EXTRACCIÓN DE SEÑALES EN MODELOS ARIMA

Transcripción

1 EXTRACCIÓN DE SEÑALES EN MODELOS ARIMA 1- Densidad espectral (espectro) y periodograma Los primeros estudios de las series temporales se realizaron en el dominio del tiempo y se utilizaron diversos métodos ingeniosos de difícil justificación científica. Arthur Schuster introdujo un método denominado periodograma, el cual estudia las series temporales en el dominio de la frecuencia. Desgraciadamente, el periodograma, aunque es un estimador asintóticamente insesgado del espectro, es inconsistente, y por esta causa, es poco fiable. La posibilidad de estudiar el análisis de una serie temporal, en el dominio del tiempo o en el de la frecuencia, se justifica científicamente por la equivalencia entre la función de covarianza (definida en el dominio del tiempo) y el espectro o función de densidad espectral (definida en el dominio de la frecuencia), y esta relación nos la proporciona las transformadas de Fourier por ser una de ellas la transformada de la otra función. Consideremos un proceso estacionario con función de autocovarianzas satisfaciendo Definición: Se define la densidad espectral de o espectro como la función Donde Se observa, que dado la condición absolutamente, ya que, implica que la serie anterior converge PROPIEDADES: 1- Es una función real. 2- Es una función periódica con periodo y par 3-4- Está relacionada con la función de autocorrelación. EJEMPLOS: A) en un ruido blanco con varianza. Entonces. Esto quiere decir que todas las frecuencias son tenidas con la misma importancia en la variabilidad de la serie. B) es un proceso MA(1):, siendo un proceso de ruido blanco con varianza y

2 La forma del espectro depende del signo de θ. Cuando θ<0 la densidad espectral está concentrada en frecuencias bajas y cuando θ>0 la densidad espectral se concentra en frecuencias altas. Θ=0.6 Θ=-0.6 C) es un proceso AR(1):, siendo un proceso de ruido blanco con varianza y Igual, que en un proceso MA, la densidad del espectro depende del signo de, cuando es positivo la densidad se concentra en las frecuencias más bajas y al contrario, cuando es negativo se concentra en las frecuencias más altas en valor absoluto

3 INTERPRETACIÓN DE LA DENSIDAD ESPECTRAL: Para cualquier, Representa la parte de varianza de que se asocia a frecuencias que son menores o iguales que. Definición: Se define el periodograma basado en la muestra como la función: El periodograma se puede expresar como: Se cumple que: Además, la relación desde el dominio de la frecuencia (periodograma) y el dominio del tiempo (autocovarianzas) es la que sigue: La representación gráfica del espectro estimado nos proporciona un primer conocimiento de la estructura del modelo y nos sugiere modelos más apropiados: si existieran realmente periodos en la serie temporal, en las frecuencias correspondientes a dichos periodos

4 (periodo=1/frecuencia) presentaría la gráfica picos concentraciones de masas espectrales. muy pronunciados con grandes Los picos pronunciados suelen presentarse en las componentes estacionales: anuales, semestrales, trimestrales, mensuales, etc., y en general, estas series no presentan ciclos perfectos, es decir con repetición a intervalos de tiempo exactamente iguales y amplitudes iguales. El espectro de series con tendencias o posibles ciclos de gran duración es típico que contengan gran parte de la masa espectral en las frecuencias muy bajas. 2- Filtros lineales y dominio de la frecuencia Un filtro lineal tiene la estructura: Donde B es el operador retardo. Es decir: Por lo tanto, todos los procesos ARIMA(p, d, q), constituyen la aplicación de un filtro un ruido blanco: a Para trabajar en el dominio de las frecuencias, se tiene la transformación: Esta función resume las características del filtro. Se llama función de respuesta a la frecuencia. Se puede descomponer la función de respuesta como sigue: Donde, representa el módulo de (es la llamada función de ganancia), y el argumento de éste es base). (es la llamada función de Si tenemos, la relación entre los espectros de y el ruido blanco (espectro constante) está determinado por el cuadrado de la función de ganancia: es conocida como función de transferencia.

5 CÓMO CALCULAMOS EL ESPECTRO A PARTIR DEL FILTRO LINEAL? Tenemos el filtro, tal que Entonces, realizamos los cambios: Nos quedan polinomios simétricos en B y en F, luego: Finalmente, tras estos cambios: De esta manera conseguimos el espectro a partir del filtro del proceso ARIMA. 3- Extracción de Señales En el contexto de la extracción de señales, una serie de tiempo se piensa como la agregación de un conjunto de series ortogonales que son inobservables. Es decir, un proceso estocástico puede ser descompuesto en cuatro componentes: la tendencia, el ciclo, la estación y por último el componente irregular Definición de las componentes de una serie - Tendencia: es el componente asociado a las oscilaciones de baja frecuencia representando los movimientos a largo plazo. - Ciclo: recoge las fluctuaciones de mediano plazo de la serie, aunque existen distintas definiciones de este componente, que lo vinculan con periodos que son mayores a los de la componente estacional y menores a los de la tendencia. - Estación: es el componente que se asocia al comportamiento regular de la serie en las frecuencias correspondientes a periodos de un año, un semestre, un cuatrimestre - Irregular: tiene una estructura aleatoria y contiene oscilaciones no sistemáticas. Es el asociado a las frecuencias más altas. Es decir, obtener la descomposición: Donde

6 Y queremos conseguir las series: Los ruidos blancos de las componentes son independientes entres sí. Por lo tanto: Para conseguir la descomposición trabajamos con espectros, es decir, en el dominio de la frecuencia: Espectro del noise: Estos polinomios son simétricos en y en, por lo tanto los podemos escribir de la forma: Suponemos que el grado de es más grande que el grado de, por lo tanto tenemos que dividir para que nos quede una partición en cociente y resto, es decir: Si el grado de fuera más pequeño que el grado de, trabajaríamos directamente con la fracción inicial. Después tendríamos que descomponer la fracción polinomial en factores simples sin raíces comunes. Por ejemplo: La factorización se realiza de manera que los picos espectrales alrededor de la frecuencia esten asociadas a las raíces del polinomio autorregresivo del componente de la

7 tendencia, mientras que los picos espectrales alrededor de las frecuencias estacionales estacional., se asociarán a las raíces del polinomio autorregresivo de la componente Tenemos que calcular los coeficientes de los polinomios y, de tal forma que se cumpla la ecuación: Una vez que hemos encontrado esos polinomios en B y en F, tenemos que minimizar las distintas componentes, y restar ese mínimo obteniendo nuevos numeradores, esto es: Donde Y estos mínimos se lo sumamos a la componente irregular, junto con : Entonces tenemos la siguiente descomposición: Y de aquí: Ahora tenemos que formar los filtros: Primero descomponemos los polinomios en parte en B y parte en F utilizando el algoritmo de Tunnicliffe Wilson: De que obtenemos el polinomio G, tenemos que conseguir una extensión de la serie hacia adelante y hacia atrás, es decir, denotemos: Aplicamos:

8 Nuestra serie resultante queda: Donde i representa cada componente, es que a partir de cierto punto la notación se complica. La descomposición canónica consiste en maximizar la varianza del componente irregular,, al mismo tiempo que se minimiza la varianza de los demás componentes. En el dominio de la frecuencia minimizar la varianza de un componente es equivalente a inducir un cero en los espectros de las componentes canónicos,. Por ejemplo, suponiendo que el componente de la tendencia obedece un camino aleatorio: El espectro de es igual a: El cual alcanza un mínimo en la frecuencia -> Resulta claro, que inducir un cero en el espectro es a su vez, equivalente a tener una raíz unitaria en el polinomio MA de las componentes canónicas. Por ello, el espectro de la descomposición canónica de la tendencia que obedece un camino aleatorio está dada por: Lo cual corresponde al siguiente modelo para la tendencia canónica Como se puede observar la descomposición canónica puede ser vista como un problema de asignación de ruido entre las componentes, el cual se resuelve asignando todo el ruido al componente irregular. Como resumen el algoritmo sigue los siguientes pasos: 1- Descomposición de la estructura ARIMA en resto y fracción 2- Descomposición en fracciones simples

9 3- Cambio de variable para calcular los mínimos de los componentes racionales 4- Resto los mínimos espectrales a las funciones racionales 5- Formar los filtros 6- Aplico filtros vía Burman EJEMPLO: Dado el modelo ARIMA: Creamos una serie, tal que: Date begin = y2000m01; Date end = y2005m12; Polyn ari = (1-0.6*B)*(1-B^4); Polyn ma = (1-0.1*B)*(1-0.8*B^4); Real initlength = 100*5; Date begin_ = Succ(begin, Mensual, -initlength); Serie r0 = SubSer(Gaussian(0, 1, Mensual), begin_, end); Serie n0 = DifEq(ma/ari, r0); Serie residuals = SubSer(r0, begin, end); Serie noise = SubSer(n0, begin, end);

10 Tras realizar el modelo y la estimación, nos estima los siguientes parámetros: Periodo AR MA DIF *B *B *B^4 1-B^4 Tenemos que separar el denominador del polinomio en parte tendencial y parte estacional en dos polinomios sin raíces comunes: Y la parte MA El periodograma es el siguiente: Resultados:

11 Tendencia Estacionalidad Parte irregular

12 4- Paquete SignalExtraction Este paquete consta de dos funciones principales para extraer las señales, una de ellas por el método de Burman y la otra utilizando el método descrito anteriormente: Para utilizar estas funciones son necesarias: La serie del noise El conjunto (set) arima, donde tenemos los polinomios del modelo ARIMA, que tabulado guarda la forma: Con estos elementos tendremos que construir los argumentos de las funciones: 1- SignalExtraction::MSXBurman(tetha, SetOfPolyn(phi1, phi2, ), noise, noiseb, noisef) 2- SignalExtraction::signals(theta, SetOfPolyn(phi1, phi2, ), noise, noiseb, noisef, Sigma) Donde: tetha es el polinomio del numerador (parte MA del modelo ARIMA) el conjunto de polinomios SetOfPolyn(phi1, phi2, ) es un conjunto que contiene los polinomios correspondientes a tendencia, estacionalidad,, es decir, está separación de polinomios la realizamos nosotros como convenga, no pueden contener raíces comunes. La serie del noise noiseb y noisef es la serie del noise extendido hacia adelante y hacia atrás según su correspondiente ARIMA. Para calcularlo se pueden utilizar funciones del propio paquete como son las siguientes: Real n = CountS(noise); Serie noisef = SignalExtraction::ForecastingNoiseF(noise, arima, n/2); Serie noiseb = SignalExtraction::ForecastingNoiseB(noise, arima, n/2); Donde arima es el conjunto de polinomios que hemos explicado antes. Sigma, es la varianza de los residuos, es decir, si tenemos: Sigma es y se puede calcular utilizando la función del propio paquete:

13 Real v = VarS(SignalExtraction::ARIMAAlmagroEval_Residuals(arima, noise)); En el caso de no conseguir este sigma, igualarlo a 1. Las funciones devuelven, si el proceso termina con éxito (que no siempre es el caso), un conjunto donde aparecen k+2 series, siendo k el número de polinomios en el que separamos la parte ARI. Las otras dos series, una corresponde a la serie del noise y la otra a la parte irregular. El código del ejemplo anterior sería el siguiente: // Extraemos el noise y el arima Set arima = estimation::getmodel.results(?)::getsubmodel(1)::getarima(?); Serie noisee = estimation::getmodel.results(?)::getsubmodel(1)::getnoise(?); Real var = estimation::getmodel.results(?)::getsubmodel(1)::getsigma2(?); Serie noiseb = SignalExtraction::ForecastingNoiseB(noiseE, arima, 500); Serie noisef = SignalExtraction::ForecastingNoiseF(noiseE, arima, 500); ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Periodo AR MA DIF // *B *B 1 // *B^4 1-B^4 // Descomponemos en factores Polyn tetha = SetProd(EvalSet(arima, Polyn (Set se) { se["ma"] })); Polyn ar1 = arima[1]["ar"]; Polyn dif4 = arima[2]["dif"]; Polyn phi1 = ar1; Polyn phi2 = (1-B); Polyn phi3 = Quotient(dif4/(1-B)); Real v = VarS(SignalExtraction::ARIMAAlmagroEval_Residuals(arima, noisee)); Set se_new = SignalExtraction::signals(tetha, SetOfPolyn(phi1*phi2, phi3), noisee, noiseb, noisef, v);

14 Anexo: By Burman Ejemplo: (Burman) Realizamos el mismo ejemplo anterior como dice Burman: Tras realizar el modelo y la estimación, nos estima los siguientes parámetros: Periodo AR MA DIF *B *B *B^4 1-B^4 Separamos en las mismas componentes: Lo que primero hace el algoritmo es hacer el cambio de variable a la función del espectro de los polinomios: Y nos quedan los polinomios: Divide: Luego: El siguiente paso es separar en fracciones simples:

15 Esto nos queda: Ahora tenemos que dividir las fracciones simples para dejar menor grado en el numerador que en el denominador, y el cociente de cada división se lo sumamos a : Ahora calculo los mínimos: Restamos los mínimos a cada fracción: Los mínimos se lo sumamos a En general, tenemos la siguiente ecuación:

16 Hacemos el cambio de variable, para volver a polinomios en B y en F: Y nos los polinomios simétricos resultantes son: Ahora, utiliza el Algoritmo de Tunnicliffe Wilson: Después aplica los filtros a los noise s como se hizo arriba.