Modelo Lineal Generalizado. 1er. Cuatrimestre de 2010

Transcripción

1 Modelo Lineal Generalizado 1er. Cuatrimestre de

2 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Estimación y Tests de Bondad de Ajuste Supongamos que tenemos un muestreo multinomial y obtenemos la tabla (X,Y)ennindividuos. Y =1 Y =2 Y =J X=1 n 11 n 12 n 1J X=2 n 21 n 22 n 2J X=I n I1 n I2 n IJ Cuadro1:TabladeI J Sean ij elnúmerodeindividuosquetienenp(x=i,y =j),demaneraque n= I J n ij i=1j=1

3 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Porloqueyavimoslosestimadoresdemáximaverosimilituddeπ ij son ˆπ ij = n ij i,j. n Si las dos variables categóricas fueran independientes, tendríamos π ij =π i π j i,j, luego por la propiedad de invariancia de los estimadores de máxima verosimilitud, bajoindependenciaelestimadordemáximaverosimilituddeπ ij sería: Dadoquen ij Bi(n,π ij ), ˆπ ij = ˆπ i ˆπj= n i+n +j n 2 i,j.

4 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN m ij =E(n ij )=nπ ij. Bajo el supuesto de independencia, el EMV es ˆm ij =nˆπ ij = n i+n +j n Estos estimadores tienen la propiedad de tener las mismas marginales que la tabla: ˆm i+ = J j=1 ˆm +j = I i=1 n i+ n +j n n i+ n +j n =n i+ =n +j TestdeBondaddeAjuste Pearson(1900) presentó un test que sirve para evaluar si una distribución

5 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN multinomialtieneciertasprobabilidadesπ ij0 propuestas. Comoantes,vectorizaremos latablanotando{n 1,...,n N }alascasillasy {π 1,...,π N }lasprobabilidadescorrespondienteyn= N i=1 n i. Supongamos que las hipótesis a testear son H 0 :π i =π i0, N j=1 π i0= N Pearson propuso el siguiente estadístico: j=1 π i=1 H 1 : i:π i π i0 χ 2 = N j=1 (n i m i0 ) 2 m i0 dondem i0 =nπ i0 Laideaintuitivaesquecomparamoselvalorobservado(n i )conelvalor esperado(m i0 )bajoh 0,sueledecirse: (observado esperado) 2. esper ado

6 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN IntuitivamenterechazaremosH 0 cuandoestoseamuygrande. Cuángrande? ElargumentoheurísticoquedioPearsoneselsiguiente:sin 1,...,n N fueran v.a.independientestalesquen i P(m i ),bajociertascondiciones entonces n i m i mi aprox. N(0,1) N i=1 n i m i mi 2 aprox. χ 2 N Siademásagregásemoslarestricción N n i=n,seríanaturalperderungrado i=1 delibertadyqueladistribuciónasintóticadelestadísticoresultaseχ 2 N 1.Por todo esto, la regla de decisión sería RechazamosH 0 siχ 2 >χ 2 N 1,α

7 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN EnelcasoenqueN=2,elestadísticoqueda n ( ˆp π 0 ) 2 π 0 +n ( ˆp π 0 ) 2 1 π 0 =n ( ˆp π 0 ) 2 π 0 (1 π 0 ) = que es el cuadrado del test habitual para testear ˆp π 0 π0 (1 π 0 )/n 2 H 0 :π=π 0 H 1 :π π 0 que tiene distribución asintótica normal y en consecuencia, su cuadrado lo compararíamosconunaχ 2 1. Veamos la justificación teórica de este test. Comenzaremos por presentar algunos resultados teóricos.

8 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Proposición 1: SeanX n =(X 1n,...,X kn ) unasucesióndev.a.yλ=(λ 1,...,λ k ) R k. Si λ R k λ X n =λ 1 X 1n +...+λ k X kn D λ 1 X λ k X k, dondex = (X 1,...,X k ) F,entoncesladistribuciónĺımitedeX n = (X 1n,...,X kn ) existeyesf. Teorema Central del Límite Multivariado(TCLM) SeaU n =(U 1n,...,U kn ) unasucesióndevectoresaleatoriostalesquee(u n )= µyσ Un =Σ,n=1,2,... SiŪ n =(Ū 1n,...,Ū kn ) eselvectordepromedios,dondeparacada1 i k n Ū in = 1 n U ij,entonces j=1

9 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN n(ūn µ) D N k (0,Σ). SegúnlaProposición1debemosestudiarladistribucióndeλ Ū n. λ Ū n =λ 1 Ū 1n +...+λ k Ū kn =λ 1 = 1 n n j=1 U 1j n n j=1 λ U j = 1 n W j j=1 = W dondee(w i )=λ µ,var(w i )=λ Σλ. Por el TCL univariado, tenemos que n +...+λ k n j=1 U kj n

10 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN es decir, n( W n λ µ) n(λ Ū n λ µ) D N k (0,λ Σλ), D N k (0,λ Σλ), quecorrespondealadistribucióndeλ U,conU N k (0,Σ) porloque n(ūn µ) D N k (0,Σ). Proposición 2: SiZ n D Zygesunafuncióncontinua,entonces g(z n ) D g(z).

11 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN EnRtenemosquesi n(xn µ) D N(0,σ 2 ) entonces bajo condiciones de suavidad de la función g, D n(g(xn ) g(µ)) N(0,σ 2 (g (µ)) 2 ) El siguiente lema, conocido como Método generaliza este resultado para una función de vector aleatorio.

12 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Lema 2: Método una función de vector aleatorio. SupongamosqueT n =(T 1 n,...,t N n)esunasucesióndevectoresaleatorios tal que n((t 1 n,...,t N n) (θ 1,...,θ N )) D N(0,Σ) Seagunafuncióntalqueg:R N Rdiferenciable.Luegosi entonces φ=(φ i )= g t i t=θ, n(g(t 1 n,...,t N n) g(θ 1,...,θ N )) D N(0,φ Σφ) Análogamente, si en lugar de un campo escalar tenemos un campo vectorial, esdecirg:r N R q,dondecadacomponenteg i esdiferenciablecomoen el lema anterior, obtenemos

13 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN donde n(g(t 1 n,...,t N n) g(θ 1,...,θ N )) G ij = g i t j t=θ D N q (0,GΣG ) Ahoraestudiaremosladistribuciónasintóticade( n 1 n,..., n N 1 n )cuando (n 1,...,n N ) M(n,π 1,...,π N ) N i=1 π i=1. Llamemosp=(p 1,...,p N ),p i = n i n. ConsideremoselvectorY i M(1,π 1,...,π N )queyadefinimoscontodas suscomponentesigualesa0yunúnico1enlacoordenadaj-ésimasienla i-ésima observación ocurrió la categoría j: Y i =(0,...,1,...,0) 1 i n j

14 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN RecordemosquesiY i M(1,π 1,...,π N ) E(Y i )=π Σ Yi = (π) ππ PodemosescribiralvectorpentérminosdelosY i : p= 1 n Y i=(ȳ 1,...,Ȳ N ) i=1 entonces por el T.C.L multivariado sabemos que n n(p π) D N N (0, (π) ππ ). Yahemosvistoquecomolosπ i sestánrelacionados,σ= (π) ππ noes invertible. Definamos p=(p 1,...,p N 1 ) y π=(π 1,...,π N 1 ).

15 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Notemos que p = Tp, siendo T es una transformación lineal, luego aplicando el T.C.L. multivariado a Tp donde ( π) π π síesinvertible. n( p π) D N N 1 (0, ( π) π π ), EstoquieredecirquebajoH 0 donde Σ 0 = ( π 0 ) π 0 π 0. n( p π0 ) D N N 1 (0, Σ 0 ),

16 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Porlotanto,comox D 1 xesunafuncióncontinuadexporlaproposición2 tenemos que n( p π 0) Σ 1 0 ( p π 0 ) D χ 2 N 1 Calculando efectivamente la forma cuadrática que estamos considerando, veremos que n( p π 0) Σ 1 0 ( p π 0 )=n N (p i π i0 ) 2 j=1 π i0

17 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Ejemplo: Leyes de Mendel EltestdePearsonfueusadoparatestearlasleyesdeherenciadelateoríade Mendel. Mendel cruzó arvejas de cepa amarilla con arvejas de cepa verde puras ypredijoquelasegundageneracióndehíbridosseríanun75%amarillasyun 25% verdes, siendo las amarillas las de carácter dominante. Enunexperimentoden=8023semillas,resultaronn 1 =6022amarillasy n 2 =2001verdes.Lasfrecuenciasrelativasesperadaseranπ 1 =0.75yπ 2 =0.25, porlotantom 1 = ym 2 = Luego, si queremos testear la hipótesis nula elestadísticoχ 2 es: H 0 :π 1 =0.75,π 2 =0.25 χ 2 = (n ) (n ) =0.015 con un p-valor=0.88, lo que no contradice la teoría de Mendel.

18 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN CuandoπpuedeyacerencualquierlugardeS decimosqueelmodeloes saturado. Este modelo tiene N 1 parámetros. Sin embargo, con frecuencia suponemosqueπyaceenunsubconjuntodemenordimensióndes. Por jemplo, los elementos de π podrían estar determinados por q parámetros desconocidosθ=(θ 1,...,θ q ),comomuestranlossiguientesejemplos. Test de Independencia Independenciaenunatablade2 2 SupongamosqueX=(X 11,X 12,X 21,X 22 ) eselvectordefrecuenciasdeuna tablade2 2. Luego,X ij eselnúmerodeindividuosparaloscuales(a=i,b=j).siay B no están relacionados, entonces en todas las casillas valdrá:

19 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN B=1 B=2 A=1 X 11 X 12 α A=2 X 21 X 22 1 α β 1 β Cuadro 2: π ij =P(A=i,B=j)=P(A=i)P(B=j) Llamemosα=P(A=i)yβ=P(B=j),luego π= π 11 π 12 π 21 π 22 = αβ α(1 β) (1 α)β (1 α)(1 β) Este es un modelo restringido que depende del parámetro θ=(α,β),

20 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN donde0 α 1, 0 β 1. Parahallarlosestimadoresdemáximaverosimilituddeαyβtenemosque maximizar: L = L(X 11,X 12,X 21,X 22,α,β)= n! = X 11!X 12!X 21!X 22! (αβ)x 11 (α(1 β)) X 12 ((1 α)β) X 21 ((1 α)(1 β)) X 22 Después de tomar logaritmo, obtenemos: l=ln(l)=cte + X 11 ln(αβ)+x 12 ln(α(1 β)) + X 21 ln((1 α)β)+x 22 ln((1 α)(1 β))

21 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Despuésdederivareigualara0,queda: (1): (2): l α =X 11+X 12 α l β =X 11+X 21 β X 21+X 22 1 α =0 X 12+X 22 1 β =0 porlotanto ˆα= X 11+X 12 n. ˆ β= X 11+X 21. n EnelcasogeneraldeunatabladeI J,elmodeloseríaπ ij =π i+ π +j. Enelcasogeneral,esdecirenlastablasdecontingenciadeI Jconmuestreo

22 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN multinomial puede ser de interés testear la hipótesis de independencia, es decir: H 0 :π ij =π i+ π +j i,j es decir, la hipótesis nula depende de ciertos parámetros. PorestosibienparatestearestahipótesisusaremosuntestdetipoPearson, antes será necesario estudiar la distribución asintótica de dicho estadístico bajo estas condiciones. Otro ejemplo es el de las tablas simétricas. Ejemplo:Tablade2 2consimetría ConsideremosX=(X 11,X 12,X 21,X 22 ) comoenelejemploanterior,pero supongamos) que ahora A y B representan dos características medidas en dos oportunidades distintas. Por ejemplo, A podría ser la respuesta a A: Apoyaustedlagestióndegobierno?

23 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN medidaenelmesdeenero(1=si,0=no)yblamismapreguntahechatres meses después. Febrero Enero π 11 π 12 0 π 21 π 22 Cuadro 3: Enestetipodeesquemaelinterésdelinvestigadoresdetectaruncambioen eltiempo.sinohubieraningúncambio,laprobabilidadde Sienenero P(A=1)=π 11 +π 12 sería igual a la probabilidad de Si tres meses después P(B=1)=π 11 +π 21. ObservemosP(A=1)=P(B=1)siysólosiπ 12 =π 21,queseconoce como la condición de simetría. Bajo simetría, π = π(θ) podría expresarse como:

24 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN π= π 11 π 12 π 21 π 22 = α β β 1 α 2β, conθ=(α,β). SeráunejerciciodelaprácticaprobarquelosEMVbajoestemodeloson: ˆα= X 11 n. ˆ β= X 12+X 21 2n.

25 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Caso Paramétrico General(Rao, Capítulo 5e) SupongamosqueX M(n,π(θ 0 )),dondeπ(θ 0 )=(π 1 (θ 0 ),...,π N (θ 0 ))y θ 0 R q. Aún cuando en los dos ejemplos anteriores los EMV tienen una forma cerrada, en otros modelos más complicados, los EMV deben ser computados en forma iterativa. Engeneral, θ ˆ es solución de las ecuaciones de score : θ j l(π(θ),x)=0, j=1,...,q. (1) DemostraremosquebajocondicionesderegularidaddelEMV θ ˆ es asintóticamente normal, es decir n(ˆ θ θ 0 ) D N q (0,(A A) 1 )

26 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN donde A= (π(θ 0 )) 1/2 π. θ θ=θ 0 Esteresultadolodeduciremosexpresandoaˆ θ en términos de las frecuencias relativas,esdecirp,yluegoaplicandoelmétodo. Estonospermitiráderivarladistribucióndelestadísticoχ 2 encasosbastante generales. Para que el EMV de θ exista, es necesaria una condición de identificabilidad fuerte: Dadoδ>0,existeɛ>0talque N ínf θ θ π i(θ 0 )log π i(θ 0 ) 0 >δi=1 π i (θ) ɛ

27 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Estacondiciónimplicaquefueradelabola θ θ 0 δnohayningunasucesióndepuntosθ r talqueπ(θ r ) π(θ 0 )amedidaquer,esdecirque nohayvaloresθlejanosaθ 0 quedenpracticamentelasmismasprobabilidades queπ(θ 0 ). Es decir: δ>0,exiteɛ>0talquesi θ θ 0 >δentonces π(θ) π(θ 0 ) >ɛ. Bajolacondiciónfuertedeidentificabilidadycontinuidaddelasfuncionesπ i (θ), sepuededemostrarqueelemvdeθexisteyqueconvergeaθ 0 conprobabilidad 1. Másaún,silasfuncionesπ i (θ)tienenderivadasparcialesdeprimerorden,se puededemostrarqueelemvessoluciónde l θ j =0, j=1,...,q. (2)

28 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Porúltimo,siπ(θ) π(β)siθ β,lasfuncionesπ i (θ)tienenderivadasparcialesdeprimerordencontinuasenθ 0 ylamatrizdeinformacióni I rs = N i=1 1 π i π i θ r π i θ s evaluadaenθ 0 noessingular,entoncesexisteunaraízconsistentede(2)que puede no ser un EMV y que tiene distribución asintótica normal. Deduciremos un resultado análogo al que ya vimos para el caso no paramétrico cuando ˆπ=π(ˆ θ)ycalcularemosgradosdelibertaddelaχ 2 correspondiente. El resultado que probaremos es el siguiente:

29 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Teorema:Supongamosquelasprobabilidadesdelascasillassonπ 1 (θ),...,π N (θ) queinvolucranaqparámetrosθ=(θ 1,...,θ q ).Además,supongamosque: a)θ 0 esunpuntointeriordelespacioparamétrico. b)π i (θ 0 )>0 i. c)cadaπ(θ)admitederivadasparcialescontinuasde1 er ordenenun entronodeθ 0. d)lamatrizm={ π r(θ) θ s }den qevaluadaenθ 0 tienerangoq. Luego, tenemos que χ 2 = N i=1 (n i ˆm i ) 2 ˆm i = N i=1 (n i nˆπ i ) 2 nˆπ i D χ 2 N 1 q

30 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Comenzaremos por probar el siguiente resultado auxiliar. Lema1:Supongamosqueθ 0,valorverdaderodelparámetro,esunpunto interiordelespacioparamétrico,π i (θ 0 )>0 iyqueademássecumplenlas siguientes condiciones: a)π i (θ) π i (β)paraalgúnisiθ β(condicióndeidentificabilidad). b)π i (θ)admitederivadasparcialesde1 er ordencontinuasenθ 0. c)lamatriz{i rs }esnosingularenθ 0,donde I rs = N 1 π j (θ 0 ) π j (θ 0 ) j=1π j (θ 0 ) θ r θ s Luego,existeunaraízconsistente θde l =0 i=1,...,q,ecuaciónde θ i verosimilitudytomando θ ˆ = θ tenemos que su distribución asintótica es normal q variada n(ˆ θ θ 0 ) D N q (0,(A A) 1 )

31 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN donde Esquema de demostración A= (π(θ 0 )) 1/2 π(θ 0 ) θ. (1) Lemita: Si i=1 a i i=1 b i,dondea i >0yb i >0,entonces ylaigualdadsealcanzasia i =b i i. N a ilog b i 0 i=1 a i

32 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN (2) Consideremos la función sobre la bola (3) Con esto probamos que S(θ)= N π i(θ 0 )log π i(θ 0 ) i=1 π i (θ) θ θ 0 δ ínf S(θ)>ɛ>0 θ θ 0 =δ (4)Apartirde(3)usandounargumentodecontinuidad,vemosquesi θ θ 0 =δ N p ilogπ i (θ 0 )> N p ilogπ i (θ) i=1 i=1 porlotantoelmáximosealcanzaen θ,puntointeriorde θ θ 0 δ.

33 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN (5)Probamosquepara θ s ( θ s,θ 0s ) N i=1 n p i π i (θ 0 ) π i ( θ) π i ( θ) θ r = N q i=1s=1 n( θ s θ 0s ) π i( θ) θ r π i ( θ) θ s 1 π i ( θ) (3) (6)Finalmente,sidefinimosA R N q {A}=a ij =π i (θ 0 ) 1/2 π i(θ 0 ) θ j = (π(θ 0 ) 1/2 ) π(θ 0) θ reemplazandoa π = π( θ)porsuĺımiteπ 0 = π(θ 0 )en(3)podemos reescribir dicha ecuación como: A (π 1/2 0 ) n(p π 0 ) (a) =(A A) n( θ θ 0 ) Como(A A)esinvertibleporc),tenemosque

34 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Dado que deduciremos que n( θ θ 0 ) (a) = (A A) 1 A (π 1/2 0 ) n(p π 0 ) (a) = ndz n n(p π(θ0 )) n( θ θ 0 ) D N q (0, (π 0 ) π 0 π 0) D N q (0,(A A) 1 ). En realidad, necesitamos algo más, ya que nos interesa la distribución asintótica deπ( θ). Aplicando todos los resultados anteriores obtenemos que: n(π( θ) π(θ 0 )) D N(0, π(θ 0) θ (A A) 1 π(θ 0) ) θ

35 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Notemosqueelestadísticoχ 2 puedeescribirsecomo χ 2 =n e 2 donde e = p 1 π 1 ( θ) π1 ( θ),..., p N π N ( θ) πn ( θ) Para derivar la distribución asintótica de χ 2 necesitaremos la conjunta de (p,π( θ)). Recordemos que n( θ θ 0 ) (a) = (A A) 1 A (π 1/2 0 ) n(p π 0 ) ( π π 0 ) = π(θ 0) ( θ θ 0 )+o p (n 1/2 ) θ

36 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Porlotanto de donde donde Σ = n Luego, deduciremos que p π 0 π π 0 n = p π 0 π π 0 I D n(p π0 )+o p (1) D N(0,Σ ) (π 0 ) π 0 π 0 ( (π 0 ) π 0 π 0)D D( (π 0 ) π 0 π 0 )D( (π 0 ) π 0 π 0)D ne D N(0,I π(θ 0 ) 1/2 π (θ 0 ) 1/2 A(A A) 1 A ) Para usar el método probaremos que: e i p i = π i 1/2

37 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN De manera que e i = 1 p i + π i π i 2 π 3/2 i e i = e i =0 p j π j e p = ( π i 1/2 ) e π = 1 2 ( (p)+ ( π)) ( π 3/2 )

38 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Teorema: Sea Y un vector con distribución N(ν, Σ). Una condición necesaria ysuficienteparaque(y ν) C(Y ν)tengadistribuciónχ 2 esqueσcσcσ= ΣCΣ,dondelosgradosdelibertadseránelrangodeCΣ(siΣesnosingular lacondiciónsesimplificaacσc=c).(rao,1965,p.150) Comohemosvisto,χ 2 = ne ne,luegoaplicaremoselresultadoderao conν=0,c=i,σ=i π(θ 0 ) 1/2 π (θ 0 ) 1/2 A(A A) 1 A ),porloque resultará que χ 2 = ne ne D χ 2 N 1 q

39 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Volviendo al Test de Independencia: EnunatabladeI Jconmuestreomultinomial,lahipótesisnuladeindependencia equivale a H 0 :π ij =π i+ π +j i,j Usando el estadístico de Pearson tendríamos I J i=1j=1 (n ij ˆm ij ) 2 ˆm ij Respecto a los grados de libertad, estos están determinados por la cantidad de casillasydeparámetros,queenestecasoserán I J 1 (I 1) (J 1)=(I 1) (J 1). En el siguiente ejemplo se clasifica a los individuos según su Identificación Partidaria y el Género. En la siguiente tabla tenemos los valores observados

40 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN y en rojo los valores predichos bajo el modelo de independencia C: Identificación partidaria Demócrata Independiente Republicano Total S:Género Fem (261.4) (70.7) (244.9) Masc (182.6) (49.3) (171.1) Total Cuadro 4: Datos de la General Social Survey, Elvalordelestadísticotestdeχ 2 es7.01,conij 1 (I 1) (J 1)=(I 1)(J 1)=(2 1)(3 1)=2gradosdelibertad.Elp valorcorrespondiente es0.03,demaneraquealosvaloreshabitualesserechazaríalahipótesisde independencia, indicando que el género y la identificación partidaria estarían asociados.

41 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Otro Ejemplo Este es otro ejemplo en que las probablidades dependen de una cantidad menor de parámetros desconocidos, θ. Una muestra de 156 terneros nacidos en Florida fueron clasificados de acuerdo aquehayancontraídoneumoníadentrodelos60díasdehabernacido.los terneros que contrayeron neumonía fueron a su vez clasificados según se hayan infectadoonoalos15díasdehabersecurado.latablamuestralosdatos recolectados: Segunda Infección Si No Primera Infección Si No 0 63 Cuadro 5: Es claro que los terneros que no tuvieron una primera infección no pudieron

42 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN reinfectarse, es por ello que ninguna observación puede verse en la casilla 21 y enconsecuenciaenlatablan 21 =0.Estoesloqueseconocecomouncero estructural. El objetivo en este estudio era testear si la probabilidad de una primera infeción era igual que la proabilidad de una segunda infección, dado que el ternero había contraído una primera infección. Esdecir,lahipótesisatesteares H 0 :π 11 +π 12 = π 11 π 11 +π 12 oequivalentementeπ 11 =(π 11 +π 12 ) 2.Demaneraquesillamamosπ = π 11 +π 12 alaprobabilidaddeinfecciónprimaria,elmodelobajoh 0 corresponde a una trinomial como muestra la siguiente tabla: En este caso el likelihood resulta (π 2 ) n 11 (π(1 π)) n 12 (1 π) n 22,

43 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Primera Infección Si No Segunda Infección Si No Total π 2 π(1 π) π 1 π 1 π Cuadro 6: el log likelihood queda n 11 log(π 2 )+n 12 log(π π 2 )+n 22 log(1 π), Derivando e igualando a 0 resulta ˆπ= 2n 11 +n 12 2n 11 +2n 12 +n 22 En la siguiente tabla se muestran en rojo(2do. renglón) los valores esperados bajoh 0

44 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Segunda Infección Si No Primera Infección Si (38.1) (39) No 0 63 ( ) (78.9) Cuadro 7: ElestadísticodePearsondaχ 2 =19.7conuntotalde(3-1)-1=1gradosde libertad.dadoqueelp valores hayunafuerteevidenciacontrah 0.Si miramos la tabla encontramos que muchos más terneros contraen una primera infecciónynolasegundadeloqueelmodelobajoh 0 predice.conestolos investigadores concluyeron que la primera infección tiene un efecto inmunizador.