Prefacio. Halle, Navidad de 1882 El Autor

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1 FUNDAMENTOS DE UNA TEORÍA GENERAL DE LAS MULTIPLICIDADES: UNA INVESTIGACIÓN MATEMÁTICO-FILOSÓFICA EN LA TEORÍA DEL INFINITO DEL Dr. G. CANTOR Traducción y comentarios por J. Bares y J. Climent. Prefacio El presente tratado aparecerá en breve en Math. Annalen como el quinto número de un artículo titulado Multiplicidades lineales infinitas de puntos ; los cuatro primeros números están contenidos en los volúmenes XV, XVII, XX y XXI de la misma revista. Todos estos trabajos están conectados con dos artículos que he publicado en los volúmenes LXXVII y LXXXIV del Journal de Crelle, en los que las principales ideas que me han guiado en la teoría de las multiplicidades ya se pueden encontrar. Puesto que el actual ensayo lleva el asunto mucho más lejos, decidí publicarlo separadamente bajo un título que corresponde más estrechamente a su contenido. En tanto que entrego estas páginas al público, debo mencionar que las escribí con dos tipos de lectores en mente para filósofos que han seguido los desarrollos en las matemáticas hasta los tiempos más recientes, y para los matemáticos que están familiarizados con los más importantes resultados, antiguos y modernos, de la filosofía. Sé muy bien que el asunto que discuto ha dado lugar en todos los tiempos a las más diversas opiniones y concepciones, y que ni matemáticos ni filósofos han logrado el acuerdo en todos los puntos. Por lo tanto no creo que, en un asunto tan dificultoso, complicado y omnicomprensivo como el del infinito, haya dicho la última palabra. Pero puesto que después de muchos años de investigación en este asunto he alcanzado convicciones definidas, y puesto que, en el curso de mis estudios, estas convicciones no han vacilado sino que sólo se han atrincherado más firmemente, pensé que tenía la obligación de ponerlas en orden y hacerlas conocidas. Puede que con eso haya encontrado y expresado la verdad objetiva, que trabajosamente he descubierto. Halle, Navidad de 1882 El Autor 1. La precedente exposición de mis investigaciones en la teoría de las multiplicidades ha alcanzado un punto donde un progreso adicional depende de la extensión del concepto de número entero realmente existente 1 más allá de 1 Poner en lugar de número entero realmente existente, número entero existente verdadera y efectivamente, el diccionario de la Academia define real como existente verdadera y efectivamente 1

2 2 los actuales límites; esta extensión va en una dirección que nadie, que yo sepa, ha intentado explorar todavía. Dependo tanto de esta extensión del concepto de número que sin ella no podría dar ni un paso más con naturalidad en la teoría de los conjuntos; esta circunstancia es la justificación (o, si fuera necesario, la excusa) para el hecho de introducir ideas aparentemente extrañas en mi trabajo. De lo que se trata es de la extensión o continuación de la sucesión de los números enteros realmente existentes al infinito; y por arriesgada que tal ampliación pueda parecer, me atrevo a expresar no sólo la esperanza, sino la firme convicción de que con el tiempo esta extensión será vista como una cosa absolutamente simple, adecuada y natural. Al mismo tiempo no oculto que con esta empresa me coloco en oposición a intuiciones ampliamente difundidas acerca del infinito matemático y con opiniones comúnmente mantenidas sobre la esencia de las magnitudes numéricas. En la medida en que el infinito matemático ha encontrado, hasta ahora, una aplicación justificada en la ciencia y contribuido a su servicio, lo ha hecho, sobre todo, en el papel de cantidad variable, que o bien crece más allá de todos los límites o disminuye hasta una pequeñez arbitraria, pero siempre permaneciendo finita. A este infinito lo llamo el infinito impropio. Pero, en la era moderna y contemporánea se ha desarrollado tanto en la geometría como en la teoría de funciones, otro concepto del infinito igualmente justificado, según el cual, por ejemplo, cuando se investiga una función analítica de una variable compleja se ha hecho necesario y corriente imaginar, en el plano que representa una magnitud variable compleja, un único punto colocado en el infinito (i.e., un punto infinitamente alejado pero definido) y examinar el comportamiento de la función en el entorno de ese punto, del mismo modo que se investiga en el entorno de cualquier otro punto; resulta entonces que el comportamiento de la función en el entorno del punto infinitamente alejado presenta exactamente los mismos fenómenos que presenta para todos los demás puntos que están situados a una distancia finita. Concluimos en este caso que está plenamente justificado pensar el infinito como un punto enteramente determinado. Cuando el infinito se presenta bajo una tal forma definida, lo llamo el infinito propio. Para comprender cuanto sigue deberemos distinguir cuidadosamente estos dos modos bajo los que se presenta el infinito matemático, y que ha conducido a grandísimos progresos en la geometría, el análisis y la física matemática. Bajo la primera forma, como infinito impropio, se presenta como un finito variable; mientras que bajo la segunda forma, la que llamo el infinito propio, aparece como un infinito enteramente determinado. Los números enteros infinitos realmente existentes, que definiré posteriormente (y que descubrí hace muchos años, sin llegar a ser claramente consciente de poseer en ellos números concretos con un significado real) no tienen absolutamente nada en común con la primera de estas dos formas, con el infinito impropio. Por el contrario, poseen el mismo carácter de determinación que encontramos en el punto infinitamente alejado de la teoría de las funciones analíticas; i.e., pertenecen por lo tanto a las formas y afecciones del infinito propio. Pero,

3 mientras el punto en el infinito del plano numérico complejo se individualiza frente a todos los puntos que están a una distancia finita, aquí no obtenemos meramente un único número entero infinito sino una sucesión infinita de tales números, claramente diferenciados entre sí y que se hayan en relaciones aritméticas conforme a leyes tanto entre ellos como con los números enteros finitos. Pero estas relaciones no son reconducibles, esencialmente, a relaciones entre números finitos, como de hecho ocurre frecuentemente para las diferentes fuerzas y formas del infinito impropio (pero sólo para ésas), por ejemplo si poseen números ordinales finitos determinados que se hacen infinitos para las funciones de una variable x que se hacen infinitamente grandes o infinitamente pequeñas. Se trata de relaciones que en realidad pueden ser vistas sólo como propiedades enmascaradas de lo finito, o en cualquier caso como algo inmediatamente reconducible a esto último; en contraste, las leyes de los números enteros infinitos propios (todavía por definir) son desde el principio radicalmente diferentes de las dependencias que reinan en lo finito, pero con eso no se excluye que a los números finitos realmente existentes se les puedan atribuir nuevas propiedades con la ayuda de los números infinitos determinados. Los dos principios de generación con cuya ayuda serán definidos, como se verá, los nuevos números infinitos determinados, operando conjuntamente, nos permitirán franquear cualquier obstáculo que se oponga a la construcción conceptual de números enteros realmente existentes; pero afortunadamente, como veremos, a ellos se contrapone un tercer principio, que llamo de limitación o restricción, el cual impone al proceso (absolutamente sin fin) de construcción una serie de barreras sucesivas. Obtenemos de esta manera una segmentación natural de la sucesión absolutamente infinita de los números enteros realmente existentes, y a estos segmentos los llamaré clases numéricas. La primera clase numérica (I) es el conjunto de los números enteros finitos 1, 2, 3,..., ν,... ; a ésa sigue la segunda clase numérica (II), formada por ciertos números enteros infinitos que se siguen entre sí según una sucesión determinada; sólo después que haya sido definida esta segunda clase se pasa a la tercera, luego a la cuarta, etc. La introducción de los nuevos números enteros me parece extremadamente importante, sobre todo, para el desarrollo y el afinamiento del concepto de potencia, propuesto en dos de mis trabajos (J. de Crelle, vol. 77, p. 257, y vol. 84, p. 242) y utilizado de varios modos en los números precedentes de este trabajo. Basándose en tal concepto, a cada conjunto bien definido está asociada una potencia determinada, y a dos conjuntos se les atribuye la misma potencia si pueden ser, elemento a elemento, correlacionados entre sí recíprocamente y uno a uno. En los conjuntos finitos la potencia coincide con la enumeración 2 de los elementos porque, como todo el mundo sabe, estos conjuntos, sean como sean ordenados, presentan siempre la misma enumeración de los elementos. 3 2 Torretti habla de enumerador.

4 4 Por otra parte, para los conjuntos infinitos, hasta ahora no se ha hablado nunca, ni en mis trabajos ni en otro lugar, de la enumeración de sus elementos definida de un modo preciso, aún cuando puede serles atribuida a ellos una potencia determinada, totalmente independiente de su ordenación. La potencia mínima entre los conjuntos infinitos debe atribuirse (cosa fácil de justificar) a aquéllos conjuntos que pueden ser correlacionados recíprocamente y uno a uno con la primera clase numérica, y consecuentemente tienen la misma potencia que ella. Pero hasta ahora ha faltado una definición igualmente simple y natural de las potencias superiores. Nuestras, antes mencionadas, clases numéricas que están compuestas de números enteros realmente existentes infinitos determinados se muestran ahora propiamente como los representantes naturales, que ocurren en una forma unitaria, de las potencias, crecientes en una sucesión conforme a una ley, de conjuntos bien definidos. Mostraré del modo más preciso que la potencia de la segunda clase numérica (II) no sólo es diferente de la potencia de la primera clase numérica sino que es, de hecho, la potencia inmediatamente superior; podríamos llamarla por consiguiente la segunda potencia, o la potencia de la segunda clase. La tercera clase numérica proporciona, análogamente, la definición de la tercera potencia, o potencia de la tercera clase, y así sucesivamente. 2. Otro gran logro atribuible a los nuevos números consiste, para mí, en un nuevo concepto que todavía no ha sido mencionado concretamente, el concepto de la enumeración de los elementos de una multiplicidad infinita bien ordenada. Puesto que este concepto está siempre expresado por un número completamente determinado de nuestro dominio numérico extendido (a condición sólo de que la ordenación, que ahora deberemos definir más exactamente, de los elementos del conjunto esté determinada), y puesto que por otra parte el concepto de enumeración adquiere una representación concreta inmediata en nuestra intuición interior, esta interconexión entre enumeración y número es una prueba de la realidad (que enfatizo) del último incluso en los casos en los que es infinito determinado. Por un conjunto bien ordenado hay que entender un conjunto bien definido en el que los elementos están ligados entre sí mediante una sucesión determinadamente dada tal que (i) hay un primer elemento en el conjunto; (ii) cualquier elemento singular (siempre que no sea el último de la sucesión) está seguido por otro elemento determinado; y (iii) para cualquier conjunto de elementos finito o infinito que se desee existe un elemento determinado que es su sucesor inmediato en la sucesión (salvo que no haya absolutamente nada en la sucesión que siga a todos ellos). Dos conjuntos bien ordenados se dicen que tienen la misma enumeración (con respecto a sus sucesiones previamente dadas) cuando es posible una correlación recíproca y uno a uno entre ellos tal que, si E y F son dos elementos cualesquiera de un conjunto, y E 1 y F 1 son los elementos correspondientes del otro, entonces la posición de E y F en la sucesión del primer conjunto siempre coincide con la posición de E 1 y F 1 en la sucesión del segundo conjunto (de manera que cuando E

5 precede a F en la sucesión del primer conjunto, entonces E 1 también precede a F 1 en la sucesión del segundo conjunto). Esta correlación, si es que es posible, está, como se ve fácilmente, siempre completamente determinada 3 ; y puesto que en la sucesión numérica extendida siempre hay un y sólo un número α tal que los números que le preceden (desde 1 en adelante) en la sucesión natural tienen la misma enumeración, entonces es necesario hacer directamente igual a α la enumeración de estos dos conjuntos bien ordenados, si α es un número infinitamente grande, e igual al número α 1 que precede inmediatamente a α, si α es un entero finito. La diferencia esencial entre los conjuntos finitos e infinitos se muestra ahora en esto que un conjunto finito presenta siempre la misma enumeración para cualquier sucesión que se pueda dar a sus elementos; por el contrario, un conjunto que consista de infinitos elementos dará lugar en general a diferentes enumeraciones, dependiendo de la sucesión que se les de a los elementos. La potencia de un conjunto es, como vimos, un atributo independiente del orden; pero la enumeración del conjunto se muestra sin embargo como un factor que depende, en general, de una sucesión dada de los elementos (tan pronto como se tiene que hacer algo con los conjuntos infinitos). No obstante, hay incluso para los conjuntos infinitos una cierta conexión entre la potencia de un conjunto y la enumeración de sus elementos determinado por una sucesión dada. Si, para empezar, tomamos un conjunto que tenga la potencia de la primera clase y si damos a los elementos cualquier sucesión determinada (de modo que lo convierta en un conjunto bien ordenado ), entonces su enumeración siempre será un número determinado de la segunda clase numérica y nunca podrá estar determinado por un número de cualquier otra clase numérica que no sea la segunda. Por otra parte, cualquier conjunto de la primera potencia puede siempre ser ordenado en una sucesión tal que su enumeración, con respecto a esta sucesión, sea igual a cualquier número prescrito de la segunda clase numérica. Podemos expresar estos teoremas como sigue: cualquier conjunto que tenga la potencia de la primera clase es numerable mediante números de la segunda clase numérica y sólo mediante tales números; y a cualquier conjunto tal siempre se le puede dar una sucesión a sus elementos tal que pueda ser numerado en esta sucesión mediante un número arbitrariamente elegido de la segunda clase numérica, número que indica la enumeración de los elementos del conjunto con respecto a esa sucesión. Leyes análogas valen para los conjuntos de potencias superiores. Así, cualquier conjunto bien definido de la la potencia de la segunda clase es numerable mediante números de la tercera clase numérica y sólo mediante tales números, y al conjunto siempre se le puede dar una sucesión a sus elementos tal que pueda ser enumerado en esta sucesión mediante un número arbitrariamente prescrito de la tercera clase numérica, número que determina la enumeración de los elementos del conjunto con respecto a esa sucesión. 5 3 Si dos conjuntos bien ordenados A = (A, <) y B = (B, <) fueran isomorfos, mediante dos isomorfismos f y g de A en B, entonces g 1 f sería un automorfismo de A, luego g 1 f = id A, porque el grupo de los automorfismos de un conjunto bien ordenado es rígido, por lo tanto f = g.

6 6 3. El concepto de conjunto bien ordenado se muestra como fundamental para toda la doctrina de las multiplicidades. En un artículo posterior discutiré la ley del pensamiento que dice que siempre es posible llevar todo conjunto bien definido a la forma de un conjunto bien ordenado una ley que me parece fundamental e importante y bastante asombrosa en razón de su validez general. Aquí me limitaré a demostrar que a partir del concepto de conjunto bien ordenado las operaciones fundamentales para los enteros, sean finitos o infinitos determinados, se obtienen de la manera más simple y que las leyes que los gobiernan pueden ser inferidas a partir de la intuición interior inmediata con certeza apodíptica. Si M y M 1 son dos conjuntos bien ordenados cuyas enumeraciones corresponden a los números α y β, entonces M + M 1 es también un conjunto bien ordenado, que surge si el conjunto M se da primero, y entonces (siguiéndolo y unido a él) el conjunto M 1. Le corresponde al conjunto M + M 1 (con respecto a la sucesión resultante de sus elementos) un determinado número como enumeración; se llamará la suma de α y β y se denotará con α + β. Se muestra inmediatamente que si α y β no son ambos finitos, entonces α + β es en general diferente de β + α. Por consiguiente, ya la ley conmutativa deja de ser válida para la adición. Es ahora tan simple formar el concepto de la suma de varios sumandos dados en una determinada sucesión (en donde esta sucesión misma puede ser infinita determinada) que no necesito entrar en detalles adicionales aquí. Sólo hago la observación de que la ley asociativa es válida en general. Se tiene en particular que α + (β + γ) = (α + β) + γ. Si se toma una sucesión, determinada por un número β, de ulteriores conjuntos que sean semejantes y que estén semejantemente ordenados y en los cuales la enumeración de los elementos es igual a α, entonces se obtiene un nuevo conjunto bien ordenado cuya correspondiente enumeración proporciona la definición para el producto βα, donde β es el multiplicador y α el multiplicando; aquí también se encuentra que βα es en general diferente de αβ; luego también para la multiplicación de los números la ley conmutativa en general no es válida. Por el contrario, la ley asociativa para la multiplicación siempre vale, de modo que se tiene α(βγ) = (αβ)γ. Algunos de los nuevos números se distinguen por el hecho de que tienen la propiedad de los números primos, aunque esta propiedad debe aquí ser caracterizada de una manera un poco más precisa, de modo que por un número primo se entienda un número α para el cual la factorización α = βγ, en donde β es el multiplicador, sólo es posible cuando β = 1 o β = α; pero en general para los números primos α el multiplicando tiene un cierto ámbito de indeterminación, que en la naturaleza de las cosas no puede ser alterado. No obstante, se mostrará en un trabajo posterior que la factorización de un número en sus factores primos siempre puede ser llevada a cabo de una manera esencialmente única, e incluso de una manera determinada con respecto a la sucesión de los factores (en tanto que estos no sean números finitos primos y adyacentes en el producto). Así pues surgen dos tipos de números primos determinados infinitos, de los que el primero se haya más próximo a los números finitos primos mientras que los números primos del segundo tipo tienen un carácter totalmente diferente.

7 Además, con la ayuda de estos nuevos conocimientos puedo ahora demostrar rigurosamente un teorema que es citado al final del artículo Una contribución a la teoría de la multiplicidad (J. de Crelle, Vol. 84, p. 257) sobre las llamadas multiplicidades lineales infinitas. En el último número de este trabajo enuncié un teorema para los conjuntos de puntos P que están contenidos en un dominio continuo n-dimensional. Este teorema puede expresarse con el uso de la nueva terminología como sigue: Si P es un conjunto de puntos cuyo derivado P (α) se anula idénticamente, en donde α es cualquier entero de la primera o segunda clase numérica, entonces el primer derivado P (1), y por consiguiente también P mismo, es un conjunto de puntos que tiene la potencia de la primera clase. Me parece muy notable que este teorema tenga el siguiente recíproco: Si P es un conjunto de puntos cuyo primer derivado P (1) tiene la potencia de la primera clase, entonces hay un entero α perteneciente a la primera o segunda clase numérica, para el cual P (α) se anula idénticamente, y de entre los números α para los que esto ocurre hay uno mínimo. Gracias a la cortés invitación de mi estimadísimo amigo el Prof. Mittag- Leffler de Estocolmo, muy pronto publicaré la demostración de esta proposición en el primer volumen de la revista matemática que él editará. Al final de este artículo el Sr. Mittag-Leffler mostrará cómo, basándose en este teorema, se les puede dar una importante generalización a sus investigaciones y las del Prof. Weierstrass sobre la existencia de funciones analíticas unívocas con singularidades dadas. 4. La sucesión extendida de los enteros puede, si es preciso, ser completada sin más hasta un conjunto numérico continuo añadiendo por cada entero α todos los números reales x que son mayores que cero y menores que uno. En este punto tal vez surja el problema de si, puesto que de esta manera hemos logrado una determinada extensión del dominio numérico de los reales hasta lo infinitamente grande, no se podría con la misma fortuna definir números infinitamente pequeños determinados 4, o, lo que puede venir a ser la misma cosa, definir números finitos que no coincidan con los números racionales e irracionales (que son valores límite de sucesiones de números racionales), pero que puedan ser intercalados en supuestas lagunas en medio de los números reales, exactamente como los números irracionales se intercalan en la cadena de los números racionales, o los números trascendentes en la estructura de los números algebraicos? El problema de la construcción de tales interpolaciones, sobre la cual algunos autores han empleado mucho esfuerzo, puede, en mi opinión y como demostraré, sólo ser clara y distintamente resuelto con la ayuda de nuestros nuevos números en particular, sobre la base del concepto general de la enumeración de los conjuntos bien ordenados. Los intentos previos, a mí parecer, se basan, en parte, sobre una confusión errónea del infinito impropio con el infinito propio, y, en parte, han sido construidos sobre una fundamentación enteramente insegura e inestable. 4 Aquí hay que hablar de Du Bois-Reymond, Stoltz, Veronese, Hilbert, etc. 7

8 8 El infinito impropio ha sido llamado a menudo por los filósofos recientes un infinito malo en mi opinión injustamente, puesto que éste ha demostrado ser un instrumento muy bueno y altamente útil en la matemática y en las ciencias naturales. Las cantidades infinitamente pequeñas hasta ahora en general, que yo sepa, han sido desarrolladas de manera útil sólo bajo la forma del infinito impropio, y es bajo esta forma como son capaces de todas aquéllas diferencias, modificaciones y relaciones que se establecen en el cálculo infinitesimal y en la teoría de funciones, y que son usadas para establecer la rica profusión de verdades analíticas. Por el contrario, todos los intentos por forzar a este infinitamente pequeño en un infinitamente pequeño propio han debido finalmente ser abandonados por carecer de sentido. Si, después de todo, existen cantidades infinitamente pequeñas propias, i.e., son definibles 5, entonces con seguridad no están en ninguna relación inmediata con las cantidades acostumbradas que se hacen infinitamente pequeñas. En contraste con estos experimentos con lo infinitamente pequeño y la confusión de las dos formas fenoménicas del infinito, hay un punto de vista ampliamente defendido sobre la esencia y el significado de las cantidades numéricas de acuerdo con la cual los únicos números que son concebidos como efectivamente existentes son los números enteros realmente existentes finitos de nuestra clase numérica (I). A lo sumo una cierta realidad es concedida a los números racionales que se obtienen directamente a partir de ellos. Pero en lo que respecta a los números irracionales, ellos deben en la matemática pura recibir un significado meramente formal 6, en que ellos, por así decirlo, sólo sirven como marcas de cálculo para fijar propiedades de grupos de enteros y para describir estas propiedades de una manera simple y unificada. De acuerdo con esta opinión, el verdadero material del análisis está formado exclusivamente a partir de los enteros realmente existentes finitos, y todas las verdades descubiertas o todavía por descubrir en la aritmética y el análisis deben ser concebidas como relaciones de los números finitos entre sí; el análisis infinitesimal y con él la teoría de funciones son considerados legítimos sólo en la medida en que sus teoremas puedan ser interpretadas como demostrables mediante leyes que gobiernan a los números enteros finitos. Esta concepción de la matemática pura, aunque yo no pueda suscribirla, tiene ciertas ventajas incontestables, que me gustaría subrayar aquí. Además, algunos de los más ilustres matemáticos de la actualidad están entre sus defensores, y este hecho habla en favor de su relevancia. Si, como es asumido aquí, sólo los números enteros finitos existen efectivamente, y todos los demás no son otra cosa que formas de relación, entonces se puede exigir que las demostraciones de los teoremas del análisis sean escrutadas según su contenido número-teórico y que se rellene cualquier laguna que esté presente en ellas de acuerdo con los principios de la aritmética; la realizabilidad de una tal compleción es la verdadera piedra de toque para la autenticidad y el rigor completo de las demostraciones. Innegablemente, de esta manera podemos perfeccionar la justificación de muchos teoremas y también hacer otras mejoras metodológicas en varias partes del análisis; 5 Comentar la aparente identificación de existencia con definibilidad en Cantor. 6 Aquí hay que hablar de Kronecker

9 además, observando los principios que manan de esta intuición, se obtiene una protección contra cualquier forma de absurdo o error. Se llega de este modo a un principio definido, aunque también bastante prosaico y obvio, que se recomienda a todos como una pauta; debe por consiguiente servir para confinar el vuelo de la pasión por la especulación e invención conceptual en las matemáticas dentro de los verdaderos límites, en cuyo interior no corre peligro de caer en el abismo de lo trascendente donde, se dice para inspirar terror espantoso y edificante que, todo es posible. Pero sea eso como sea, es difícil decir ( quién lo sabe?) si no fue precisamente solo desde el punto de vista de la oportunidad la que indujo a los que originaron esta doctrina a recomendarla a los talentos emergentes, que tan fácilmente entran en peligro a través de la altivez y de la extravagancia, como una contrabalanza efectiva, una protección contra todos los errores, aunque no se pueda encontrar en ella un principio fructífero. No puedo creer que estos matemáticos partieran desde estos principios y fueran conducidos al descubrimiento de nuevas verdades; porque aunque concedo que estas máximas tiene muchos aspectos buenos, no obstante las tengo estrictamente hablando como erróneas. No les debemos a ellas ningún verdadero progreso, y si fueran de hecho seguidas, entonces la ciencia se habría retardado o habría sido proscrita a los confines más estrechos. Afortunadamente, las cosas no están en verdad tan mal, y aquéllas reglas (que son en ciertas circunstancias útiles) nunca han sido tomadas al pie de la letra, sea en la teoría o en la práctica; es sorprendente que hasta ahora, que yo sepa, nadie ha intentado formular las reglas más completamente y mejor de lo que aquí yo he intentado hacer. Si nos dirigimos a la historia, encontramos que opiniones similares fueron siempre mantenidas; ya se encuentran en Aristóteles. Como es bien sabido, a través de la Edad Media la proposición infinitum actu non datur, tomada de Aristóteles, fue considerada como incontestable por todos los escolásticos. Pero si se consideran las razones que Aristóteles adujo contra la existencia real del infinito (ver, e.g., su Metafísica, Libro XI, Capítulo 10), vemos que la fuente principal se puede retrotraer a una presuposición que involucra una petitio principii, concretamente, a la presuposición de que sólo hay números finitos, aceptada por Aristóteles porque sólo le eran conocidas numeraciones acerca de conjuntos finitos. Creo, sin embargo, que demostré anteriormente (y aparecerá incluso más claramente en lo que sigue) que numeraciones determinadas pueden ser llevadas a cabo justo tanto para los conjuntos infinitos como para los finitos, supuesto que se de a los conjuntos una ley determinada que los convierta en conjuntos bien ordenados. Que sin una tal sucesión conforme a una ley de los elementos de un conjunto no pueda ser numerado está en la naturaleza del concepto del numerar. Los conjuntos finitos también pueden ser numerados sólo si tenemos una determinada ordenación de los elementos numerados; pero aquí encontramos una propiedad particular de los conjuntos finitos, concretamente, que el resultado de la numeración la enumeración es independiente de la respectiva ordenación; mientras que para los conjuntos infinitos, como hemos visto, una tal independencia no vale en general. Por el contrario, la enumeración de un conjunto infinito es un número entero infinito que está codeterminado 9

10 10 por la ley de la numeración; es precisamente aquí, y aquí solamente, donde está situada la diferencia esencial, fundamentada en la naturaleza misma y que por consiguiente jamás será abolida, entre lo finito y lo infinito. Nunca más será negada la existencia del infinito debido a esta diferencia, sino que por el contrario la existencia de lo finito puede ser ahora defendida. Si permitimos que uno caiga, entonces también deberíamos deshacernos del otro; y por este camino adónde iríamos a parar? Otro argumento usado por Aristóteles contra la realidad efectiva del infinito consiste en la aserción de que si el infinito existiera, entonces absorbería a lo finito y lo destruiría. Porque, como se verá claramente en lo que sigue, el asunto en verdad es así: a un número infinito, si es pensado como determinado y completado, puede serle muy bien adjuntado y unido un número finito sin con eso producir la cancelación del último; más bien, el número infinito es modificado por una tal adjunción de un número finito a él. Sólo el procedimiento inverso la adjunción de un número infinito a uno finito, cuando el último es colocado primero es el que produce la cancelación del último sin introducir ninguna modificación del primero. Estos hechos concernientes a lo finito y a lo infinito, enteramente desconocidos por Aristóteles, podrían dar un nuevo impulso no sólo al análisis sino a otras ciencias, y en particular a las ciencias naturales. En el curso de largos años de laboriosos esfuerzos científicos he sido lógicamente forzado (casi contra mi voluntad, porque está en oposición con las tradiciones que se me hicieron queridas) a adoptar el punto de vista que considera lo infinitamente grande no meramente bajo la forma de algo que crece sin límite (y en la forma estrechamente relacionada de las series infinitas convergentes introducidas por primera vez en el siglo diecisiete) sino que venga fijado matemáticamente por números en la forma determinada del infinito completo; y creo que no hay ningún argumento contra ello que yo no sepa cómo refutar. 5. Cuando hablé hace poco de las tradiciones, no las entiendo meramente en el sentido más restringido de mi experiencia personal, sino que las hago remontar a los fundadores de la filosofía y de la ciencia natural modernas. Como preparación para dictaminar acerca del problema que tenemos enfrente, daré sólo algunas de las fuentes más importantes. Véanse: Locke, Essay on Human Understanding, Bk. II, Chs. XVI y XVII. Descartes, Letters, y las Discussions de sus Meditations; también Principia I, 26. Spinoza, Carta XXIX, Cogita. Metaph., partes I y II. Leibniz, Edc. de Erdmann, pp. 138, 244, 436, Incluso hoy en día no es posible idear argumentos contra la introducción de los números enteros infinitos más fuertes que aquéllos que se encuentran reunidos en estas obras; pongámoslos pues a prueba, confrontándolos con mis argumentos a favor. En lo que respecta a llevar a cabo un análisis detallado 7 Dignos de mención son también: Hobbes, De Corpore Ch. VII; Berkeley, Tratise on the Principles of human Knowledge,

11 y en profundidad de tales obras, y sobre todo de la importantísima carta de Spinoza a L. Meyer, tan rica en pensamientos, me lo reservo para otra ocasión; aquí me limitaré a las observaciones que siguen. Por diferentes que puedan ser las doctrinas de estos escritores, en el lugar en cuestión ellos dicen sustancialmente la misma cosa sobre lo finito y lo infinito, i.e., que al concepto de número le pertenece la finitud y que, por otra parte, el verdadero infinito o absoluto, que está en Dios, no admite ningún género de determinación. Sobre el segundo punto estoy completamente de acuerdo; no podría no estarlo, porque para mí la proposición omnis determinatio es negatio es absolutamente indudable. Pero, como ya he dicho con anterioridad al discutir el argumento aristotélico contra el infinitum actu, veo en el primer punto una petitio principii, que explica algunas contradicciones presentes en todos estos autores, incluidos en particular Spinoza y Leibniz. La suposición de que aparte del absoluto, inaccesible a cualquier determinación, y de lo finito no deba haber otras modificaciones que, aunque no finitas, sean sin embargo determinables mediante números y constituyan por lo tanto lo que yo llamo el infinito propio esta suposición no está, en mi opinion, justificada de ningún modo, y así está en contradicción con afirmaciones precisas de los dos últimos filósofos. Lo que sostengo, y que creo haber demostrado sea en este trabajo sea en mis trabajos anteriores, es que siguiendo a lo finito hay un transfinitum (al que también se le podría llamar suprafinitum), i.e., una escala ilimitada de modos determinados que por su naturaleza no son finitos sino infinitos pero que, exactamente como lo finito, pueden ser especificados mediante números determinados, bien definidos y distinguibles entre sí. Estoy convencido, pues, de que el dominio de las magnitudes definibles no se agota con las magnitudes finitas y que, como sonsecuencia, es posible extender los confines del conocimiento humano sin por ello violentar a nuestra naturaleza. En lugar de la tesis aristotélico escolástica discutida en el 4 pongo por lo tanto este otro principio: Omnia seu finita seu infinita definita sunt et excepto Deo ab intellectu determinari possunt 8. La finitud del entendimiento humano es invocada con frecuencia como argumento para sostener que sólo los números finitos son pensables, pero también en esta tesis yo veo el círculo vicioso anteriormente mencionado. Cuando se habla de la finitud del entendimiento humano se sobreentiende, de hecho, que su capacidad para construir números está limitada a los que son finitos. No obstante, si se demuestra que el entendimiento puede, en un sentido bien determinado, construir y distinguir entre sí también números infinitos, i.e., suprafinitos, entonces o bien se les debe dar a las palabras entendimiento finito un sentido más amplio, a partir del cual esa conclusión no pueda ser entonces extraída; o y a mi parecer es ésta la única solución correcta también al entendimiento humano se le deberá conceder, bajo ciertos aspectos, el predicado infinito. Las palabras entendimiento finito, que uno escucha tan frecuentemente, son a mi juicio totalmente impropias; por limitada que sea la naturaleza humana y en verdad lo es ella tiene muchísimos puntos de contacto con lo infinito; e incluso afirmo que si 8 Todas las cosas finitas o infinitas son definidas y, salvo Dios, pueden ser determinadas por el entendimiento. 11

12 12 no fuera ella misma en muchos aspectos infinita, la sólida fe y certeza en el ser del absoluto en el cual sabemos que estamos todos unidos sería inexplicable. In particular, estoy convencido de que el entendimiento humano tiene una disposición ilimitada para la construcción escalonada de enteras clases numéricas que están en una relación determinada con los modos infinitos, y cuyas potencias tienen fuerza creciente. A mi parecer, las principales dificultades de los sistemas, que externamente son de hecho de tipos diferentes pero que internamente están estrechamente relacionados, de los dos últimos pensadores recordados pueden, creo, ser llevadas cerca de una solución, y en algunos casos ser ya hoy resueltas y aclaradas de modo satisfactorio, por la vía por mí abierta. Estas dificultades han dado motivo al criticismo posterior 9, pero no obstante sus méritos esta crítica no ha dado, a mi parecer, nada que compense con suficiencia el insuficiente desarrollo de las doctrinas de Spinoza y Leibniz. Pues, junto a (o en lugar de) la explicación mecánica de la naturaleza (que dentro de su propia esfera tiene todas las ayudas y ventajas del análisis matemático a su disposición, pero cuya unilateralidad e insuficiencia han sido brillantemente expuestas por Kant) hasta ahora no ha habido ni siquiera un inicio de una explicación orgánica de la naturaleza que esté provista con el mismo rigor matemático, pero que la supere; y a mi parecer una semejante explicación orgánica podrá ser iniciada sólo recuperando y desarrollando los trabajos y esfuerzos de estos dos autores. Un punto particularmente difícil del sistema de Spinoza es la relación de los modos finitos con los infinitos; permanece inexplicado, de hecho, porqué y bajo qué condiciones lo finito puede mantener su independencia con respecto al infinito (o el infinito con respecto a un infinito todavía superior). Los ejemplos tratados ligeramente in el 4 parecen indicar, en su modesto simbolismo, la vía a lo largo de la cual podamos tal vez acercarnos a la solución de esta problema. Si ω es el primer número de la segunda clase numérica, entonces 1 + ω = ω, pero ω + 1 = (ω + 1), donde (ω + 1) es un número totalmente diferente de ω. Aquí se ve claramente que todo se reduce a la posición de lo finito respecto de lo infinito; si el primero está delante se fusiona con lo infinito y se desvanece allí dentro; pero si en lugar de ello se modera y ocupa su lugar después de lo infinito, entonces lo finito se conserva y se liga con él para formar un nuevo, en cuanto modificado, infinito. 6. Si encontramos alguna dificultad en concebir números enteros infinitamente grandes, autocontenidos, comparables entre sí y con los números finitos, y ligados entre sí y con los números finitos mediante leyes bien establecidas, entonces esas dificultades estarán ligadas con la percepción del hecho de que, aunque los nuevos números tienen en algunos aspectos la misma naturaleza que los anteriores, en otros muchos aspectos tienen una naturaleza enteramente idiosincrásica; de hecho, ocurre con frecuencia que características diferentes están unidas en uno y el mismo número infinito aunque ellas nunca ocurran conjuntamente en los números finitos. En uno de los pasajes 9 Comentar lo referente a Kant.

13 citados en el parágrafo precedente se encuentra la observación de que un número entero infinito, si existiese, debería ser par e impar a la vez; y puesto que estos dos atributos no pueden presentarse unidos, un número de tal género no existe. Obviamente, se está aquí asumiendo implícitamente que características que son mutuamente excluyentes para los números tradicionales deben también serlo para los nuevos números, y de ello se deduce la imposibilidad de los números infinitos. Pero a quién no le salta a los ojos el paralogismo? Porque, una generalización o extensión de un concepto no está ligada a la pérdida de algunas notas características, que son incluso impensables sin una tal pérdida? En la edad moderna no se ha tenido la idea de introducir a los números complejos (una idea de la máxima importancia para el desarrollo del análisis, y que ha conducido a los mayores progresos) sin ver ningún obstáculo en el hecho de que no puedan ser llamados ni positivos ni negativos? Y aquello que me atrevo a culminar aquí es sólo un paso similar; de hecho, será probablemente mucho más fácil para la conciencia general seguirme de lo que fue posible al ir de los números reales a los complejos; porque los nuevos números enteros, aun distinguiéndose de los precedentes por una determinación substancial más intensiva, en cuanto enumeraciones tienen una realidad absolutamente de la misma especie, mientras que la introducción de las magnitudes complejas ha continuado encontrando dificultades hasta que no se ha encontrado, después de muchos esfuerzos, una representación geométrica por medio de puntos o segmentos de un plano. Volviendo brevemente a aquélla consideración sobre el ser par e impar, consideramos de nuevo el número ω para mostrar cómo tales características, incompatibles en los números finitos, aquí ocurren conjuntamente sin ninguna contradicción. En el 3 presenté las definiciones generales de la adición y de la multiplicación, subrayando que en tales operaciones la ley conmutativa no es universalmente válida; en esto veo una diferencia esencial entre los números finitos y los infinitos. Observamos también que en el producto βα entiendo que β es el multiplicador y α el multiplicando; derivamos inmediatamente estas dos formas de ω, ω = ω 2 y ω = 1 + ω 2, basándonos en las cuales ω mismo puede ser concebido sea como un número par, sea como un número impar. pero desde otro punto de vista, i.e., cuando se toma a 2 como multiplicador, se puede también decir que ω no es ni par ni impar, porque se puede fácilmente demostrar que él no es representable ni bajo la forma 2 α, ni bajo la forma 2 α + 1. Por lo tanto, el número ω tiene en realidad respecto de los números tradicionales una naturaleza enteramente idiosincrásica, dado que en él se encuentran unidas estas características y propiedades. Y todavía son más peculiares, como mostraremos más adelante, los otros números de la segunda clase numérica En el 5 he citado muchos pasajes de Leibniz en los cuales se pronuncia contra los números infinitos, diciendo entre otras cosas que Il n y a point de nombre infini ni de ligne ou autre quantité infinie, si on les prend pour des

14 14 Touts véritables 10 y que L infini véritable n est pas une modification, c est l absolu; au contraire, dès qu on modifie on se borne ou forme un fini 11 (en lo que respecta a éste último pasaje concuerdo con él en la primera afirmación, pero no en la segunda). Pero estoy en la afortunada posición de poder citar pasajes del mismo pensador en los que él en una cierta medida se contradice a sí mismo y se declara a sí mismo de la manera más nítida a favor del infinito propio (que es diferente del absoluto). Dice él en la edición de Erdmann, p. 118: Je suis tellement pour l infini actuel, qu au lieu d admettre que la nature l abhorre, comme l on dit vulgairemente, je tiens qu elle l affecte partout, pour mieux marquer les perfections de son Auteur. Ainsi je crois qu il n y a aucune partie de la matière qui ne soit, je ne dis pas divisible, mais actuellement divisée; et par conséquent la moindre particelle doit être considerée comme un monde plein d une infinité de créatures différentes 12. Pero el defensor más decidido del infinito actual, tal como se presenta, por ejemplo, en los conjuntos bien definidos de puntos o en la constitución de los cuerpos a partir de átomos puntiformes (no hablo aquí de los átomos químico físicos, de Demócrito, a los cuales no puedo reconocer ni una existencia real ni conceptual, aunque esta ficción resulte, dentro de ciertos límites, muy útil), es un agudísimo filósofo y matemático de nuestro siglo, Bernhard Bolzano, que ha dado forma a sus ideas con firmeza sobretodo en las Paradoxien des Unendlichen, Leipzig Esta obra bellísima y rica en pensamientos se propone demostrar que las contradicciones que los escépticos y peripatéticos de todos los tiempos han tratado de hallar en el infinito no existen en modo alguno, si sólo se toma la molestia (no, con toda seguridad, siempre liviana) de estudiar con toda seriedad los conceptos del infinito de acuerdo con su verdadero contenido. En el texto también se encuentra una discusión, en muchos aspectos plenamente adecuada, del infinito matemático impropio, bajo la forma sea de diferenciales del primer orden o de orden superior sea en la sumación de series infinitas o de otros procesos de paso al límite. Este infinito, llamado por algunos escolásticos sincategoremático no es mas que un concepto auxiliar y relacional de nuestro pensamiento que comprende en sí, por definición, la variabilidad y al cual, en sentido propio, no se puede nunca atribuir el datur. Es muy notable que, respecto de esta especie de infinito, no prevalezcan en absoluto diferencias esenciales de opinión incluso entre los filósofos contemporáneos, si se me permite ignorar el hecho de que algunos llamados positivistas, o realistas, o materialistas modernos creen ver el concepto 10 No hay ni número infinito ni línea o cualquier otra cantidad infinita, si los toma como verdaderos Todos. 11 El verdadero infinito no es una modificación, es el absoluto; por el contrario, cuando se modifica se limita o forma un finito. 12 Estoy hasta tal punto a favor del infinito actual que, en lugar de admitir que la naturaleza lo aborrece, como se dice vulgarmente, sostengo que él la afecta por doquier, para señalar mejor las perfecciones de su Autor. Así yo creo que no hay ninguna parte de la materia que no sea, no digo divisible, sino que esté actualmente dividida; y por consiguiente la menor partícula debe ser considerada como un mundo lleno de una infinidad de criaturas diferentes.

15 supremo en este infinito sincategoremático aún cuando, como ellos mismos conceden, no tiene un ser en sentido propio. Sin embargo, ya en Leibniz encontramos en muchos lugares esencialmente el punto de vista correcto; el siguiente, por ejemplo, se refiere al infinito impropio (Erdmann, p. 436): Ego philosophice loquendo non magis statuo magnitudines infinite parvas quam infinite magnas, seu non magis infinitesimas quam infinituplas. Utrasque enim per modum loquendi compendiosum pro mentis fictionibus habeo, ad calculum aptis, quales etiam sunt radices imaginariae in Algebra. Interim demonstravi, magnum has expressiones usum habere ad compendium cogitandi adeoque ad inventionem; et in errorem ducere non posse, cum pro infinite parvo substituere sufficiat tam parvum quam quis volet, ut error sit minor dato, unde consequitur errorem dari non posse 13. Bolzano es posiblemente el único para quien los números infinitos propios son legítimos, o cuanto menos el único que los discute con amplitud; sin embargo no estoy de acuerdo absolutamente con su modo de tratarlos, que no le permite dar una definición correcta, y por ejemplo considero inconsistentes y equivocados los de su libro. Para llegar a una verdadera conceptualización de los números infinitos determinados le faltan al autor sea el concepto de potencia, sea una noción precisa de enumeración. Es verdad que en algunos pasajes podemos encontrar, bajo la forma de casos particulares, los embriones de una o de otro, pero a mi parecer el autor no los lleva a una plena claridad y determinación, y es así como se explican muchas incongruencias (e incluso algunos errores) en su obra, por otra parte valiosa. Estoy convencido de que sin estos dos conceptos no se pueden hacer progresos adicionales en la teoría de las multiplicidades, y creo que lo mismo vale también para aquellos campos que caen bajo tal teoría o que están íntimamente en contacto con ella, como por ejemplo la moderna teoría de funciones por una parte y la lógica y la teoría del conocimiento por otro. Cuando concibo el infinito, como he hecho aquí y en mis anteriores investigaciones, experimento un verdadero goce, que me otorgo con un sentido de gratitud, al ver como la totalidad del concepto de número, que en lo finito tiene sólo la realidad de enumeración, ascendiendo al infinito se escinde con toda seguridad de ese modo en dos conceptos: el de la potencia atribuida a un conjunto, que es independiente de la ordenación, y la de la enumeración, que está necesariamente ligado a una ordenación del conjunto conforme a una ley en virtud de la cual se convierte en bien ordenado). Y si del infinito Filosóficamente hablando, ni instituyo magnitudes infinitamente pequeñas ni infinitamente grandes, ni tampoco infinitamente pocas ni infinitamente muchas. Porque, hablando con concisión, considero que ambas son ficciones mentales, convenientes para calcular, como lo son las raíces imaginarias en el Álgebra. Sin embargo, he demostrado que estas expresiones son muy útiles tanto para la concisión del pensamiento como para el descubrimiento; y no es posible que lleven al error puesto que, a fin de que el error sea menor que cualquier cantidad dada, es suficiente substituir lo infinitamente pequeño por una cantidad tan pequeña como se quiera; luego se sigue que un error fijo no puede ser dado.

16 16 volvemos a descender a lo finito veo, de una manera igualmente clara y bella, como los dos conceptos se convierten otra vez en uno y confluyen para formar el concepto de entero finito. 8. Podemos hablar de la realidad o existencia de los números enteros, tanto finitos como infinitos, en dos sentidos; pero, hablando estrictamente se trata también de las dos mismas relaciones bajo las cuales puede ser considerada en general la realidad de conceptos e ideas cualesquiera. Ante todo podemos considerar reales a los números enteros en la medida en que, sobre la base de ciertas definiciones, ellos ocupan en nuestro entendimiento un lugar absolutamente determinado, son perfectamente distintos de todas las otras partes constitutivas de nuestro pensamiento, están con ellas en relaciones determinadas y modifican por lo tanto la substancia de nuestro espíritu de manera definida; séame concedido llamar intrasubjetiva o immanente a esta especie de realidad de nuestros números. Pero se puede también conceder una realidad a los números en la medida en la que se han de considerar como expresiones o imágenes de procesos y relaciones del mundo externo con los que se enfrenta al entendimiento, o en la medida en que, por ejemplo, las diversas clases numéricas (I), (II), (III), etc. representan a potencias presentes de hecho en la naturaleza corpórea y espiritual. Llamo transsubjetiva o transiente a esta segunda especie de realidad de los números enteros. Dado el fundamento totalmente realista, pero también totalmente idealista 14, de mis reflexiones, no tengo ninguna duda de que estas dos especies de realidad estén siempre unidas, en el sentido de que un concepto al que se juzga existente en la primera acepción poseerá siempre, bajo ciertos aspectos (de hecho bajo infinitos), también una realidad transiente (cuya determinación, sin duda alguna, se ha de contar entre las tareas más fatigosas y difíciles de la metafísica, y debe ser frecuentemente dejado para el futuro, cuando el desarrollo natural de una de las otras ciencias revele el significado transiente del concepto que se examina). Esta interconexión de las dos realidades tiene su fundamento más auténtico en la unidad del Todo al cual nosotros mismos pertenecemos. La mención de tal interconexión me sirve, aquí, sólo para obtener a partir de ella una consecuencia que me parece muy importante para las matemáticas, concretamente, que las matemáticas, en la elaboración de sus ideas ha de tomar en consideración sólo y únicamente la realidad immanente de sus propios conceptos y por lo tanto no tiene absolutamente ninguna obligación de investigar su realidad transiente. Debido a esta excelente posición que distingue a las matemáticas de todas las demás ciencias y explica la manera relativamente fácil y carente de ligaduras de su modo de proceder, las matemáticas merecen y lo merecen sólo ellas el nombre de libres, un atributo que, si tuviera la elección, yo preferiría al ahora usual de puras. Las matemáticas se desarrollan de modo completamente libre, salvo la obvia limitación de que sus conceptos no pueden ser contradictorios en sí y deben estar en relaciones exactas, reguladas por las definiciones, con los 14 Explicar la, supuesta, conciliación de Platón y Aristóteles por parte de Cantor.