencia. Las funciones de pertenencia de las partes SI de las reglas R 1 R 4 fueron determinadas basados en el significado del término lingüistico; los parámetros de la parte ENTONCES de las funciones de pertenencia fueron determinados por el sentido común de

91 4.3 Simulación del sistema en tiempo no real 79 Figura 4.16: Funciones de pertenencia gaussianas en las entradas y triangular en la salida como controlar la esfera en ciertas regiones de la barra y cuál sería el control más adecuado para ello. Las funciones de pertenencia más utilizadas en el diseño de sistemas difusos son la triangular, gaussiana y trapezoidal, en general es preferible usar funciones de pertenencia simples, debido a que simplifican muchos cálculos y no pierden exactitud (debido a que precisamente se está definiendo un concepto difuso), donde la función de pertenencia triangular muestra una característica particular, de ser matemáticamente sencilla, mientras que la función de pertenencia gaussiana, muestra una función más suave. Utilizamos entonces estos dos tipos de funciones de pertenencia para la fuzificación de las entradas y defuzificación de las salidas del controlador difuso para el sistema barra-esfera, ver Fig. 4.16, Para el primer caso, las funciones de pertenencia de la parte SI de las reglas lingüisticas son gaussianas, mientras que las funciones de pertenencia de la parte ENTONCES son triangulares. Obteniendo las siguientes respuestas, ver Fig. 4.17: Sin ruido

92 8 Control PD difuso para el sistema barra-esfera Comparación de la respuesta del sistema con la señal de referencia Señal de referencia Respuesta del sistema Respuesta del modelo del sistema Señal de referencia Salida del sistema Posición Posición Tiempo (ms) Tiempo (ms) Figura 4.17: Respuesta del sistema a una entrada escalón Para el segundo caso, las funciones de pertenencia de la parte SI de las reglas lingüisticas son triangulares, mientras que las funciones de pertenencia de la parte ENTONCES son gaussianas. Podemos observar que ambas se comportan de manera muy similar, no influyendo demasiado, para este sistema en particular el tipo de funciones de pertencia utilizados en los pares de entrada-salida del controlador difuso. Funciones de pertenencia utilizadas en el segundo caso, donde se emplearon funciones de pertenencia triangulares en la entrada y gaussianas en la salida, ver Fig. 4.18, Para que el modelo del sistema simulado sea lo más representativo posible con respecto al sistema real, añadimos cierto nivel de ruido a la variable de estado r, que nos representa la posición de la esfera, el ruido afecta directamente la posición de la esfera al no permitirle terminar en la posición deseada, pese al control PD-difuso previamente implementado, ver Fig. 4.19, Observamos que el sistema con ruido (figura izquierda), presenta un cierto margen de error con respecto a un sistema libre de ruido (figura derecha). La señal libre de ruido se

93 4.3 Simulación del sistema en tiempo no real 81 Figura 4.18: Funciones de pertenencia triangulares en la entrada y gaussianas en la salida M u x anim bb Target Position Constant -1 S w i t c h M u x A n im a tio n Target Position (M ouse-driven) -C - Scope Variable Initialization Scope1 Ball-Beam Dynam ics Scope3 Scope2 M u x Band-Lim ited W hite Noise1.9 K dfuzzy Logic Controller1 r* alpha r PD_ball.1 K d 1 phi U dphi PD_m otor1 Figura 4.19: Control PD y difuso en configuración paralelo

94 82 Control PD difuso para el sistema barra-esfera Respuesta del sistema Señal de referencia Señal del sistema 1 Posición Tiempo (ms) Figura 4.2: Respuesta del sistema con ruido acerca lo sufiente a la señal deseada donde el error no está presente, como lo es, el caso ideal, ver Fig Por lo que el control total del sistema estabilizado con cierto nivel de ruido, esta dado por la siguiente ecuación. 7 r r α 2 = g sin α + δ 5 donde, δ representa el nivel de ruido añadido al sistema, este nivel de ruido está presente em ambos controlados, PD y en el controlador difuso en la misma proporción.

95 Capítulo 5 Aplicación en tiempo real Los sistemas de tiempo real se caracterizan porque sus acciones se ejecutan en intervalos de tiempo bien definidos, un sistema en tiempo real interacciona repetidamente con su entorno, responde a los estìmulos que recibe del mismo dentro de un plazo de tiempo determinado. Este tipo de sistemas aparecen en la realización de sistemas de control, sistemas de comunicaciones y, en general, en todo tipo de aplicaciones en los que interviene las computadoras y en las que se hace necesaria una sincronización estricta de sus actividades con un sistema externo que tiene su propia dinámica. Los sistemas en tiempo real ejecutan tareas, que son conjuntos de acciones relacionadas, las acciones se caracterizan por sus instantes de activaciòn y sus respuestas. El tiempo ejecución se debe garantizar incluso en situaciones de sobrecarga transitoria, por lo que el comportamiento de estos sistemas debe ser determinista, para que el funcionamiento del sistema sea correcto no basta con que las acciones sean correctas, si no que tienen que ejecutarse dentro del intervalo de tiempo especificado. Todos estos sistemas tienen algo en común, están íntimamente ligados a otros sistemas con los cuáles se relacionan continuamente intercambiando diversos tipos de información y efectuando sobre ellos funciones de control. En otras palabras, podemos considerar la existencia de un único sistema formado por otros dos subsistemas, a saber, el sistema controlado o entorno y el sistema de control. El sistema controlado cuenta con una dinámica propia, es decir, con cierto esquema que

96 84 Aplicación en tiempo real describe no sólo los distintos eventos a producirse en él sino también la forma o secuencia según la cual éstos se irán produciendo y las relaciones existentes entre cada uno de ellos. Este esquema se halla normalmente caracterizado por intervalos de tiempo más o menos bien definidosentreloseventos. Los sistemas de control son de naturaleza más flexible pudiéndose implementar diversos esquemas sobre diversos soportes, los cuales pueden ir desde un hardware microcontrolador dedicado, hasta una P.C. de aplicación general. Nuevamente, el aspecto a tener en cuenta es quenosolamente importaelcorrectofuncionamiento lógico, en términos de proporcionar un valor correcto a partir del estado de las variablesdeentrada,sinoprincipalmentequedichos resultados sean entregados. a tiempo". Como resulta evidente, la dinámica de los sistemas controlados no puede ser substancialmente modificada. Consecuentemente, otras alternativas deben ser implementadas, en el sistema de control, con miras a satisfacer todos los requerimientos tanto funcionales como temporales y evitar que el comportamiento global del sistema evolucione hacia valores incorrectos o indeseables. La presencia de requisitos temporales hace que la construcción de los sistemas de tiempo real sea mucho más difícil y complicada, principalmente porque la mayoría de los métodos y herramientas utilizados para la construcción de sistemas convencionales no contemplan tales restricciones, características en los sistemas de tiempo real. Tarjeta: La tarjeta de adquisición de datos es la RT-DAC4/PCI, es una tarjeta multifuncional analógica y digital de I/O dedicada a la adquisición de datos en tiempo real y control bajo un ambiente windows 95/98/NT/2, la tarjeta utiliza un bus PCI y soporta operaciones en tiempo real aún con los retardos causados por windows, algunas de sus características para entradas analógicas son: 16 canales sencillos multiplexados, resolución de12 bits, rango de entrada ±1V, ganancias programables de ( 1, 2, 4, 8, 16)

97 85 Conectores Digitales I/O I/O digitales, PWM Decodificadores, interrupciones Convertidor A/D Ganancias programables 16 canales Mux A/D XILINX FPGA Puente PCI PLX Convertidor D/A Selección De rango ch ch3 Buffers D/A PCI Bus Figura 5.1: Diagrama a bloques de la tarjeta RT-DAC4/PCI Tiempo de conversión 1,6 µs, el voltaje de referencia se encuentra en la misma tarjeta, ver Fig para salidas analógicas: 4 canales, resolución de12 bits, rango de salida +1V, 1V (polares), ±1V (bipolar), voltaje de referencia en la tarjeta Entradas y salidas digitales: 32 Canales bidireccionales, se direccionan individualmente via software, Voltaje de entrada para niveles altos V IH =2,V a 3,6V,pranivelesbajos V IL =,5V a,8v, voltaje de salida: V OH =2,4V (min), V OL =,4V (max), corriente de salida en el rango de 2mA a 24mA por canal. Para el software: incluye un soporte que permite iniciar pruebas a la tarjeta bajo windows 95/98/NT/2, la tarjeta es compatible con el software RT-CON en tiempo real, la tarjeta contiene multiplexores de entrada analógicos conectadas a 16 canales de entrada analógicos, el rango de voltajes es bipolar ±1 Latarjetaestáequipadaconunconvertidor A/Dde12 bits de aproximaciones sucesivas

98 86 Aplicación en tiempo real que entrega una resolución de 5mV con un rango de entrada de ±1V,eltiempodeconversión del convertidor A/D de la tarjeta RT-DAC4/PCI es igual a 1,6µs La tarjeta contiene cuatro convertidores D/A de 12 bits, conectado a cuatro canales de salida analógicos, los canales pueden ser configurados por hardware, cada canal de salida analógica puede entregar hasta 1mA, existen 32 lineas digitales de I/O en la tarjeta RT- DAC4/PCI, las direcciones pueden ser configuradas independientemente, diferentes versiones de la tarjeta operan a diferentes frecuencias, típicamente MHz. La tarjeta RT-DAC4/PCI está equipada con convertidores A/D paralelos de 12 bits, el control del convertidor A/D es realizada por offset de I/O 164, la bandera de findeconversión (EOC) está accesible en el offset 164, los resultados de la conversión A/D están disponibles en el offset 168 de I/O. La tarjeta RT-DAC4/PCI contiene cuatro canales del convertidor A/D de 12 bits, amplificador de la tarjeta La tarjeta RT-DAC4/PCI incluye una ganancia (programable por software) del amplificador que puede ser configurado para obtener ganancias de voltaje de 1,2,4,8 y 16 para niveles bajos y altos de señales de entrada analógicas. motor : La posición inicial del motor, se toma como cero cuando el ángulo θ =, se encuentra limitada en el rango de 8, 8 grados, sin embargo se debe hacer notar que para el sistema linealizado los ángulos θ serán pequeños, la posiciòn delmotor está dado en rad/s. esfera : La viga ó barra sobre el cuál se desplaza la esfera tiene una longitud de 4 cm, donde el centro de la barra se toma como cero, por lo tanto la posición máxima positiva es 2 y la posición mínima es cero,para la parte negativa se comporta de manera similar la parte menos negativa se encuentra cerca de cero y la parte más positiva se encuentra en -2.

99 5.1 Filtros Filtros Filtros continuos Cualquier combinación de elementos pasivos (R, L y C) diseñados para dejar pasar una serie de frecuencias y atenuar otras, se denominan filtros. En los sistemas de comunicaciones (audio, control, etc) se emplean filtros para dejar pasar solo las frecuencias que contengan la información deseada y eliminar las restantes (las cuáles serán consideradas como ruido). Los filtros son usados para dejar pasar solamente las frecuencias que pudieran resultar ser de alguna utilidad y eliminar cualquier tipo de interferencia o ruido ajeno a ellas. Existen dos tipos de filtros, Filtros Pasivos, son aquellos tipos de filtros formados por combinaciones serie o paralelo de elementos resistivos, capacitivos ó inductivos, representados por sus respectivas iniciales R, C ó L. Los filtros activos son aquellos que emplean dispositivos activos, por ejemplo los transistoresolosamplificadores operacionales, junto con elementos R, C, L. En general se tienen los siguientes tipos de filtros, tanto pasivos como activos, Pasa bajas, Pasa altas, Pasa bandas y elimina banda. Filtros paso bajo, sólo permite el paso de las frecuencias inferiores a una determinada fc (frecuencia de corte). Las frecuencias superiores resultan atenuadas. Filtro paso alto, deja pasar las frecuencias superiores a una determinada fc, atenuando las inferiores. Filtro pasabanda, permite el paso de las frecuencias situadas dentro de una banda delimitada por una frecuencia de corte inferior y otra superior. Las frecuencias que están fuera de esta banda son atenuadas. Filtro de rechazo de banda, permite el paso de las frecuencias que se encuentren fuera de la banda delimitada por dos frecuencias de corte, atenuando las que se encuentren dentro de la banda. Para cada uno de estos filtros existen dos zonas principales las cuales son llamadas Banda de paso y la banda de atenuación ó rechazo.

100 88 Aplicación en tiempo real R Vin C Vout Figura 5.2: Filtro pasa bajas pasivo En la banda de paso, es donde las frecuencias pasan con un máximo de su valor, o hasta un valor de 7.71 % con respecto a su señal de entrada original. En términos de decibeles es de 3 db. Filtro pasa bajas, Es el primer filtro que se tiene, su funcionamiento es a base de una resistencia y un capacitor, este filtro tiene la siguiente configuración, ver Fig. 5.2, Su funcionamiento es el siguiente. El capacitor se comporta como una resistencia dependiente de la frecuencia por la relación de, 1 R c = C (2π) f Al crecer la frecuencia, el voltaje de salida disminuye y con ella disminuye la ganancia de voltaje del sistema, entre más alta la frecuencia mayor será la atenuación. Es decir, para frecuencias muy bajas el capacitor (por la regla de división de voltaje) al ser una resistencia muy alta, consume todo el voltaje, si se conecta la salida en paralelo al capacitor se tendrá el máximo de voltaje a la salida. Conforme aumentemos la frecuencia de la fuente el capacitor disminuye su impedancia, con lo que el voltaje que disipa disminuye, hasta tender a cero, ver Fig. 5.3, Aplicando las leyes de Kirchhoff para el análisis de mallas, V in = µ R + 1 jωc i, V out = i jωc

101 5.1 Filtros 89 Vin Vout=Vin/ 2 f fc Frecuencias atenuadas Figura 5.3: Frecuencia de corte del filtro pasa bajas La ganancia de voltaje del filtro está dado por, V out V in = 1 jωc R + 1 jωc = 1 jωc (R +1) 1 donde G (jω) =. Se denomina fc frecuencia de corte del filtro,alvalorfc que 2 (ωcr) 2 +1 hace que el voltaje de salida V out sea igual a 1 2 del voltaje de entrada V in.,la frecuencia de corte se define como el punto de V out =,771V in, para que el filtro actúe como un filtro pasa bajas, es necesario diseñar la resistencia y el capacitor de tal manera que cumpla con la ecuación, V out = 1 V in 2 donde fc = 1. 2πRC Filtro Pasa-altas, Este es el segundo de los filtros pasivo, el único cambio que presenta es la conexión de la salida, la cual en vez de tomarse del capacitor se toma de la resistencia lo cual nos provoca que en vez de dejar pasar las frecuencia bajas pasen las frecuencias altas, ver Fig. 5.4, Cuando la frecuencia es demasiado baja, el voltaje se consume casi en su totalidad en el capacitor, el cual se comporta como una impedancia de valor muy alto, por lo que en la salida no se tiene casi voltaje, cuando la frecuencia aplicada es aumentada se tiene que el

102 9 Aplicación en tiempo real C Vin R Vout Figura 5.4: Filtro pasa altas pasivo Vin Vout=Vin/ 2 fc Frecuencias atenuadas Figura 5.5: Frecuencia de corte del filtro pasa altas valor de la impedancia representada por el capacitor disminuye hasta que casi no consume voltaje, y la mayoría del voltaje se tiene a la salida, ver Fig. 5.5, Aplicando las leyes de Kirchhoff, a las mallas de entrada y salida, se obtienen las ecuaciones, µ V in = R + 1 i jωc donde V out = ir. La ganancia de voltaje producida por el filtro es, V out V in = R R + 1 jωc = jωcr 1+jωCR Al crecer la frecuencia, el voltaje de salida crece hasta alcanzar el valor de V in para f =, porlotantoparaqueelfiltro actúe como un filtro pasa altas, es necesario diseñar la

103 5.1 Filtros 91 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura 5.6: Diagrama de Bode del filtro pasa bajas resistencia y el capacitor de tal manera que cumpaln con, V out V in = 1 2 Con una frecuencia de corte, ω c = 1 RC Diseño del filtro pasobajos utilizando Bode (respuesta en frecuencia de sistemas LTI) de 1,2 Matlab, g=tf([1.2],[1,1.5]); bode(g). Transfer function es. Ver Fig s+1, Filtros discretos Como su nombre lo indica, un filtro intenta separar componentes de una señal de acuerdo con algún criterio, por ejemplo eliminar el ruido de una señal, existen dos tipos de filtros discretos, los filtros FIR (respuesta al impulso finita) y los IIR (respuesta al impulso infinita). Para ambos tipos hay dos partes distintas en el diseño, por un lado, el problema de la aproximación, donde el objetivo consiste en aproximarse a las características del filtro deseado en la medida de lo posible, y por otro, el problema de la realización, donde se realiza

104 92 Aplicación en tiempo real la función del sistema empleando hardware o software. En el problema de diseño del filtro la etapa de aproximación se puede dividir en cuatro partes relacionadas, Elegir una respuesta ideal deseada, normalmente en el domino de la frecuencia. Elegir un tipo de filtro permitido (una longitud L para un FIR). Elegir la medida o el criterio de aproximación. Desarrollar un método para encontrar el mejor filtro de un grupo de acuerdo con el criterio de aproximación. Debido al desarrollo en la teoría de filtros analógicos en el momento en el que los filtros discretos comenzaron a ser de interés, los primeros filtros discretos IIR se basaban en transformaciones a partir de filtros analógicos IIR. En cambio, el diseño de filtros FIR siempre fue realizado en el dominio discreto. Puede ser importante utilizar filtros FIR si la fase ha de ser necesariamente lineal. En otro caso, la elección no está tan clara. Los filtros IIR, cuya respuesta al impulso tiene duración infinita, ofrecen una mayor versatilidad debido a la realimentación existente, de la que carecen los filtros FIR. Dicha realimentación es también la causante de problemas presentes en este tipo de filtros y que no tienen los filtros FIR, como puede ser la estabilidad. Así, el diseño de un filtro IIR pasa por diseñar los coeficientes de la ecuación en diferencias. Diseño de un filtro pasabajas. Filtro pasabajas de primer orden, cuya función de transferencia es de la forma, G(s) = α s + α y la frecuencia de corte f la siguiente expresión, esta dada por, f = α. En el dominio del tiempo esta dado por 2π y t + αy t = αu t y puede ser aproximado por, donde δ es el sampling time. y t y t δ δ + αy t = αu t

105 5.1 Filtros 93 Amplitud (Volts) Señal de posición de la esfera, sin filtro y con filtro Señal con ruido Señal filtrada Amplitud (Volts) Tiempo (s) Señal filtrada Tiempo (s) Figura 5.7: Filtrado de la señal de posición de la esfera Filtrando la señal de posición del motor Para el experimento real consideramos las siguientes constantes, α =7, δ =,1. Al implementar este filtro a nuestra señal de salida del sistema real obtenemos lo siguiente, ver Fig Reducimos el nivel de ruido cuya frecuencia es mucho mayor que la frecuencia de la señal deseada, nuestra señal se ve mucho más limpia. Filtrando la señal de posición de la esfera Uno de los principales problemas a los que se enfrentan los diferentes tipos de control (PD, difuso) son los niveles de ruido (principalmente blanco) que se presentan en la señal de interés de un sistema al trabajar en tiempo real. Existe una manera de atenuar los niveles de ruido en la señal para poder disminuir los

106 94 Aplicación en tiempo real Posición del motor Señal de salida Posición Tiempo (ms) Figura 5.8: Filtro de la señal de posición de la esfera posibles errores de medición, un método es implementar filtros (en este caso filtros digitales), estós filtros tienen asociados una función de transferencia, las cuáles nos dan la frecuencia de corte del mismo. Este ruido proviene al desplazarse la esfera a lo largo de la viga y la resistencia que de alguna manera mediante el conocimiento de su impedancia nos da la posición de la esfera. Esta resistencia se encuentra a lo largo de toda la viga e introduce ciertos niveles de distorsión. Mostramos las señales obtenidas al aplicar diferentes tipos de filtro en la señal de salida delsistema,elcuálserefiere a la posición de la esfera en la viga. Función de transferencia para el filtro del motor, ver Fig H mot (s) = 1. s+1 Con una señal constante de entrada de 1.4 y con la esfera incluida en la viga, proponemos las siguientes funciones de transferencia que describen un filtro pasa altasy que atenuaran los niveles de ruido en la posición de la esfera, H esf (s) =,7. Tenemos las siguiente respuesta, s+,7 ver Fig Con una señal constante de entrada de 15, uno más que los anteriores y una función de transferencia, para la posición de la esfera, H esf (s) = 15, ver Fig s+15 Como podemos observar esta última presenta mejores características que las anteriores, pues el nivel de ruido presentado en el pico de la señal han disminuido considerablemente con respecto a la primera gráfica. El filtro para la posición del motor no se cambió, se conservarón sus valores originales.

107 5.1 Filtros Posición de la esfera Señal sin filtro Señal con filtro 4 2 Posición Tiempo (ms) Figura 5.9: Filtro a la señal de posición de la esfera 8 6 Posición de la esfera Señal sin filtro Señal con filtro 4 2 Posición Tiempo (ms) Figura 5.1: Señal de salida de la posición de la esfera

108 96 Aplicación en tiempo real 5.2. Calibración del prototipo Barra-esfera Calibración del motor El motor de corriente directa (cd) recibe un voltaje de entrada de hasta ±12 Volts.proveniente de un amplificador operacional de potencia reconfigurable (puede configurarse como sumador, inversor, buffer,etc.),enestecasodebeconfigurarse como inversor, la máxima corriente que entrega el amplificador es de 3 amp, donde la entrada al amplificador operacional es una señal digital y cuya salida entra al motor de cd, donde se encuentra un sensor angular que permite obtener la posición del motor y un sensor lineal en la barra que nos permite obtener la posición de la esfera. Para obtener la calibración de los dos sensores se proponen las siguientes dos ecuaciones: x = av x + b donde x es la posición de la esfera a lo largo de la viga a, b son constantes, es decir, la posición lineal de la esfera está multiplicada por una ganancia mas (ó menos) una constante, que sería el nivel de offset. Para el ángulo del motor: θ = cv θ + d donde θ es la posición angular del motor, medida en radianes, c, d son constantes, es decir, la posición angular del motor está multiplicada por una ganancia (puede ser negativa ó positiva) más una constante.[27] Configuración de la posición angular del motor El motor que permite modificar el ángulo de la esfera está conectado a una caja de engranes a razón de 15 : 1, lasalidadelacajadeengranesestáconectadoaunengrane pequeño de,5,elcuálcontrolaunomásgrandede2,5, lo cuál se traduce en una reducción

109 5.2 Calibración del prototipo Barra-esfera 97 9 Error mecánico -9 Figura 5.11: Error mecánico de Posición de la velocidad angular a razón de 5, 1, pero en un aumento en el torque, donde la salida del engrane final del motor es de 75 : 1. En condiciones ideales el peso de la esfera, la viga y del brazo que están unidas a el engrane no influyen en que el motor logre posicionar la viga en una posición perfectamente horizontal, donde el ángulo α =. De igual manera, en condiciones ideales la distancia entre lasmuescasdelengrane(partemecánica)noinfluyen para que el motor pueda alcanzar una posición exacta previamente determinada. Sin embargo en la práctica, donde las condiciones ideales no existen, el peso de la esfera, la viga y del brazo, aunado a la separación entre las muescas de los engranes, proporcionan un pequeño error, ver Fig. 5.11, Cuando la esfera se encuentra cerca del extremo derecho, como se observa en la figura, la posición de la esfera en equilibrio se encuentra aproximadamente en el valor 5,6, como podemos observarlo en las gráficas, si la esfera se encuentra en una posición más a la derecha (viéndola de frente) este valor puede llegar hasta +6, ver Fig. 5.12, Para cuando la esfera se encuentra aproximadamente a la mitad de la viga se obtiene, ver Fig. 5.13, 5.14, y cuando la esfera se encuentra en la parte izquierda de la viga su valor es de 6 como

110 98 Aplicación en tiempo real 7 6 Posición de la esfera Señal sin filtrar Señal filtrada 5 4 Posición Tiempo (ms) Figura 5.12: Posición de la esfera.3.2 Posición de la esfera Señal sin filtro Señal con filtro.1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.13: Posición de la esfera

111 5.2 Calibración del prototipo Barra-esfera 99 1 Posición de la esfera Señal sin filtro Señal con filtro -1-2 Posición Tiempo (ms) Figura 5.14: Posición de la esfera podemos observar, Donde para estas figuras, el eje x representa el tiempo en ms y el eje y, la posición de la esfera Como se ha demostrado en las gráficas la posición inicial θ =puede no ser la correcta por las circunstancias previamente mencionadas, siendo entonces el ángulo θ de salida, θ out = θ real ± 6 conunmargendeerrorde±6, donde+6 es el valor máximo y 6 es el valor mínimo. Zona muerta de motor En la Figura 5.15 se observa el esquema de la targeta RT-DAC de adquisición de datos, se muestra la configuración de los pines de las entradas y salidas analógicas, para para tratar de cancelar el efecto de la zona muerta en las salidas analógicas (donde el sistema del motor no puede responder) y la señal de salida del sistema no presente discontinuidades, es decir, sea continua para todo tiempo, es necesario tratar de cancelar este efecto, esto se logra al implementar un bloque inverso a la zona muerta, mostrado a continuación:

112 1 Aplicación en tiempo real 1 torque inversa de la zona muerta zero Zona muerta RT-DAC PCI Analog Outputs emu -1 Gain1 1 ball RT-DAC Analog Inputs 2 motor.4 Constant Figura 5.15: Diagrama de la tarjeta de adquisición

113 5.2 Calibración del prototipo Barra-esfera Posición de la esfera Señal sin filtro Señal con filtro.6.4 Posición Tiempo (ms) Figura 5.16: Zona muerta en la posición del motor Paracuandoselleguealazonamuertalaseñalserácerosinembardoconlacancelación de la zona muerta, este bloque le asignará cierto valor a la señal de salida, podemos escribirlo como ZD out = ZD + IZD, pudiendo presentar a la salida cierto valor diferentes de cero. Donde ZD out es la señal de salida, ZD es el valor de cero por estar en la zona muerta, IZD es la asignación de un valor diferente de cero. Si alimentamos al modelo de simulink una señal constante de.5, el motor del prototipo que modifica el ángulo de la viga no responde, ver Fig. 5.16, esto se debe al peso ó carga que soporta el eje del motor, la carga de la viga que está soportando y como carece de un compensador esto forma una zona muerta, es decir, una zona en la cuál el motor no funciona, empieza a trabajar aproximadamente cuando se le alimenta con.76 Volts de amplitud, sin colocarle la esfera en la viga, podemos observar su respuesta, ver Fig. 5.17, Lo mismo sucede con una constante de -.76, observamos la gráfica de la posición de la esfera, ver Fig. 5.18,

114 12 Aplicación en tiempo real 6 4 Respuesta del sistema Señal sin filtro Señal con filtro 2 Posicion Tiempo (ms) Figura 5.17: Valor mínimo para salir de la zona muerta 6 4 Respuesta del sistema Señal sin filtro señal con filtro 2 Posición Tiempo (ms) Figura 5.18: Valor mínimo para salir de la zona muerta, sentido negativo

115 5.2 Calibración del prototipo Barra-esfera Posición de la esfera Señal sin filtro Señal con filtro 4 2 Posición Tiempo (ms) Figura 5.19: valor mínimo para salir de la zona muerta con carga Por lo tanto podemos concluir que existe una zona muerta que oscila entre los valores, u + =,75, u =,75 Podemos comentar que esta zona muerta (zona en la que el motor no responde a cierta potencia de una señal de entrada) se debe al peso de la viga, más el peso del brazo que une la viga con el engrane grande y de alguna forma también el peso del engrane (más el peso de la esfera), todos estos componentes por efecto de la gravedad proporcionan una carga (peso) para el motor y se le dificultaoperarsila"potencia"delaseñaldeentradanoessuficiente para poder compensar de manera adecuada este peso. Como no hemos considerado hasta ahora el peso de la esfera, vamos a colocarla en el prototipo y determinaremos la zona muerta con la esfera incluida, por razonamiento lógico podemos adelantar que la constante debe ser mucho mayor a las pruebas ya realizadas, debido simplemente que al añadir la esfera añadimos mas carga al motor, por lo tanto es de esperarse que la "potencia"de entrada de la señal debe ser mucho mayor a las encontradas previamente, ver Fig. 5.19,

116 14 Aplicación en tiempo real 6 4 Posición de la esfera Señal sin filtro Señal con filtro 2 Posición Tiempo (ms) Figura 5.2: para valores negativos Para una constante con valor positivo que logra vencer la carga del motor, u + =1,4 Para valores negativos, ver Fig Con u =1,2 El brazo que une al engrane final del motor con la viga, debe iniciar en la posición cero (donde la viga se encuentra en posición horizontal, es decir θ =), y a partir de ahí iniciar con los cambios de los valores positivos ó negativos. Sin embargo cuando este engrane final empieza a variar (moverse) al no tener un compensador que le proporcione una ganancia extra para cancelar el peso del brazo, la viga y la esfera, este brazo paulatinamente va tendiendo a colocarse en la parte inferior del engrane (en la posición 9 ) y de ahí ejecutar sus cambios. es por eso que en algunas figuras por ejemplo una señal senoidal que empieza en como su eje, termina su eje en 3, casi siempre en un valor negativo por lo mencionado previamente que 9 se encuentra en la parte más baja del engrane, ver Fig. 5.21,

117 5.2 Calibración del prototipo Barra-esfera Figura 5.21: La gravedad afecta la posición angular del motor + Positivo Negativo - r theta Figura 5.22: Notación en la configuración barra-esfera Calibración de la esfera Del manual de Quanser consulting la configuración de la posición de la esfera a lo largo delaviga,setomaelcentrocomoelceroylapartederecha(vistadefrente)comolaparte positiva, mientras que la izquierda es la parte negativa. Sin embargo para que tenga un razonamiento lógico, cuando θ el ángulo de la viga con respecto a la horizontal aumente, por conveniencia deseamos que r la posición de la esfera en la viga también lo haga, para lograr esto, es necesario cambiar la manera en como se toma la posición de la esfera, es decir, el centro de la viga denotado por seguirásiendolamitad,sinembargoparacumplirconlo anterior, ahora la parte más positiva de la viga sera el extremo izquierdo, mientras que la parte más negativa será el extremo derecho, de esta manera cuando más aumenta θ, más aumenta r,, ver Fig Entonces la posición de la esfera final está dada por, r out = r real (5.1)

118 16 Aplicación en tiempo real 4 3 Señal senoidal de entrada Señal de entrada 2 Amplitud (V) Tiempo (ms) Figura 5.23: Señal real de entrada Sin embargo esto no es del todo cierto, cuando probamos el prototipo, en este caso una señal senoidal con una amplitud de 4 V y una frecuencia de 1 Hertz, ver Fig. 5.23, La señal de salida de la posición r de la esfera del prototipo es, ver Fig. 5.24, Lo que indica que en terminos de amplitud, la salida del sistema real presenta una diferencia de 1 Volt con respecto a una señal de entrada, en este caso de 4 Volt, Por lo tanto la posición real de la esfera del prototipo según la ec. 5.1 queda finalmente como, r out = r real 1, r out = (r real +1) (5.2) 5.3. Construcción de un modelo simulink en tiempo real. El prototipo barra-esfera se encuentra en el laboratorio de estudios experimentales del departamento de control automático, donde se realizarán las pruebas en tiempo real. El prototipo se encuentra debidamente instalado y conectado. para poder abrir un archivo de simulink y poder interfazarlo con el sistema se sigue una serie de pasos.

119 5.3 Construcción de un modelo simulink en tiempo real Señal de salida del prototipo Señal con ruido Señal con filtro -1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.24: Señal de salida real atenuada Se ejecuta el programa de Matlab, se añade el directorio de interés y se abre el archivo de simulink con el cuál se quiere trabajar, este archivo de prueba Test presenta tres opciones, Start, Stop y Remove. 1.- La opción Start le indica al programa que empieze la simulación en tiempo real. 1. a) Para que un programa se ejecute en tiempo real necesita primero ser construido, para el ejemplo del programa Test, nos vamos al menú Simulation y elejimos Simulation parameters, dentro de este menú nos aparece un nuevo submenú, de las cuáles elejimos Real-time Workshop, dentro de sus opciones Category elejimos Target configuratión y a continuación tecleamos el botón Build. El Matlab empieza a generar y a convertir el archivo de simulink en código C, utiliza también en este proceso el software RT-CON. b) Después de esto es necesario volver al programa prueba Test y en el menú Simulatión elejimos la opción connect to target y matlab ya esta conectada a la tarjeta a través del software RTWT (Real Time Windows Target). c) podemos entonces encender el módulo de potencia de la tarjeta y empezar con las

120 18 Aplicación en tiempo real simulaciones en tiempo real del programa prueba Test, pues ya tiene disponible la opción ejecutar, que previo a estos pasos no se encuentra disponible y no se puede ejecutar el modelo de simulink (si se quiere hacerlo en tiempo real). Es recomendable prender al último la fuente de potencia para que datos basura no afecten el comportamiento inicial del sistema. 2.- La opción Stop le indica al programa que termine la simulación en tiempo real, del modelo (programa) construido bajo los pasos ya mencionados. 3.- La opción Remove (remover la opción Build), es utilizada después de ejecutar la opción Stop y se encarga de remover el programa que se construyo previamente para ejecutarse en tiempo real, ya sea que el archivo en uso de simulink necesite ser modificado, y para que estos cambios puedan ser ejecutados en tiempo real es necesario removerlo y volverlo a construir ó por que se quiera ejecutar un nuevo programa en tiempo real ó para salirse completamente de la simulación en tiempo real, se cierran los modelos en simulink y se apaga la fuente de poder del prototipo Control PD difuso Controlador PD sin compensador Como se ha estado mencionando, cuando se realizan los experimentos en el sistema real, se presenta el efecto de la fuerza de gravedad al agregar la esfera al prototipo, está fuerza no estaba contemplada en la simulación, es decir, el peso de la esfera afectará el comportamiento del sistema, de manera directa afecta la posición angular del motor pues añade más peso (carga) y el motor necesita realizar más trabajo para llevar a la viga a una posición deseada, esto cae en que el motor necesitará de una entrada de voltaje más grande (comparándolo con el sistema cuando no tiene la esfera) para poder cumplir con su objetivo, se muestra el controlador PD serial sin compensador:

121 5.4 Control PD difuso 19 ball torque 7 s+7 filter2 control.7 s+.7 filter3 Error position of ball motor Ball & Beam 1 s+1 filter1 position of motor phi torque phi* PD_motor Saturation r phi* r* PD_ball Manual Switch reference start stop remove 1 Constant Figura 5.25: Controlador PD sin ganancia µ u = k pm (θ θ )+k dm θ θ ³ α = k pb (r r)+k db r r Mostramos entonces el diagrama en simulink que presenta un controlador PD tanto para el control de posición del motor como de la esfera, estos dos tipos de controladores no presentan una compensación (ganancia) para cancelar el efecto de la gravedad en el aumento de carga del motor, ver Fig. 5.25, A la salida del controlador PD de la esfera presenta una saturación de ±1, elcuállimita la velocidad del motor que deseamos se mantenga pequeña. La respuesta que nos presenta el sistema sin compensador y los niveles de error que puede alcanzar con respecto a la señal de referencia son los siguientes, ver Fig. 5.26, Error medio cuadrático sin compensador, con una señal de entrada cuadrada y una amplitud de 2 Volts con una frecuencia de.2 hertz, ver Fig. 5.27, Podemos hacer notar que el nivel de error es considerable al no utilizar un compensador, pues su valor oscila en ±1, esto puede afectar en que la esfera aunque si se estabilice en cierta

122 11 Aplicación en tiempo real 3 2 Posición de la esfera Señal de la esfera Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.26: Niveles de error en la señal 5 4 Señal de error Señal de salida 3 Magnitud Tiempo (ms) Figura 5.27: Error medio cuadrático

123 5.4 Control PD difuso phi 2 phi* 2.2 Kp du/dt Derivative1.1 Kd 1 torque 3 r du/dt.4 Derivative2 Mux Fuzzy Logic Controller1 2 Kd1 2 fuzzy Constant du/dt Derivative3 4 r1 5 r*.1 Kp1 du/dt.1 Derivative4 Kd2 Figura 5.28: Controlador PD-difuso región, no podrá llegar exactamente a la posición deseada pues presentará un nivel de error considerable, como puede observarse gráficamente. El control PD en configuración paralela para el sistema barra-esfera está dado por: u = K ³ h ³ i k pm α k dm α + k pb (r r)+k db r r (5.3) donde r y α se calculan al derivar el bloque de simulink: r t r t r t+δ δ δ es una constante positiva pequeña. Se muestra el controlador PD-Difuso en configuración paralela: ver Fig. 5.28

124 112 Aplicación en tiempo real 1 phi 2 phi* 2 Kp du/dt Derivative1.1 Kd 1 torque 3 r -.1*cos(u(1)/16)*(.17*(6+u(2))+1.5) Fcn Figura 5.29: Controlador con compensador Controlador PD con compensador µ u = k pm (θ θ θ )+k dm θ + π ³ α = k pb (r r)+k db r r donde π es el término compensador de la gravedad mgr + L 2 Mg sin α µ θ π =,17 (6 + r),15 cos 16 El siguiente diagrama nos muestra el modelo del sistema en simulink con el compensador para tratar de disminuir el error de posición de la esfera, a causa de la gravedad, ver Fig Mostramos las gráficas obtenidas y observamos los niveles de error para una señal de entrada cuadrada y una amplitud de 2 Volts con una frecuencia de.2 Hertz, ver Fig. 5.3, Podemos observar que el compensador disminuyo considerablemente el nivel de error que presentaba el sistema, ver Fig. 5.31, Se muestran las gráficas del controlador PD con compensador cuando es afectado por alguna perturbación externa: ver Fig. 5.32

125 5.4 Control PD difuso Posición de la esfera Señal de salida Señal de referencia -.5 Posición Tiempo (ms) Figura 5.3: Níveles mínimos de error Señal de error Señal de salida Magnitud Tiempo (ms) Figura 5.31: Señal de error

126 114 Aplicación en tiempo real 3 2 Posición de la esfera Salida del sistema Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.32: Perturbación externa El compensador que se utilizó se localiza en el bloque del controlador PD del motor y es el siguiente, ver Fig. 5.33, El compensador se escogío de tal forma que cancela el efecto de la gravedad de la esfera, así como el peso de la barra y se toma también en cuenta la relación de los ángulos α y θ α = 16 θ, esta relación que guarda el ángulo de la barra, con el ángulo del engrane del motor, las velocidades traslacionales de la esfera así como las velocidades rotacionales del motor se considerarón muy pequeñas y se aproximaron a cero, pudiendo ser canceladas. El hecho de escoger este compensador tiene su justificación en el análisis de estabilidad del sistema barra-esfera linealizado que se realizó posteriormente, y que efectivamente demuestra ser estable Controlador PD con compensador difuso Se utiliza un control PD-difuso: µ u = k pm (θ θ θ )+k dm θ + π ³ α = k pb (r r)+k db r r

127 5.4 Control PD difuso phi 2 phi* 2 Kp du/dt Derivative1.1 Kd 1 torque 3 r -.1*cos(u(1)/16)*(.17*(6+u(2))+1.5) Fcn Figura 5.33: Controlador PD con compensador donde el compensador está dado por 5.4: π = à mx n! Y y j µ A j (x i ) i j=1 i à mx Y n! (5.4) µ A j (x i ) i j=1 i el controlador difuso a utilizar presenta la siguiente estructura: fusificador singleton, motor de inferencia producto y defusificador centro promedio, el diseño del controlador sigue los pasos del método diseño de un controlador difuso vía conocimiento del experto, el cuál será añadido a los controladores PD ya existentes en el modelo. Este compensador difuso disminuirá los efectos de la gravedad sobre el sistema, reduciendo el error de posición de la esfera pudiéndolo colocar en una posición más precisa que los anteriores controladores sin el término compensación. donde: x i = θ, r, θ, r T

128 116 Aplicación en tiempo real start stop remove ball torque 7 s+7 filter2.7 s+.7 filter3 position of ball motor Ball & Beam 1 s+1 filter1 position of motor phi torque phi* phi* r r* fuzzy fuzzy r PD_motor Saturation PD_ball reference Figura 5.34: Sistema en tiempo real con el controlador difuso En configuración serie Se analizará el controlador difuso para el sistema barra-esfera en tiempo real en configuración serie, es decir, el controlador PD-difuso que controla el motor y el control PD de la esfera se encuentran en cascada, observamos la respuesta que presenta el siguiente sistema, ver Fig. 5.34, El controlador PD que controla la posición de la esfera presenta una ganancia proporcional y derivativa de.1, con una saturación a la salida de ±1; Dentro del bloque del controlador PD para la posición del motor (el cuál consta de un control difuso y un control PD clásico en configuración paralela),el controlador difuso presenta una ganancia de 2, y el controlador PD clásico tiene una ganancia proporcional de 2 y una ganancia derivativa de.1, ver Fig. 5.35, Mostramos la respuesta que presenta la posición del motor y la posición de la esfera, ver Fig y 5.37, La posición del motor muestra un error de aproximadamente.1, al comparar la señal de entrada con respecto a la señal de control. Para la posición de la esfera, se puede notar en la figura 5.38, que después de un periodo de tiempo significativamente grande con respecto a un control PD clásico logra estabilizarse

129 5.4 Control PD difuso phi 2 phi* 2 Kp du/dt Derivative1.1 Kd 1 torque 3 r du/dt Derivative2 Mux 2 2 fuzzy.4 Constant du/dt Fuzzy Logic Controller1 Kd1 Derivative3 Figura 5.35: Controlador PD y controlador difuso.4.2 Posición del motor Salida del sistema Señal de referencia Posición Tiempo (ms) Figura 5.36: Posiciòn del motor con el controlador difuso

130 118 Aplicación en tiempo real 3 2 Posición de la esfera Salida del sistema Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.37: Posición de la esfera con el control difuso y colocar a la esfera en su nueva posición. Si modificamos la ganancia del controlador difuso se incrementa el error, sin embargo el tiempo en que se estabiliza es pequeño. Si modificamos esta ganancia a 3, observamos que se presenta el mismo error, ver Fig Si quitamos el control difuso obtenemos un error más grande, ver Fig Si ponemos el control difuso y quitamos el control PD del motor, el sistema no logra posicionar a la esfera, cae permanentemente en una zona muerta. Si aumentamos la ganancia proporcional del motor demasiado se presentan oscilaciones más grandes en el estado estacionario. y si es muy pequeña menor a 1.4 no logra mover a la esfera. Perturbaciones en la posición de la esfera en configuración serie: ver Fig Perturbaciones en la posición del motor en configuración serie: ver Fig En configuración paralela Se mostrará el análisis del mismo sistema, pero la configuración de los controladores será paralela, el controlador PD del posicionamiento de la esfera se encuentra en paralelo con

131 5.4 Control PD difuso Posición de la esfera Señal de salida Señal de referencia -.5 Posición Tiempo (ms) Figura 5.38: Modificando la ganancia del controlador difuso 3 2 Posición de la esfera Salida del sistema Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.39: Modificando la ganancia del controlador difuso

132 12 Aplicación en tiempo real 3 2 Posición de la esfera Señal de posición Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.4: Control PD, suprimiendo el control difuso 3 2 Posición de la esfera Salida del sistema Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.41: Perturbación externa en la esfera

133 5.4 Control PD difuso Posición del motor Salida del motor Señal de control Posición Tiempo (ms) Figura 5.42: Perturbaciones en la posición del motor el controlador para el motor, dentro del control del motor, consta de un control difuso en paralelo con un control PD clásico, se muestra el diagrama del sistema en simulink, ver Fig Seobservaenlasiguientefigura el control PD clásico en paralelo con el control difuso, ver Fig La respuesta del sistema mediante esta configuración presenta algunos errores mínimos, sin dejar de estabilizar al sistema, los datos son similares a exepción del control PD del motor donde su ganancia proporcional es de 2.2 y su ganancia derivativa es de.1, ver Fig. 5.45, Observamos la respuesta del sistema al quitar el control PD difuso, ver Fig El error en estado estable aumenta considerablemente, pero el sistema permanece estable, si dejamos únicamente el control difuso y los controladores PD igual a cero el sistema es inestable, ya que el control difuso no logra estabilizar el sistema con únicamente cuatro reglas lingüisticas. de igual manera si alguno de los controladores PD es cero, no es posible controlar el sistema. Posición de la esfera con perturbaciones en configuración paralela ver Fig. 5.47

134 122 Aplicación en tiempo real ball torque 7 s+7 filter2.7 s+.7 filter3 position of ball motor Ball & Beam 1 s+1 filter1 position of motor phi torque phi* Constant reference fuzzy r r1 f uzzy r* PD_motor start stop remove Figura 5.43: Controlador PD y difuso en configuración paralela 1 phi 2 phi* 2.2 Kp du/dt Derivative1.1 Kd 1 torque 3 r du/dt.4 Derivative2 Mux Fuzzy Logic Controller1 2 Kd1 2 fuzzy Constant du/dt Derivative3 4 r1 5 r*.1 Kp1 du/dt.1 Derivative4 Kd2 Figura 5.44: Controladores PD y difusos en configuración paralela

135 5.4 Control PD difuso Posición de la esfera Salida del sistema Señal de referencia 2 Posición Tiempo (ms) Figura 5.45: Configuración del control en paralelo 4 3 Posición de la esfera Salida del sistema Señal de referencia 2 Posición Tiempo (ms) Figura 5.46: Sin el control difuso

136 124 Aplicación en tiempo real 3 2 Posición de la esfera con perturbaciones Salida del sistema Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.47: Perturbaciones externas, para el sistema en configuración paralela Perturbación en la posición del motor ver Fig Análisis del controlador difuso en tiempo real Saturación y pequeñas ganancias Muchos de los dispositivos mecánicos ó eléctricos presentan ciertas restricciones en sus niveles de entrada que puedan aceptar, para protegerse de sobre cargas que lleve al mal funcionamiento o en su defecto que inhabiliten a dicho dispositivo, también como una medida de seguridad el operador no debe. a limentar"de más a estos dispositivos debe de establecer un margen y respetarlo, en el diseño de sistemas de control en simulink existe un operador conocido como saturación que nos permite restringir el nivel de cierta señal de entrada a un dispositivo, a pesar que su fuente entrege o se encuentre fuera de los límites establecidos. Esto ayuda a controlar los niveles de entrada de la señal con los que se desea trabajar. El controlador PD de la esfera presenta un operador de saturación a la salida, el cuál restringe la salida de la señal a niveles de ±1, donde esta señal limitada entra al controlador PD del

137 5.5 Análisis del controlador difuso en tiempo real Posición del motor Salida del sistema Señal de referencia -.2 Posición Tiempo (ms) Figura 5.48: Perturbación en la señal del motor motor como la variable velocidad, en este caso se está teniendo un control en los niveles de velocidad angular en las cuáles el motor trabajará. Mostramos el sistema, con una señal de entrada cuadrada a una frecuencia de.1 Hertz y una amplitud de 2 Volts, ver Fig. 5.49, Con un una ganancia proporcional de 2 en el controlador PD del motor, una saturación de ±1 en θ (velocidad angular) a la entrada del mismo controlador, obtenemos un error en estado estable de.57, ver Fig. 5.5, con un error medio cuadrático, ver Fig. 5.51, donde también podemos observar la posición del motor, ver Fig. 5.52, Si observamos el error en estado estacionario de la señal de referencia con respecto a la señal de salida del sistema podemos notar que existe un error de aproximadamente.6, modificamos entonces la ganancia proporcional del controlador PD_motor y analizamos los resultados, respetando todos los datos anteriores del sistema pero modificando la ganancia proporcional del motor a kp=.8 obtenemos, ver Fig. 5.53, Podemos observar que el error en estado estacionario aumento a.85 aproximadamente, y el tiempo para que logre estabilizarse también aumento, la posición del motor se conserva,

138 126 Aplicación en tiempo real ball torque 7 s+7 filter2 control.7 s+.7 filter3 Error position of ball motor Ball & Beam 1 s+1 filter1 position of motor phi torque phi* PD_motor Saturation r phi* r* PD_ball Manual Switch reference start stop remove 1 Constant Figura 5.49: Saturación de la señal 3 2 Posición de la esfera Salida del sistema Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.5: Error de la señal en estado estable

139 5.5 Análisis del controlador difuso en tiempo real Señal de error 4 3 Magnitud Tiempo (ms) Figura 5.51: Error medio cuadrático en estado estable.4.2 Posición del motor Señal de salida Señal de referencia -.2 Posición Tiempo (ms) Figura 5.52: Posiciòn del motor

140 128 Aplicación en tiempo real 3 2 Posición de la esfera Señal del sistema Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.53: Ajuste del controlador PD y el error medio cuadrático, ver Fig. 5.54, Aumentamos la ganancia proporcional a 3.5 conservando las demás características y obtenemos un error en estado estable de.55, ver Fig. 5.55, y el error medio cuadrático, ver Fig., Si conservamos una ganancia proporcinal para el motor de 2 y cambiamos los límites de la saturación a ±2 de la velocidad angular del motor obtenemos, ver Fig. 5.57, con un error en estado estacionario de.78, y modificando este nivel de saturación a ±,5 obtenemos, ver Fig. 5.58, con un error en estado estacionario de.65. Podemos concluir entonces que entre más pequeño sea la ganancia proprocional del control PD del motor, más grande será el error en estado estacionario que presente la posición de la esfera, hacer notar también que el tiempo en estado transitorio es mayor a pequeñas ganancias del controlador proporcional del PD del motor. De igual manera si modificamos (restringimos con la saturación) los límites de la velocidad angular del motor es posible también disminuir el error en estado estacionario. Pues con esto se le está indicando al motor

141 5.5 Análisis del controlador difuso en tiempo real Señal de error 4 3 Magnitud Tiempo (ms) Figura 5.54: Señal de error 3 2 Posición de la esfera Salida del sistema Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.55: Error en estado estacionario

142 13 Aplicación en tiempo real 5 4 Señal de error Señal de salida 3 Magnitud Tiempo (ms) Figura 5.56: Error en estado estacionario 3 2 Posición de la esfera Salida del sistema Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.57: Ajuste de parámetros

143 5.5 Análisis del controlador difuso en tiempo real Posición de la esfera Salida del sistema Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.58: Nivel de saturación modificada que su velocidad angular debe ser pequeña al no poder sobre pasar un límite determinado dándole más control a la vel. angular que presenta el motor Vibraciones En la mayoría de los sistemas de control, el tiempo es la variable independiente y es de nuestro interés evaluar las respuestas del estado y la salida con respecto al tiempo. En el problema de análisis, una señal de entrada de referencia se aplica al sistema, y el desempeño del sistema se evalúa al estudiar la respuesta del sistema en el dominio del tiempo, si el objetivo de control es hacer que la variable de salida siga a la señal de entrada, a partir de algún tiempo inicial y algunas condiciones iniciales, es necesario comparar la entrada y la respuesta a la salida como funciones del tiempo, es por esto, que en la mayoría de los sistemas de control, la evaluación final del desempeño de un sistema se basa en las respuestas en el tiempo. Cuando se realiza el diseño de un sistema de control y se mide su respuesta en función del tiempo, se divede normalmente en dos partes, una de las características inherentes al

144 132 Aplicación en tiempo real.5 Posición de la esfera Señal de posición Señal de referencia Posición Tiempo (ms) Figura 5.59: Respuesta del sistema sistema es que presenta un estado transitorio, es decir un estado en el que la señal presenta algunas oscilaciones en cierto intervalo de tiempo y después logre estabilizarse entrando al estado estacionario, entonces sea y (t) la salida total del sistema podemos escribirlo como, y (t) =y t (t)+y (t) ee en donde, y t (t) indica la respuesta transitoria; y (t) ee indica la respuesta en estado estable. En sistemas de control, la respuesta transitoria está definida como la parte de la respuesta en el tiempo que tiende a cero, cuando el tiempo se hace muy grande. De aqui que y t (t) tiene la propiedad de lim y t (t) =. t La respuesta en estado estable, es la parte de la respuesta total que permanece después que la transitoria ha desaparecido, ver Fig Para los terminos de vibración nos enfocaremos a la parte transitoria de la señal y verificaremos el tiempo que tarda con diferentes controladores PD para el motor, conservamos las características anteriores de la señal modificando k p =1,5, k D =1, de dicho controlador. con la posición del motor, ver Fig. 5.6, Podemos hacer notar que con estas modificaciones la respuesta transitoria de la posición

145 5.5 Análisis del controlador difuso en tiempo real Posición del motor Señal de referencia Salida del sistema.1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.6: Duración de la vibración en la señal de la esfera disminuye, es decir, el tiempo en que la respuesta del sistema logra estabilizarse es menor comparado con la ganancia derivativa de.1 que tenía previamente, sin embargo un efecto colateral es que el error de posición del motor que no había presentado ningún problema ahora presenta cierto nivel de error. si aumentamos la ganancia derivativa k D =2 disminuimos el tiempo del estado transitorio del sistema, sin embargo aumentamos el error de posición angular presente en el motor, ver Fig. 5.61, Observamos como el error de posición angular del motor aumenta, ver Fig. 5.62, Observamos los resultados obtenidos con una k P =1,5 yunak D =,1, ver Fig. 5.63, Posición del motor, ver Fig. 5.64, Podemos concluir entones, que si aumentamos la ganancia derivativa del controlador PD del motor, disminuye el tiempo del estado transitorio del sistema, es más pequeño, es decir, se estabiliza más rápido, sin embargo presenta un error más grande en la posición angular del motor. Por lo tanto debe de haber un compromiso entre dichos parámetros ya sea si se desea menor tiempo transitorio o menor error en la posición del motor.

146 134 Aplicación en tiempo real.5 Posición de la esfera Señal de posición Señal de referencia Posición Tiempo (ms) Figura5.61:Tiempoenlarespuestatransitoria Posición del motor Señal del sistema Señal de entrada -.1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.62: Niveles de error en la posiciòn del motor

147 5.5 Análisis del controlador difuso en tiempo real Posición de la esfera Señal del sistema Señal de referencia 1 Posición Tiempo (ms) Figura 5.63: Modificando las ganancias.4.2 Posición del motor Señal del motor Señal de referencia -.2 Posición Tiempo (ms) Figura 5.64: Error en la posiciòn del motor

148 136 Aplicación en tiempo real

149 Capítulo 6 Conclusiones Se realizó el modelo matemático del sistema con la relación de ángulos α = θ (donde 16 α es el ángulo de la barra) y para ángulos θ (del motor) pequeños que permite hacer la linealización θ sin(θ) sin presentar errores considerables. Este modelo matemático es más completo que los encontrados comúnmente en la literatura donde α = θ. Para el desarrollo del control difuso se utilizó la herramienta de interfaz gráfica de usuario (GUI) de simulink que permite establecer las funciones de pertenencia de las reglas que constan de la parte SI ydelaparteentonces, está interfaz permite desarrollar el control difuso para el sistema, y crear un bloque en simulink como controlador difuso. Existen dos métodos de desarrollo de sistemas difusos, el primer método utilizado es através del conocimiento del experto y el segundo método vía tabla de búsqueda con pares de datos conocidos. Para la aplicación en tiempo real de los modelos diseñados se utiliza el software Real Time Worchop (RTW), Real Time Windows Target (RTWT), Real Time Conecction (RT- Con),ylatarjetadeadquisicióndedatosRT-DAC4/PCI,Sehacenotarqueelcontrolador PD-Difuso presenta una buena señal de respuesta pues los niveles de error son mínimos, los niveles de ruido de la señal fueron reducidos con filtros digitales de primer orden. Aún con perturbaciones externas el control PD-Difuso es capaz de posicionar la esfera en una coordenada deseada. Así como la utilización de un kernel en tiempo real y la utilización

150 138 Conclusiones de una sola computadora para realizar la adquisición de datos la comunicación datos, la implementación en tiempo real del código simulink reduciendo costos de operación. Se Detectaron algunas de las fuentes de error que añaden cierto nivel de ruido al sistema. 1. El efecto de la gravedad sobre los componentes del sistema, en este caso sobre la viga, el brazo que une a la viga con el motor, el peso de la esfera y de los engranes acoplados al eje del motor. 2. Errores de posición debidos al diseño mecánico del sistema. 3. Perturbaciones externas debido a ruidos en la línea de alimentación y por vibraciones en la viga donde se desplaza la esfera debido a los movimientos del motor. 4. Por la exactitud de los parámetros obtenidos del manual del consulting, presenta cierto nivel de incertidumbre al no conocer que tan precisos son Como trabajo futuro se encuentran los siguientes puntos: Análisis de estabilidad del sistema no lineal barra-esfera en el sentido de Lyapunov, se demostrará la estabilidad del sistema no lineal con el método de Lyapunov Control PD con observador de velocidad, construir observadores que permitan obtener los valores de las variables del sistema, reduciendo los niveles de error en la señal de salida.

151 Apéndice A Sistema barra-esfera A.1. Sistema mecánico El sistema mecánico, ver Fig. B.2, consta de dos vigas paralelas de metal unidas en el extremo izquierdo por un pivote fijo y en el extremo derecho (visto de frente) unidos con una barra metálica la cual se encuentra unida al motor de CD, por lo tanto la viga puede modificar su ángulo. La esfera se desplazará por el riel formado por las vigas paralelas metálicas y en una viga se encuentra un potenciómetro variable que nos permite a través de la impedancia de la viga al desplazarse la esfera conocer su posición, es decir, el potenciómetro es un sensor lineal de posición, la viga tiene una longitud de 4.5 cm, tomándose el centro de la misma en 2 cm. Para poder modelar este sistema mecánico se puede descomponer en dos partes principales, el modelo del motor y el modelo de la esfera al desplazarse (sin deslizarse) sobre el riel, cuando este modifica su ángulo; el modelo del motor se divide en dos partes: el modelo del sistema eléctrico y la parte del sistema mecánico; para el modelo de la esfera deslizándose sobre el riel, se cálcula la energía potencial y la energía cinética para obtener el lagrangiano del sistema Los datos generados por la posición del motor y de la esfera se transmiten a la tarjeta de adquisición a través de sus canales de entrada, estos datos le permite a los controladores

152 14 Sistema barra-esfera Figura A.1: Fotografía del sistema barra-esfera ubicar a la esfera en su nueva posición. A.2. Sistema eléctrico La esfera y la viga en conjunto consisten de un diseño especial, la viga es de un material inoxidable que se mantiene muy limpio para que la esfera pueda rodar. A un lado de la viga hayunalambredeníquel cromofuncionandocomoresistorydelotroladohayunabarra de acero, cuando la esfera rueda a través de estos dos componentes se activa un dispositivo similar a un potenciómetro. La posición de la esfera a lo largo de la viga puede determinarse al medir el voltaje en el alambre de acero cuando el sensor de resistencia funciona correctamente. Las dos terminales del resistor van hacia fuera al conectarse en el bloque de soporte donde van conectados a una resistencia de 24 Ohm cada uno. Un cable conectado al alambre de acero está también conectado, manteniendo la esfera y el sensor limpios y libres. El dispositivo

153 A.2 Sistema eléctrico 141 BLACK RED YELLOW Motor position (CH1) 1K GREEN RED 7K 7K GREEN Plant SRV1 GND +12 GND -12 (-) (+) OUT GND Power Module PA-13 Control Input (CH) Figura A.2: Sistema eléctrico del prototipo barra - esfera se limpia utilizando un limpiador de contacto, nunca se debe utilizar agua para hacerlo. Los engranes proporcionan la estructura para ser usados con los mecanismos de la planta. Esto le permite al motor entregar el suficiente torque para incrementar el rango del ángulo con la cuál la barra pueda inclinarse y para reducir la velocidad de giro de la flecha del motor. Cuando entramos a la configuración podremos ver el diagrama mostrado en la figura A.2

154 142 Sistema barra-esfera

155 Apéndice B Sistema de Control El diagrama a bloques para el control del sistema en lazo cerrado se muestra a continuación:fig.b.1 Para el sistema barra-esfera los controladores 1 y 2, son controladores PD, este sistema resulta en uno de cuarto orden, este sistema en lazo cerrado controla la posición de la esfera en la barra y para el sistema de control anidado controla la posición angular del motor, es necesario que el sistema sea en lazo cerrado para que la posición del motor y la posición de la esfera se retroalimenten continuamente y que los controladores reduzcan al mínimo el error entre la señal de entrada del sistema y la señal de referencia, tanto para el motor como para la esfera. la entrada resulta en una señal de voltaje y la salida en la nueva posición del motor, al Entrada Control_2 Control_1 Modelo del Motor Modelo de la Esfera Salida Figura B.1: Configuración del sistema de control

156 144 Sistema de Control Figura B.2: Fotografía del prototipo barra - esfera ser este un problema de posición, la figura B.2 muestra el prototipo: B..1. A/D-D/A Latarjetaestáequipadaconunconvertidor A/Dde12 bits de aproximaciones sucesivas que entrega una resolución de 5mV con un rango de entrada de ±1V,eltiempodeconversión del convertidor A/D de la tarjeta RT-DAC4/PCI es igual a 1,6µs La tarjeta contiene cuatro convertidores D/A de 12 bits, conectado a cuatro canales de salida analógicos, los canales pueden ser configurados por hardware, cada canal de salida analógica puede entregar hasta 1mA, existen 32 lineas digitales de I/O en la tarjeta RT- DAC4/PCI, las direcciones pueden ser configuradas independientemente, diferentes versiones de la tarjeta operan a diferentes frecuencias, típicamente MHz. La tarjeta RT-DAC4/PCI está equipada con convertidores A/D paralelos de 12 bits, el control del convertidor A/D es realizada por offset de I/O 164, la bandera de findeconversión (EOC) está accesible en el offset 164, los resultados de la conversión A/D están disponibles en el offset 168 de I/O. La tarjeta RT-DAC4/PCI contiene cuatro canales del convertidor A/D de 12 bits. ver Fig. B.3

157 B.1 Amplificador de potencia 145 Figura B.3: Targeta A/D - D/A La siguiente figura ilustra el proceso de diseño del software y el rol que tiene el real time workshop, dentro del mismo: B.4 B.1. Amplificador de potencia La fuente de poder tiene las siguientes características: voltajedeentradade11/22 Volts, Voltaje pico < 1mV p p, Voltaje cd de salida ±12Volts, Máximacorrientedesalida3 Amperes Las características del amplificador operacional de potencia que alimentan al motor, que se encuentra dentro de la fuente de poder son: Máxima corriente de salida 3 Amp, Máxima potencia de salida 4 Watts, Ancho de banda 6Khz, Ancho de banda en pequeña señal 7Khz, Slewrate9V/microsec. El diagrama eléctrico es el siguientes: B.5 Los niveles de ruido inherentes al sistema afectan la medición de ciertas variables sin

158 146 Sistema de Control Figura B.4: Diseño y desarrollo del software Amplificador de potencia 12 V Canal, D/A - + Motor 7 K 1 K Sensor angular Canal, A/D 7 K Sensor lineal -12 V Canal 1, A/D -12 V V Figura B.5: Amplificador de potencia

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