1. A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos 2. A usar el Teorema de Tales, los Triángulos Semejantes y Teorema de Pitágoras

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1 Índice: Competencia I..15 Saberes 1. Conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. Tipos de líneas y ángulos 3. Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante Ejemplos 1. Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones. Como encontrar ángulos entre rectas paralelas Ejercicios 1. Poniendo letras y números en su lugar. Ángulos por todas partes 3. Ángulos entre paralelas Competencia II..4 Saberes 1. Generalidades de los Triángulos. Teoremas de importancia en los Triángulos Ejemplos 1. Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes. Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales y Pitágoras Ejercicios 1. A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos. A usar el Teorema de Tales, los Triángulos Semejantes y Teorema de Pitágoras Competencia III...68 Saberes 1. Generalidades de los polígonos. Circunferencia y círculo 3.Área y volumen de figuras geométricas Ejemplos 1. Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos

2 . Practicando con las circunferencias 3. Practicando con áreas y volúmenes Ejercicios 1. Miscelánea de ejercicios con polígonos. Miscelánea de ejercicios con circunferencias 3. A calcular áreas y volúmenes Competencia IV..103 Saberes 1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el triángulo rectángulo. Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones 3. Triángulos oblicuángulos 4. Identidades trigonométricas Ejemplos 1. Practicando con las funciones trigonométricas. A resolver y aplicar los triángulos rectángulos 3. Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos 4. Identidades trigonométricas Ejercicios 1. Ejercitándose con las funciones trigonométricas. Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos 3. Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y la Ley de Cosenos 4. Ejercitándose con las identidades trigonométricas Competencia V..150 Saberes 1. Ecuaciones Trigonométricas. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Ejemplos 1. Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas. Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejercicios 1. Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas. A practicar las ecuaciones exponenciales y logarítmicas

3 Competencia 1 Explicar los conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. Utilizar los distintos tipos de líneas, rectas, ángulos y pares de ángulos para la resolución de problemas prácticos. Saberes 1. Conceptos básicos de la Geometría Euclidiana.. Tipos de líneas y ángulos. 3. Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante. Ejemplos 1. Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones.. Como encontrar ángulos entre rectas paralelas. Ejercicios 1. Poniendo letras y números en su lugar.. Ángulos por todas partes 3. Ángulos entre paralelas. 15

4 ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar la simbología de un punto, líneas rectas, semirrectas, segmentos de recta, rectas perpendiculares y paralelas y ángulos. Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para interpretar un axioma, postulado, lema, teorema, corolario, razonamiento deductivo e inductivo. Maneja los conceptos y valores de los ángulos agudos, obtusos, rectos, llanos, ángulos complementarios y suplementarios. Domina el algoritmo para convertir de grados a radianes y viceversa. Aplica principios algebraicos y aritméticos para encontrar distintos tipos de ángulos en situaciones diversas. Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente, para la resolución de un problema dado en donde intervienen ángulos formados por rectas paralelas. Domina los conceptos fundamentales de la Geometría Euclidiana, así como aplica principios algebraicos y aritméticos para resolver problemas de geometría plana en diversas situaciones. 16

5 Saberes Nombre Conceptos básicos de la geometría Euclidiana No. 1 Instrucciones para el Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor alumno Conceptos de punto, línea, superficie, plano, proposición, Manera didáctica de Mediante exposición y tareas Saberes a adquirir axioma, postulado, lograrlos definición, lema, teorema corolario, razonamiento deductivo e inductivo. Punto. El concepto de punto es difícil de definir. Nos lo podemos imaginar como la huella que dejaría la punta infinitamente afilada de un lápiz. Hay que imaginarlo tan pequeño que carezca de dimensiones; es decir, que no posea longitud, ni ancho, ni fondo. Los puntos se designan con una letra mayúscula y se representan con un círculo pequeño o una cruz, como se puede observar en las siguientes figuras: A Se lee punto A B Se lee punto B Línea. Es un concepto matemático que tiene distintas acepciones. Podemos definirla como la "huella" que deja el desplazamiento de un punto, como el borde o limite de una superficie o como la intersección de dos superficies. La línea posee solo una dimensión: la longitud. Línea recta Línea curva Superficie. Para la geometría, la superficie es una extensión en la que solo se consideran dos dimensiones, el ancho y el largo. Por lo tanto se dice que la superficie es una variedad bidimensional. Algunos ejemplos pueden ser una sombra, la cara de un cuerpo geométrico (la pantalla de la televisión) o las paredes de una habitación (Véanse las figuras). 17

6 Superficies Plano. El plano, en geometría, es una superficie plana que contiene infinitos puntos y rectas (o sea que se le pueden trazar un infinito de rectas por los puntos que lo forman), es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Se dice que un plano se extiende hacia el infinito. PROPOSICIÓN, AXIOMA, POSTULADO, DEFINICIÓN, LEMA, TEOREMA Y COROLARIO Proposición matemática. Es un enunciado verdadero. Las proposiciones matemáticas se clasifican en axiomas, postulados, teoremas, corolarios y lemas. Axioma. Es una proposición de la cual hemos aceptado que su significado es verdadero, sin necesidad de demostrarse. Ejemplos: 1) Toda cantidad puede reemplazarse por su igual. ) Si a cantidades iguales se agregan o se quitan cantidades iguales, los resultados son iguales. 3) El todo es igual a la suma de sus partes. Postulado. En la actualidad se utilizan de manera indistinta las proposiciones, axiomas y postulados, cuyo significado hemos aceptado que es verdadero, sin embargo, es conveniente señalar que en matemáticas el axioma tiene aplicación general mientras que el postulado se aplica de manera particular, es decir, el axioma: el todo es mayor que cualquiera de sus partes, se puede aplicar en matemáticas de manera general; mientras el postulado: dos puntos determinan una recta y solo una, tiene aplicación en matemáticas de manera particular, en este caso en geometría. Ejemplos: 1. La recta es la distancia más corta entre dos puntos.. Toda figura puede hacerse cambiar de posición sin alterar su forma y dimensiones. 3. El punto medio de un segmento de recta es único. 18

7 Definición. Es una proposición que implica casi siempre una descripción o convención de algo. Ejemplos: 1. Ángulos opuestos por el vértice son aquellos en que los lados de uno son prolongaciones de los lados del otro.. Paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos. 3. Dos ángulos que suman son complementarios. Lema. Es una proposición que se establece y demuestra previo a la demostración de un teorema. Se puede decir que un lema es un teorema a partir del cual se facilita la demostración de otros teoremas. Teorema. Es una proposición sujeta a demostración, la cual se apoya en axiomas y lemas para su desarrollo. Ejemplos: 1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.. La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a dos rectos, es decir Los lados opuestos por un paralelogramo son iguales. 4. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él. Corolario. Es una proposición cuya validez se desprende de la validez de un teorema y, donde su demostración requiere un ligero razonamiento y en ocasiones ninguno. Del teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 se obtiene: Corolario 1: La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90. Corolario : Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos del otro, el tercer ángulo de uno es igual al tercer ángulo del otro. Razonamiento deductivo. Para realizar la demostración de proposiciones geométricas se utiliza el método deductivo, el cual consiste en el encadenamiento de conocimientos que se suponen que son verdaderos (axiomas y postulados) de tal manera que se obtengan nuevos conocimientos. El razonamiento deductivo, aplicado a la demostración del conocimiento matemático, es una herramienta muy importante, ya que la aceptación de una proposición como verdadera no puede basarse en la experimentación, pues ésta depende de las condiciones particulares en las que se realice; tampoco se puede basar en la observación, a causa de que la vista resulta engañosa; ni en la medición, porque el resultado de ella está ligado a la pericia de quien mide y a la precisión del instrumento utilizado. 19

8 A continuación se presenta un esquema de los elementos que integran la demostración geométrica: T E O R E M A D E M O S T R A C IO N G E O M E T R IC A F IG U R A H IP O T E S IS T E S IS R A Z O N A M IE N T O C O N C L U S IO N Ilu s tra la p ro p o s ic ió n q u e se d e s e a d e m o s tra r. S u p u e s to s q u e s e a c e p ta n c o m o v e rd a d e ro s y q u e s irv e n c o m o b a s e p ara e l ra z o n a m ie n to. E s lo q u e s e d e s e a d e m o s tra r. C o n ju n to d e a firm a c io n e s y ra z o n e s o rd e n a d a s ló g ic a m e n te y q u e re la c io n a n d o la h ip ó te s is c o n la te s is, p erm ite n la d e d u c c ió n d e lo q u e s e q u ie re d e m o s tra r. T e s is o p ro p o s ic ió n d e d u c id a m e d ia n te ra z o n am ie n to. Razonamiento inductivo El razonamiento es el proceso mediante el cual se sacan conclusiones a partir de la información. En ocasiones, la gente saca conclusiones basadas en sus propias observaciones. Al observar varias veces que una acción produce el mismo resultado, se concluye, en general, que esa acción tendrá siempre el mismo resultado. A esta clase de razonamiento se le llama razonamiento inductivo. Y a la conclusión que se saca del razonamiento inductivo se le llama generalización. Ejemplo: Supóngase que alguien cortó, de una hoja de papel, tres triángulos diferentes: Las esquinas de cada triángulo se cortaron y colocaron juntas tal como se muestran a continuación: Qué se observa acerca de la suma de las medidas de los ángulos?, Es cierto para todos los triángulos? Por lo tanto la generalización será: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, siempre da 180 0

9 Ejercicios Nombre Poniendo letras y números en su lugar No. 1 Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu profesor. Actitudes a formar Responsabilidad Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. desarrollar Manera didácticas Participación activa cuando surjan las respuestas ó dudas. de lograrlas 1. Examinar las proposiciones siguientes e identificar con una A si es axioma, una P si es postulado, una D si es definición o una T si es teorema: Si a cantidades iguales se suman cantidades iguales los resultados son iguales. ( ) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. ( ) El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. ( ) Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. ( ) Todo número es igual a sí mismo. ( ) Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales. ( ) Dos ángulos que suman son suplementarios. ( ) Dado un segmento, hay un punto y sólo uno que lo divide en dos partes iguales. ( ) En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales. ( ) Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-internos son iguales. ( ) Mediatriz de un segmento es la perpendicular trazada en su punto medio. ( ) Ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro del círculo. ( ). Indicar de que teorema es consecuencia inmediata cada corolario (un teorema puede tener más de un corolario). Teorema: a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180. ( ) b) Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. ( ) c) En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. ( ) Corolario: 1. Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto, ni más de un obtuso.. Todo triángulo equilátero tiene sus tres ángulos iguales. 3. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen respectivamente iguales sus catetos. 1

10 Saberes Nombre Tipos de líneas y ángulos No. Instrucciones para el alumno Analiza la información que se presenta en este apartado, y aplica tus principios aritméticos y algebraicos para representar ideas. Tipos de líneas: Rectas, semirrectas, Revisando la información, Saberes a adquirir segmentos de recta, Manera didáctica de realizando tareas y rectas paralelas, lograrlos participando perpendiculares y oblicuas. activamente en el grupo. RECTA. La línea recta se representa con una figura como la siguiente: A B El símbolo se lee recta AB. Las puntas de flecha indican que la figura se puede prolongar en ambos sentidos tanto como se quiera. La línea recta también se puede designar con una sola letra minúscula. m El símbolo se lee recta m SEMIRRECTA O RAYO. Una semirrecta se representa con una figura como la siguiente: O A El símbolo se lee rayo OA La figura indica que el rayo tiene su rigen en O, pasa por A en línea recta y se prolonga indefinidamente como indica la flecha. SEGMENTO DE RECTA. Un segmento de recta, o simplemente, un segmento se representa con una figura como la siguiente: m El símbolo se lee segmento AB". También se lee segmento m

11 TIPOS DE LÍNEAS Según la posición de una recta con respecto a otra, dos rectas pueden ser: perpendiculares, paralelas y oblicuas. Rectas perpendiculares. Si dos rectas al cruzarse formas ángulos rectos, se dice que son perpendiculares entre sí. C A B D Las rectas perpendiculares se representan de la siguiente manera AB CD. Rectas paralelas. Dos líneas rectas son paralelas, si se prolongan indefinidamente y nunca se cruzan. Las rectas paralelas se representan por un par de rayas verticales. A B Se lee AB paralela a CD C D Rectas oblicuas. Dos rectas que se cruzan sin formar ángulos rectos se llaman oblicuas, como se muestra en la figura: 3

12 ÁNGULOS Definición de ángulo: Se denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos semirrectas o rayos que parten de un punto común llamado vértice y las semirrectas o rayos reciben el nombre de lados del ángulo. Nomenclatura del ángulo: Para nombrar un ángulo se puede utilizar cualquiera de las formas siguientes: Formas de notación: a) o se lee ángulo a b) B o se lee ángulo B c) ABC se lee ángulo ABC d) CBA se lee ángulo CBA e) Cuando dos o más ángulos tienen el mismo vértice, el uso de una sola letra mayúscula para referirse a uno de ellos crea confusión, por ello, debe utilizarse la notación con tres letras mayúsculas, en la cual la letra del vértice va en medio. Ejemplo: En esta figura, es mejor denotar los tres ángulos posibles de la siguiente manera: ABC ABD DBC 4

13 Ángulo Agudo Ángulo Recto Ángulo Obtuso Es aquél cuya magnitud es menor que 90º Es aquél cuya magnitud es igual a 90º Es aquél cuya magnitud es mayor que 90º Ángulo Nulo Ángulo Llano Ángulo Cóncavo Ángulo Perigonal Es aquél cuya magnitud es igual a 0º Es aquél cuya magnitud es igual a 180º Es aquél cuya magnitud es mayor que 180º pero menor que 360º Es aquél cuya magnitud es igual a 360º Bisectriz de un ángulo: Es la semirrecta que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos partes iguales. La semirrecta VP es la bisectriz del ángulo MVN 5

14 PAREJA DE ÁNGULOS Ángulos adyacentes Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice. BAC es adyacente con DAC Ángulos opuestos por el vértice - Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 1 = y 3 = 4 Ángulos complementarios - Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90. El BAC es adyacente al DAC y viceversa. Ángulos suplementarios - Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180. El BAC es adyacente al DAC y viceversa. 6

15 UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS Medidas de ángulos. La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la apertura o separación que hay entre ellos, es decir, que dependen de la amplitud o separación que hay entre las dos rectas que lo forman. Medir un ángulo, es comparar su amplitud con la de otro al que se considera como patrón, los cuales utilizan como unidades de medición los grados sexagesimales ó los radianes. Sistema sexagesimal Este es el sistema más común, creado por los sumerios, basándose éstos en los 360 días del año, es decir que su unidad se obtiene al dividir la circunferencias en 360 partes iguales, cada una de las cuales, recibe el nombre de GRADOS. Esta circunferencia esta dividida en 360 partes ó 360 grados. Un grado entonces, es equivalente en fracción a quebrado a 1/360 de la circunferencia total, es decir, que un grado es igual a una de las 360 partes en las que se divide una circunferencia. Donde el grado se divide a su vez, en 60 minutos y éste en 60 segundos, representándose de la siguiente forma: Grados ( ), minuto ( ), segundo ( ) (1 grado = 60 minutos) (1 minuto = 60 segundos) 7

16 Sistema circular. La unidad utilizada en este sistema es el radian. Donde un radian, es el ángulo cuyas lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. A r r 0 1 radián r B Longitud del arco AB es igual al radio (r) de la circunferencia, AOB = 1 radian. Relación entre grados y radianes Se sabe que el radio ( r ) cabe 6.83 veces alrededor de la circunferencia, entonces, tenemos que: (ya que 1 radio = 1 radián; ) En conclusión, la fórmula que relaciona grados con radianes es:. Dividiendo todo entre obtenemos una relación equivalente: 8

17 Ejemplos Nombre Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones No. 1 Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre ángulos.. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a Manera didáctica Orden Exposición y preguntas sobre el tema formar de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. 1. Cambiar las siguientes cantidades dadas en grados, a radianes: (Para cambiar de grados a radianes, se multiplica el ángulo por el factor ). a) b) Solución: a) b) Nota: Si no sabes usar bien tu calculadora, pregúntale a tu profesor.. Transformas las siguientes cantidades dadas en radianes, a grados: (Para cambiar de radianes a grados, se multiplica por el factor ) a) b) Solución: a) b) 9

18 3. Encontrar el complemento y suplemento de Recuerda que ; 90 = y 180 = a) El complemento es: = b) El suplemento es : = Si dos ángulos se representan por A y B, plantear la ecuación de cada problema y después hallar sus valores. Los ángulos son suplementarios y uno es 15 grados menor que el doble del otro. Datos Planteo Operaciones solución A = A 5. Hallar el valor de en la siguiente figura: Solución: Para resolver este problema se plantean un par de ecuaciones. Hay muchas opciones para plantearlas; A continuación se toma una de estas opciones: (son ángulos opuestos por el vértice) (son ángulos opuestos por el vértice) Podemos expresar estas ecuaciones de la siguiente manera: ; Que al resolverlas por suma y resta tenemos; 30

19 Ejercicios Nombre Ángulos por todas partes No. Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos genéricas a mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. desarrollar Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas 1. Observa el mapa con atención y contesta las preguntas indicadas: 1. Cuáles vialidades son paralelas a la calle Avinguda 308?. Cuáles vialidades son perpendiculares a la calle Avinguda 308? 3. Cuál vialidad es oblicua a la calle Avinguda 308? 4. Si te toparas con un turista en la intersección de Avinguda 313 y Avinguda 30, cómo le dirías para que llegara a un Burger King que se localiza en la intersección de Doctor Fleming y Arcadi Balaguer? 31

20 . Llenar las siguientes tablas: Grados Radianes Transformación de grados a radianes Radianes Transformación de radianes a grados Grados 3. Hallar el ángulo desconocido que falta 4. La figura muestra una entrada vista desde arriba. Si abres la puerta de forma tal que la medida del sea igual a, Cuántos grados más deberías abrir la puerta para que el ángulo entre la pared y la puerta sea de. 3

21 5. Hallar el valor del en cada una de las siguientes figuras: A. B. C. 6. Indicar que clase de ángulo es: a) El complemento de un ángulo agudo. b) El suplemento de un ángulo obtuso. c) El suplemento de un ángulo recto. 7. Hallar dos ángulos complementarios tales que: a) Uno sea el doble que el otro. b) Uno sea 0 mayor que el otro. c) Uno sea 10 menor que el triple del otro. d) Uno sea 5 menor que el cuádruplo del otro. e) Uno sea 6 mayor que el doble del otro. 8. Hallar dos ángulos suplementarios tales que: a) Uno es el cuádruplo del otro. b) Uno sea 0 mayor que el triple del otro. c) Uno sea 60 menor que el doble del otro. d) Uno sea 36 mayor que el doble del otro. e) Uno sea 10 mayor que las /3 partes del otro 33

22 9. IDENTIFICAR ÁNGULOS. Afirma si los dos ángulos que se muestran son complementarios, suplementarios o ninguno de los dos. A. C. B. D. 10. Hallar el valor de en cada una de las siguientes figuras: A. B. C. D. 34

23 E. F Completa la siguiente tabla: 35

24 Saberes Nombre Instrucciones para el alumno Saberes a adquirir Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una No. 3 transversal o secante. Lee y analiza la información que se te presenta y aclara cualquier duda con tu profesor Ángulos alternos internos y externos, opuestos por el Mediante exposición y Manera didáctica de vértice, tareas. lograrlos correspondientes y colaterales internos y externos. Pares de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal (secante) Dos paralelas cortadas por una transversal forman ocho ángulos, cuatro llamados internos por estar situados dentro de las paralelas y cuatro llamados externos por estar fura de ellas. En la figura son ángulos: Internos: 3, 4, 5 y 6 Externos: 1,, 7 y 8 Se llaman ángulos correspondientes a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (uno interno y otro externo). Los ángulos correspondientes tienen la propiedad de ser congruentes, es decir, sus medidas son iguales, lo cual se demuestra en el teorema correspondiente. 36

25 En la figura anterior son pares de ángulos correspondientes: El es correspondiente con el ; El es correspondiente con el ; El es correspondiente con el ; El es correspondiente con el ; Se llaman ángulos alternos-internos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos). En la figura anterior son ángulos alternos internos: Con base en la propiedad (demostrable) de que los ángulos correspondientes son iguales, se puede deducir que los ángulos alternos-internos son iguales. Como por ser correspondientes y por otra parte por ser opuestos por el vértice, se deduce que por propiedad transitiva de la igualdad. Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que:. Se llaman ángulos alternos-externos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos). En la figura son ángulos alternos-externos: Los ángulos alternos-externos son iguales. Como por ser correspondientes, y por otra parte por ser opuestos por el vértice, se deduce que por la propiedad transitiva de la igualdad. Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que Se llaman ángulos colaterales-internos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos). En la figura son ángulos colaterales-internos: 37

26 Los ángulos colaterales-internos tienen la propiedad de ser suplementarios. Como por ser correspondientes, y por otra parte análogo al anterior se deduce que por formar un ángulo llano, se deduce que Porque toda cantidad puede ser substituida por si igual. Con un razonamiento Se llaman ángulos colaterales-externos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos). En la figura son ángulos colaterales-externos: Los ángulos colaterales-externos tienen la propiedad de ser suplementarios. Como por ser correspondientes, y por otra parte por formar un ángulo llano, se deduce que =180 porque toda cantidad pude ser substituida por su igual. Ejemplos Nombre Como encontrar ángulos entre rectas paralelas No. Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre ángulos entre paralelas.. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a Manera didáctica orden Exposición y preguntas sobre el tema formar de lograrlas Competencias Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos genéricas a mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. desarrollar Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. 38

27 Ejemplo 1.Encuentre la medida de los ángulos indicados con letras minúsculas en la figura. Suponga que las líneas horizontales son paralelas. Justifique su respuesta. (Ángulos alternos-internos) Forman un ángulo llano. Ejemplo. Hallar el valor de, y establecer las relaciones establecidas. (Ángulos alternos internos) (Ángulos alternos internos) (La 1ra. ecuación por ) Sustituir el valor encontrado de en una ecuación cualquiera:. 39

28 Ejercicios Nombre Ángulos entre paralelas No. 3 Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos genéricas a mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. desarrollar Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas 1. Pon en línea en blanco si los pares de ángulos que se muestran son correspondientes, alternos-internos, alternos-externos, colaterales-internos y colaterales-externos. Hallar los ángulos que se te piden en la siguiente figura, suponga que. 40

29 3. En la figura de la izquierda, hallar los valores de los ángulos señalados con letras minúsculas, si Las líneas oblicuas son paralelas. 4. Hallar los valores de y según sea el caso, en cada una de las siguientes figuras. Considere que las rectas son paralelas. a) c) b) d) 5. En las siguientes figuras. Hallar el valor de x. En este ejercicio es bisectriz del AOC. 41

30 Competencia Explicar la definición y clasificación de los triángulos Utilizar los teoremas del ángulo interior y ángulo exterior Aplicación del Teorema de Tales Aplicación de Triángulos semejantes Aplicación del Teorema de Pitágoras Saberes 1. Generalidades de los Triángulos. Teoremas de importancia en los Triángulos Ejemplos 1. Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes. Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales y Pitágoras 4

31 Ejercicios 1. A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos. A usar el Teorema de Tales, los Triángulos Semejantes y Teorema de Pitágoras ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE Emplea sus conocimientos para definir y clasificar a los triángulos. Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para calcular el valor de los ángulos interiores y exteriores de los triángulos. Maneja los conceptos de triángulos congruentes para identificarlos en distintos contextos. Domina el algoritmo para resolver problemas en donde se aplica el teorema de tales. Aplica principios algebraicos y aritméticos para resolver problemas cotidianos, en donde se aplican los conocimientos sobre triángulos semejantes. Elije la estrategia aritmética o algebraica para resolver problemas cotidianos en donde se usa el Teorema de Pitágoras. Domina los conceptos fundamentales, así como aplica principios y teoremas fundamentales sobre los triángulos. 43

32 Saberes Nombre Generalidades de los Triángulos No. 1 Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. Saberes a adquirir Definición, notación y clasificación de los triángulos. Teoremas del ángulo interior y exterior de los triángulos. Criterios de congruencia entre triángulos. Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas. TRIÁNGULOS Definición y notación: El triángulo es un polígono de tres LADOS, que viene determinado por tres puntos no colineales llamados VÉRTICES. Los vértices se pueden denotar por letras mayúsculas: A, B y C. Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan con la misma letra que el vértice opuesto. Es decir: El lado a es el segmento que une los vértices B y C, el lado b es el segmento que une los vértices A y C y el lado c que es el segmento que une los vértices A y B. (Figura 1) Figura 1 Figura 44

33 Ángulos interiores: son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo. (Figura 1) Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior. (Figura ) Notación de triángulos Los triángulos se nombran por sus tres letras de sus vértices anteponiendo un símbolo en forma de triángulo. Ejemplo: En la figura anterior el triángulo se denota como ABC. Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican según sus lados y sus ángulos. Según sus lados Según sus ángulos equilátero tres lados iguales acutángulo tres ángulos agudos isósceles Por lo menos dos lados iguales rectángulo un ángulo recto escaleno tres lados desiguales obtusángulo un ángulo obtuso Además, a los triángulos en general que no sont rectángulos se les llama oblicuángulos. Por la medida de sus lados: 45

34 Por la medida de sus ángulos (Ángulo recto) Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a. M N Hipótesis son ángulos interiores de un triángulo. Tesis Trazo auxiliar: Trazar por, Plan: Al trazar por uno de sus vértices del triángulo la paralela al lado opuesto, se obtiene un ángulo llano del cual se demuestra que sus partes son iguales a los ángulos del triángulo dado. 46

35 RAZONAMIENTO Afirmación Razón Por construcción.. Por ser alternos internos Por formar un ángulo llano Substituyendo ( ) en ( 3 ). Teorema: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes con él. Criterios de congruencia entre triángulos Primer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, son iguales. ( l. a. l. = l. a. l.) 47

36 Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales, son iguales. ( a. l. a. = a. l. a.) Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son iguales. ( l. l. l. = l. l. l.) Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son iguales. 48

37 Ejemplos Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar No. 1 triángulos congruentes. 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. 1. Hallar los valores de los ángulos faltantes en las siguientes figuras a) b) A + B + C = 180 En el ABC: A + B + C = C = 180 A = 180 C = A = = 45 C = 95 (usando el ) ( y es un ángulo exterior) 49

38 . Determinar que triángulos son congruentes y señalar en cada caso el postulado correspondiente. a) b) c) Soluciones: a) I II b) I III c) II III l. a. l = l. a. l a. l. a. = a. l. a. l. l. l. = l. l. l. En el III el ángulo de 60 En el II el lado de 8 En el I sus lados no está comprendido entre los no está comprendido entre tienen medidas dife- lados de 8 y 1. los ángulos de 40 y 85 rentes a las de los triángulos II y III. 50

39 Ejercicios Nombre A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos No. 1 Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas 1. Mide los lados de los siguientes triángulos y escribe el nombre de cada uno de ellos. Triángulo Triángulo Triángulo 51

40 . Une según corresponda. Triángulo isósceles. Tiene sus 3 lados de igual medida. Triángulo equilátero. Tiene de sus lados de igual medida. Triángulo escaleno. Tiene sus 3 lados de diferente medida. 3. Une según corresponda. Triángulo acutángulo. Tiene 3 ángulos agudos Triángulo obtusángulo. Tiene un ángulo de 90 grados Triángulo rectángulo. Tiene un ángulo mayor de 90 grados 5

41 4. COMBINAR TRIÁNGULOS. En los ejercicios siguientes, combina la descripción del triángulo con su nombre específico: 1. Longitudes de los lados: cm, 3cm, 4 cm A. Equilátero. Longitudes de los lados: 3cm, cm, 3cm B. Escaleno 3. Longitudes de los lados: 4cm, 4cm, 4cm C. Obtusángulo 4. Medidas de los ángulos: D. Equiángulo 5. Medidas de los ángulos: E. Isósceles 6. Medidas de los ángulos: F. Rectángulo

42 4. Hallar los valores de x e y en cada inciso de las siguientes figuras: b) Nota: ABC es equilátero. D = 90 a) 5. Identificar en cada inciso los triángulos que son congruentes y dar el postulado de congruencia que lo Justifica. a) b) 54

43 c) 6. En las siguientes figuras I II, hallar x e y. 55

44 Saberes Nombre Teoremas importantes de los Triángulos No. Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. Saberes a adquirir Teorema de tales Condiciones para que dos triángulos sean semejantes, y aplicaciones. Teorema de Pitágoras y aplicaciones Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas. El Teorema de Tales establece que: Sí un sistema de rectas paralelas que cortan a dos transversales, determinan en ellos segmentos correspondientes proporcionales. Aplicado a los triángulos establece que: Toda paralela a un lado de un triangulo, divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales. A Q B La figura muestra al teorema de Tales Demostración: X n Y (1) AB II XY II PR (Rectas paralelas entre sí) () QP y QR son transversales P R (3) Por el teorema de Tales: 56

45 La figura anterior muestra el teorema de Tales de Mileto Demostración: (1) AB II XY II PR (Rectas paralelas entre sí) () QP y QR son transversales (3) Por el teorema de Tales: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Relación entre dos figuras geométricas que tienen la misma forma, aunque distinto tamaño. Entre los elementos (puntos, rectas, ángulos, ) de esas dos figuras se establece una relación por la que cada elemento f le corresponde otro de f. Dos figuras semejantes f y f cumplen con las siguientes relaciones métricas: AB BC AC = = = K A' B ' B ' C ' A' C ' Proporcionalidad de Segmentos: entre dos figuras semejantes, los pares de segmentos correspondientes son proporcionales. Si A, B, C son puntos de f y A, B, C los correspondientes puntos de f entonces se cumple que: AB BC AC = = = K A' B ' B ' C ' A' C ' La razón de proporcionalidad K se llama razón de semejanza. Por ejemplo, entre dos figuras semejantes cuya razón de semejanza es, cada segmento de la primera es de longitud doble que el correspondiente segmento de la segunda. 57

46 TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Ejemplos Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos No. los teoremas de Tales y Pitágoras. 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. Ejemplo 1 Aplique el Teorema de Tales para hallar el valor de x. Solución: por lo tanto 58

47 Ejemplo : Cálculo de la altura de un árbol usando la longitud de su sombra, por medio de triángulos semejantes: En cualquier día soleado, se puede medir la altura de un árbol usando solo su sombra siguiendo el siguiente procedimiento: Se entierra una vara o pértiga a un lado del árbol a medir y se toman las siguientes medidas; la longitud de la sombra BC, la altura de la vara ab y la sombra que proyecta la pértiga bc, dejando como incógnita la longitud AB que es la altura del árbol. A continuación se hace la siguiente proporción, AB BC =, que al despejar AB nos queda ab bc AB = ( ab)( BC) bc Supongamos que se midieron las distancias BC = 1 m, ab = 1.5 m y bc = m, la altura del árbol sería, (1.5)(1) AB = = 9 metros Ejemplo 3. Hallar el valor de x e y en la figura por medio de triángulos semejantes: x 0 = x = 0 x = 11 4 = y = y 3 3(40) y = =

48 Ejemplo 4: Calcular el valor del cateto que falta en el triángulo rectángulo siguiente: =c Si es la hipotenusa, entonces tenemos: Despejando tenemos: Sustituyendo datos y sacando raíz a ambos lados, = a Ejemplo 5 : Calcular el lado de un rombo cuyas diagonales miden 3 mm y 4 mm. Puede observarse que se forman cuatro triángulos rectángulos iguales, cuyos catetos son la mitad de cada diagonal. Por lo tanto, la hipotenusa del triángulo es el lado del rombo. 60

49 Ejercicios Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas A usar el Teorema de Tales, los triángulos Semejantes y el Teorema No. de Pitágoras Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas Ejercicio 1: Encuentre el valor de x en cada caso, aplicando el Teorema de Tales. Ejercicio : En cada uno de los siguientes ejercicios, cada par de triángulos son semejantes. Calcular el valor que representan las letras: 61

50 Ejercicio 3: Ambrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla. Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar? Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor precisión, es utilizando la geometría, por medio de las razones semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio: 6

51 La sombra que da el Sol cuando pasa por el muro a las 11 a.m. mide 16 m. La sombra de Ambrosio, también a las 11 a.m., es de 3.0 m y él sabe que mide 1.75 m. Con esta información él podrá calcular la altura del muro, ya que si usted observa los dos dibujos, en cada uno de ellos hay un triángulo rectángulo semejante. Entonces, cuánto vale la altura del muro? Ejercicio 4: Martín necesita medir el ancho del río que pasa cerca de su propiedad, pero no puede llegar al otro lado. Cómo podría medir el ancho del río? Para resolver su problema, Martín le pide a unos amigos que le ayuden a hacer las siguientes mediciones y observaciones: 63

52 Observemos que sucede si obtuvieron los siguientes datos: Cuál será entonces el ancho del río? TEOREMA DE PITÁGORAS Ejercicio 5. Para evitar que un poste de luz se rompa, Rocío debe colocar un cable de acero desde su punta hasta el piso como se muestra en el dibujo. El poste mide de altura 4m y el cable en el piso debe estar separado 3m de la base del poste. Rocío debe comprar el cable de acero a la medida adecuada, pues no le debe faltar ni sobrar. Qué debe hacer Rocío para saber cuánto comprar de cable? 64

53 TEOREMA DE PITÁGORAS Ejercicio 6: A que distancia de la pared se encuentra la escalera de la siguiente figura? Ejercicio 7: Calcula la distancia que debe recorrer un teleférico, sabiendo que debe salir de la estación de servicio y llegar a la cima de la montaña, cuya altura es de 650m, como se muestra en la figura. 65

54 Ejercicio 8: Antonio tiene un terreno rectangular cuyas medidas son 3m de largo por 41m de ancho, por el cual debe atravesar un cable de teléfono para establecer comunicación de la bodega ubicada en la parte final del terreno, empleando la mínima cantidad posible de cable de teléfono. Qué medida deberá tener el cable? Ejercicio 9: Cuánto debe medir la varilla de soporte que se emplea para construir el soporte del papalote que se muestra en la figura? 66

55 Ejercicio 10: Cuando se descubrió la pirámide Keops de Egipto, fácilmente pudieron medir cuánto medía cada lado de su base (33 m) y la longitud de su pendiente ( m), pero la altura no la midieron físicamente, sino que la calcularon. Cómo calcularía usted la altura de la gran pirámide? Ejercicio 11: Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar las letras N, Z y X dadas las siguientes dimensiones: 67

56 Competencia 3 Explicar la definición y clasificación de los polígonos Calcular los ángulos interiores, ángulos exteriores y número de diagonales de los polígonos. Conocer las rectas y ángulos notables de la circunferencia Aplicación de las fórmulas para calcular el área de los polígonos en diferentes contextos Aplicación de las fórmulas para calcular el volumen de los cuerpos sólidos en diferentes contextos Saberes 1. Generalidades de los polígonos. Circunferencia y círculo 3. Área y volumen de figuras geométricas Ejemplos 1. Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos. Practicando con las circunferencias 3. Practicando con áreas y volúmenes 68

57 Ejercicios 1. Miscelánea de ejercicios con polígonos. Miscelánea de ejercicios con circunferencias 3. A calcular áreas y volúmenes ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar y clasificar a los polígonos. Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para interpretar los ángulos interiores y exteriores de los polígonos. Maneja y aplica los conceptos de rectas y ángulos notables de la circunferencia. Domina el algoritmo para calcular el número de diagonales en los polígonos. Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente, para calcular áreas y volúmenes de las figuras más comunes en la geometría plana Domina los conceptos fundamentales de los polígonos y circunferencia para calcular sus ángulos interiores, ángulos exteriores y diagonales en distintos contextos. Calcula áreas y volúmenes de las figuras más comunes en la geometría. 69

58 Saberes Nombre Generalidades de los Polígonos No. 1 Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. Definición, notación y clasificación de polígonos Clasificación de los cuadriláteros Saberes a adquirir Ángulos Manera didáctica de interiores y lograrlos Mediante exposición exteriores de y tareas. polígonos Diagonales en los polígonos Definición Etimológicamente la palabra polígono proviene de las raíces POLI que significa muchos y GONOS que significa ángulos, por lo tanto en un TRAZO QUE TIENE MUCHOS LADOS. También se define como las figuras planas formadas por la unión de tres o más segmentos que forman una línea quebrada cerrada llamada línea poligonal. LÍNEAS POLIGONALES: existen dos tipos de líneas, la quebrada que no forma polígonos, y la cerrada que es la que forma los polígonos. 70

59 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Se han establecido tres distintas clasificaciones de los polígonos: 1.- Por la amplitud de sus ángulos, los polígonos pueden ser clasificados como: A) CONVEXOS: son aquellos cuyos ángulos son todos menores de 180º y solo pueden ser cortados por dos puntos mediante una recta secante. B) CONCAVOS: Son los que tienen uno o varios ángulos mayores de 180º y pueden ser cortados en más de dos puntos por una recta secante..- Por la medida de sus lados y sus ángulos pueden clasificarse en: A) Regulares: son aquellos que tienen sus lados y ángulos iguales, es decir, que son equiláteros y equiángulos. Los principales elementos de un polígono regular son: Centro (C ): Punto interior que está a la misma distancia de cada vértice. Radio (r ): Es el segmento que va del centro a cada vértice Apotema (a ): Distancia del centro al punto medio de un lado. 71

60 Ángulo interior de un polígono regular: Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo exterior de un polígono regular: Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es de Angulo central: Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados, entonces el ángulo central será. Ángulo central La figura muestra un ángulo central B) Irregulares: los que tienen a lo menos un lado con distinta medida o sus ángulos son diferentes. 7

61 NOMBRE DE LOS POLÍGONOS REGULARES DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS Nombre Lados Forma Ángulo interior Triángulo (o trígono) 3 60 Cuadrilátero (o tetrágono) 4 90 Pentágono Hexágono 6 10 Heptágono (o Septágono) Octágono Nonágono (or eneágono) Decágono Endecágono (or undecágono) Dodecágono Tridecágono Tetradecágono Pentadecágono Hexadecágono Heptadecágono Octadecágono Eneadecágono Icoságono 0 16 Triacontágono Tetracontágono Pentacontágono Hexacontágono Heptacontágono Octacontágono Eneacontágono Hectágono

62 Chiliágono 1, Miriágono 10, Megágono 1,000,000 ~180 Googológono ~180 n-ágono n (n-) 180 / n Clasificación de los cuadriláteros convexos 74

63 Ángulos interiores de un polígono La suma de ángulos interiores (AI) de un polígono convexo de n lados es igual al numero de lados del polígono menos dos (n -) por 180. De lo anterior se obtiene el siguiente corolario: En un polígono regular de n lados, cada uno de sus ángulos interiores se obtiene al dividir AI (suma de los ángulos interiores) entre n (número de lados), esto es: Diagonales en los polígonos El número de diagonales d que se pueden trazar desde un mismo vértice de un polífono convexo de n lados es igual al número de lados menos tres. El número total de diagonales D que pueden trazarse desde todos los vértices de un polígono convexo de n lados es igual a la mitad del producto del número de lados por el número de lados disminuido en tres. 75

64 Ejemplos Nombre Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos No. 1 Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a formar Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. 1. Calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono de 15 lados. Sustituyendo. Calcular la medida del ángulo central de un pentágono regular. Solución: n = 5, medida del ángulo central = 3. Calcular la medida del ángulo interior de un pentágono regular. Solución: n = 5, 76

65 4. Calcular el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo interior mide. Eneágono 5. Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un Hexágono. n=6 6. En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número de diagonales? Solución: Sea n = numero de lados; El número total de diagonales será también n Que al sustituir queda: Reordenando términos nos queda: Factorizando: que nos conduce a El polígono pedido es n = 5, que es un Pentágono. 77

66 Ejercicios Nombre Miscelánea de ejercicios con polígonos No. 1 Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas 1. Consulte los conocimientos estudiados para llenar la tabla siguiente: 78

67 . Consulta la clasificación de los polígonos para llenar la siguiente tabla: 3. Consulte los conocimientos estudiados para llenar la tabla siguiente: = suma de ángulos interiores = suma de ángulos exteriores 79

68 4. Cuál de los siguientes polígonos es convexo y cuál no es convexo? 5. SELECCIÓN MÚLTIPLE a) La medida de un ángulo exterior de un polígono regular de ocho lados es: A) 360 B) 8 C) 45 D) 90 E) 180 b) Si la medida de un ángulo exterior de un polígono regular es 30 entonces, el número de lados es: A) 36 B) 4 C) 3 D) 1 E) 10 c) Si la medida de un ángulo exterior de un polígono regular es 36 entonces, el ángulo interior mide: A) 90 B) 7 C) 36 D) 44 E) 144 d) En el heptágono regular, la medida de cada ángulo interior es: A) 10 B) 18,57 C) 900 D) 60 E) 180 e) La fórmula que permite calcular la medida de un ángulo interior de un polígono regular de n lados es: ο n 180 A) n B) D) ( n ) 180 E) n n C) ( ) n f) La medida de cada ángulo exterior en un polígono regular de trece lados es: A) 7,69 B) 13 C) 90 D) 130 E) 30 80

69 6. Actividades de aplicación. P1.- El ángulo exterior de un polígono mide 85 o. Cuánto medirá el ángulo interior correspondiente? P.- Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono. Si fuera regular, Cuánto mediría cada uno? P3.- Cuánto mide el ángulo interior de un hexágono regular? P4.- Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 160 o? P5.- Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior mide 45 o? P6.- Puede haber un polígono regular cuyo ángulo exterior mida 75 o? Y con un ángulo interior de igual medida? P7.- Cuánto vale la suma del ángulo interior y del ángulo exterior de un decágono regular? P8.- Cuánto vale el ángulo interior de un polígono regular de doce lados? P9.- Cuánto vale el ángulo exterior de un pentágono regular? P10.- El ángulo interior de un polígono regular mide 156 o. Cuántos lados tiene el polígono? P11.- El ángulo exterior de un polígono regular vale 0 o. Cuántos lados tiene el polígono? Cuántos lados posee el polígono cuyos ángulos interiores suman 50 o? 7. Recordando el valor de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, encuentra el valor de los ángulos señalados con letras minúsculas. 81

70 Saberes Nombre Circunferencia y círculo No. Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. Saberes a adquirir Líneas y ángulos notables de la circunferencia Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo llamado centro. El círculo es la superficie del plano limitada por una circunferencia. Como se puede observar, la circunferencia es una línea y por lo tanto solo tiene longitud, mientras que el círculo es una superficie y por lo tanto tiene área. La circunferencia o círculo se representan con el símbolo Θ, la diferencia se obtienen del contexto. 8

71 Líneas Notables AB Cuerda CD Diámetro Secante Tangente OI Radio Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes). Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto único se llama punto de tangencia o de contacto. Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. AC arco AC; BC arco BC; ACB arco ACB; CAB arco CAB Arco: Es una parte de la circunferencia. Un arco se representa así: y se lee arco. Semicircunferencia: Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia. Arco menor: Es aquel que mide menos que una semicircunferencia. Arco mayor: Es aquel que mide más que una semicircunferencia. En la figura anterior AC y ABC son respectivamente, un arco menor y un arco mayor. El uso de las tres letras, en el segundo caso, es indispensable para distinguir los dos arcos. El arco ACB es una semicircunferencia. En lo sucesivo la palabra arco se referirá a un arco menor, a menos que se especifique lo contrario. 83

72 ÁNGULOS NOTABLES 1. La medida de un ángulo central es igual a la del arco comprendido entre sus lados. (Ver figura arriba). Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad de la del arco comprendido entre sus lados. (Ver figura arriba) 3. Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan (ángulo interior) tiene por medida la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados. (Ver figura arriba) 4. Todo ángulo formado por dos secantes que se cortan fuera de la circunferencia (ángulo exterior) tiene por medida la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados. (Ver figura arriba) 84

73 Ejemplos Nombre Practicando con las circunferencias No. 1 Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a formar Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. 1. Hallar los ángulos que se piden en las siguientes figuras: Soluciones: BC DE x = AB, por lo tanto, AB = x = = = = 30 BC = ABC AB = = 70 BC 70 Por lo tanto y = = = 35. AC + BD x = y 85 = 170 = y Por lo tanto y = = 70 85

74 Ejercicios Nombre Miscelánea de ejercicios con circunferencias No. Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas 1. Dar el nombre a cada una de las siguientes líneas: a) AB es: b) CD es: c) OE es: d) OF es: e) EF es:. Dar el nombre que corresponde a cada uno de los siguientes ángulos: 86

75 3. Si ABC es un triángulo inscrito, como se ilustra, hallar : a) A si arco a = 100 y arco c = 00 b) A si AB BC y a = 100 c) A si AC es un diámetro y a = 100 d) B si ABC = 35 e) B si a = 75 y c = b 4. Si AB y CD son cuerdas que se cortan en E. como se ilustra, hallar: a) x si AC = 90 y BD = 70 b) x si AC y BD miden 60 cada uno. c) x si AC + BD = 10 d) x si BC + AD = 150 e) AC + BD si x = 85 f) AC + BD si x = 100 g) BC si x = 60 y AD = 160 h) BC si y = 7 y AD = BC 5. Si AB y AC son secantes que se cortan en A, como se lustra, hallar: a) A si c = 90 y a = 40 b) A si c a = 8 c) A si c = a + 40 d) a si c = 135 y A = 40 e) c si a = 60 87

76 Saberes Nombre Áreas y volúmenes de figuras geométricas No. Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. Saberes a adquirir Áreas de figuras planas Volúmenes de sólidos Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas. Definición de Área y Volumen. Qué es un área. ÁREAS Y VOLÚMENES Una unidad cuadrada es la superficie que encierra un cuadrado cuyo lado es 1 unidad (de longitud). 1 cm 1 centímetro cuadrado ( 1 cm Se llama área de una figura plana, por ejemplo, un polígono, al número de unidades cuadradas que contiene su superficie. Como quiera que un rectángulo de 5 unidades de longitud y 4 unidades de anchura se puede dividir en 0 cuadrados unidad, su área es de 0 unidades cuadradas. 4 Volúmenes. 5 Unidad cúbica es un cubo que tiene por arista la unidad de longitud. Por ejemplo, la pulgada cúbica es un cubo cuya arista mide una pulgada. 1 cm 1 centímetro cúbico 1 cm 1 cm 88

77 Se llama volumen de un cuerpo al número de unidades cúbicas que éste puede contener. Por ejemplo, una caja cuadrada que tiene 3 unidades de longitud, 3 de anchura y 3 de de altura, ocupa un volumen de 7 unidades cúbicas, o sea, que tiene una capacidad o espacio suficiente para contener 7 cubos de una unidad de longitud por arista En las fórmulas relativas a volúmenes, éstos se expresan en unidades cúbicas, y éstas deben ser de la misma denominación que la utilizada para medir las dimensiones. Por ejemplo, si en la caja anterior, la unidad para medir tanto la anchura, la altura y la longitud hubieran sido metros, el volumen sería 3 7m. Perímetros y áreas de las figuras más comunes Figura Perímetro Área Triángulo = semiperímetro Cuadrado 89

78 Rectángulo Paralelogramo cualquiera Rombo Trapecio Polígono regular cualquiera 90

79 Fórmulas alternativas para encontrar áreas de polígonos regulares comunes, considerando la medida del lado. ( l = lado) Pentágono: A = 1.71l ; Hexágono : A =.598l ; Eptágono: A = 3.634l Octágono: A = 4.88l ; Eneágono: A = 6.18l ; decágono: A = 7.694l Sector circular Polígono cualquiera El perímetro se obtiene Sumando cada lado. El área se obtiene triangulando el polígono y sumando las áreas de dichos triángulos. 91

80 ÁREAS LATERALES, ÁREAS TOTALES Y VOLÚMENES DE LAS FIGURAS MÁS COMUNES Área Volumen Cubo a a a Paralepípedo rectángulo c b a Prisma recto cualquiera El volumen de un prisma recto cualquiera, es igual al producto del área de su base por su altura. Pirámide regular cualquiera El volumen de una pirámide regular cualquiera, es igual a 1/3 del producto del área de la base por su altura 9

81 Cilindro circular recto Cono circular recto Esfera 93

82 Ejemplos Nombre Practicando con áreas y volúmenes No. 1 Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a formar Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁREAS 1) Hallar el área del siguiente triángulo: Solución: bh (11)(7) A = = = 38.5cm ) Hallar el área de un triángulo rectángulo si los catetos son iguales y la hipotenusa vale 16. Solución: X = 16 Por Pitágoras Área: x + x = (16) bh ( x)( x) x 18 x = 56 A = = = = = 64 Base = x x = 18 Altura = x 94

83 3) Hallar la altura de un triángulo si el área es igual a 5 y el lado a la cual pertenece la altura dada es igual a 5 Solución: bh A (5) A = que al despejar h nos da h = = = 10 b 5 4) Hallar el área de un cuadrado si el perímetro es igual a 10. Solución: Perímetro = 4 l = 10 Área: 10 El lado será l = =. 5 (.5) A = l = = ) Si el área de un cuadrado es 81, hallar la longitud de la diagonal. Solución: A = l La diagonal forma triángulos rectángulos cuyos catetos valen 9 81 = l Usando Pitágoras l + l = (diagonal) l = 9 d = ( 9) + (9) 6) En un paralelogramo, hallar la altura si el área es igual a 1 y la base supera en cuatro unidades a la altura. Solución: Sea h = x bh = A b = x + 4 x ( x + 4) = 1 x + 4x 1 = 0 ( x + 7)( x 3) = 0 x = 7 ; x = 3 La altura es h = 3 y la base x + 4 = 7 95

84 7) Hallar el área de un trapecio isósceles CDEF, si = B =, = b = 1 y a = 13 Solución: D E -1 = 10 Por Pitágoras: C G F El área del trapecio será: unidades cuadradas 8) Hallar el área de un rombo si una de las diagonales es 10, y el lado es 13. Solución: Si suponemos que la diagonal d = 10, entonces la mitad de esta diagonal es 5. Puede entonces observar que se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es, que al aplicar Pitágoras da: D = la otra diagonal Obteniendo raíz a ambos lados queda La diagonal completa será D = 4 Por lo tanto el área del rombo será unidades cuadradas 96

85 9) Hallar el área de un triángulo equilátero si la altura es igual a 6. a Por qué h = 3? En la figura, se toma a uno de los triángulos formados por la altura h y se aplica Pitágoras: a = h a + a 4 a = h 3 4 a = h a Al obtener la raíz a ambos lados da h = 3. En este ejemplo, como h = 6 se obtiene el lado a de la siguiente manera: a 6 = 3 que al despejar a se obtiene Por lo tanto el área será 10) Calcular el área sombreada de la siguiente figura. Cada punto lleno representa el centro de un arco de circunferencia o el centro de un círculo. Paso 1: En el triángulo rectángulo, la medida de los catetos será da,., que al resolver Paso : El área de ese triángulo es: Paso 3: Área del sector circular Paso 4: El área del segmento circular, no sombreado, es la resta del sector circular y el triángulo: Paso 5: El área sombreada será la resta de la media circunferencia menos el segmento circular no sombreado: 97

86 EJEMPLOS RESUELTOS DE VOLUMEN 1) Hallar el volumen de la siguiente figura. Considere que r = 8 cm. Solución: r = altura del cilindro circular recto; 3 r = altura del cono. La figura está formada por un cilindro circular recto y un cono. Paso1: El volumen del cilindro circular recto es: V = π r h = π ( 8cm) (16cm) = cm 3 Paso : El volumen del cono será: V = π r h = π (8cm) (4cm) = cm Paso 3: Paso 3: El volumen total de la figura es: V T = = cm 3 3 ) Hallar el volumen de una pirámide regular de base pentagonal de altura 0 cm si la longitud del lado de la base pentagonal es igual a 6 cm. Paso 1: Área de la base pentagonal A = = 1.71l = 1.71(6cm) cm Paso : Fórmula del volumen 1 V = Ab h = (61.96cm V = cm 3 )(0cm) 98

87 Ejercicios Nombre A calcular áreas y volúmenes No. 3 Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas EJERCICIOS DE ÁREAS 1) Hallar el lado de un cuadrado si: a) El perímetro es igual a 44, b) La diagonal es igual a 8. ) Si el área de un cuadrado es 81, hallar: a) El lado, b) El perímetro, c) La diagonal. 3) Hallar el área de un triángulo rectángulo si: a) Los catetos miden 5 y 6; b) los catetos son iguales y c) la hipotenusa mide 16. 4) Hallar el área de: a) Un triángulos cuyos lados son iguales a 5, 1 y 13; b) Un triángulo isósceles cuya base es 30 y cuyos lados iguales miden 17. 5) Hallar el área de un triángulo equilátero si: a) Un lado es igual a 10; b) El perímetro es igual a 36; c) La altura es igual a ) Hallar El área del trapecio isósceles CDEF, si b = 17, a = 10 y h = 6. D E C G F 99

88 7) Dado un trapecio isósceles, hallar las bases, si los lados iguales miden 5, la altura 3 y el área 39. 8) Hallar el área de un rombo si: a) Las diagonales son 8 y 9 c) El perímetro es 40 y una de las diagonales es 1 b) Las diagonales son 11 y 7 d)el perímetro es 3 y la diagonal menor es igual al lado. 9) Hallar el área de un octágono de 4 cm de lado y apotema 4.88 cm. 10) En las siguientes figuras, encontrar el área de la región sombreada. El punto resaltado representa el centro de una circunferencia o de un círculo. 11) a) La figura ABC es un equilátero. AB = BC = CA= 10cm. P, M y N son los puntos medios de los lados. Calcule el área de la parte sombreada de la figura. b) El ABCD es un cuadrado OA= 4cm. Calcule el área de la parte sombreada de la figura. a) b) 100

89 EJERCICIOS DE VOLÚMENES 1) Calcular el volumen de las siguientes figuras: a) b) c) 3 m 13) Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista 14) Calcular la diagonal de un paralepípedo rectángulo de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto. 101

90 15) Calcular el volumen de las siguientes figuras: a) c) c) l = 6 cm, w = 4cm y h = 8cm d) Prisma recto 10

91 Competencia 4 Explicar las funciones trigonométricas en el plano cartesiano Resolver triángulos rectángulos y sus aplicaciones con el uso de las funciones trigonométricas Aplicar la Ley de Senos y la Ley de Cosenos Emplear las ocho identidades trigonométricas fundamentales Saberes 1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el triángulo rectángulo. Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones 3. Triángulos oblicuángulos 4. Identidades trigonométricas Ejemplos 1. Practicando con las funciones trigonométricas. A resolver y aplicar los triángulos rectángulos 3. Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos 4. Identidades trigonométricas 103

92 Ejercicios 1. Ejercitándose con las funciones trigonométricas. Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos 3. Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y la Ley de Cosenos 4. Ejercitándose con las identidades trigonométricas ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar las seis funciones trigonométricas Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para interpretar las funciones trigonométricas en diferentes contextos Domina el algoritmo para resolver triángulos rectángulos y sus aplicaciones Aplica principios algebraicos y aritméticos para aplicar la Ley de Senos y la Ley de Cosenos Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente para resolver identidades trigonométricas Domina los conceptos fundamentales de la trigonometría, así como aplica principios algebraicos y aritméticos para resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos en distintos contextos. 104

93 Saberes Nombre Instrucciones para el alumno Saberes a adquirir Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el No. 1 triángulo rectángulo Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor Ángulos en posición normal Ángulos coterminales Valor de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo. Valor de las funciones trigonométricas para ángulos especiales Gráfica de las funciones trigonométricas Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas EL PLANO DE COORDENADAS Y ÁNGULOS Para el estudio de ángulos en un sistema de coordenadas, es útil definir un ángulo en términos de una rotación. Un ángulo se forma por la rotación de un segmento de recta o rayo sobre su extremo; la posición inicial del segmento se llama lado inicial del ángulo; la posición final del segmento se llama lado final; el punto de rotación, se llama vértice del ángulo (ver figura). 105

94 La cantidad y dirección de rotación es la medida del ángulo, cuya unidad más común es el grado, definido como 1/360 de la rotación total. Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, la medición es positiva; pero si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, la medición será negativa. Si la rotación es completa en el sentido contrario de las manecillas del reloj, se tendrá un ángulo cuya medida será de 360, con los lados inicial y final coincidentes. En la figura siguiente se muestran diversos ángulos y sus medidas o valores. Ángulo en posición normal. Un ángulo se encuentra en posición normal dentro de un sistema de coordenadas sólo si su vértice coincide con el origen y su lado inicial se encuentra sobre el eje positivo x. En las figuras abajo se muestran dos ángulos en posición normal, uno positivo y otro negativo. 106

95 En la figura siguiente se muestran diferentes ángulos con el mismo lado terminal o final. Tales ángulos se denominan ángulos coterminales. En dicha figura, los ángulos de 45 y 405 son coterminales. Los ángulos de 315 y 405 también lo son. Las medidas de los ángulos coterminales difieren en múltiplos de. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA CUALQUIER ÁNGULO Sea θ un ángulo, colocado en posición normal, y sea P( x, y ) un punto cualquiera, distinto del origen, perteneciente al lado terminal del ángulo. Las seis funciones trigonométricas de θ se definen, en términos de la abscisa, la ordenada y la distancia de P como sigue: senoθ = sen θ = ordenada y = cosecanteθ= csc θ = dis tan cia r dis tan cia r = ordenada y cosenoθ = cos θ= abscisa x = secante θ= sec θ= dis tan cia r dis tan cia r = abscisa x tangente θ= tan θ= ordenada = y cotangente θ= cot θ= abscisa x abscisa x = ordenada y 107

96 Al trabajar con un triángulo rectángulo cualquiera, es conveniente designar los vértices de los ángulos como A, B, C, y los lados opuestos a los ángulos como, a, b, c, respectivamente. Con relación al ángulo A, el lado a recibe el nombre de cateto opuesto y el b de cateto adyacente; con relación al ángulo B, el cateto adyacente es a, y el cateto opuesto es b. Al lado c se llama siempre hipotenusa. Si ahora se coloca el triángulo en un sistema de coordenadas (véase figura abajo) de tal manera que el ángulo A quede en posición normal, las coordenadas del punto B, en el lado terminal del ángulo A, son ( b, a ) y su distancia es c = a + b. En estas condiciones, las funciones trigonométricas del ángulo A, pueden definirse en términos de los lados del triángulo rectángulo, como sigue: sen A = a c. opuesto = csc A = c hipotenusa c hipotenusa = a c. opuesto cos A = b c. adyacente = sec A = c hipotenusa c hipotenusa = b c. adyacente tan A = a c. opuesto = cot A = b c. adyacente b c. adyacente = a c. opuesto 108

97 VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES Es fácil determinar las funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales. Al aplicar las definiciones de estas funciones, puede usarse cualquier punto P ubicado sobre el lado final del ángulo. En la figura, P se ha escogido de manera que r = OP = 1 Compruébense los valores de la tabla 1: Nótese que, para ciertos valores de θ, algunas funciones tienen valores indefinidos. Por qué? Tabla 1 109

98 Las funciones trigonométricas de otros ángulos especiales también pueden determinarse mediante el empleo de relaciones geométricas. Se puede recurrir a las figuras siguientes para obtener los valores de las funciones trigonométricas de ángulos especiales: C B REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Representación de las funciones trigonométricas en el círculo unitario Sea θ un ángulo cualquiera dado, en posición normal. (En la figura -0 se muestra θ en cada uno de los cuadrantes). Descríbase una circunferencia con centro en el vértice O, y cuyo radio de tome como unidad. Esta circunferencia corta el lado inicial OX de θ en A, el semi-eje positivo de las Y en B, y el lado final deθ en P. Trácense también las tangentes a la circunferencia en A y B. Las tangentes trazadas cortan el lado final de θ (o su prolongación en sentido contrario a partir de O) en los puntos Q y R respectivamente. 110

99 En cada una de las figuras, los triángulos rectángulos OMP, OAQ y OBR son semejantes y, en consecuencia, sen θ = MP / OP = MP cscθ = OP / MP = OR / OB = OR cosθ = OM / OP = OM secθ = OP / OM = OQ / OA = OQ tanθ = MP / OM = AQ / OA = AQ cotθ = OM / MP = BR / OB = BR Los segmentos de recta MP, OM, AQ, etc., son segmentos dirigidos tales que la magnitud de cada función viene dada por la longitud del segmento respectivo, y el signo de la función corresponde al sentido indicado. Los segmentos dirigidos OQ y OR se consideran positivos cuando están determinados sobre el lado final del ángulo, y negativos cuando están determinados sobre la prolongación, en sentido contrario, del lado final. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A continuación se da una tabulación de valores, para que el alumno en un eje de coordenadas rectangulares grafique las funciones trigonométricas Tabla. Los valores del ángulo x están expresados en radianes. 111

100 11

101 Ejemplos Nombre Practicando con las funciones trigonométricas No. 1 Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema formar de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. Solución 1. Encuéntrese, para cada caso, el ángulo coterminal positivo más pequeño: a) 840 b) 115 Hágase un diagrama para cada ángulo. Súmese o réstese 360, hasta obtener un ángulo cuyo valor se encuentre entre 0 y = = =

102 . El lado final de un ángulo θ contiene el punto P = ( 5, 1) de la figura. Determínese los valores del seno, coseno, tangente de θ, cosecanteθ, secanteθ y cotangenteθ. Solución: El valor de r se encuentra mediante el teorema de Pitágoras r = ( 5) + ( 1) = 169 = 13 Nota: La distancia r siempre se considerará positiva. Lo único que puede ser negativo son sus componentes x e y que determinan la ubicación del cuadrante. Entonces: sen θ = cos θ = tan θ = = cscθ = = cscθ = = tan θ = Sea cos θ = 6 y θ un ángulo en el cuadrante II. Encuéntrese sen θ y tan θ. 10 Solución: De la función cos θ = 6 6 = Se tiene que x = 6 y r = 10. Por tanto, se puede encontrar el valor de y por Pitágoras. 6 + y = 10 por tanto Como θ está en el cuadrante II, se tiene que y = 8, así, sen θ = 8 4 = y tan θ = =

103 4. Si se tiene un ángulo θ en el cuadrante III y csc θ = -, encuéntrese sen θ, cos θ, tan θ, sec θ y cot θ. 1 Solución: De csc θ = - se obtiene una función recíproca, con lo que sen θ =. Para obtener los valores de las demás funciones, se debe conocer los valores de las coordenadas de un punto sobre el lado final de θ. De la definición de cosecante se tiene que csc θ = =, de donde y = 1 y r = (ver 1 figura). Del teorema de Pitágoras: ángulo en el cuadrante III, x = 3. De aquí se sigue que, x + ( 1) =, se obtiene x = ± 3 y como se tiene un cos θ = 3 sec 3 θ = = tan θ = 3 = 3 cot θ = 3 5. Determínese los valores de a) sen 360, b) tan( 70 ) y c) sec540. Solución: Hágase un dibujo para cada ángulo y evalúese con base a la tabla = = 0; 1 sen ( 70 ) 1 1 tan = =indefinido sec540 = =

104 6. Determínese sen 60, cos 60 y tan 60 Solución: Dibujando un ángulo como el de la figura -16, se puede escoger un punto P sobre la recta del lado final, de tal manera que por comodidad r = OP =. Sea A el punto desde el que se levanta una perpendicular el eje x, con lo que PAO es un triángulo rectángulo de 30 y 60. La longitud del lado opuesto al ángulo de 30 es la mitad de la longitud de la hipotenusa, lo que lleva a la conclusión de que OA = ½ () =1. La longitud del lado opuesto al ángulo de 60 es 3 veces la longitud del lado más corto, con lo que se concluye que PA = 3. De lo anterior se tiene que las coordenadas de P son x = 1, y = 3; por lo tanto: También podemos usar el teorema de Pitágoras para demostrar los valores de los lados del triángulo de la figura. ( 1) + ( 3) = = 4 () sen 60 = 3 1 cos 60 = tan 60 = 3 Solución: 7. Determínese los valores de sec150, csc150 y cot150. Dibújese el ángulo y el triángulo PAO con r =. De la figura -17, se tiene POA = ( ) = 30. El triángulo POA es un triángulo rectángulo de 30 y 60 y las coordenadas del punto P son x = 3, y = 1, de donde se tiene que: 3 sec150 = = 3 3 csc150 =, cot150 = 3 116

105 8. Determínese los valores de sen 315,cos315 y tan 315. Como en los ejemplos anteriores, dibújese una recta con r = (ver figura). Entonces, POA = ( ) = 45. El triángulo considerado es el POA rectángulo de 45 y 45. La longitud de la hipotenusa es veces la longitud de cada uno de los lados restantes. De aquí que ( OA ) = y OA =. En forma similar, PA = y las coordenadas de P serán x =, y =. Podemos usar Pitágoras para demostrar el valor de los lados del triángulo ( ) + ( ) = () + = 4 sen 315 =, cos 315 =, tan 315 = = 1 9. Determínese sec( 135 ), csc( 135 ) y cot( 135 ). Viendo la figura se observa que POA = = 45, donde las coordenadas de P son x = y y =, con lo cual nos da: sec( 135 ) = = csc( 135 ) = = 117

106 Ejercicios Nombre Ejercitándose con las funciones trigonométricas No. 1 Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas I. En los siguientes ejercicios, evalúense las funciones sen θ, cosθ,tan θ, cscθ, secθ y cotθ del ángulo θ en posición normal, cuya recta del lado final pasa por los puntos cuyas coordenadas se indican. Dense las respuestas en la forma más sencilla posible. 1. P(3, 4). P( 5, 1) 3. P (8,15) 4. P( 9,1) II. Supóngase que θ es la medida de un ángulo en posición normal, cuyo lado final se encuentre en el cuadrante indicado para cada caso. En los ejercicios siguientes se da el valor de una función; encuéntrese el valor de las funciones restantes. Exprésese la respuesta en la forma más sencilla posible: 4 1. senθ = ; cuadrante III. 5 4 senθ = ; cuadrante II cosθ = ; cuadrante II tan θ = ; cuadrante II 5. 3 tan θ = ; cuadrante IV sec θ = ; 1 cuadrante IV 3 7. cos θ = ; cuadrante IV 8. 4 csc θ = ; 3 cuadrante III 118

107 III. Los ejercicios 1 a 16 se refieren a ángulos en posición normal, para los cuales hay que determinar las seis funciones trigonométricas. Cuando el valor sea indefinido, establézcase también IV. Los ejercicios 1 al 10 son aseveraciones. Dígase si son verdaderas o falsas (V o F). 1. cos( 45 ) = cos45. sen ( 10 ) = sen10 3. tan( 30 ) = tan30 4. cos30 = sen sen 30 = cos60 6. ( sen 135 ) + (cos135 ) = 1 7. cos 30 + cos60 = cos( ) 8. sen 60 + sen30 = sen( ) 9. (sec 180 ) = 1+ (tan180 ) 10. sen 10 = sen60 cos60 V. Hallar el valor numérico de: 1. sen 30 cos30 cot 60. sen 60 cot 30 tan sen 30 cos 45 + cos 60 tan cot 60 tan30 + sec tan 60 + tan cot 30 + sec tan 45 4sen tan 45 + cot 45 csc30 9. sen60 cos30 sec cos 45 sec60 csc 45 Te ponemos las respuestas de los ejercicios V para que te orientes: ) ; ) 3) ); 4) ; 5) 5; 6) ( 3 + 1) ; 7) 1 3 8) 1; 9) 0 ; 10) 1 119

108 Saberes Nombre Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones No. Instrucciones para el Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor alumno Saberes a adquirir Como encontrar los elementos de un triángulo rectángulo usando funciones trigonométricas Aplicaciones prácticas usando triángulos rectángulos Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas Generalidades para resolver triángulos rectángulos: En esta sección y la siguiente se aplicarán las funciones trigonométricas al problema de la solución de triángulos. Se empezará por considerar el triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo se tienen cinco elementos fundamentales. Loa ángulos agudos y los tres lados. Loa dos ángulos agudos son complementarios por lo que conociendo una de ellos el otro se puede obtener restando a 90 el valor del ángulo conocido. Si se conocen dos elementos fundamentales de un triángulo rectángulo, que no sean dos ángulos, es posible resolver el triángulo, es decir, se pueden calcular los valores de los demás elementos. En general se presentan dos casos: a) Cuando se conoce un lado y un ángulo. b) Cuando se conocen dos lados. La resolución se hace con aplicación de las funciones trigonométricas y con el teorema de Pitágoras. Se recomienda tratar de trabajar con las funciones seno, coseno y tangente, ya que estas funciones son las que aparecen directamente en la calculadora. 10

109 Consideraciones a tomar en los problemas de aplicación: Al aplicar la resolución de triángulos rectángulos a problemas de orden práctico generalmente se hace referencia a ángulos llamados de elevación y de depresión. Llamaremos visual a la línea recta que va del ojo del observador al objeto observado. Se llama ángulo de elevación al que forma la horizontal con la visual que se halla por encima de la horizontal y el mismo plano vertical. Se llama ángulo de depresión al que forma la horizontal con la visual, el cual se halla por debajo de la horizontal y el mismo plano vertical. En la figura, la persona A observa a la persona B con un ángulo de depresión, mientras que la persona B observa a la persona A con un ángulo de elevación 11

110 Ejemplos Nombre A resolver y aplicar los triángulos rectángulos No. Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema formar de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. 1. Resolver el triángulo rectángulo ABC si A = 65 0 y c = 75 m. Datos Incógnitas B = 90 A C = 90 B = = A = 65 0 a = = 4 40 c = 75 m b = Nota: Al formar una función, tomamos un lado conocido y un lado desconocido. a b sena = cos A = c c a sena = cos 75 A = b 75 75sen65 0 = a 75cos 65 0 = b 75(0.9088) = a 75(0.4173) = b = a = b Solución: B = 4 0 ; a = m; b = m. 1

111 . Resolver el triángulo rectángulo ABC si a = 3.45 m y A = Datos Incógnitas B = 90 A C = 90 B = = A = 9 18 b = = 60 4 a = 3.45 m c = Tomamos un lado conocido y uno desconocido, que al despejar c da: Sustituimos, Ahora podemos usar Pitágoras para hallar lado b: 3. Resolver el triángulo ABC si a = 45. m y b = 0.5 m. Datos Incógnitas C = 90 A = a = 45. m B = b = 0.5 m c = Con los lados conocidos podemos usar la tangente: Podemos usar Pitágoras para el lado c:, con lo cual Podemos encontrar B restando A de 13

112 4. Un topógrafo encuentra que el ángulo de elevación del asta de una bandera como el de la figura, es de 61.7 ( 61 4 ). La observación se hace desde una altura de 1.5 m sobre el nivel del piso y a una distancia de 10 m del asta. En estas condiciones, determínese la altura del asta. Solución: El problema se reduce a encontrar el lado f del triángulo de la figura -7 y sumarle 1.5, que es la altura sobre el nivel del piso donde se encuentra el punto de observación. f tan 61.7 = 10 f = 10 (tan 61.7 ) f = Al valor obtenido hay que sumarle 1.5m, que es la Altura sobre el nivel del piso, así : Altura del asta = = 0.07 m. 5. Un vigilante se encuentra en la ventana del faro de la figura, a una altura de 3 m sobre el nivel del océano. El ángulo de depresión del barco es de 7. A qué distancia se encuentra el barco del faro? Solución: Podemos formar el triángulo ABC como en la figura -8b. El lado b será la solución del problema. 3 tan 7 = b b = 3 = 6.80m tan 7 14

113 Ejercicios Nombre Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos No. Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas I. Resolver el triángulo rectángulo ABC, dados: 1) c = 54 A = ) a = 156 A = ) c = 458 A = ) a =45 A = ) c = 1 A = 49 8) b = 84 B = ) a = 67 A = ) a = 10 A = 61 5) b = 5 B = 57 10) b = 61.7 A = 43 1 Respuestas: 1) B = 5 0 ; a = 3.99; b = ) B = 40 4 ; c = ; b = ) B = 5 4 ; a = 41.70; b = ) B = 35 0 ; c = 300.3; b = ) B = 41 ; a = 9.056; b = ) A = ; a = ; c = ) B = ; c = 99.17; b = ) B = 9 ; c = ; b = ) A = 33 ; a = 16.35; c = ) B = ; a = 47.33; c =

114 II. Resolver el triángulo rectángulo ABC, dados: 1) a = 36 b = 58 6) c = 36 a = 8 ) a = 18.9 b = 3 7) c = a = ) a = 45 b = 60 8) c = 89 a = 7 4) c = 47 b = 33 9) c = 149 a = 51 5) c = 79.5 b = ) c = 137 b = 105 Respuestas: 1) A = ; B = ; c = ) A = 4 56 ; B = ; b = ) A = ; B = 59 6 ; c = ) A = 39 ; B = ; b = ) A = ; B = 31 7 ; c = ) A = 54 ; B = 36 ; b = ) A = 45 4 ; B = ; a = ) A = 0 01 ; B = ; b = 140 5) A = 3 10 ; B = ; a = ) A = ; B = 50 0 ; a = 88 III. Resolver los siguientes problemas aplicados, usando triángulos rectángulos. 1. Cuando los rayos del Sol tienen una inclinación de 49 sobre la horizontal, el árbol de la figura proyecta una sombra de 8.8 m sobre el piso, desde la base del mismo. Cuál es la altura del árbol? Resp: 10.1 m 16

115 . Determínese la distancia AB y CB a través del lago mostrado en la figura. 3. El techo se define, en meteorología, como la distancia vertical del suelo a la base de las nubes, Para medir el techo se coloca un reflector apuntando verticalmente hacia la nube. La figura muestra un meteorólogo tratando de determinar cuál es la altura del techo. Cuál es el valor de esta altura? Resp: 540 m 4. El barco de la figura navega en línea recta a lo largo de la costa. Cuando se encuentra directamente frente el faro (L), el ángulo formado entre la línea del barco al faro y un hotel (H), es de 53. En estas condiciones, Cuál es la distancia (d) que hay entre el barco y el faro? 17

116 5. Un aeroplano se encuentra volando a una altura de 760 pies cuando los motores fallan repentinamente. Determínese el ángulo de deslizamiento θ, necesario para que el aeroplano pueda llegar a un terreno plano que se encuentra a 5000 pies del lugar donde sucede la falla de los motores de la figura. Resp: Un observador de aves mira el nido de un águila, en el claro del risco de la figura. Qué distancia hay entre el nido del águila y la cima del risco? Resp: 7.65 m 7. El copiloto del aeroplano de la figura, que vuela a una altura de 8000 pies sobre el nivel del océano, descubre una isla. Calcúlese la anchura de la isla. 18

117 8. Un topógrafo hace dos observaciones, como se muestra en la figura, con objeto de obtener el valor de la altura de la montaña ahí mostrada. Determínese la altura de la cima de la montaña h, sobre el nivel del altiplano, si la distancia entre los dos puntos de observación es 00 pies. 9. Un topógrafo desea medir la altura h de un edificio, pero no puede medir la distancia que hay entre los puntos B y C como se ve en la figura. Primero se sitúa en B y mide el ángulo de elevación a la parte superior del edificio (punto D) resultando de. Después retrocede 350 m, y desde A mide el ángulo de elevación al punto D, obteniendo. Con estos datos hallar la altura del edificio. Resp: 61.3 m 10. Con los datos de la figura, estima la altura del acantilado. La altura del mástil es de 6 m. 19

118 Saberes Nombre Triángulos oblicuángulos No. 3 Instrucciones para el Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor alumno Saberes a adquirir Aplicación de la Ley de Senos Aplicación de la Ley de los Cosenos Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS En un triángulo oblicuángulo se tienen seis elementos fundamentales: Los tres lados y los tres ángulos. De tal manera que puede haber tres ángulos agudos o un ángulo obtuso y dos agudos, pues conociendo dos ángulos, el tercero se puede obtener restándole a 180 la suma de los dos primeros. El triángulo oblicuángulo se puede resolver si se conocen tres elementos, no todos ángulos, excepción hecha con base en el caso ambiguo. En general se presentan cuatro casos: a) Cuando se conoce un lado y dos ángulos. b) Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. c) Cuando se conocen dos lados y un ángulo comprendido. d) Cuando se conocen los tres lados. De modo que la resolución de estos cuatro casos se hace con la aplicación de la ley de senos, de los cosenos o de ambas. Ley de los senos. En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos; es decir, a sena = b senb = c senc 130

119 Ley de los cosenos. En todo triángulo, el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido; es decir, a b c = b = a = a + c + c + b bc cos A ac cos B abcosc Ejemplos Nombre Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos No. 3 Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a formar Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. Conociendo un lado y dos ángulos (Ley de Senos) Ejemplo 1. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si a = m, A = 35 y B = 65. Datos Incógnitas 131

120 Solución: Cálculo del lado b Cálculo del lado c Que al despejar b queda: Que al despejar c queda: Conociendo dos lados y un ángulo no comprendido entre los lados conocidos (Ley de Senos) Ejemplo. Datos: Incógnitas lado c Solución: Cálculo del ángulo B Cálculo del ángulo C Cálculo del lado c Por lo tanto 13

121 Conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre esos dos lados (Ley de Cosenos) Ejemplo 3. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si a = 15 m, b = 30 m, C = Datos Incógnitas Cálculo del lado c Cálculo del ángulo A c = a + b abcosc Se puede usar la Ley de senos c c c = = (0.8175) = = Cálculo del ángulo B: NOTA: Si hubiéramos decidido halar al por la Ley de Senos tendríamos: Podemos observar que el valor obtenido no concuerda con el cálculo anterior para el ángulo B, pero al observar el triángulo nos percatamos que se trata de un ángulo mayor a. En este caso se realiza la siguiente operación:. 133

122 Conociendo los tres lados (Ley de Cosenos) Ejemplo 4. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si a = 36, b = 48 y c = 30. Cálculo del ángulo A Cálculo del ángulo B b = a + c ac cos B Que al despejar tenemos: a cos B = + c b ac = (36)(30) b + c a cos A = = bc (48)(30) cos B = cos A = B = 9 5 A = cos = Por último: C = =

123 Ejercicios Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y No. 3 la Ley de Cosenos Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas I. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos: 1. a = 15 B = C = a = 74 A = 63 4 B = a = 85 B = 65 0 C = a = 8 B = 51 4 C = a = 364 A = B = b = 678 A = C = a = 478 B = C = c = 46 B = C = a = 18 A = 6 40 C = c = 931 B = C = 19 9 Respuestas: 1. A = ; b = 11.45; c = C = 81 6 ; b = 47.19; c = A = ; b = 85.58; c = A = ; a = 34.05; c = C = 7 ; b = ; c = B = ; a = ; c = A = 57 4 ; b = ; c = A = ; a = 90.14; b = B = 79 ; b = ; c = A = 9 34 ; a = ; c =

124 II. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos: 1. a = 55, b = 380, A = a = 551, c = 608, A = a = 5, b = 30, A = a = 85, b = 45, A = a = 740, b = 380, A = a = 10, b = 6, A = , a = 14, c = 1, A = b = 15, c = 8, B = Respuestas: 1. B = ; C = ; c = B = ; C = ; b = B = ; C = 6 41 ; c = B = 9 45 ; C = ; c = B = 5 55 ; C = ; c = B = ; C = ; c = B = 9 51 ; C = ; b = A = 11 0 ; C = ; a = III. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos: 1. a = 78, b = 54, C = b = 19, c = 87, A = a = 67, b = 33, C = a = 14, b = 175, B = a = 886, b = 747, C = b = 46, c = 18, A = a = 455, b = 410, C = b = 45, c = 31, A = Respuestas: 1. A = 94 ; B = ; c = B = ; C = ; a = 65.. A = ; B = 5 4 ; c = A = ; ; c = A = ; B = 47 1 ; c = B = ; C = ; a = A = ; ; c = B = ; C = ; a =

125 IV. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos: 1. a = 5, b = 36, c = a = 6.34, b = 7.30, c = a = 380, b = 400, c = a = 1, b = 18, c = 0 3. a = 10, b = 80, c = a = 83, b = 54, c = 41 Respuestas: 1. A = 34 5 ; B = ; C = A = 39 0 ; B = ; C = A = 71 9 ; B = 86 3 ; C = A = 36 0 ; B = 63 4 ; C = A = 8 49 ; B = 41 5 ; C = A = ; B = ; C = 4 19 V. Resuélvase los siguientes problemas usando la ley de senos: 1. A qué distancia está la muchacha del castillo situado en el punto C? 137

126 . Una joven caminante que se encuentra en el punto A de la figura desea dirigirse al punto C, que se encuentra a.8 km en línea recta. A causa de las condiciones del terreno, decide seguir la trayectoria de A a B para de ahí dirigirse hacia C. Cuál será la distancia total que deberá recorrer? Respuesta: 3. km 3. El globo de la figura, que está sujeto al punto A por una cuerda, es desplazado por el viento hasta el punto C. Si un observador se encuentra en el punto B, Cuál es la longitud de la cuerda que sujeta al globo? La distancia entre A y B son 156 m. Respuesta: 151 m 138

127 4. Un parque de béisbol está trazado como se muestra en la figura. Calcúlese la distancia que hay desde home ( H ) hasta el punto C en el jardín central, siguiendo una trayectoria recta. La distancia de H a A es también 315 pies. Al unir con una recta los puntos A y C, el ángulo H se corta a la mitad. Respuesta: pies VI. Resuélvase los siguientes problemas usando la ley de los cosenos. 1. Un topógrafo encuentra que el ángulo en el punto A de la figura, desde donde se observa los puntos B y C, en cada orilla del lago, es 7. Encuéntrese la distancia a través del lago determinando la separación que hay entre los puntos B y C. Respuesta: 1.7 m 139

128 . En la figura se muestra un terreno de forma triangular, cuyo frente corresponde a las calles Vine y Wilson. Calcúlese la longitud del lado restante. Respuesta: 8.47 m 3. Un golfista golpea la pelota desde el punto de saque ( tee ) y la envía hasta el punto P de la figura. A qué distancia se encuentra la pelota del hoyo? Respuesta: yardas P 140

129 VII. Subraya la respuesta correcta en los siguientes ejercicios: 1. Cuál es la longitud del lado c? a) 7.67 b) 8.1 c) 6.5 d) Cuánto vale el ángulo B de la siguiente figura? a) b) c) d) 141

130 3. El área del triángulo ABC es: a) b) c) d) 4. Las diagonales de un paralelogramo miden 8.54 y 5 cm y el ángulo que forman es de. Calcule los lados a y b. a) a = 5 cm b) a = 4 cm c) a = 6 cm d) a = 7 cm b = 6.31 cm b =.76 cm b = 3.60 cm b = 5.3 cm 14

131 Nombre Identidades trigonométricas No. 4 Instrucciones para Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor el alumno Saberes a adquirir Aplicar las ocho identidades trigonométricas fundamentales a) Relación inversa b) Relación por cociente c) Relación pitagórica Saberes Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Una identidad trigonométrica es un a igualdad que se cumple para cualquier valor del ángulo que aparece en la igualdad. Las relaciones fundamentales son las siguientes: sen θ csc θ = 1 ( 1 ) cos θ secθ = 1 ( ) tan θ cotθ = 1 ( 3 ) senθ tanθ = ( 4 ) cosθ cosθ cot θ = ( 5 ) senθ cos θ + sen θ = 1 ( 6 ) 1 + tan θ = sec θ ( 7 ) cot θ + 1 = csc θ ( 8 ) 143

132 Las ocho relaciones fundamentales agrupadas anteriormente son identidades y se pueden usar para deducir otros menos fundamentales. El método mas simple para demostrar que un a ecuación en una identidad, consiste en convertir uno de los miembros para la educación en la forma que tiene el otro miembro. Tal como se indico, no existe un método general para lleva r a efecto estas conversiones, pero las indicaciones siguientes pueden ser útiles como guía en este tipo de operacione3s: 1.- Generalmente es más conveniente trabar con el miembro mas complicado de la identidad..- Si uno de los miembros contiene uno o más operaciones indicadas, estas se deben efectuar como primer paso. 3.- Si uno de los miembros contiene mas de una función, mientras que el otro miembro contiene solo una, se convierten las funciones del primer miembro en términos de la función que entra en el segundo, de acuerdo con la relación fundamental. 4.- Si el numerador de uno de loe miembros contiene varios términos y el denominador solamente uno, se puede en ciertos casos, efectuar la conversión deseada expresado el miembro en cuestión como una suma de funciones y aplicando luego las relaciones fundamentales. 5.- De ser posible, uno de los miembros debe ser factorizado. Después de ello, quizá sea posible distinguir el paso siguiente. 6.- Algunas veces, para obtener las conversiones deseadas es necesario multiplicar el numerador y el denominador de un miembro por un mismo factor. Esto es equivalente al multiplicar la función por la unidad. 7.- Si no es posible aplicar ninguna de las indicaciones anteriores, las funciones del miembro mas complicado se conviertan en senos y cosenos, y se simplifica. 144

133 Ejemplos Nombre Calentamiento con las identidades No. 4 Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a formar Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. Ejemplo 1. Demostrar que es una identidad. senθ + cosθ tanθ = tanθ cosθ Simplificado: Por definición: senθ cosθ tanθ + = tanθ cosθ cosθ tan θ + tanθ = tanθ tanθ = tanθ Ejemplo. Demostrar que la siguiente ecuación es una identidad 4 sen θ cos θ = sen θ cos Por diferencias de cuadrados, trabajando el lado derecho: sen cos θ = ( sen θ + cos θ)( sen θ cos θ) Como cos θ + sen θ = 1, la expresión anterior se transforma en: sen 4 θ cos θ = (1)( sen θ cos θ) 145

134 Finalmente sen cos θ = sen θ cos θ Ejemplo 3. Demostrar la identidad trigonométrica: csc x tan x = sec x Por definición: 1 senx senx cos x = sec x 1 cos x = sec x Si despejamos la identidad tendremos que Si x = 30 sec x = sec x Ejemplo 4. Demostrar la igualdad. Cos A (sec A cos A) = sen A csc 30 tan 30 = sec 30 (.0000) (0.5774) = = Multiplicando: cosa seca - cos A = sen A Por identidad: cosa 1 cos A - cos A = sen A Por lo tanto: 1 - cos A = sen A sen A = sen A Si A = (cos 45) = (sen 45 ) A =

135 0.50 = 0.50 Ejemplo 5. Demostrar la siguiente identidad. Por identidad: Desarrollando la expresión: Factorizando: Ejemplo 6. Hallar la demostración de: Factorizando: Por la identidad: Sustituyendo: Simplificando: csc A + cot A csc A = csc 4 A (1 + cot A) + cot A (1 + cot A) = csc 4 A 1 + cot A + cot A +cot 4 A = csc 4 A 1 + cot A + cot 4 A = csc 4 A (1 + cot A) = csc 4 A csc 4 A = csc 4 A sec 4 A sec A tan A+ tan 4 A = 1 (sec A - tan A) = 1 1+ tan A = sec A (1+ tan / A - (1) = 1 1= 1 tan / ) = 1 147

136 Ejercicios Nombre Ejercitándose con las identidades trigonométricas No. 4 Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas EJERCICIOS Demostrar que cada una de las siguientes ecuaciones es una identidad. Aplicar las ocho identidades fundamentales. 1. cot A (tan A + cot A) = csc A. sen A (csc A sen A) = cos A 3. (sec A tan A) ( sec A + tan A) = 1 4. sec A + csc A = sec A csc A 1 tan A 5. sec A + sec A tan A = 1+ tan A sec A tan A 6. sena 1 cos A - 1+ cos A sena = 0 1+ tan Asen A tan A 7. sena = cot A - cos A 148

137 8. tan xsenx 1 cos x 1+ cos x = cos x 9. cot x tan x 1 tan x = cot x senx tan x csc x cot x - senx = tanx 1+ 3cos y cos y 1+ cos y 3cos = sen y y senx cos x + cotx = cscx 13. sec 1+ tan y y( seny + cos y) sec y = 1+ tan y 3 3 sen y + cos y 14. sen y 1 = sec y seny tan y 1 tan y tan y + 1 cos y 1 cos y = cos y + seny seny 149

138 Competencia 5 Explicar el algoritmo para resolver ecuaciones trigonométricas Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y algunas aplicaciones. Saberes 1. Ecuaciones Trigonométricas. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Ejemplos 1. Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas. Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejercicios 1. Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas. A practicar las ecuaciones exponenciales y logarítmicas 150

139 ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA Domina el algoritmo para resolver ecuaciones trigonométricas Aplica principios algebraicos y aritméticos para desarrollar el método más pertinente en la resolución de las ecuaciones exponenciales. Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente para resolver ecuaciones logarítmicas RESULTADOS DE APRENDIZAJE Domina los conceptos fundamentales del álgebra y la trigonometría, así como aplica las estrategias más pertinentes para resolver ecuaciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. 151

140 Saberes Nombre Ecuaciones trigonométricas No. 1 Instrucciones para Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor el alumno Saberes a adquirir Concepto de ecuación trigonométrica Resolución de ecuaciones trigonométricas Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. Para resolver la ecuación trigonométrica calculamos el número finito de valores del ángulo en un intervalo especificado para los que se satisface la ecuación. Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica. 15

141 Ejemplos Nombre Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas No. 1 Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos.. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a formar Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. Ecuaciones que se resuelven mediante operaciones algebraicas simples No existe un método general para la resolución de las ecuaciones trigonométricas. Los métodos de resolución son parcialmente algebraicos y parcialmente trigonométricos. Ejemplo 1. Resolver la ecuación: sen θ cosθ cosθ = 0 para Factorizado: cos θ (sen θ 1) = 0 Igualando cada factor a cero, se obtiene: cos θ = 0 θ = cos 1 0 = 0 sen θ 1 = sen θ = θ = sen = 30 Solución:,. También puedes dar la solución en radianes: rad, (Si tienes duda pregunta a tu maestro porqué también son soluciones). 153

142 Ejemplo. Resuelva la ecuación para Solución: Factorizando Iguale a cero cada factor y simplifique: La solución con este factor: puede ser mayor que 1. La única solución es la anterior. Esta igualdad no interesa puesto que no Ejercicios Nombre Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas No. 1 Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Competencias. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos genéricas a contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas desarrollar apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas Resuelva las ecuaciones siguientes para

143 Saberes Nombre Ecuaciones exponenciales y logarítmicas No. Instrucciones para el Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor alumno Saberes a adquirir Concepto de función exponencial Concepto y propiedades de los logaritmos Concepto de cologaritmo Aplicación de las ecuaciones exponenciales y logarítmicas Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas Función Exponencial Una función exponencial es una función definida por ecuaciones del tipo:, donde, b 1 Donde b es una constante, llamada la base y el exponente en una variable. El dominio de f es el conjunto R de números reales. A las funciones exponenciales se acostumbra a llamarlas funciones de crecimiento puesto que su uso mas extenso esta en la descripción de diferentes clases de fenómenos de crecimiento. Estas funciones se usan para describir crecimiento de poblaciones de personas, de animales, de bacterias; desintegración radio activa, formación de nuevas sustancias químicas. Es una reacción; aumento o disminución en la temperatura de una sustancia cuando se calienta o se enfría; aumento de dinero colocado a intereses; absorción de la luz al pasar por el aire, agua o vidrio; descenso de la presión atmosférica cuando aumenta la altura; aumento del aprendizaje de una destreza como la natación. La base exponencial es un número irracional, denotando por e y es la base exponencial de uso mas frecuente tanto en la parte teórica como practico. 155

144 La función: f ( x) = Se le dice la función exponencial por uso tan extenso. Las razones para la preferencia para e como una base son claras en cursos mas avanzadas. El numero irracional e con cinco cifras decimales es: e=.7188 x e LOGARITMOS Logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado. Así: 4 = = 4 4 = = 64 Luego, siendo la base 4, el logaritmo de 1 es 0, por que 0 es el exponente a que hay que elevar la base 4 para que de 1; el log 4 es 1; es log 16 es, el log 64 es 3, etc. Esta forma de representación se llama forma exponencial. Base. Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmo. La forma exponencial de las relaciones anteriores, las podemos representar de otra forma que se denomina forma logarítmica: Forma exponencial Forma logarítmica 4 = = 4 4 = =

145 SISTEMAS DE LOGARITMO Pudiendo tomarse como base de un sistema de logaritmos cualquiera numero positivo, el número del sistema es ilimitado. No obstante, los sistemas usados generalmente son dos: El sistema de logaritmo Vulgares o Briggs cuya base es 10, y el sistema de logaritmos naturales o neperianos creados por Neper, cuya base es el número inconmensurable e=, PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1.- Logaritmo de un Producto. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. log MN = log M + log b b.- Logaritmo de un Cociente. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo de dividiendo menos el logaritmo de divisor. b N log b M N = log b M log b N 3.- Logaritmo de una Potencia. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. P log M = P log b 4.- Logaritmo de una Raíz. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical dividido entre el índice de la raíz. log n M = b M log M n Para todos los casos si b, M y N son números reales positivos, b 1 y p es cualquier número real. 157

146 Observando la progresión en forma exponencial: Logaritmos de Briggs = 1 = 10 = 100 = 1000 = = 0.1 = 0.01 = = = Podemos deducir fácilmente la forma logarítmica de los logaritmos de base 10. Cuando la base es 10 se acostumbra omitir este número en la notación. Tú podrás notar que en la calculadora tampoco aparece el número 10, lo cual significa que es un logaritmo base 10. log 1 = 0 log 0.1=-1 log 10 = 1 log 0.01=- log 100 = log 0.001= -3 log 1000 = 3 log =-4 log = 4 log = -5 CARACTERISTICA Y MANTISA El logaritmo de todo número que no sea una potencia de 10 consta de una parte entera y una parte decimal. La parte entera se llama característica, y la parte decimal, mantisa. La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número esta comprendido entre 1 y 10; positiva si el número es mayor que 10 o negativa si el numero es menor que 1. Las potencias de 10 solo tienen característica; su mantisa es cero. 158

147 COLOGARITMO Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de si inverso; también se le conoce como antilogaritmo. Ejemplos: log 35 = log 5350 = { caracteristica log 0.05 = matisa Cologaritmo: = 35 Cologaritmo: 3.784= Cologaritmo: = 0.05 Para calcular el logaritmo de un número, basta activar la tecla log en una calculadora científica, programable o graficadora preferentemente Casio, Texas Instruments o Hewlett Packard. Utilizar imitaciones puede calcular resultados ambiguos o errados. Para calcular el cologaritmo o antilogaritmo, antes de activar la tecla log se presiona la tecla shift en la calculadora Casio y nd o INV para las Texas Instruments o Hewlett Packard. ECUACIONES EXPONENCIALES Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones en las cuales la incógnita está en el exponente. Para resolver ecuaciones exponenciales, se aplican logaritmos a los dos miembros de la ecuación y se despeja la incógnita. 159

148 Ejemplos Nombre Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas No. Instrucciones 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. para el alumno. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema formar de lograrlas Competencias genéricas a 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. desarrollar. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. Ejemplo 1. Graficar la función exponencial: Proponer valores: x f(x) Gráfica hecha con una calculadora graficadora 160

149 Ejemplo. Construir la grafica de la función exponencial mostrada para 3p x p 3 o equivalente, Proponer valores: x y Ejemplo 3. Construir la grafica de la función: Proponer valores: x y

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