Taller de Geometría 3D Semana de la Ciencia del IES Las Fuentezuelas 3 de Marzo de 2013

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Roberto Valverde Guzmán
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1 GeoGebra 5 actualmente está disponible en versión beta que sin embargo es suficientemente estable para trabajar en el aula. Se puede obtener la última versión para todas las plataformas en instálala en tu portátil antes del día 3 de Marzo. Investigación: Investiga probando lo que se te ocurra siempre que quieras. Vuelve al estado inicial usando Vista 3D: Utiliza las gafas 3D siempre que aparezca este símbolo los parámetros de vista de la ventana 3D. Actividad 1. Para ello modifica Exploramos el interfaz del programa y obtenemos puntos y vectores. 1. Inicia el programa y guarda el archivo con el nombre vectores3d. 2. Encuentra la posición de la herramienta deslizador y crea dos, a y b. Observa que también se puede crear escribiendo en la línea de entrada c=3, por ejemplo. 3. Hay una herramienta para representar vectores, pero nosotros usaremos la barra de entrada para representar los vectores u=(a,b) y v=(a,b,c) 4. Para representar puntos podemos escoger entre la herramienta o directamente escribirlos en la barra de entrada. Necesitamos representar el origen de coordenadas, el punto (0,0,0). 5. Escribe en la barra de entrada A+u, y A+v para representar los puntos B y C. 6. Obtén el segmento BC, que proyecta el vector v sobre el plano y modifica su estilo de forma que sea una línea de puntos. 7. Modifica los deslizadores para comprobar que ocurre.

2 Actividad 2 Investigar sobre la suma con vectores. 1. Abre el archivo anterior vectores3d y utiliza guardar como, para guardarlo con el nombre operaciones_vectores3d. 2. Escribe en la barra de entrada u+v, y A+w. Utiliza la herramienta polígono, para dibujar el polígono ABCD. Comprueba que es un paralelogramo en el que w es una diagonal. Para ello obtén el ángulo ABD y ACD con la herramienta ángulo y las longitudes de sus lados con la herramienta longitud. 3. Comprueba que u-v es la otra diagonal. 4. Ahora ocultamos todos los objetos menos el vector w. Hay muchas formas de hacerlo: Presionando las esferas delante de cada objeto. El vector u estaría oculto y el w expuesto.

3 Actividad 3 Investigar sobre los productos de vectores. Hay dos productos de vectores: El producto escalar u v, geométricamente es la longitud de la proyección de uno sobre la recta que contiene al otro. Crea el archivo producto_escalar. 1. Dibuja una esfera de radio 1 centrada en el origen de coordenadas, A. 2. Obtén un vector u = AB, con extremo en punto de la esfera y otro vector v = AC. Oculta la esfera. 3. Dibuja la recta b que contiene al vector u y la perpendicular a b por C. 4. Obtén el punto D y la distancia AD. 5. Introduce en la barra de entrada h = u*v, y comprueba que al modificar u y v, h da el mismo resultado que la distancia entre A y D. El producto vectorial, u v, es un vector perpendicular a u y a v y de longitud o módulo el área del paralelogramo que forman. Crea el archivo producto_vectorial. 1. Dibuja dos vectores AB y AC. 2. Representa rectas paralelas a ellos que pasen por B y C respectivamente y encuentra el punto D, de intersección de ambas rectas, Escribe en la barra de entrada, interseca [a,b]. 3. Representa el paralelogramo ABCD y haya su área. 4. Calcula el vector w= u v, dibuja el plano que contiene a A,B y C y comprueba que es perpendicular a él. 5. Obtén el punto E= A+ w y comprueba que la distancia AE es igual al área.

Actividad 4 Dibujar un prisma recto de base triangular investigando sobre el producto vectorial de vectores. 1. Abre un archivo nuevo y guardar como, producto_vectorial. 2.

4 Actividad 4 Dibujar un prisma recto de base triangular investigando sobre el producto vectorial de vectores. 1. Abre un archivo nuevo y guardar como, producto_vectorial. 2. Obtén los puntos A=(2,-1,1), B=(1,1,1) y C=(0,1,0) y el plano a que los contiene. 3. Obtén el trángulo ABC con la herramienta polígono. 4. Obtén le vector u=ba y v=bc y el vector w, producto vectorial de estos vectores, que se obtiene escribiendo, u v. (es un vector en la dirección perpendicular al plano que los contiene). 5. Utiliza la herramienta traslada objeto por vector, para trasladar el triángulo ABC, y dibuja las otras caras del prisma. 6. Modifica la posición del punto B y da color.

5 Actividad 5 Dibujar un cono y obtener los cortes de planos en él o cónicas. Circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Crea el archivo cónicas.

6 Actividad 6 Investigar sobre circunferencias, planos y rectas en 3D. 1. Abre un archivo nuevo y guárdalo como Plano3D. 2. Dibuja los puntos A=(0,0) y B=(0,3) y la circunferencia c, con Centro en A y que pasa por B. 3. Representamos un puntos sobre c, C y el vector AC, u, y después la recta que pasa por C y es paralela al eje Z. 4. Ahora necesitamos un deslizador, b, El punto D= (0,0,b) y el vector v, AD. 5. Obtenemos el vector w=u+v, el punto E=A+w, y el plano d que contiene a A,D y E.

Llamamos C al punto de intersección de ambas circunferencias, de forma que el triángulo ABC es equilátero. 3.

7 Actividad 7 Construcción de un tetraedro regular. 1. En la pantalla gráfica 2D vamos a dibujar un triángulo equilátero. Dibujamos dos puntos A y B y dos ceircunferencias de centro A y que pase por B y veceversa, centro en B y que pase por A. 2. Llamamos C al punto de intersección de ambas circunferencias, de forma que el triángulo ABC es equilátero. 3. Dibujamos en la pantalla 3D un plano perpendicular a AB que pase por C y otro perpendicular a BC que pase por A, consideramos la recta de intersección de ambos planos, recta g. 4. Dibujamos la esfera, h, con centro en A y que contiene a B. 5. Usamos el comando interseca[g,h] para obtener D, punto que con A,B y C nos proporciona el tetraedro.

la pantalla 2D. 2. Utiliza el comando dodecaedro[a,b,zaxis3d]. 3.

8 Actividad 8 El programa dibuja poliedros directamente. 1. Guarda como construcción_poliedros un archivo nuevo y dibuja dos punatos A y B en la pantalla 2D. 2. Utiliza el comando dodecaedro[a,b,zaxis3d]. 3. Intenta inscribirlo en una esfera. 4. En combinación con la herramienta extrude prisma para dibujar una pieza como la de abajo..

9 Actividad 9 Utiliza las herramientas 3D de GeoGebra 5 para representar las siguientes construcciones.

Actividad 10 Obtener un poliedro de Arquimedes con caras regulares, concretamente el tetraedro truncado. 1. Dibuja dos puntos A y B sobre el plano XY y utiliza el comando tetraedro[a,b,zaxis3d] para obtener el tetraedro ABCD.

Obtén el plano paralelo a la cara BCD que contiene a E, y los puntos F y G de intersección con las aristas DB y DC. 4. Dibuja el triángulo EFG. 5.

10 Actividad 10 Obtener un poliedro de Arquimedes con caras regulares, concretamente el tetraedro truncado. 1. Dibuja dos puntos A y B sobre el plano XY y utiliza el comando tetraedro[a,b,zaxis3d] para obtener el tetraedro ABCD. 2. Obten el punto E=A+1/3 Vector[A,D]. 3. Obtén el plano paralelo a la cara BCD que contiene a E, y los puntos F y G de intersección con las aristas DB y DC. 4. Dibuja el triángulo EFG. 5. De la misma forma para el punto B, obtén H=B+1/3 Vector[B,D], el plano paralelo a ACD que pasa por H, y el triángulo HIJ. 6. Haced lo mismo para los otros dos vértices y terminad el tetraedro truncado.

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EXAMEN A: Ejercicio nº 1.- Página 1 de 25 Indica el valor de los ángulos señalados en cada figura: Ejercicio nº 2.- La siguiente figura es una esfera de centro C y radio 3 unidades. Cómo definirías dicha