Modelo Lineal Generalizado. 1er. Cuatrimestre de 2010

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1 Modelo Lineal Generalizado 1er. Cuatrimestre de

2 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Nuestro ojetivo será estudiar la relación entre dos o más variables, que podrán ser tanto continuas como categóricas. En algunos casos diferenciaremos entre variable de respuesta y variables explicativas, mientras que en otros, simplemente, nos interesará estudiar la asociación entre las variables presentes sin hacer esta distinción. AdiferenciadeloquesetratahabitualmenteenModeloLineal,lavariablede respuesta podrá ser categórica. Abordaremos tres grandes temas:

3 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Tablas de Contingencia Modelo Lineal Generalizado Modelos Log-lineales Veremos algunos ejemplos que introduzcan estos temas.

4 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Consideremos el caso en el una muestra de 980 norteamericanos fue clasificada de acuerdo con el sexo y su identificación poĺıtico-partidaria. En esta situación nos interesa estudiar si hay asociación o no entre las variables categóricas G: Género y C:Identificación partidaria. C: Identificación partidaria G: Género Demócrata Independiente Republicano Total Femenino Masculino Total Cuadro 1: General Social Survey, 1991 Esta es una tablas de contingencia bastante sencilla.

5 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Para responder a esto, en primera instancia, veremos los test de independencia odehomogeneidadbasadosenladistribuciónχ 2 quefueronintroducidospor Pearson. Sin embargo, estos tests, como muchos otros, tienen algunas limitaciones. Unadeellasesquesibiennosindicancuantaevidenciadeasociaciónentre lasvariablesdeinterésexiste,nonosdicennadasobrelanaturalezadeesta relación. Para comprender más profundamente la asociación entre variables nos ayudarán los modelos log-lineales y los modelos lineales generalizados, siendo estos últimos una generalización del modelo lineal habitual.

6 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Ejemplo: Datos del Titanic Estos datos se pueden encontrar en corresponden a un curso dictado por la Prof. Claudia Czado de la Technishe Universität München y tienen como fuente Las variables consideradas son Name: Nombre del Pasajero PClass: Clase del Pasajero Age: Edad del Pasajero Sex: Género del Pasajero Survived: Survived=1 el Pasajero sobrevivió Survived=0 el Pasajero no sobrevivió

7 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN titanic - read.table( c: users ana glm titanic.txt, header = T) attach(titanic) names(titanic) Name PClass Age Sex Survived length(age) [1] 1313 table(pclass) PClass 1st 2nd 3rd table(sex) Sex female male table(survived) Survived

8 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN table(survived,pclass) PClass Survived 1st 2nd 3rd table(survived,sex) Sex Survived female male El objetivo es describir la asociació entre las variables presentes. Por ejemplo, deestasdosúltimastablaspodríamosdecirquelospasajeroshombresylosde tercera clase sobrevivieron menos. En este ejemplo consideramos a Survival como variable de respuesta y a las demás como predictoras. En este caso, las variables predictoras pueden ser variables categóricas, ordinales o no, o biencuantitativas, ya sea continuas o discretas.

9 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Sex Survival Female Male Cuadro2:Tablade2 2 En forma genérica X Y π(0) 1 π(1) 1 π(0) π(1) Cuadro3:Tablade2 2 En esta situación podríamos intentar modelar la variable de respuesta en función de las explicativas.

10 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Recordemos que en el modelo lineal simple habitual, si Y es nuestra variable de respuesta y x una variable explicativa podemos formular el modelo como: E(Y)=β 0 +β 1 x (1) Si, como en el ejemplo, nuestra variable de respuesta es binomial, entonces E(Y)=π,porlotantolageneralizacióninmediatade(1)sería: E(Y)=π=π(x)=β 0 +β 1 x (2) Sinembargo,(2)nopareceserunmodeloadecuado,puesβ 0 +β 1 xpodría tomar valores fuera del intervalo(0, 1). Unproblemaevidentedeestemodeloesquelaprobabilidadπesacotada, mientrasquelasx β(enelcasodeunvectordecovariables)puedentomar cualquier valor real. Si bien esto podría controlarse imponiendo complicadas restricciones a los coeficientes, esta solución no resulta muy natural.

11 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Una solución sencilla es transformar la probabilidad mediante una función que mapee el intervalo(0, 1) sobre la recta real y luego modelar esta transformación como una función lineal de las variables independientes. Una elección muy frecuente es: π logit(π) = log =β o +β 1 x 1 π que da origen al modelo de regresión logística. Otra forma de escribirlo es π(x)= eβ o+β 1 x 1+e β o+β 1 x Esta es sólo una elección posible y veremos más adelante porque es una elección razonable. Un punto a destacar es que en este modelo es natural la heteroscedasticidad, puesv(y)=π(1 π),queseráfuncióndex. Elmodelodefinidoseconocecomomodelologístico,esuncasodelmodelo

12 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Logistica Probit Log-log

13 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN lineal generalizado con respuesta binomial y función de enlace logit. Sibienloscoeficientesβtienenunainterpretaciónsimilaralaquetienenen elmodelolineal,debemostenerencuentaqueelmiembrodeladerechaesun logitynounamedia,porloquedeberemosprecisarcuálessusignificadoen este caso. Estos temas los desarrollaremos en el contexto más general del modelo lineal generalizado. Este modelo es una extensión que comprende al modelo lineal que aplicamos cuando el supuesto de normalidad es razonable y que abarca también el caso de una respuesta Poisson, Binomial Negativa, Gamma, Exponencial, etc. Una vez establecido el modelo que queremos ajustar deberemos estimar los parámetros, hallar intervalos de confianza para los mismos, evaluar la bondad delajusteyesprobablequenosintereserealizaralgúntestqueinvolucrealos parámetros. También tendremos que evaluar la influencia de las observaciones en la determinación de los valores estimados.

14 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Ennuestroúltimoejemploconsideramosdenuevoelcasodeunatablade contingencia. Supongamos F es la variable que identificamos en las filas y C ladelascolumnasyquenosinteresaestudiarlaasociacióndelasvariables categóricas. C F j.. J i.. π ij I Cuadro 4: Tabla Genérica SabemosquesiFyCsonindependientes,lasπ ij sepuedenescribirentérminos

15 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN de las marginales como π ij =π F i π C j. Qué ocurre en el caso general cuando no suponemos independencia? Sipensamosenlosvaloresesperados,m ij =nπ ij tambiénpodremosexpresar am ij usandounmodelomultiplicativo: m ij =ττ F i τ C jτ FC ij, (3) donde, como en ANOVA, los τ deberán satisfacer ciertas restricciones. Si tomamos logaritmo en(3) queda: logm ij =logτ+logτ F i +logτ C j +logτ FC ij logm ij =µ+µ F i +µ C j +µ FC ij que resulta un modelo aditivo, al que estamos más acostumbrados.

16 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Este tipo de modelos recibe el nombre de log-lineal. Una diferencia con el modelo lineal habitual es que aquí las dos variables tienen un rol simétrico. El investigador deducirá una asociación entre las variables interpretando los parámetros. Esta tareapuedesermásomenoscomplejasilacantidaddeparámetrosesmuy elevada, como ocurre cuando aumenta el número de variables en el problema.

17 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Bibliografía: Agresti, A.(1990). Categorical Data Analysis. Wiley, New York. Christensen, R.(1997). Log-linear Models and Logistic Regression. 2da. Edición. New York: Springer Verlag. Bishop, I., Fienberg, S. y Holland, P.(1976). Discrete Multivariater Analysis: Theory and Practice. Dobson, A.(2001). An Introduction to Generalized Linear Models. 2da. Edición. Londres: Chapman and Hall. Lindsey, J.(1997). Applying Generalized Linear Models. New York: Springer Verlag. Mc. Cullagh y Nelder, J. A.(1989). Generalized Linear Models. 2da. Edición. Londres: Chapman and Hall. Santner, T. y Duffy, D.(1989). The Statistical Analysis of Discrete Data. New York: Springer Verlag. Rao, C. R.(1965). Linear Statistical Inference and Its Applications. New York: Wiley.

18 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Tablas de Contingencia Enlaprimerapartedelcursoestudiaremoslarelaciónentre2ó3variables categóricas. Introduciremos parámetros que describan la asociación entre variables categóricas y luego haremos inferencia sobre estos parámetro SeanXeY dosvariablescategóricasderespuesta,demaneraquextienei niveles e Y tiene J niveles posibles. Cuando clasificamos sujetos de acuerdo a las dos variables tenemos IJ combinaciones posibles. Las casillas de la tabla representan los IJ resultados posibles. La probabilidad de que(x,y)tomeelvalor(i,j)seráπ ij.cuandolasceldascontienenlafrecuenciadecadaresultadoijtenemosunatabladecontingencia,términoque introdujo Pearson en También suele llamársela tabla de clasificación cruzada.unatabladecontingenciaconifilasyjcolumnassediceunatabla dei J.

19 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Y X j.. J i.. π ij I Cuadro 5: Distribución Conjunta Ladistribucióndeprobabilidadπ ij esladistribuciónconjuntadexey,mientras que las marginales de ambas variables las obtendremos sumando filas y columnas respectivamente:π i+ yπ +j,donde π i+ = J j=1 π ij π +j = I i=1 π ij

20 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Enmuchoscasosunadelasvariables,digamosY esunavariablederespuesta ylaotra,x,esunavariableexplicativa.engeneral,esdeinterésestudiarcómo cambialadistribucióndey cuandopasamosdeunniveldexaotro.dado queunsujetoestáclasificadoenlafilaidex,π j i eslaprobabilidaddeque clasifiqueenlacolumnajdey,esdecir{π 1 i,...,π J i }esla probabilidad condicionaldeydadoquex=i.entérminosdelasprobabilidadesdefinidas, tenemos que π j i = π ij π i+ i,j. DiremosqueXeY son independientessi y cuando vale la independencia π ij =π i+ π +j i,j, π j i = π ij π i+ = π i+π +j π i+ =π +j i,j.

21 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Enunatablade2 2tendríamos: Columnas Filas 1 2 Total 1 π 11 π 12 π 1+ (π 1 1 ) (π 2 1 ) (1) 2 π 21 π 22 π 2+ (π 1 2 ) (π 2 2 ) (1) Total π +1 π +2 1 Cuadro6:Distribución2 2

22 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Supongamos que en n individuos observamos(x, Y) y volcamos esta informaciónenunatabladecontingencia:n ij elnúmerodeindividuosquetienenx=i ey =j,demaneraque n= I i=1 J j=1 n ij. En el caso muestral la información también suele disponerse sobre una tabla comolaquesigue:

23 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Y =1 Y =2 Y =j Y =J X=1 n 11 n 12 n 1J X=2 n 21 n 22 n 2J X=i n ij X=I n I1 n I2 n IJ Cuadro7:TabladeContingenciaGenéricadeI J Ejemplode2 2 Comencemos por considerar un ejemplo de los más sencillos de tablas de contingencia en el que tenemos dos variables. En general tendremos: Podría interesarnos testear la hipótesis hipótesis de independencia entre las variables. Podemos escribir esta hipótesis como

24 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN C:Creeenlavidapostmortem G:Género Si No Total Fem Masc Total Cuadro 8: General Social Survey, 1991 H o :π ij =π i+ π +j i j Para resolver este problema necesitamos estimar las probabilidades. Podríamos estimar las probabilidades bajo el supuesto de independencia y comparar los valores observadosn con los valores esperados bajo independencia mediante un estadísticoconocidocomoχ 2 depearsoncuyadistribuciónasintóticanecesitaremos estudiar. Podríamos estimar por máxima verosimilitud las probabilidades y realizar un test de cociente de verosimilitud. Para para esto necesitamos asumir una distribución subyacente.

25 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN C G Si No Total Fem n 11 n 12 n 1+ Masc n 21 n 22 n 2+ Total n +1 n +2 n ++ =n Cuadro9:Tablade2 2 Si cada una de las n observaciones es clasificada en forma independiente en unadelasi Jceldasdelatablaconprobabilidadπ ij,entonceselvector aleatorio que representa el número de individuos clasificados en la celda(i, j), n, tiene distribución multinomial. La frecuencias esperadas en cada casilla son µ ij =nπ ij.parai=j=2sería P(n=(n 11,...,n 22))= n! n 11!n 12!n 21!n 22! πn 11π n 12π n 21π n Salvo constantes, el log likelihood en el caso general queda:

26 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN l= I i=1 J j=1 n ijlogπ ij Lamaximizacióndeldebecontemplarque I J i=1 j=1 π ij =1. Lapreguntaaquíescómollegaronlosdatosalatabla.

27 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Tipos de Muestreo Dada una tabla de contingencia hay varios esquemas de muestreo que pueden conduciralosdatostalcomoloshemosobservadoyquepodríaninfluirenel modelodeprobabilidadautilizar.enestecasotenemosdosfactoresf yc cadaunocondosniveles.engeneral,tendremosunfactorfilaconinivelesy unfactorcolumnaconjnivelesquecorrespondeaunatabladei J. ElnúmerototaldeceldasesN=I J.Lostotalesmarginalesmuestralesson n i+ = J n +j = I n ++ =n= I j=1 n ij totalfila i=1 n ij totalcolumna J n ij grantotal i=1j=1 Usaremosunanotaciónsimilaralaanterior,porejemplo,p ij seráproporción

28 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN muestraldelacasilla(i,j)definidapor p ij = n ij n. Las condicionales muestrales quedarán definidas análogamente, por ejemplo, p j i = p ij p i+ = n ij n i+ i,j. En el ejemplo anterior asumimos que todos los datos han sido recolectados muestreando 1091 individuos que fueron clasificados de acuerdo con el sexo y la creencia en la vida postmortem. Vemos las dos variables como respuesta y nos interesa su distribución conjunta. En los experimentos que responden a este esquema de muestreo, seleccionamos unamuestradenindividuosdeunapoblaciónyregistramoslosvalores(x,y) paracadaindividuo.ladistribuciónconjuntade{n ij }esmultinomialdeparámetrosnyπ={π ij }:M(n,π),donde π ij =P(X=i,Y =j).

29 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Enestecasoelgrantotalnesconocidoyfijo.Aveces,seexpresalosparámetroscomomediasdelasceldas: µ ij =E(n ij )=nπ ij. Esto se conoce como muestreo multinomial. Dado que la distribucón multinomial aparecerá con frecuencia en el análisis de datos categóricos, repasaremos algunas de sus propiedades.

30 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Distribución Multinomial Supongamos que realizamos n ensayos independientes, de manera que cada ensayopuederesultarenunodeloseventose 1,...,E N (lose j ssonmutuamenteexcluyentesyexhaustivos).encadaensayo,eleventoe j puedeocurrir conprobabilidadπ j yporlotantoπ π N =1. Si llamamos entonces X j = númerodevecesqueeleventoe j ocurre, X X N =n yladistribucióndex = (X 1,...,X N ) esmultinomialdeparámetrosny π=(π 1,...,π N ),esdecir X=(X 1,...,X N ) M(n,π 1,...,π N ) X=(X 1,...,X N ) M(n,Π).

31 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN De manera que: P(X 1 =x 1,...,X N =x N )= n! x 1!...x N! πx π x N n si N i=1 x i =n 0 caso contrario(c.c.) Como en el caso de la distribución binomial, algunas propiedades más elementales de esta distribución, como el cálculo de esperanza o matriz de covarianza, sededucenfácilmentepensandoaxcomounasumadevectoresde0 sy1 s. Más precisamente, podemos escribir X=Y Y n dondelasy i sonindependientesycadaunaesm(1,π 1,...,π N )=M(1,Π). Y i=(0,...,1,...,0) j

32 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Y i esunvectorconun1enlacoordenadajsie j ocurrióeneli-ésimoensayo yenelrestodelasposiciones0 s. LoselementosdeY i sonbernoullicorrelacionadas.

33 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Esperanza y Varianza Porejemplo,supongamosqueN=2yqueY M(1,π 1,π 2 ).Losresultados posibles son son conprobabilidadπ 1 conprobabilidadπ 2 =1 π 1 LamediadeY=(Y 1,Y 2 ) es ElsegundomomentodeYes: E(Y)= π 1 π 2 E(YY )=E Y 2 1 Y 1 Y 2 Y 1 Y 2 Y 2 2

34 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN = π π 2 Porlotanto,lamatrizdecovarianzadeYes: Σ Y =E(YY ) E(Y)E(Y ) = π π 2 π 1 π 2 (π 1, π 2 ) = π 1 (1 π 1 ) π 1 π 2 π 1 π 2 π 2 (1 π 2 )

35 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN VamosademostrarquesihayNresultadosposibleseY M(1,π 1,...,π N ) Probaremosquesiπ j 0, j Luego,siX M(n,π 1,...,π N ) E(Y)=Π=(π 1,...,π N ) Σ Y = (Π) ΠΠ rg(σ Y )=N 1. E(X)=nΠ Σ X = (nπ) nππ

36 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Otras Propiedades Enumeraremos algunas propiedades de la distribución multinomial que nos resultarán útiles, algunas serán ejercicio de la práctica. 1. El espacio paramétrico natural de la distribución multinomial es el simplex, enr N definidopor S={π:π j >0,π π N =1}. 2.SiX=(X 1,...,X N ) M(n,π 1,...,π N ),entonces X j Bi(n,π j ) Cov(X i,x j )= nπ i π j i j, esdecirlasx i estánnegativamentecorrelacionadas. 3.SiX=(X 1,...,X N ) M(n,π 1,...,π N ),entonces X =(X 1 +X 2,X 3,...,X N ) M(n,π 1 +π 2,π 3,...,π N )

37 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Es decir, si se colapsa una multinomial sumando celdas la distribución sigue siendo multinomial. 4.SeaX=(X 1,...,X N ) M(n,π 1,...,π N ).Consideremosladistribución condicional de X X1 +X 2 =z X X N =n z Losvectores(X 1,X 2 ) y(x 3,...,X N ) soncondicionalmenteindependientes y multinomiales: (X 1,X 2 ) M(z, (X 3,...,X N ) M(n z, π 1 π 1 +π 2, π 2 π 1 +π 2 ) π 3 π π N,..., π N π π N ) 5.SiX 1,...,X N sonvariablesindependientestalesquex j P(λ j ),entonces

38 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN donde (X 1,...,X N ) N j=1 X j =n M(n,π 1,...,π N ) π j = λ λ N Porlotanto,ladistribucióndeX 1,...,X N puedeserfactorizadaenel producto de y n= N λ j j=1 X j P( N j=1 λ j) (X 1,...,X N ) n=n M(n,π 1,...,π N ) Esto será especialmente útil a la hora de calcular la función de verosimilitud bajo ciertas condiciones.

39 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN En nuestro ejemplo hemos hablado de la función de verosimilitud, recordemos algunas propiedades. Propiedades de los Estimadores de Máxima Verosimilitud Recordemos que si la variable aleatoria Y tiene función de densidad(f.d.)o probabilidadpuntual(f.p.p.)f(y,θ),laverosimiltudl(θ,y)essimplementef(y,θ) miradacomofuncióndeθconyfijo. La función de probabilidad puntual o densidad es definida sobre el soporte y Y, mientras que la verosimilitud es definida sobre un espacio paramétrico Θ. En muchos casos es conveniente trbajar con el logaritmo de la verosimilitud (log-likelihood) l(θ,y)=logl(θ,y) Engeneral,tendremosunamuestraaleatoriaY 1,...,Y n conf.d.of.p.p.f(y,θ), de manera que la verosimilitud será:

40 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN y la log-versosimilitud L(θ)= n i=1 f(y i,θ) l(θ)=logl(θ)= n logf(y i,θ) i=1 UnapropiedadútildelosEMVesladeinvarianciaquedicequesigesuna funciónconinversag 1,demaneraqueφ=g(θ)implicaqueθ=g 1 (φ), entonceselemvdeφ, φ,secalculacomo ˆ siendoθelemvdeθ. ˆ ˆ φ=g(ˆ θ), Como ya sabemos, podemos maximizar L(θ) o bien maximizar l(θ). En problemas regulares, el EMV puede hallarse igualando a 0 las derivadas pimeras de l(θ) respecto de θ. Laderivadaprimeradel(θ)respectodeθsellamascore.Enelcasounivariado tenemos:

41 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN donde l (θ)= n i=1 u i(θ) u i (θ)= θ logf(y i,θ) Sitenemosqparámetros,θ=(θ 1,...,θ q ),elvectordescoreses l (θ)= l θ 1 l θ 2.. l θ q = n i=1 θ 1 logf(y i,θ) n i=1 θ 2 logf(y i,θ).. n i=1 θ q logf(y i,θ) Unapropiedadbienconocidadelscoreesquesuesperanzaesnula:

42 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN E(l (θ)) θ=θ 0 = l ((θ 0 ))f(y,θ 0 )dy= f (y,θ 0 ) f(y,θ 0 ) f(y,θ 0)dy=0 LavarianzadelosscoreesconocidacomolainformacióndeFisher.Enel caso univariado, la información de Fisher es: Recordemos que i(θ)=v(u(θ))=v(l (θ))=e [ (l (θ)) 2] i(θ)=e( l (θ))= E( 2 θ 2logf(y,θ)) Enelcasomultivariado,tendremosI(θ)esunamatrizdeq qtalque: 2 {I(θ)} ij = E( logf(y,θ)) θ i θ j En Estadística se probó que, bajo condiciones de regularidad, los EMV son asintóticamente normales, de manera que

43 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN n(ˆ θ θ) D N(0,I 1 (θ)) Cómo sería en el caso general de una multinomial cualquiera? Parasimplificarlanotación,indicaremos{n 1,...,n N }lasobservacionesde cadacasilla,conn= N i=1 n i ysiendo{π 1,...,π N }lasprobabilidadesdecada celda. Luego la función de verosimilitud será: L=L(π 1,...,π N )= n! N i=1 n i! N i=1 πn i i donde N i=1 π i=1 Comoellnesunafunciónestrictamentecreciente,hallarelmáximodeL equivaleahallarelmáximode

44 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN l=lnl=ln N n! i=1 n i! + N i=1 n ilnπ i donde N i=1 π i=1 Como N i=1 π i =1,entoncesπ N =1 N 1 i=1 π i yn!/ N i=1 n i!esconstante, buscamos el máximo de l=lnl=cte+ N 1 n ilnπ i +n N ln(1 N 1 π i) i=1 i=1 Para buscar los puntos críticos planteamos: Luego, l π i = n i π i n N 1 N 1 i=1 π i = n i π i n N π N =0

45 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN n i = π i n = 1 n N π N n N π ˆπ N = n N N n Porlotanto,talcomoesdeesperar ˆπ i = n ˆπ i N = n i n N n ˆπ i = n i n =p i i=1,...,n

46 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Muestreo Poisson Otraposibilidadesquelos4datosdelatabladelejemploseanrealizaciones independientes de v.a. con distribución Poison. Un proceso que sustentaría este modelo es que en cada celda los individuos lleguenaleatoriamenteallugardondeselosclasifica.enestecasonnoestáprefijadoytodoslosvaloresdelatablasonaleatorios. En el muestreo de Poisson tenemos que n ij P(λ ij ) i =1,...,I j =1,...,J independientes. En este esquema el gran total no está fijo, sino que es aleatorio. Ejemplo: Supongamos que se realiza en un control de velocidad durante una hora. Para ellosecuentaconunradarqueregistralavelocidaddecadaautoquepasapor el puesto de observación. Supongamos que de cada auto que pasa se registra

47 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN lavelocidadylamarcadelauto.asíseobtienen X = marcadelauto(1=ford,2=fiat,3=chevrolet,4=otros) Y = sielautoexcedeelĺımitedevelocidad(1=si,0=no). Esclaroque,bajoindependencia,n P(λ ++ ). SitenemosunmuestreodePoisson,ladistribucióndelosn ij condicionalaque nestáfijoenunvalor,digamosn,yanoesmáspoisson,másaúnyanoson más independientes. Ladistribucióncondicionaldelosn ij dadoquen=n esmultinomial.para simplificarlanotación,indicaremos{n 1,...,n N },entoncessi N i=1 k i =n P(n 1 =k 1,...,n N =k N N i=1 n i=n ) = P ( n 1 =k 1,...,n N =k N N i=1 n i =n P(n=n ) )

48 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN = N = i=1 N e λ iλ k i i k i! i=1 λk i i = n! N i=1 k i! n! N i=1 k i! N i=1 πk i i N n! e λ i N i=1 λ i i=1 N 1 i=1 λ i dondeπ i = λ i N j=1 λ j ovolviendoalanotaciónoriginal: n n Entonces: π ij = λ ij λ ++

49 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN (n 1,...,n N ) n=n M(n,π 1,...,π N ). Esto nos servirá a la hora de plantear la verosimilitud cuando deseemos estimar. En efecto, podemos factorizar la verosimilitud como el producto del likelihood de lapoissonn(n P(λ ++ ))yellikelihooddeunamultinomialcorrespondiente a{n ij }dadon,conparámetros π ij = λ ij λ ++ Eltotalnnodainformaciónacercadelasπ ij. Es interesante observar, que desde el punto de vista de la verosimilitud, la inferenciasobreπeslamismasinesconsideradofijooaleatorio.

50 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Muestreo Multinomial Independiente Otra alternativa podría ser que sea razonable asumir que se tomó una muestra de582mujeresyotramuestraindependientede509hombresalosquese clasificó según su creencia. En este caso nos centramos en la distribución condicional de la creencia dado cada nivel de género. Enesteesquemalostotalesporfilaestánfijosytenemosn 1 individuosde génerofemeninoyn 2 individuosdegéneromasculino. Siπ i eslaprobabilidaddequeelindividuocreaenlavidapostmortemparael nivel i de género tendremos: π i =P(C=1 G=i)= π i1 π i+ Lasvariablesdeinterésserán:Y i1 Bi(n i,π i ),i = 1,2,quecuentanel número de individuos que sí creen en cada género. Ladistribuciónconjuntade(Y 11,Y 21 )es

51 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN P((Y 11,Y 21 )=(y 11,y 21 ))= n 1! y 11!y 12! πy 11 1 (1 π 1 ) y 12 n 2! y 21!y 22! πy 21 2 (1 π 2 ) y 22 La hipótesis de interés es la de homogeneidad, es decir que la probabilidad decreenciaeslamismaenambosgénero: H 0 :π 1 =π 2 Notemosquebajoindependenciaπ ij =π i+ π +j,entonceslaprobabilidadcondicional π j i = π ij π i+ =π +j esdecirnodependedelafilai,conlocualhomogeneidadeindependenciason equivalentes. Supongamosquedecidimosdeantemanoquevamosamuestrearn i+ individuos conx=i(i=1,...,i)yqueparacadaunodeellosregistramoselvalorde Y.

52 M.L.G. Ana M. Bianco FCEyN Enesteesquemacadafiladetabla(n i1,n i1,...,n ij ) esmultinomialconprobabilidades y las filas son independientes. π j i = π ij π i+ Estetipodemuestreoesrazonabledeaplicarcuandolosdatosprovienendeun muestreo aleatorio estratificado(estratos definidos por X) o en un experimento enelx=grupodetratamiento. También es adecuado cuando no tenemos totales por filas fijos, pero estamos interesadosenp(y X)ynoenP(X),loquecorrespondeaqueY esel resultadodeinterésynodeseamosmodelarax. Porloquevimos,enestostrestiposdemuestreoelnúcleodelaverosimilitud eselmismo. La importancia de estos resultados es que el análisis que hagamos es independiente del esquema de muestreo y depende de los parámetros de interés.