Análisis y Comprensión de Problemas

Transcripción

1 Programa de Nivelación Análisis y Comprensión de Problemas Fundamentos, Problemas Resueltos y Problemas Propuestos DEPARTAMENTO DE CIENCIAS E INGENIERÍA DE LA COMPUTACIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR 3

2 TABLA DE CONTENIDOS 1 Fundamentos y metodología propuesta El proceso de resolución de un problema Análisis y Comprensión de problemas Etapas en el análisis y comprensión de un enunciado Identificación de la incógnita Datos explícitos e implícitos Dobles negaciones Ejemplos de análisis de problemas Análisis de enunciados de problemas algebraicos Análisis del enunciado de un problema de geometría Análisis del enunciado de un problema lógico Análisis del enunciado de un problema de combinatoria Construyendo un enunciado Construyendo una definición Enunciados que indican instrucciones Escribiendo enunciados de juegos Construcción de la solución Cambiar la representación El espacio de búsqueda Búsqueda inteligente Elaborar una hipótesis Razonar hacia atrás Dividir el problema en subproblemas Reformular el problema Verificación de la solución Problemas propuestos Soluciones, pistas o respuestas Glosario Agradecimientos

3 Análisis y Comprensión de Problemas Fundamentos, Problemas Resueltos y Problemas Propuestos El curso de Análisis y Comprensión de Problemas abordará de manera integral los distintos aspectos involucrados en el proceso de resolución de un problema, desde la comprensión del enunciado, hasta la construcción de diversas representaciones alternativas tendientes a alcanzar la solución. La intención del curso no es enseñar nuevos conceptos, sino retomar los contenidos curriculares desarrollados en el nivel medio y replantearlos en el contexto de situaciones motivadoras y significativas. Un problema es un desafío intelectual y esta propuesta apunta a desarrollar una actitud pro-activa y creativa frente a él. En particular se persiguen los siguientes objetivos: Promover el análisis de los enunciados de los problemas y lograr una comprensión acabada de los mismos. Desarrollar habilidades para identificar estrategias formales e informales, para la resolución de problemas de diferentes dominios de aplicación. Favorecer la reflexión y la discusión acerca de las distintas estrategias y formas de razonamiento. Lograr mayor exactitud y precisión en el lenguaje utilizado al trabajar con un problema. Desarrollar una actitud positiva ante el error como forma de aprendizaje. Aumentar la perseverancia y el esfuerzo por superar situaciones de bloqueo. Presentamos a continuación las ideas fundamentales que serán abordadas en el curso, junto a un conjunto de problemas resueltos y un grupo de problemas para resolver. Los problemas resueltos serán utilizados para ejemplificar la aplicación de la metodología propuesta, mientras que los problemas propuestos tienen como objetivo permitir a los lectores ejercitar los contenidos aquí presentados. Entre los problemas propuestos se incluyen los enunciados de los exámenes del curso de nivelación del año Los problemas seleccionados apuntan a estimular el razonamiento lógico y reforzar las estructuras de pensamiento que los alumnos han adquirido durante su formación en el nivel medio. El propósito fundamental del curso es estimular el desarrollo de habilidades que resulten útiles para la resolución de problemas de cualquier dominio de aplicación. Sin embargo muchos de los problemas están fuertemente ligados a una o más ramas de la matemática, por lo que las expectativas del curso no sólo son alentadoras en lo referente a los objetivos específicos que persigue, sino concibiéndolo como espacio articulador con el Curso de Nivelación de Matemática. 5

4 Fundamentos y metodología propuesta La resolución de problemas permite desarrollar actitudes, hábitos y formas de pensamiento que mejoran las capacidades básicas de un individuo para desenvolverse no sólo en el ámbito académico, sino también en la vida cotidiana. Aunque parezca obvio, es importante definir a qué nos referimos cuando hablamos de un problema, considerando que esta palabra es usada en contextos diferentes y con matices diversos. El diccionario de la Real Academia Española da cinco acepciones diferentes para la palabra problema: 1. Cuestión que se trata de aclarar. 2. Proposición o dificultad de solución dudosa. 3. Conjunto de hechos o circunstancias que dificultan la consecución de algún fin. 4. Disgusto, preocupación. 5. Planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe obtenerse a través de métodos científicos. En los cursos de Matemática o Física, es común que se distingan los problemas de los ejercicios. En un ejercicio se busca encontrar una solución a una consigna aplicando una fórmula, un método o un algoritmo conocido. En un problema, en cambio, no resulta evidente el camino a seguir, ya que no se dispone a priori de una fórmula o método para aplicar. Además puede haber varios caminos alternativos que permitan resolver el problema. La resolución de un problema requiere aplicar y vincular conocimientos previos, probablemente de áreas diferentes, buscando nuevas relaciones. Tampoco consideraremos problema a una situación que no tiene solución. Por ejemplo, calcular el espacio recorrido por un móvil, que se mueve durante 18 segundos a velocidad constante de 30 km. por hora, no es considerado un problema para un estudiante de Física Elemental, sino que representa un ejercicio en donde debe aplicar un método y una fórmula conocida. Para un niño de 4 años, tampoco se lo considerará un problema, ya que con sus conocimientos no tiene modo de llegar a la solución. Resolver un problema requiere tiempo y esfuerzo. El proceso de resolución puede resultar una experiencia placentera y motivadora, ya que tiene algo de descubrimiento, aumenta nuestro conocimiento, aporta nuevos puntos de vista, y mejora nuestra capacidad para resolver otros problemas en el futuro. Nuestra propuesta consiste en plantear un conjunto de situaciones que demanden algo de ingenio e intuición, pero sobretodo permitan aplicar y desarrollar habilidades para resolver problemas. El desarrollo de estas capacidades va a requerir de ciertos conocimientos, pero también del entrenamiento que brinda el resolver situaciones que requieren de esfuerzo y perseverancia. El objetivo de este curso no es proponer soluciones para una enorme cantidad de problemas, para que los alumnos las observen y las estudien. Nuestra intención es plantear algunas situaciones motivadoras y significativas, comprometiéndolos con el proceso de resolución. 6

5 La mayoría de los problemas propuestos no tienen una aplicación directa en un área en particular, pero todos enfatizan la importancia de algún aspecto del proceso de resolución. En este curso no presentaremos acertijos o problemas de ingenio que requieran raptos de imaginación esporádicos. Cada situación presentará un desafío intelectual, pero habrá pautas que orientarán el proceso de resolución. 1 El proceso de resolución de un problema La resolución de un problema puede pensarse como un proceso de búsqueda en un espacio de soluciones potenciales. El proceso requiere recorrer tres etapas fundamentales: a. Analizar y comprender el problema. Esta etapa parece obvia y normalmente es la que se atraviesa con mayor celeridad. Sin embargo, es fundamental y muchas veces la situación de bloqueo ante un problema se debe justamente a que no lo hemos entendido completamente. b. Construir la solución: En esta etapa se elige y se aplica una estrategia o un conjunto de estrategias combinadas. c. Verificar la solución: La etapa final es confrontar los resultados obtenidos con el problema planteado, verificando que la solución sea correcta. Estas etapas no van a seguirse en forma estrictamente secuencial. Muchas veces elegiremos una estrategia, pero luego de aplicarla notaremos que no resulta adecuada o por lo menos no es suficiente para alcanzar la solución. El proceso de resolución puede provocar momentos de bloqueo en donde resulta difícil avanzar, en muchas ocasiones conviene retroceder y volver al paso anterior. En este curso abordaremos todos los pasos de este proceso pero profundizaremos fundamentalmente la primera etapa. 2 Análisis y Comprensión de problemas En un problema pueden distinguirse tres componentes: los datos, la incógnita y un conjunto de reglas o restricciones que vinculan a los datos con la incógnita. El análisis de un problema comienza por lo tanto identificando estas componentes. Un problema se plantea por lo general mediante un enunciado. Analicemos algunas definiciones del diccionario de la Real Academia Española: Enunciado: 1. enunciación. 2. (Gramática) Secuencia finita de palabras delimitada por pausas muy marcadas, que puede estar constituida por una o varias oraciones. Enunciación: Acción y efecto de enunciar. Enunciar: 1. Expresar breve y sencillamente una idea. 2. (Matemática) Exponer el conjunto de datos de un problema. La última definición podría parecer la que más se aproxima a nuestras necesidades. Sin embargo, la especificación de un problema puede no ser breve ni sencilla e incluir datos que no son relevantes para su resolución. En ese sentido, la definición más adecuada es Secuencia finita de palabras delimitada por pausas muy marcadas, que puede estar constituida por una o varias oraciones. 7

6 A continuación se incluyen las etapas que a nuestro entender deberán abordarse para poder comprender un problema. Es importante destacar que no siempre se aplicarán en el orden indicado o todas ellas. Más adelante mostraremos un conjunto de ejemplos para ejemplificar cada una de estas etapas. 2.1 Etapas en el análisis y comprensión de un enunciado El análisis y comprensión de un problema requerirá entonces de varias etapas: Leer con detenimiento TODO el enunciado. Comprender claramente el significado de cada palabra y cada frase. Poner especial atención a los signos de puntuación, ya que de ellos depende el significado de cada frase. Identificar la incógnita. Identificar datos explícitos (puede haber relevantes o irrelevantes). Identificar datos implícitos (puede haber relevantes o irrelevantes) y hacerlos explícitos. Eliminar dobles negaciones o transformar negaciones en afirmaciones. Detectar imprecisiones o ambigüedades, y resolverlas antes de seguir avanzando. Hacer inferencias a partir de los datos detectados y transformarlos en explícitos. Construir un enunciado simple y sencillo con los datos relevantes. Verificar la equivalencia entre la especificación inicial y el enunciado obtenido. Como vemos, el resultado del análisis y comprensión de un problema implicará muchas veces transformar el enunciado en otro más simple. No siempre es evidente la equivalencia entre el enunciado original y el obtenido, algún dato que se ha considerado irrelevante puede no serlo y afectar a la solución de un modo imprevisto. Ante una situación de bloqueo, puede ser útil volver al principio y considerar nuevamente la especificación inicial. Aunque pueda resultar un trabajo excesivo, es importante que en cada problema propuesto abordemos todos estos aspectos. Con frecuencia, si uno enfrenta problemas sencillos, entonces considera innecesaria la etapa de análisis, ya que resulta fácil encontrar una solución. Sin embargo, es muy importante adquirir práctica en el análisis de un problema antes de enfrentar problemas complejos. A continuación se profundizará en algunas de estas etapas y luego mostraremos algunos ejemplos. 2.2 Identificación de la incógnita Todo problema tiene al menos una incógnita, de lo contrario el problema está incompleto. En la mayoría de los problemas, la incógnita es una pregunta al final del enunciado, por ejemplo: Si un camión vacío pesa 2000 kg. y cargado pesa 4000 kg. Cuánto pesa la carga que lleva? Aquí es claro que la incógnita es la última oración, encerrada entre los símbolos de interrogación. Esto es, la incógnita es: Cuánto pesa la carga del camión?. Aunque la mayoría de las veces la incógnita es muy fácil de identificar, hay veces que está más 8

7 escondida. Para ejemplificar esto mostramos a continuación otras formas de expresar el mismo problema pero con enunciados donde la incógnita puede ser menos evidente. Versión 2: Un camionero se pregunta cuánto pesará la carga que lleva, si su camión vacío pesa 2000 kg. y cargado pesa 4000 kg. Versión 3: Cuando Rogelio llega al peaje recuerda que debe informar el peso de la carga que lleva, su camión vacío pesa 2000 kg. y cargado pesa 4000 kg. En la versión 2 la incógnita toma la forma: se pregunta cuánto pesará la carga que lleva. Mientras que en la versión 3 la incógnita esta aún más escondida y toma la forma: recuerda que debe informar el peso de la carga que lleva. 2.3 Datos explícitos e implícitos Con frecuencia, cuando intentamos resolver un problema, tenemos la sensación de que el enunciado no nos brinda suficientes datos. La clave en muchos casos es obtener información útil a partir de ciertos datos que pueden estar escondidos, hablamos entonces de datos implícitos. Un dato es explícito cuando está expresado clara y determinadamente en el problema. En cambio está implícito cuando es parte del problema aunque no se lo exprese directamente. Por ejemplo, considere el siguiente problema: Se quiere calcular cuanta alfombra de color azul se necesita para una habitación cuadrada de un departamento en la calle 12 de octubre La habitación tiene 1 puerta de 80 cm de ancho, y una ventana en la pared opuesta de 1 metro de ancho. El ancho de la habitación es de 3 metros. Aquí está explícito que la alfombra tiene que ser de color azul, y que la habitación es cuadrada y tiene 3 m de ancho. En la frase la habitación es cuadrada está implícito que la superficie de la habitación se calcula como lado por lado. Consideremos ahora el siguiente problema: Tres jóvenes matrimonios salieron a bailar. Una de las chicas vestía de rojo, otra de verde, y la tercera, de azul. Sus maridos vestían también de estos mismos colores. Ya estaban las parejas en la pista cuando Carlos, el chico de rojo casado con la chica de verde, le dijo: - Te has dado cuenta Ana? Ninguno de nosotros tiene pareja vestida de su mismo color. Con esta información, se podrá deducir de qué color viste el compañero de baile de la chica de rojo? El problema indica explícitamente el chico de rojo, casado con la chica de verde..., que puede quedar expresado como: Chica R V A Chico R El comentario de Carlos establece una restricción adicional, que puede pasar desapercibida en una lectura apresurada: no hay una pareja tal que ambos usen el mismo color, de modo que la chica de azul necesariamente tiene que quedar ligada al chico de verde y completamos así la solución. Chica R V A Chico A R V 9

8 El lector habrá observado que los problemas proveen muchos datos que no son necesarios para hallar la solución. Por lo tanto, distinguiremos datos relevantes de datos irrelevantes (o no relevantes). Un dato es relevante cuando es necesario para obtener solución del problema. Cuando un dato que figura en el enunciado no es necesario para solucionar el problema, entonces decimos que es un dato irrelevante. Por ejemplo en el problema anterior el ancho de la habitación es relevante. Sin embargo, el color de la alfombra, la dirección del edificio, y que la habitación tiene una ventana son datos irrelevantes. La distinción de los datos relevantes debe hacerse cuidadosamente. En un problema sobreespecificado, puede haber varios conjuntos de datos relevantes alternativos. En ese caso existirá más de un camino hacia la solución. En el siguiente ejemplo: Tres hombres tienen dos trabajos cada uno. El chofer se burla del músico por su pelo largo. El músico y el jardinero acostumbran a ir de pesca con Juan. El pintor le compró una botella de ginebra al asesor. El chofer está de novio con la hermana del pintor. Jorge debe al jardinero 1000 pesos. Javier venció a Jorge y al pintor jugando al tejo. Uno de ellos es peluquero y no hay dos que tengan el mismo trabajo. Qué hace cada uno? Podríamos preguntarnos para qué sirve saber que Jorge debe al jardinero 1000 pesos. En principio no parece una frase relevante, sin embargo, nos permite deducir un dato que está implícito, Jorge no es jardinero. 2.4 Dobles negaciones Muchas veces una frase esta expresada de tal forma que utiliza una doble negación. Esto es, en lugar de afirmar algo, se niega la negación. Por ejemplo la frase es falso que no me acuerdo en realidad expresa lo mismo que afirmar me acuerdo, ya que al indicar es falso que no... es lo mismo que expresar es verdadero que.... Las dobles negaciones suelen ser confusas para entender. Por lo tanto, en estos casos conviene simplificar el enunciado del problema reemplazando la frase que tiene una doble negación por otra que exprese la afirmación. Por ejemplo: no es cierto que lo que dijo es falso puede ser reemplazado con lo que dijo es verdadero. 2.5 Ejemplos de análisis de problemas A continuación mostraremos algunos problemas que ilustran cómo analizar un problema. Nuevamente insistimos en que nuestro objetivo no es mostrar la solución del problema, sino mostrar cómo analizar y comprender lo que dice el enunciado. Recordemos cuales son los pasos que debemos tener en cuenta para comprender el enunciado: Leer con detenimiento TODO el enunciado Comprender claramente el significado de cada palabra y cada frase. Interpretar cada párrafo considerando particularmente el significado que depende de los signos de puntuación. Identificar la incógnita. Identificar datos explícitos (puede haber relevantes o irrelevantes). Identificar datos implícitos (puede haber relevantes o irrelevantes) y hacerlos explícitos. 10

9 Eliminar dobles negaciones o transformar negaciones en afirmaciones. Detectar imprecisiones o ambigüedades, y resolverlas antes de seguir avanzando. Hacer inferencias a partir de los datos detectados y hacerlos explícitos. Construir un enunciado simple y sencillo con los datos relevantes. Verificar la equivalencia entre la especificación inicial y el enunciado obtenido Como dijimos, no siempre utilizaremos todos los pasos, ni tampoco en este orden. A continuación mostramos varios enunciados de problemas y los análisis desarrollados paso por paso Análisis de enunciados de problemas algebraicos Considere el siguiente enunciado: Un quiosquero tiene su quiosco en la esquina de Alem y Córdoba; todos los días abre a las 8 y cierra a las 22 horas. El quiosquero sabe con certeza que va a vender 350 alfajores la próxima semana y como no quiere perder ningún cliente, no puede dejar de comprar menos de esa cantidad. Antes de ir a comprar los alfajores se pregunta cuánto dinero tiene que gastar si quiere invertir la menor cantidad posible. En el supermercado, cada bolsa de 8 alfajores cuesta $3. En el mayorista, cada caja de 60 alfajores cuesta $20. A primera vista, el problema no parece fácil de resolver; sin embargo, un análisis del enunciado nos permitirá resolverlo muy fácilmente. Usaremos para esto muchos de los pasos propuestos. Leer con detenimiento TODO el enunciado. Esto queda por supuesto a cargo del lector. Si su ansiedad lo llevó a leer superficialmente el enunciado del problema, nuestra sugerencia es volver a leerlo con mayor atención antes de pasar al próximo paso. Si no fue así lo invitamos a continuar con lo que sigue. Comprender claramente el significado de cada palabra y cada frase: a cargo del lector. Interpretar cada párrafo considerando particularmente el significado que depende de los signos de puntuación: también a cargo del lector. Identificar la incógnita. En este enunciado, la incógnita no se encuentra en la última oración y entre signos de interrogación, sino que está un poco más escondida. Su identificación puede obtenerse descartando primero aquellas oraciones que no expresan ninguna incógnita. Una pista importante aparece en las palabras se pregunta cuánto. Esto nos lleva a descubrir que en este caso la incógnita es: cuánto dinero tiene que gastar si quiere invertir la menor cantidad posible. Identificar datos explícitos (puede haber relevantes o irrelevantes). Anotamos ahora todos los datos explícitos en el enunciado, e identificamos cuáles son a nuestro criterio relevantes para resolver la incógnita y cuáles no. Tiene su quiosco en la esquina de Alem y Córdoba, (no es relevante) Abre todos los días (no es relevante) Abre a las 8 y cierra a las 22 horas. (no es relevante) Necesita comprar 350 alfajores (relevante) No puede comprar menos de 350, o perderá clientes ( relevante) En el supermercado, cada bolsa de 8 alfajores cuesta $3. ( relevante) En el mayorista, cada caja de 60 alfajores cuesta $20. ( relevante) 11

10 Identificar datos implícitos y hacerlos explícitos. Hay algunos otros datos que no están en forma explícita en el enunciado, pero que se deducen rápidamente de él. El quiosquero puede hacer sus compras en el supermercado o en un mayorista. Debe comprar tantas bolsas o cajas para cubrir 350. Puede comprar más de 350 si es necesario. En el mayorista debe comprar por cajas de 60, así que siempre comprará múltiplos de 60. Esto es, no puede comprar 70 alfajores. Si quiere comprar 70 deberá comprar 2 cajas de 60 por lo tanto comprará 120 alfajores. En el supermercado las bolsas son de 8 alfajores. Así que sólo puede comprar múltiplos de 8. Por ejemplo 24 o 72. Detectar imprecisiones o ambigüedades, y resolverlas antes de seguir avanzando: Una posible ambigüedad es si tiene que comprar exactamente 350 alfajores. La respuesta es no, ya que tiene que comprar una cantidad que puede ser mayor. Hacer inferencias a partir de los datos detectados y hacerlos explícitos: para esto vamos haciendo preguntas sencillas que guiarán a la solución de la incógnita. Cuántas bolsas de supermercado necesitaría comprar para tener al menos 350 alfajores? Respuesta: la solución matemática es: 350 / 8 = 43,75 bolsas, pero como no puede comprar 0,75 de bolsa, entonces necesita comprar 44 bolsas. Cuántas cajas del mayorista necesitaría comprar? Respuesta: ahora la solución es 350 / 60 = Por lo tanto necesitaría comprar 6 cajas. Cuánto gastaría en el supermercado? Respuesta: 44 x $3 = $132 Cuánto gastaría en el mayorista? Respuesta: 6 x $20 = $120 Ahora es mucho más fácil hallar la solución: El quiosquero invierte $120. Consideremos ahora este otro problema: Deduzca las edades de las personas que intervienen en el siguiente diálogo. - Cuál es tu edad Pedro? - Es fácil Juan, dentro de dos años, tendré el triple que tu edad actual. - Es cierto, y dentro de cuatro años, yo tendré la mitad de tu edad actual. - Cuál es la edad de tu mamá? - Tiene Cuántos años sumamos entre los dos? El problema no parece fácil de resolver, sin embargo un análisis del enunciado nos permitirá resolverlo más fácilmente. Usaremos para esto muchos de los pasos propuestos. Leer con detenimiento TODO el enunciado. Esto nuevamente queda a cargo del lector. Comprender claramente el significado de cada palabra y cada frase: Es importante tener en claro el significado de la palabra diálogo, que implica que sólo hay dos personas conversando. 12

11 Identificar la incógnita. Al final del enunciado hay una pregunta entre signos de interrogación: Cuántos años sumamos entre los dos?, sin embargo, esta pregunta no es la incógnita del problema. La incógnita del problema es: Deduzca las edades de las personas que intervienen en el diálogo. Como el diálogo es entre Juan y Pedro, la incógnita es averiguar las edades de ellos dos. Observe que la edad de la madre de uno de ellos es un dato irrelevante. Identificar datos explícitos (puede haber relevantes o irrelevantes). Intervienen en el diálogo Pedro y Juan (relevante) Dentro de dos años, Pedro tendrá el triple que la edad actual de Juan. (relevante) Dentro de cuatro años, Juan tendrá la mitad de la edad actual de Pedro. (relevante) La edad de la mamá es 45. (no es relevante) Hacer inferencias a partir de los datos detectados y hacerlos explícitos: Llamemos P a al edad actual de Pedro y J a la edad actual de Juan Qué edad tendrá Pedro dentro de dos años? Respuesta: P+2 Cómo lo podemos relacionar con la edad actual de Juan? Respuesta: Pedro tendrá el triple que la edad de Juan. Como tendrá más, entonces se verifica que (P+2) > J y como es el triple, entonces nos queda la ecuación P + 2 = 3. J Con esta ecuación sola no es posible resolver el problema. Cómo podemos relacionar la edad de Juan con la edad actual de Pedro? Respuesta: Dentro de cuatro años, Juan tendrá J+4 años, y esa cantidad será la mitad que la edad actual de Pedro. Es decir, será menor, con lo cual tenemos que J+4 < P. Para tener una igualdad necesitamos multiplicar J+4 por 2. Con lo cual nos queda la ecuación 2.(J+4)=P Del análisis del problema hemos arribado al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: P + 2 = 3. J 2. (J+4) = P La solución de este sistema de ecuaciones nos da la respuesta al problema: Pedro tiene 28 y Juan tiene 10 años. La resolución de un sistema de ecuaciones lineales es un tema que se explicará en detalle en el Curso de Nivelación de Matemática Análisis del enunciado de un problema de geometría Considere el siguiente enunciado: Los hermanos Ricon tenían cada uno dinero en el banco, el mayor $600, el menor la mitad que el mayor, y el tercero tanto como sus dos hermanos juntos. Con parte de su dinero compraron tres terrenos cuadrados ubicados uno al lado del otro como muestra la figura. Los terrenos tienen 10m, 8m y 6m de lado respectivamente. Ellos querían sembrar césped en la parte sombreada de la figura, y el hermano menor se encargaría de comprar las semillas. Cuando fue al vivero le preguntaron cuántos metros cuadrados tenía que sembrar. El hermano contestó: tiene un lápiz y un papel? 13

12 A primera vista, el problema no parece fácil de resolver; sin embargo, un análisis del enunciado nos permitirá hacerlo. Seguiremos para esto muchos de los pasos propuestos. Leer con detenimiento TODO el enunciado. Esto nuevamente queda a cargo del lector. Comprender claramente el significado de cada palabra y cada frase: Es importante tener en claro el significado de uno al lado del otro antes de avanzar. La figura nos muestra claramente qué significa. Identificar la incógnita. Al final del enunciado hay una pregunta entre signos de interrogación: tiene lápiz y papel?, sin embargo, esta pregunta no es la incógnita del problema. De la exploración del texto descubrimos que los hermanos quieren sembrar césped en el área sombreada y para esto necesitan saber cuántos metros cuadrados ocupa. Por lo tanto la incógnita del problema es: Cuántos metros cuadrados ocupa el área sombreada? Identificar datos explícitos (puede haber relevantes o irrelevantes). Anotamos ahora todos los datos que aparecen explícitos en el enunciado, e identificamos cuáles son a nuestro criterio relevantes para resolver el problema y cuáles no. Observe que LA FIGURA es un dato explícito relevante para el problema. Sin la figura el problema no puede resolverse, ya que no se sabría cuál es el área sombreada. Los hermanos Ricon tenían cada uno dinero en el banco (no es relevante) El mayor tenía $600. (no es relevante) El menor la mitad que el mayor. (no es relevante) El tercero tanto como sus dos hermanos juntos. (no es relevante) Con parte de su dinero compraron tres terrenos. (no es relevante) Los terrenos son cuadrados. (relevante) Los terrenos están ubicados uno al lado del otro. (relevante) Los terrenos tienen 10 m, 8 m y 6 m de lado respectivamente. (relevante) Querían sembrar césped en la parte sombreada de la figura. (relevante) El hermano menor se encargaría de comprar las semillas. (no es relevante) La figura. (relevante) Identificar datos implícitos y hacerlos explícitos. Hay algunos otros datos que no están en forma explícita en el enunciado, pero se deducen rápidamente de él. Los terrenos son cuadrados, entonces el área de cada uno de ellos se obtiene multiplicando lado por lado El área sombreada se obtiene con una recta que es diagonal a la figura, pero no es diagonal de ninguno de los cuadrados. Hacer inferencias a partir de los datos detectados y hacerlos explícitos: para esto vamos haciendo preguntas sencillas que guiarán a la solución de la incógnita. De alguna manera transformamos el problema en varios subproblemas más simples. 14

13 Cuál es el área total de los tres terrenos juntos? Respuesta: el primero 10m x 10m = 100 m 2, el segundo 8m x 8m = 64m 2, y el tercero 6m x 6m = 36m 2. Por lo tanto el área total es 100 m m m 2 = 200 m 2. Cuántos metros cuadrados tiene el área sin sombrear? Respuesta: Es la mitad del área de un rectángulo de 10m de alto por m de ancho. Esto es, el área sin sombrear tiene (10m x 24m) / 2 = 120 m 2. La respuesta al problema es ahora evidente: el área sombreada es la diferencia entre el área total (200 m 2 ) y el área sin sombrear (120 m 2 ), esto es, 80 m Análisis del enunciado de un problema lógico Considere el siguiente enunciado: Una tarde de lluvia en vacaciones suele ser una invitación para jugar a las cartas. Marta y Guillermo tenían un mazo de cartas y entonces jugaron al truco, luego a la escoba de 15, al chinchón y también a la casita robada. Cuando los juegos que conocían se acabaron, Marta le propuso a Guillermo un nuevo juego con seis cartas sobre la mesa boca abajo, donde cada una tiene al menos tres cartas vecinas. Marta le dijo a Guillermo: Te doy las siguientes pistas con las cuales es posible adivinar qué cartas son: Sólo hay reyes, caballos o sotas y hay tantos reyes como caballos. Hay más de una sota. Hay a lo sumo 2 reyes y no hay ningún rey vecino a otro rey. Hay al menos dos caballos y todo caballo es vecino a otro caballo. No hay ningún rey debajo de una sota. Si hay menos de 3 sotas, entonces no son vecinas entre sí. Puedes ayudar a Guillermo a ganar el juego? Leer TODO el enunciado. A cargo del lector. Identificar la incógnita. Al final del enunciado se encuentra una pregunta, sin embargo, si la incógnita fuera ésta, entonces la respuesta al problema podría ser si puedo, lo cual no parece razonable. La incógnita entonces es entonces Cuáles son las cartas que están boca abajo?. Identificar datos explícitos (puede haber relevantes o irrelevantes). Hay dos personas Marta y Guillermo. (no es relevante) Jugaron al truco, la escoba de 15, al chinchón y casita robada. (relevante porque permite inferir que el mazo es de cartas españolas) Un nuevo juego con seis cartas sobre la mesa boca abajo. (relevante) La figura. (relevante) Sólo hay reyes, caballos o sotas. (relevante) Hay tantos reyes como caballos. (relevante) Hay más de una sota. (relevante) Hay a lo sumo 2 reyes. (relevante) No hay ningún rey vecino a otro rey. (relevante) Hay al menos dos caballos. (relevante) Todo caballo es vecino de otro caballo. (relevante) No hay ningún rey debajo de una sota. (relevante) Si hay menos de 3 sotas, entonces ninguna es vecina de otra. (relevante) 15

14 Identificar datos implícitos (puede haber relevantes o irrelevantes) y hacerlos explícitos. Utilizan cartas de la baraja española. En un mazo hay como máximo 4 cartas de cada número. Detectar ambigüedades y resolverlas. Muchos de los datos utilizan la expresión vecino. Ej. todo caballo es vecino de otro caballo. Antes de comenzar a hacer inferencias sobre los datos, hay que tener claro que significa vecino. Una interpretación posible es uno a la izquierda o derecha del otro, pero podría ser más general y considerarse que esté a la derecha o izquierda o arriba o abajo, o las diagonales. Afortunadamente hay una frase en el enunciado que resuelve la ambigüedad:...cada carta tiene al menos tres cartas vecinas En la figura de la derecha hemos identificado las cartas con un número para simplificar la explicación. Como cada carta es vecina de al menos otras tres, entonces la número 1 es vecina de la 2, la 4 y la 5. Por lo tanto vecina considera: arriba, abajo, izquierda, derecha y las diagonales. La número 5, por ejemplo, es vecina de la todas las demás. Hacer inferencias de los datos detectados y hacerlos explícitos. Veamos primero que podemos deducir acerca de la cantidad de cartas de cada tipo: Como tenían un solo mazo de cartas, entonces no puede haber más de 4 reyes o más de 4 caballos o más de 4 sotas. Como hay más de una sota, entonces puede haber 2, 3 o 4 sotas. Como hay a lo sumo 2 reyes, entonces puede haber 1 o 2 reyes. Como hay al menos dos caballos, entonces puede haber 2, 3 o 4 caballos. Como hay tantos reyes como caballos entonces no queda otra posibilidad más que haya 2 reyes y 2 caballos. Si hay 2 reyes y 2 caballos, y hay 6 cartas, entonces hay 2 sotas. Por lo tanto hasta aquí hemos descubierto cuántas cartas hay de cada una. Veamos ahora qué posiciones ocupa cada una. Utilizaremos la letra R para representar un rey, la C para un caballo y la S para una sota. Como no hay ningún rey vecino de otro rey entonces hay cuatro posibilidades: R R R R R R R R Como los caballos deben quedar vecinos uno del otro, y no hay ningún rey debajo de una sota, se infiere que las sotas deben quedar debajo de los reyes. R C C R C R C C R R C R R R Como hay menos de 3 sotas, entonces no están una al lado de la otra, lo cual nos deja una sola opción posible. R C R S C S 16

15 2.5.4 Análisis del enunciado de un problema de combinatoria Harry se encontraba frente a una puerta que lo conducía al tesoro. En la puerta se leía la siguiente frase Se dispone de un cubo de piedra, un cubo de madera, un cubo de oro y un cubo de vidrio y se quieren apilar esos cubos. Se desea saber de cuántas maneras puede hacerse, considerando que el cubo de piedra no puede estar encima del cubo de vidrio, ni tampoco sobre el cubo de madera. Si el cubo de oro está sobre otro cubo, está sobre el de piedra. No es falso que el cubo de vidrio pueda estar encima de cualquiera. Es falso que el cubo de vidrio no puede estar debajo de uno de madera. Debajo de esta frase se podía leer: Si quiere abrir la puerta seleccione una de estas opciones: Leer TODO el enunciado. Identificar la incógnita. La incógnita es: De cuántas maneras posibles puedo apilar los cuatro cubos? Identificar datos explícitos (puede haber relevantes o irrelevantes). Harry estaba frente a una puerta. Si dispone de un cubo de piedra, un cubo de madera, un cubo de oro y un cubo de vidrio. (relevante) El cubo de piedra no puede estar encima del de vidrio. (relevante) El cubo de piedra no puede estar sobre el de madera. (relevante) El cubo de oro sólo puede estar sobre el de piedra. (relevante) No es falso que el cubo de vidrio pueda estar encima de cualquiera. (relevante) Es falso que el cubo de vidrio no puede estar debajo de uno de madera. (relevante) Eliminar dobles negaciones o transformar negaciones en afirmaciones. No es falso que el cubo de vidrio pueda estar encima de cualquiera. Si no es falso, entonces es verdadero, y por lo tanto podemos afirmar que: el cubo de vidrio puede estar encima de cualquiera Es falso que el cubo de vidrio no puede estar debajo de uno de madera. Si es falso que no, entonces es verdadero. Por lo tanto podemos afirmar que el cubo de vidrio puede estar debajo de uno de madera Hacer inferencias a partir de los datos detectados y hacerlos explícitos. Cuántos cubos hay que apilar? Como se dispone de un cubo de piedra, un cubo de madera, un cubo de oro y un cubo de vidrio, entonces las pilas son de cuatro cubos Dónde puede ubicarse en cubo de piedra? 17

16 Si el cubo de piedra no puede estar encima del de vidrio, y el de piedra no puede estar sobre el de madera, entonces el de piedra sólo puede estar en el piso o sobre el de oro. Dónde puede ubicarse el de oro? El cubo de oro sólo puede estar sobre el de piedra, por lo tanto no puede estar sobre el de madera o vidrio. Esto es, está sobre el piso o sobre el de piedra. De lo anterior, deducimos que el cubo de vidrio y el cubo de madera no pueden estar debajo del cubo de oro o el cubo de piedra. Por lo tanto hay dos opciones para ubicar los primeros dos bloques directamente sobre el piso (P representa piedra y O representa oro): O P P O Dónde pueden ubicarse el de vidrio y el de madera? Al eliminar las dobles negaciones queda el de vidrio puede estar encima de cualquiera, y el de vidrio puede estar debajo de uno de madera, por lo tanto el de madera también puede estar sobre cualquiera. Entonces es indistinta la ubicación del de vidrio con respecto al de madera. Así, tenemos dos opciones para cada una de las opciones anteriores (V representa vidrio y M madera). 2.6 Construyendo un enunciado M V M V V M V M O O P P P P O O En lugar de analizar un enunciado, consideraremos ahora la tarea de construir un enunciado. Esta actividad le permitirá fijar aún más los conceptos que hemos introducido. Veremos diferentes tipos de enunciados Construyendo una definición Una definición establece una equivalencia entre un nombre y una descripción. Asumiendo como válida la siguiente definición: Un triángulo equilátero es un polígono formado por tres lados de igual longitud. La que sigue es incompleta: Un triángulo equilátero es un polígono formado por tres lados. En el enunciado anterior falta un elemento fundamental respecto al anterior, esto es, indicar que los lados deben ser de igual longitud. Sin esto, la definición es incorrecta. Asumiendo conocido el concepto de rectángulo, consideremos ahora que se quiere escribir una expresión que lo caracterice con precisión: 18

17 Podemos comenzar con: Un rectángulo es un polígono de cuatro lados. Sin embargo, este enunciado no es completo, ya que las siguientes figuras se ajustan a esa descripción, y no son rectángulos: Descubrimos entonces que es importante indicar que los lados opuestos son de igual longitud. Entonces modificamos nuestro enunciado a Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, en el cual los lados opuestos son de igual longitud. Este enunciado aún es incompleto ya que un paralelogramo también se adapta a la definición: Descubrimos entonces que es imprescindible indicar cómo deben ser los ángulos interiores. Entonces modificamos el enunciado a: Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, donde los lados opuestos son de igual longitud y los ángulos interiores tienen 90 grados Enunciados que indican instrucciones Muchas veces un enunciado se utiliza para indicar instrucciones. Mostraremos a continuación algunos ejemplos. Instrucciones impresas en una caja de mate cocido: Para preparar un buen mate cocido: Coloque en la taza un saquito de Mate Cocido. Caliente agua fresca hasta el primer hervor y viértala en la taza. Deje reposar 5 minutos. Si lo prefiere helado, póngalo en la heladera o agréguele hielo, limón y azúcar. Instrucciones impresas en el anverso de una tarjeta telefónica: Para cargar el monto de la tarjeta a su cuenta prepaga: 1. Raspe suavemente para descubrir el código de seguridad de su tarjeta. 2. Marque el código de acceso y siga las instrucciones. 3. Seleccione la opción de carga y cuando el sistema lo solicite, ingrese el número de la clave de seguridad descubierta. 4. Recibirá el nuevo saldo de su cuenta y podrá realizar llamadas Instrucciones impresas en el envase de un acondicionador de pelo: 19

18 Modo de uso: Luego del shampoo aplicar el acondicionador sobre el cabello mojado de las orejas para abajo, a lo largo y en las puntas del cabello. Dejar actuar 2 minutos. Enjuagar con abundante agua. Para construir este tipo de enunciados hay que tener en cuenta a quien está dirigido, y qué se quiere explicar. Por ejemplo, supongamos que se quiere explicar cómo obtener el saldo de una cuenta bancaria desde un teléfono. En este caso asumimos que está dirigido a una persona adulta que es el titular de la cuenta bancaria. Las instrucciones podrían ser: 1. Desde un teléfono por tonos llame al Al ser atendido seleccione la opción Ingrese su número de DNI seguido de su clave personal, y # para finalizar. 4. Seleccione la opción 2 (saldo de cuenta). 5. Si quiere escuchar nuevamente el saldo seleccione nuevamente la opción 2. Observe que en estas instrucciones se está asumiendo que el que leerá el enunciado conoce cómo hacer una llamada telefónica y qué es un teléfono por tonos Escribiendo enunciados de juegos Los juegos son una fuente de diversión, pero muchas veces también un desafío intelectual. Para que el juego se desarrolle correctamente y en forma justa, muchas veces es necesario un enunciado que lo describa con la mayor exactitud posible. Por supuesto que para escribir el enunciado de un juego hay que saber jugarlo. Comenzaremos describiendo un juego muy sencillo donde se lanza una moneda al aire y gana el que acierta una predicción. Cara o cruz (para 2 jugadores): 1) Se necesita una moneda que tenga una figura diferente de cada lado. Cada uno de los jugadores elige un lado de la moneda. 2) Se lanza la moneda hacia arriba tratando que gire en el aire, y que caiga sobre una superficie plana (por ejemplo la palma de la mano del que arrojó la moneda, o el piso) 3) El jugador que haya elegido previamente el lado de la moneda que quedó hacia arriba, es el ganador. Una forma de construir el enunciado de un juego es dividirlo en partes: preparación y comienzo del juego, desarrollo, jugadas especiales, y finalización del juego. Describiremos ahora un juego de cartas muy sencillo. Observe que con el fin de describir el juego con la mayor precisión posible las instrucciones resultan bastante extensas. La casita robada (para 2 o más jugadores): 1) Preparación y comienzo del juego: Los jugadores se ubican en ronda, en lo posible sentados alrededor de una mesa. Al comenzar, uno de los jugadores será el encargado de repartir las cartas. Para esto, mezcla bien las cartas y le pide al jugador que está a su izquierda que corte. Luego reparte las cartas boca abajo, en el sentido contrario a las agujas del reloj y comenzando por el jugador de su derecha. Entrega una carta a cada jugador, hasta que cada jugador tiene 3 cartas. Finalmente el jugador que reparte 20

19 coloca cuatro cartas boca arriba sobre la mesa, las cuales deben ser visibles y accesibles a todos los jugadores. 2) Desarrollo del juego: Cada participante jugará en turno, comenzando por quien se encuentra a la derecha del que reparte y siguiendo el mismo orden en que se repartieron las cartas. Cuando sea su turno, cada participante buscará entre las cartas que tiene en sus manos, una que coincida en número con una de las ubicadas en la mesa (por ejemplo, en la mesa hay un 5 de copas y el participante tiene un 5 de espadas). Si esto ocurre, colocará estas dos cartas boca arriba en una pila de cartas a su derecha. Si no existiera tal coincidencia entre las cartas, entonces está obligado a dejar una carta boca arriba sobre la mesa. De esta forma, cada jugador siguiendo su turno, irá levantando o dejando cartas sobre la mesa, hasta que se completen 3 rondas. Cuando esto suceda, el jugador que reparte las cartas volverá a repartir 3 cartas a cada participante y se sigue jugando como fue indicado anteriormente. 3) 4) Robo de la casita: Si en su turno, un jugador descubre que posee en sus manos una carta que tiene el mismo número que la que se encuentra en la parte de arriba de la pila de cartas de otro de los participantes, entonces puede robar las cartas que ha juntado el otro. Para esto, muestra la carta que lo habilita y pone todas las cartas de su contrincante sobre su pila y la carta que le permitió hacer esta maniobra arriba de su pila. Sólo podrá realizar esta operación una vez en cada turno. Finalización del juego: El juego termina cuando no quedan más cartas para repartir y cada jugador no tiene cartas en la mano. Si aún quedan cartas sin dueño sobre la mesa, entonces el último jugador que levantó una carta de la mesa puede quedarse con estas cartas. El ganador del juego es el que al finalizar queda con más cartas en su poder. 3 Construcción de la solución Resolver un problema exige conocimiento, reflexión, razonamiento lógico y alguna dosis de ingenio y sagacidad. Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida. Estas personas aplican, generalmente de una manera inconsciente, toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente adecuados para abordar problemas. Estas operaciones mentales se conocen como procesos heurísticos. Una heurística es una regla práctica basada en la experiencia, sobre la cual no existe garantía. Los procesos heurísticos pueden adquirirse y una persona puede aprender estrategias que aumenten su capacidad para resolver problemas que de otra manera le hubieran resultado difíciles. Una estrategia es un método general, una guía que puede aplicarse para hallar la resolución de muchas clases de problemas. Existen diferentes estrategias para enfrentar la resolución de un problema. Algunas de las que vamos a explorar en el curso son: Hallar una representación gráfica que permita visualizar los datos del problema y sus relaciones. Identificar la similitud con otros problemas ya resueltos Reformular el problema Dividir el problema en varios subproblemas más simples Razonar hacia atrás Partir de un supuesto Cuando nos encontremos bloqueados ante un problema, estas estrategias pueden resultar una ayuda valiosa para encontrar el camino hacia la solución. Las estrategias no son alternativas sino complementarias y con frecuencia aplicaremos dos o más de ellas. 21

20 Por supuesto una estrategia no suple la falta de conocimientos específicos, ni transforma la resolución en un proceso algorítmico. La intención de este curso es desarrollar actitudes, hábitos y formas de pensamiento que mejoren la capacidad para resolver problemas. 3.1 Cambiar la representación En la mayoría de los problemas el enunciado contiene algunos detalles que adornan el problema pero no brindan información útil. Resulta útil construir una representación que permita reflejar la información relevante y descartar lo demás. Los diagramas, fórmulas, tablas y dibujos pueden llegar a ser una gran ayuda para el proceso de resolución, porque permiten visualizar claramente los datos del problema y sus relaciones. Ya hemos usado una forma de cambio de representación cuando analizábamos el enunciado de un problema: Si Ángela habla más bajo que Rosa y Celia habla más alto que Rosa, habla Ángela más alto o más bajo que Celia? Al reemplazar los nombres de los protagonistas por letras y la relación entre el tono de voz por operadores relacionales, estamos cambiando la representación del problema a una más sucinta: A < R y C > R entonces A < R < C Consideremos ahora el siguiente problema: Con la participación de numerosos cantantes de distintos países se llevó a cabo el festival internacional de la canción. Trate de averiguar la nacionalidad, el premio en efectivo y el puesto que ocupó cada uno de los cinco temas finalistas: Desde La Boca, Luna, Morena, Ojos Claros y Libertad. 1. El tema argentino Desde la Boca quedó posicionado inmediatamente después que la melodía que representó a Brasil. Ambos superaron a la canción chilena. 2. El tema que ocupó el segundo puesto obtuvo $250 menos que el ganador. 3. El tema Libertad ocupó el cuarto lugar y obtuvo un premio de $ El chamamé paraguayo quedó en último lugar y obtuvo $100 menos que el tema del puesto anterior. 5. El máximo puesto lo obtuvo Morena, representante de Cuba. 6. El tema que ocupó el tercer puesto obtuvo la mitad de dinero que el primero pero el doble que el cuarto. 7. Ojos Claros no fue el tema con el que participó Paraguay. El problema brinda mucha información y es difícil que logremos organizarla si no recurrimos a una representación gráfica que nos permita visualizar las relaciones entre las canciones, los puestos, los premios y las nacionalidades. La siguiente tabla puede ser usada tanto para hallar la solución como para mostrarla: TEMA PAÍS PREMIO 22

21 De todas las pistas la primera que nos brinda información certera para volcar en la tabla es la número 3. TEMA PAÍS PREMIO Libertad Podemos continuar con la pista 4 y completar la tabla como sigue: TEMA PAÍS PREMIO Libertad Paraguay 150 Dejamos a cargo del lector los pasos que siguen, que requerirán fundamentalmente leer las pistas más de una vez. 3.2 El espacio de búsqueda Considere el siguiente problema: A lo largo de una carretera hay cuatro pueblos seguidos: los Rojos viven al lado de los Verdes pero no de los Grises; los Azules no viven al lado de los Grises. Quiénes son pues los vecinos de los Grises? En un problema como este la solución tiene que cumplir con varias restricciones. En este caso las restricciones son: 1. los Rojos viven al lado de los Verdes pero no de los Grises 2. los Azules no viven al lado de los Grises Para encontrar la solución podemos elegir una restricción, probablemente la más estricta, y escribir explícitamente todas las combinaciones que la verifican. Luego consideramos cada una de las demás restricciones y al hacerlo se descartan algunas de las combinaciones. La idea es partir de un espacio de búsqueda que considere todas las combinaciones posibles y usar las pistas para eliminar alternativas. Si representamos con V a los verdes, con R a los rojos, con G a los grises y a los azules con A, en este ejemplo, el espacio de búsqueda estará compuesto por las 24 combinaciones posibles de ubicación de los pueblos. Esto es, R V G A, o V A G R, o V G R A etc. Al considerar la primera restricción, existen ocho combinaciones que la satisfacen, pero como vemos las cuatro que aparecen en la segunda columna son equivalentes a las primeras. R V G R V G R V G V R G G V R G V R G V R G R V 23

22 Al considerar la segunda restricción, sólo nos queda la tercera combinación: A R V G En muchos problemas resulta conveniente reordenar las restricciones eligiendo en primer lugar la que más restringe el espacio de búsqueda. Es importante destacar en muchos problemas es imposible considerar todo el espacio de búsqueda. En particular, en los juegos la cantidad de combinaciones suele ser muy grande para poder representarla. Por ejemplo, en un juego tan simple como el TATETÍ, para cada una de las nueve ubicaciones posibles para la primera ficha, existen 8 maneras diferentes de ubicar la segunda. 3.3 Búsqueda inteligente La búsqueda de la solución puede realizarse de manera inteligente, si se hacen algunas deducciones que nos permitan acercarnos a la solución. Considere el siguiente problema: Con las 28 fichas de un juego completo de dominó se armó este tablero, en el que faltan casi todas las líneas que separan a las fichas. El juego consiste justamente en deducir cómo deben dibujarse estas líneas para que las fichas queden correctamente delimitadas. Las fichas pueden estar ubicadas de manera horizontal o vertical En este tipo de problemas resulta muy útil dibujar la lista de fichas de modo que a medida que las ubicamos en el tablero, las marcamos en la lista Una estrategia inteligente para este juego es reconocer en el tablero pares de valores que sólo aparecen una vez en casillas adyacentes, en forma vertical u horizontal. Estos pares conforman entonces fichas del juego que podemos dibujar en el tablero y marcar en la lista como usadas. Las fichas que correspondan a varios pares en el tablero van a quedar determinadas a partir de la colocación de otras fichas, cuando se descarten todas las posibilidades, menos una. Para nuestro problema, los dos 4 de la primer fila conforman el único par (4,4) del tablero, de modo que dibujamos la ficha y la tachamos en la lista. Al hacerlo, queda determinada también 24