LAS PROBABILIDADES Y EL SENTIDO COMÚN

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1 LAS PROBABILIDADES Y EL SENTIDO COMÚN Existen leyes del azar? Nuestro sentido común pareciera decirnos que el azar y las leyes son conceptos contradictorios. Si algo sucede al azar, es porque no hay leyes que lo determinan. Cómo puede hablarse entonces de leyes del azar? Sin embargo, existe una rama de la Matemática que trata sobre las leyes del azar y es la Teoría de Probabilidades. El cálculo de probabilidades nos permite prever algunas eventualidades de origen aleatorio. Cuando hablamos de prever, debemos hacerlo con mucho cuidado, pues no se trata de enunciar una profecía, sino de una cuantificación o medida con respecto a la ocurrencia de un evento. El objetivo de la Teoría de Probabilidades es interpretar y calcular las probabilidades de fenómenos complejos en función de las probabilidades mas sencillas de fenómenos conocidos. Esto último podemos configurarlo intuyendo los eventos por simetría, por ejemplo, el clásico lanzamiento de una moneda. Esto se puede cuantificar mejor si empleamos esta relación como razón geométrica y decimos: probabilidad de cara es uno entre dos igual a un medio, y probabilidad de sello es uno entre dos igual a un medio, y lo escribimos como: 1 1 P cara ; P sello 2 2 En virtud de nuestra experiencia, y tomando el termino suceso en la acepción del lenguaje corriente, podemos enunciar lo siguiente: La probabilidad de un suceso es la razón entre el número de casos esperados y el número de casos posibles.así, por ejemplo, lanzamos un dado y esperamos obtener un número impar.sabemos que un dado tiene tres números impares: 1; 3 y 5, estos son los casos esperados, y sabemos también que tiene seis números: 1; 2; 3; 4; 5 y 6, estos son los casos posibles. Luego, calculamos: 3 1 P P impar impar 6 2 Cuando lanzamos una moneda, suponemos a priori la cualidad simétrica de que ambos lados (cara y sello) tienen igual posibilidad de ocurrir o, para decirlo cuantitativamente, tienen igual probabilidad de ocurrir. Como hay solo dos casos posibles (cara o sello), decimos que hay un caso de dos de que resulte cara y, por supuesto, también un caso de dos de que resulte sello. Profesor: Javier Trigoso Página 1

2 DEFINICIONES FORMALES Recordando los ejemplos ya descritos sobre lanzamiento de monedas o dados, hechos con resultados al azar, y teniendo en cuenta que son actos que se pueden realizar todas las veces que se desee, definiremos: Experimento aleatorio: es todo proceso que se puede repetir indefinidamente con resultados imprevisibles. Así, son Son experimentos aleatorios: experimentos Lanzar un dado aleatorios el lanzamiento de Sacar una carta de una baraja una moneda, de Jugar un número de una ruleta un dado, la extracción de una bola de bingo, ciertos procesos productivos dela naturaleza o de la industria como los nacimientos (macho o hembra) o artículos (buenos o defectuosos), etc. Espacio muestral: dado un experimento aleatorio E, se llama espacio muestral Ω de E al conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento. Por ejemplo, en el caso del lanzamiento de una moneda tenemos el espacio muestral: Ω 1 ={c; s} Si lanzamos un dado, el espacio muestral es: Ω 2 = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Evento o suceso: se llama evento o suceso de un experimento aleatorio Ea cualquier subconjunto A del espacio muestral Ω de este experimento. Hay sucesos que siempre van unidos a todo experimento aleatorio: Suceso seguro: está formado por todos los resultados posibles del experimento. Es el suceso que ocurre siempre y coincide con el espacio muestral. Suceso imposible: es el suceso que no se produce nunca; es decir, no aparece al realizar un experimento aleatorio. Ejemplo 1: Lanzamos al aire una moneda tres veces. Determina el espacio muestral y los elementos que conforman los sucesos A: obtener dos caras y un sello, y B: obtener por lo menos un sello. Determinamos el espacio muestral: Ω ccc,ccs,csc,css,scc,scs,ssc,sss Determinamos el suceso A (obtener dos caras y un sello): A ccs, csc, scc Determinamos el suceso B (obtener por lo menos un sello): B ccs,csc,css, scc, scs, ssc, sss Profesor: Javier Trigoso Página 2

3 Ejemplo 2: En el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de una moneda tres veces, encuentra los sucesos: A: «Aparece cara al menos dos veces». B: «Aparece cara dos veces seguidas». C: «No se obtiene dos veces seguidas el mismo resultado». A = {ccc; ccs; csc; scc} B = {ccs; scc} C = {csc; scs} I. Pongamos H y M para indicar el sexo (hombre o mujer); m y p para indicar la edad (igual o mayor de 35 y menor de 35); S y N para indicar Sí o No. Según lo anteriormente expuesto, hay ocho tarjetas o resultados posibles: E = {HmS; HmN; HpS; HpN; MmS; MmN; MpS; MpN} II. S1 = {HpS; HpN} S2 = {MmS; MmN; MpS; MpN} S3 = {HmS; MmS} S4 = {HmN; HpS; HpN; MmN; MpS; MpN} Ejemplo 3: Las fichas de respuesta de una encuesta recogen los siguientes datos: el sexo, la edad (mayor o igual a 35 o menor de 35) y la respuesta a la pregunta planteada (Sí o No). I. Describe las posibles tarjetas. II. Enumera los elementos de cada uno de los siguientes sucesos: S1: «Es un hombre menor de 35 años». S2: «Es una mujer». S3: «Es una persona con 35 o maá años que ha respondido Sı». S4: «Es una persona que ha respondido No o que tiene menos de 35 años». Ley de Laplace PROBABILIDAD DE UN SUCESO Si los sucesos elementales del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad de un suceso A, denotado P(A), es el cociente entre el número de casos favorables de que ocurra el suceso A y el número de casos posibles: P A número de casos favorables n A número de casos posibles n Ω Profesor: Javier Trigoso Página 3

4 Ejemplo 4: Se tienen cinco cartas numeradas del uno al cinco; si se escogen al azar dos de ellas, cuál es la probabilidad de que el número mayor sea 3? Puesto que no se dice nada en contra, se supone que los sucesos elementales son equiprobables. 5 Los casos posibles son C 10 2 El suceso A: «El número mayor sea 3» = {(1; 3), (2; 3)}; por tanto, casos favorables: 2. p(a) = 2/10 = 0,2 Propiedades de la probabilidad Para cada suceso A, la probabilidad P(A) está comprendida desde 0 hasta 1, es decir, 0 P A 1 La probabilidad del suceso seguro (Ω) es 1, es decir P Ω 1 La probabilidad del suceso imposible Ø es 0, es decir P Ø 0 Si Ā es el suceso contrario o complementario de A, PĀ 1 PA Si A y B son dos sucesos compatibles, PA B PA PB PA B Si A y B son dos sucesos incompatibles, PA B PA PB Escala de probabilidad Probabilidad de sucesos compatibles e incompatibles Dos sucesos son incompatibles cuando no se pueden realizar a la vez, es decir: A B Φ P A B P A P B Ejemplo: Calcula la probabilidad de obtener un 2 o un 5 al lanzar un dado P2 5 P2 P Dos sucesos son compatibles cuando se pueden realizar a la vez, es decir: A B Φ P A B P A P B P A B Ejemplo: Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 o un 6 al lanzar un dado. Profesor: Javier Trigoso Página 4

5 Ejemplo 5: P2 6 P2 P6 P Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado, salga un número par o primo. Determinamos el espacio muestral y los sucesos A, salir número par, y B, salir número primo: Ω 1;2;3;4;5;6 ; A 2;4;6 ; B 2;3;5 Aplicamos la propiedad de sucesos compatibles, ya que existe un número par que también es primo (el número 2) PA B PA PB PA B PA B Entonces, la probabilidad de que salga un número par o primo es 5/6. Consideramos: Suceso A: «Número de puntos mayor que 9» = {(4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 6)} Suceso B: «Número de puntos múltiplo de 4» = {(0; 4), (1; 3), (2; 2), (2; 6), (3; 5), (4; 4), (6; 6), (0; 0)} Suceso A B: «Número de puntos mayor que 9 y múltiplo de 4» = {(6; 6)}. Los sucesos A y B son compatibles; por lo tanto: PA B PA PB PA B Probabilidad de sucesos independientes y dependientes Dos sucesos son independientes cuando el resultado del primero no influye en la probabilidad del segundo. La probabilidad de un suceso ligado a dos sucesos independientes se calcula multiplicando la probabilidad de cada suceso. P A B P A.P B Ejemplo 6: Qué probabilidad hay de que al levantar una ficha de dominó se obtenga un número de puntos mayo r que 9 o un múltiplo de 4? Hay 28 sucesos elementales, puesto que 28 son las fichas del dominó. Ejemplo 7: Se extraen dos cartas de una baraja de 52, en forma sucesiva y con reposición. Calcula la probabilidad de que ambas cartas sean de corazones. Profesor: Javier Trigoso Página 5

6 Al reponer la carta extraída en el primer suceso, la probabilidad del segundo suceso no queda afectada, ya que la baraja mantiene las 52 cartas. Calculamos la probabilidad de cada suceso: P(A): obtener corazón en la primera extracción. 13 PA 52 P(B): obtener corazón en la segundaa extracción. 13 PB 52 Calculamos la probabilidad del experimento aleatorio: PA B PA.P B PA B La probabilidad es 1/16 Dos sucesos son dependientes cuando el resultado del primero influye en la probabilidad del segundo. La probabilidad de un suceso ligado a dos sucesos dependientes se calcula multiplicando la probabilidad del primer suceso por la probabilidad del segundo suceso, habiendo ocurrido el primero. Ejemplo 8: B P A B P A.P Se extraen dos cartas de una baraja de 52, en forma sucesiva y sin reposición. Calcula la probabilidad de que ambas cartas sean de corazones. A Al no reponer la carta extraída en el primer suceso, la probabilidad del segundo suceso queda afectada, ya que la baraja se reduce a 51 cartas. Calculamos la probabilidad de cada suceso: 13 P(A): obtener corazón en la primera extracción. PA 52 P(B): obtener corazón en la segundaa extracción, habiendo 12 salido corazón en la primera extracción. PB 51 Calculamos la probabilidad del experimento aleatorio: PA B PA.P B PA B. A La probabilidad es 1/17 PARA LA CLASE 01. Se extrae al azar una carta de una baraja de 52 cartas. Cuál es la probabilidad de que sea una carta roja o un As? 7/ Se lanza un dado dos veces en forma sucesiva, cuál es la probabilidad de que ambos resultados sean 3? 1/ En una caja hay 20 tarjetas numeradas del 1 al 20. Se extrae una carta al azar, cuál es la probabilidad de que sea mayor que 12 o múltipo de 5? 1/2 Profesor: Javier Trigoso Página 6

7 04. De una baraja de 52 cartas se extraen dos de ellas, una tras otra. Calcula la probabilidad de obtener: Dos ases 1/221 As en la primera y una carta distinta en la segunda extracción. 16/221 Ningún as 188/221 Algún as 33/ Se lanza una moneda tres veces. Calcula la probabilidad de obtener: Cara en la primera, sello en la segunda y cara en la tercera.1/8 Dos caras 3/8 Ninguna cara 1/8 Al menos un sello 7/8 Dos caras o dos sellos 3/4 06. Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar: Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja? 1/9 Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul? 5/9 07. Se lanza una moneda. Si sale cara, se extrae una bola de una bolsa en la que hay 3 rojas y 2 blancas. Si sale sello, se extrae una bola de otra bolsa en la que hay 6 rojas y 2 blancas. Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la bolsa sea blanca. 13/ Se lanza un dado. Si sale un número mayor que 4, se extrae una bola de una caja que contiene 3 blancas y 5 negras. En caso contrario, se extrae una bola de otra caja en la que hay 2 blancas y 6 negras. Cuál es la probabilidad de obtener finalmente una bola negra? 17/ Una urna contiene 5 bolas rojas y 2 bolas blancas; otra urna contiene 8 bolas rojas y 4 blancas. Se extrae una bola de la primera urna y sin ver su color se introduce en la segunda urna; luego se extrae una bola de la segunda urna. Calcula las siguientes probabilidades: Que la bola extraída de ambas urnas sea roja. 45/91 Que la bola extraída de la primera sea roja y de la segunda sea blanca. 20/ Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un reloj despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realice el examen es 0,9 y, en caso contrario, de 0,5. Si va a realizar el examen, cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador? 36/41 Si no realiza el examen, cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador? 5/9 11. Se realiza una encuesta entre 85 personas entre hombres y mujeres sobre si aprueban o desaprueban la labor realizada por el alcalde de su comunidad. Al finalizar la encuesta se obtiene la siguiente tabla: Hombres Mujeres Total Aprueban Desaprueban Total Profesor: Javier Trigoso Página 7

8 Determina: La probabilidad de que un encuestado elegido al azar sea hombre. 10/17 La probabilidad de que un encuestado elegido al azar sea hombre y apruebe la labor realizada por el alcalde. 6/17 La probabilidad de que un encuestado elegido al azar apruebe la labor del alcalde sabiendo que es hombre. 3/5 12. En una facultad de la PUCP, el 30% de los ingresantes jalaron el curso de Matemática Básica I, el 35% jalaron el curso de Lengua I y el 15% jalaron ambos cursos, se selecciona un ingresante cualquiera, cuál es la probabilidad de que este ingresante haya jalado Matemática Básica I o Lengua I? 1/2 PARA LA CASA 01. Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escribe el espacio muestral de este experimento aleatorio. 02. Cuál de las siguientes expresiones no corresponde a un suceso aleatorio? A. Jugar un juego de azar B. Enfriar agua a 0º C. C. Lanzar una piedra y medir su alcance D. Preguntarle a un desconocido si fuma E. Apostar en una carrera de caballos 03. Suponga que se tiran juntos un dado rojo y uno azul, y se observa la suma de los puntos obtenidos, qué es más fácil obtener, dos u ocho? A. dos B. ocho C. tienen igual posibilidad D. es imposible saber E. 04. Cuántos elementos tiene el espacio muestral que se obtiene al lanzar 3 monedas? A. 27 B. 9 C. 8 D. 6 E Al arrojar un dado, cuál es la probabilidad de que salga 3 o un número par? A. 2/3 B. 1/2 C. 2/3 D. 5/6 E. 1/6 06. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12. Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5 al sacar una de ellas. A. 1/2 B. 1/3 C. 1/6 D. 1/18 E Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningún 6. A. 0 B. 1/1296 C. 10/3 D. 2/3 E. 625/ Cuál es la probabilidad de obtener siete puntos en el lanzamiento de dos dados? A. 1/6 B.1/2 C. 7/12 D. 7/36 E. 7/2 Profesor: Javier Trigoso Página 8

9 09. Al lanzar dos monedas, qué probabilidad hay de obtener una cara y un sello? A. 4 B. 2 C. 1 D. 1/2 E. 1/4 10. Calcula la probabilidad de obtener dos ases de una baraja de 52 cartas, sin devolver la primera carta a la baraja. A. 1/26 B. 1/352 C. 4/663 D. 1/221 E. 3/ Al lanzar dos dados, cuál es la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 ó mayor que 10? A. 1/72 B. 1/12 C. 1/4 D. 1/6 E. Ninguna 12. Qué probabilidad hay de que la lanzar 2 dados se obtenga una suma menor que 6? A. 10 B. 5/6 C. 1/6 D. 5/18 E. 5/ Una caja contiene doce cartas rojas, seis blancas y ocho negras, se saca una sin mirar, cuál es la probabilidad de que la carta sea roja? A. 3/5 B. 6/13 C. 5/7 D. 9/13 E. 5/ En el problema anterior, cuál es la probabilidad de que la carta sea blanca? A. 7/13 B. 3/13 C. 4/13 D. 5/7 E. 5/ Calcula la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3 fichas rojas y 4 blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas. A. 3/4 B. 2/7 C. 6/49 D. 1/7 E. 9/ Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o múltiplo de 3. A. 1/2 B. 2/3 C. 1/3 D. 1/6 E. 5/6 17. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes. A. 1/100 B. 1/5 C. 1/130 D. 23/130 E. 1/ Se lanzan dos dados, cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4? A. 1/3 B. 1/4 C. 5/18 D. 3/10 E. Ninguna de las anteriores 19. En un naipe de 40 cartas (baraja española), se toman 3 cartas distintas. Calcula la probabilidad de que sean números distintos. A. 1/ B. 3/40 C. 1/ D. 4/3.705 E. 192/ Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? A. 6/5 B. 8/25 C. 2/5 D. 3/5 E. 4/5 21. Una caja contiene 12 bolas negras y 8 rojas, qué probabilidad hay de no sacar una bola negra? A. 2/5 B. 3/5 C. 2/3 D. 3/2 E. 8 Profesor: Javier Trigoso Página 9

10 22. Se lanza un dado y sale 4. Qué probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un número menor que 9? A. 1/9 B. 5/6 C. 7/36 D. 4/9 E. 2/3 23. Cuál es la probabilidad de ganar el premio de un rifa para la cual se venden 20 listas y cada lista tiene 20 números, si se compran 4 números? A. 1/100 B. 1/10 C. 1/5 D. 1/4 E. Ninguna de las anteriores 24. En un salón de 60 alumnos, 1/3 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla francés y 1/10 habla los dos idiomas, cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo un idioma? A. 1/3 B. 1/4 C. 23/60 D. 29/60 E. 7/ Cuál es la probabilidad de ganar el premio de un rifa para la cual se venden 20 listas y cada lista tiene 20 números, si se compran 4 números? A. 1/100 B. 1/10 C. 1/5 D. 1/4 E. Ninguna de las anteriores 26. Cuántos elementos tiene el espacio muestral que se obtiene al lanzar 3 monedas? A. 27 B. 9 C. 8 D. 6 E Al lanzar un dado 2 veces consecutivas, qué probabilidad hay de obtener primero un 3 y luego un número par? A. 1/3 B. 1/12 C. 1/9 D. 2/3 E Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa, Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés? A. 0,24 B. 0,35 C. 0,69 D. 0,75 E Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés? A. 0,25 B. 0,43 C. 0,69 D. 0,75 E En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que sea chica? A. 0,24 B. 0,35 C. 0,69 D. 0,75 E El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? A. 0,45 B. 0,05 C. 0,405 D. 0,40 E Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la esperanza matemática del juego. A. 15,333 B. 16,333 C. 16,667 D. 17,333 E. 17,667 Profesor: Javier Trigoso Página 10

11 33. Si una persona compra un Boleto en una rifa, en la que puede ganar de nuevos soles o un segundo premio de nuevos soles con probabilidades de: 0,001 y 0,.003. Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta? A. S/.9,5 B. S/.10 C. S/.10,5 D. S/.11 E. S/.11,5 34. En una fábrica se encuentran 200 trabajadores: hombres y mujeres, entre obreros y mecánicos, y se determinó la siguiente tabla: Hombres Mujeres Total Obrero Mecánico Total Encuentra la probabilidad de que un trabajador tomado al azar sea mujer. A. 7/200 B. 3/200 C. 1/ En el ejercicio anterior, encuentra la probabilidad de que un trabajador sea mujer y mecánico. A. 1/3 B. 1/4 C. 1/5 D. 1/7 E. 1/8 36. En el ejercicio 31, encuentra la probabilidad de que un trabajador sea mecánico, sabiendo que es mujer A. 5/7 B. 5/14 C. 3/7 D. 3/14 E. 1/ En una determinada localidad hay tres partidos políticos: PP, PSOE e IU. Se efectúa un referéndum para decidir si un cierto día se declara fiesta local. La siguiente tabla nos da los resultados en % en función del partido al que votó cada ciudadano en las últimas elecciones: PP PSOE IU Abs. Sí No Qué probabilidad hay de que una persona tomada al azar haya votado sí en el referéndum? A. 0,65 B. 0,45 C. 0,38 D. 0,37 E. 0, En el ejercicio anterior, calcula la probabilidad de que un individuo sea del PP sabiendo que ha votado sí. A. 0,65 B. 0,45 C. 0,38 D. 0,37 E. 0, En el curso de Análisis Matemático 2, dirigido a estudiantes de diferentes especialidades de Ingeniería, se encuentran matriculados 80 alumnos, de los cuales 16 siguen la carrera de Ingeniería Civil, 32 la de Ingeniería Industrial, 14 la de Ingeniería de Minas y 18 la de Ingeniería Mecánica, si se selecciona un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que el estudiante seleccionado sea de Ingeniería Civil o Ingeniería de Minas. A. 3/8 B. 2/9 C. 3/10 D. 1/4 E. 1/5 40. En el ejercicio anterior, calcula la probabilidad de que el estudiante seleccionado no sea de Ingeniería Industrial. A. 2/5 B. 3/7 C. 3/5 D. 1/8 E. 1/2 Profesor: Javier Trigoso Página 11