Reconocer la potenciación y la radicación como procesos inversos.

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Juan Carlos Silva Villalobos
hace 6 años
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1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Iniciación al Cálculo Radicación Presentación La radicación es una operación que permite solucionar diversos problemas de matemáticas en los que intervienen potencias. En las matemáticas básicas, en diversas situaciones, se requiere encontrar la raíz cuadrada o cúbica, entre otras, de números positivos. La comprensión y la práctica de las reglas básicas para operar con radicales le permite al estudiante realizar operaciones con mayor destrez El módulo tiene los siguientes objetivos: Objetivo general Utilizar la radicación en la simplificación de expresiones algebraicas. Objetivos específicos Reconocer la potenciación y la radicación como procesos inversos. Aplicar las propiedades de la radicación en la solución de diversos tipos de ecuaciones. Los conceptos expuestos y los ejercicios planteados son básicos para comprender conceptos fundamentales del Cálculo y de las Matemáticas en general. El tiempo estimado para la solución del taller es de tres () horas. En su estudio y solución le deseamos muchos éxitos.

2 1. La radicación Encontrar las soluciones de un polinomio de cualquier grado, es decir, encontrar los valores donde el polinomio corta el eje X, fue uno de los problemas a los que grandes matemáticos de los siglos XVII, XVIII y X IX ( dedicaron sus esfuerzos investigativos, entre ellos Gauss, Abel y Galois. Se destacan los trabajos de Abel, quien en 1824 publicó una demostración sobre la imposibilidad de solucionar polinomios de quinto grado mediante radicales. Los polinomios de segundo grado tienen la forma P(x)=ax 2 + bx+c, en donde a, b, c son constantes que pueden ser reales o complejas. Es bien conocida la fórmula para encontrar la solución de los polinomios de este tipo: x= b± b 2 4ac 2a en la que se usa la raíz cuadrada para encontrar las soluciones del polinomio P(x). En mátemáticas, la radicación surge de la necesidad de encontrar un número que al elevarlo a una potencia dada se obtiene otro predeterminado. Como ejemplo, si se tiene el número 8, cabe preguntarse cuál es el número que elevado a la de 8, simbolicamente a = 8, en este caso la respuesta es 2, porque 2 = 8. Otra manera de encontrar el número 2 es calculando 8=2. En los dos casos se ha utilizado la radicación para encontrar la respuest En general: La radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que b n = A n se le llama el índice u orden, a a se le denomina radicando, y a b la raíz enésim Simbólicamente, se tiene que a=b n b= n En ésta fórmula, n es un entero postivo, a y b son reales positivos. 16=2, en este caso, 4 es el índice, 16 el radicando y 2 es la raíz. 81=, en este caso, 4 es el índice, 81 el radicando y es la raíz. 125=5, en este caso, es el índice, 125 el radicando y 5 es la raíz. d. 16=4, en este caso, 2 es el índice, 16 el radicando y 4 la raíz. e. f. 27= = 27 log (27)= 10000= = log(10000)=4 g. 6 = =6 log 6 (216)= 2

3 Al escribir 2 7 = 128 como radicando y logaritmo se obtiene, respectivamente d =2, log2 (128)= =2, log128 (7)= =7, log2 (128)= =7, log2 (128)=2 Para 2 a=b a=b y se denomina raíz cuadrada de En este caso no es necesario escribir el orden o índice de la raíz. Recordar que a y b deben ser números reales positivos. Para a=b a 1 = b y se denomina raíz cúbica de En este caso a y b pueden ser reales negativos. Por ejemplo, 8= 2, puesto que( 2) =( 2)( 2)( 2)= 8. Observaciones Si a R + y b R +, n a=b siempre existe y es únic En palabras, la raíz de orden n de números reales positivos siempre existe. Si n es un índice par, para que n a=b exista en los números reales, a y b deben de ser reales positivos. Si n es un índice par, y a un real negativo n a=b, la raíz es un número complejo. d. Si n es un índice impar, y a un real cualquiera n a=b siempre existe y es únic 625=5, el índice 4 es par, el radicando 625 y la raíz 5, pertenecen a los reales positivos. 4=±2i, el índice 2 es par, el radicando 4, pertenece a los reales negativos y la raíz 2i pertenece a los números complejosc. 64= 4, el índice es impar, el radicando 64 y la raíz 4, pertenecen a los reales negativos.

4 Al calcular 16 se obtiene d. 1 Las raíces de números reales no siempre son valores enteros. Para encontrarlas se hace uso de una calculadora y se representan con algunos decimales, cambiando el signo de igualdad(=) por el de aproximado( ) o colocando tres puntos(...) al final del último décimal escrito. El número de decimales a escribir depende del contexto y del problema a solucionar Propiedades de la radicación 1. Raíz de un producto: n a b = (a b) 1 n = a 1 n b 1 n = n a n b, en palabras, la raíz de un producto es igual al producto de las raíces. a 14 = a a a a 2 = a 4 a = 4 25=2 5= = 8 27=2 =6 d = 9 16= 9 16= 4=12 4

5 Al calcuar se obtiene d Raíz de un cociente: n a b = a 1 n = n a b 1 n, en palabras, la raíz de una fracción o cociene es igual al n b cociente de la raíz del numerador dividida entre la raíz del denominador = = 4 5 (a+b) = (a+b) c 9 = (a+b) c 9 c 9 ( 5 4 ( x 10) = = a+b c x 10/5) 4 = 5 x 40 = x 40 5 = x 8 Al calcular 8 27 se obtiene d Raíz de una raíz: n m a = n m a, en palabras, para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando. 4 5= 4 5= =

6 Al calcular 64 se obtiene d Potencia de una raíz:( n a) m = n a m = a m n, en palabras, para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potenci ( 5 y ) 7 = 5 y 7 = y 7 5 ( 6 z+2 ) = 6 (z+2) =(z+2) 6 =(z+2) 2 Al calcular ( 27 ) 2 se obtiene d. Las reglas para operar con radicales son las mismas que se tienen para operar con las potencias. Cuando se tienen radicales iguales e indices distintos, se deben efectuar las operaciones fraccionarias que resulten en cada caso. 5. Multiplicación de randicandos con distinto índice: m a n a=a 1 m a 1 n = a 1 m + 1 n = a m+n mn = m n a m+n, en palabras, se escribe el mismo radicando y los índices se expresan como pontencia y luego se suman aplicando la propiedad de las potencias con bases iguales. 2 2= = = a+x 6 a+x=(a+x) =(a+x) 5 12 = 12 (a+x) 5 6

7 a 1 n = ( a 1 n ) 1 = 1 a 1 n ( ) 8 1 = = Al calcular 4 2 se obtiene d = 1 n a = 1 8 = 1 2 ( (x+y) 1 4 = (x+y) 4) 1 1 = 1 (x+y) 1 4 = 1 (x+y) Al calcular 5 (2) 2 se obtiene d s 1. En la expresión 1000=10, El índice es 10, el radicando es 1000, y la raíz es. El índice es, el radicando es, y la raíz es El índice es, el radicando es 1000, y la raíz es 10. d. El índice es 1000, el radicando es, y la raíz es 10. 7

8 2. En la expresión 5 2=2, El índice es 5, el radicando es 2, y la raíz es 2. El índice es 5, el radicando es 2, y la raíz es 2. El índice es 2, el radicando es 5, y la raíz es 2. d. El índice es 2, el radicando es 5, y la raíz es 2.. La expresión es igual a d La expresión en forma de radical simplificada es igual a d La expresión en forma de radical simplificada es igual a d La expresión a 27 5 en forma de radical simplificada es igual a a 5 5 a 2 27 a 5 5 a 27 d. a 5 a La expresión x 4 4 en forma de radical simplificada es igual a 4 x 4 x 4 x 8 x 2 d. x 8 x 8

9 8. La expresión en forma de exponente simplificado es igual a d La expresión( ) ( ) es igual a d La expresión(a 2 7 a 5 ) (a 7 a 4 ) es igual a a 6 a 5 a 1 7 a 6 a 2 7 d. a La expresión(x 5 x 5 ) (x 4 5 x 4 ) es igual a x 8 x 1 5 x 44 5 x 10 x 5 4 d. x 8 x La expresión(a 5 a) ( 5 a 11 ) ( 5 a 6 ) es igual a a 4 5 a a 5 a a 5 5 a d. a 4 5 a 1. La expresión 6 b 10 6 b 11 6 b 5 es igual a b 4 b 4 6 b 4 b 4 6 b 2 9

10 d. b 4 6 b 14. La expresión 5 5 es igual a d La expresión es igual a d La expresión es igual a d La expresión b 5 b es igual a b 6 b 5 b 2 6 b d. b 2 6 b La expresión b b 6 b es igual a b b 12 b 5 17 b 12 d. b 12 b La expresión a a 2 6 a es igual a a 2 a a 6 a 10

11 8 a 6 d. a a La expresión x 4 es igual a x 6 x 5 x 4 x x d. x La expresión 8 m 0 es igual a 0 m 24 m 5 m m m d. 11 m La expresión 5 n 24 es igual a 6 n 5 10 n 12 n 2 9 n 2 5 d. n 4 2. La expresión es igual a d La expresión a 6 b 10 c 14, en forma simplificada es igual a a 2 b c 4 a b c 2 a 2 b c 4 b c a 2 b c 4 b c 2 d. a b 5 c 6 b c La expresión 5 a 12 b 16 c 2, en forma simplificada es igual a a 2 b c 4 5 a 2 b c 11

12 a b c 4 5 b c a b c 5 a 7 b 11 c 19 d. a b c 5 a 2 b c 26. La expresión x 15 y 21 z 8, en forma simplificada es igual a x y z 2 x 11 y 9 x y 5 z 2 x y y 5 z 2 x 15 y d. x 2 y 2 z 2 x 7 y 1 z La expresión 5 m 17 n 21 r 28, en forma simplificada es igual a m n 4 r 5 5 m 2 n r m 2 n 2 r 2 5 m 7 n 11 r 18 m n r 5 m 12 n 16 r 2 d. m n r 5 m 2 n 6 r La expresión es igual a d La expresión es igual a d La expresión es igual a d La expresión 16a+ 9a 4a es igual a 12

13 9 a 5 a 2a d. 4 a 2. La expresión x x es igual a x 6 x 6 x 2 6 x 5 d. x 6 x 4. La expresión x x es igual a x 2 x 8 x 6 8 x 9 9 d. x 4. Bibliografía 1. Zill, D. G., & Dewar, J. M. (2008). Precálculo con avances de cálculo. McGraw-Hill Interamerican 2. James, S., Redlin, L., Watson, S., Vidaurri, H., Alfaro, A., Anzures, M. B. J., & Fragoso Sánchez, F. (2007). Precálculo: matemáticas para el cálculo. México: Thomson Learning, Leithold, L., & González, F. M. (1998). Matemáticas previas al cálculo: funciones, gráficas y geometría analítica: con ejercicios para calculadora y graficador Oxford University Press. 4. Sullivan, M. (1998). Precálculo. Pearson Educación. 1

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