MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. Preproceso y Postproceso de Resultados

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1 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. Preproceso y de Resultados Castillo Madrid, 18 de Enero de 2007 Índice

2 En la simulación computacional de un problema mediante elementos finitos, todos los pasos referentes a la definición del modelo (previos a la solución de las ecuaciones algebraico-diferenciales) constituyen el preproceso. Dentro del preproceso, la generación de la malla es una parte clave ya que para geometrías complejas requiere un tiempo importante y no se trata de una operación trivial. Por otra parte la malla debe estar correctamente diseñada ya que la calidad de los resultados depende de la calidad de aquella. Tipos de malla Malla conforme/no conforme. En una malla conforme los elementos adyacentes comparten nodos o caras.

3 Tipos de malla Malla estructurada/no estructurada. En una malla estructurada cada nodo del interior es compartido por el mismo número de elementos. Propiedades de los elementos Propiedades de tipo geométrico: La variación de tamaño entre elementos adyacentes debe ser progresiva. La densidad de elementos en algunas regiones de la malla debe ser más alta (gradientes elevados de la solución). En las de elementos triangulares se deben evitar los ángulos obtusos. En general, los elementos deben ser suficientemente regulares y satisfacer ciertas propiedades relativas a su forma (distorsión, esbeltez, etc). Propiedades de tipo físico: Puede haber aspectos físicos del problema que condicionen la geometría de los elementos: anisotropía, formas de los elementos impuestas, etc.

4 Algoritmos de generación de 1 Manual o semi-automático. 2 Métodos basados en la transformación de un dominio con geometría simple. 3 Métodos basados en la solución de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. 4 Métodos basados en la deformación y modificación local de una malla sencilla. 5 Métodos basados en la composición de mallados de subconjuntos del dominio a mallar, obtenidos por métodos del tipo 2 o del tipo 3. 6 Métodos automáticos que obtienen la malla final, elemento por elemento, a partir de la definición del contorno: Métodos de avance frontal Algoritmos basados en la construcción de Voronoi-Delauny Métodos de avance frontal Desarrollado originalmente por Cavendish [1] y Lo [2] para elementos triangulares, y generalizado posteriormente por Peraire et al. [3] para elementos tetraédricos. La extensión para elementos cuadriláteros o hexaédricos no es fácil. Existen trabajos para cuadriláteros (Zhu y Zienkiewicz [1] y Rank et al. [2]), pero no para hexaedros. El dato de partida es una discretización del contorno (segmentos en 2D y triángulos en 3D). El procedimiento es iterativo: se parte de un frente al que se le añaden elementos volviendo a actualizar el frente.

5 Métodos de avance frontal. Ejemplo Patrones tipo para la redefinición del frente Ejemplo de propagación del frente Triangulación de Voronoi-Delauny Una triangulación de Delauny verifica que las circunferencias (esferas) circunscritas a cada triángulo (tetraedro) no contienen vértices de otros elementos. Uniendo los centros de las circunferencias (esferas) circunscritas a todos los triángulos (tetraedros) que comparten un vértice se obtienen los poĺıgonos (poliedros) de Voronoi.

6 Triangulación de Voronoi-Delauny. Ejemplo El método de los elementos finitos proporciona una solución aproximada del problema de contorno analizado. En consecuencia, dicha solución está afectada por diversas fuentes de. Tipos de en la solución de elementos finitos: 1 Error de discretización. 2 Error de aproximación de la geometría. 3 Error en el cálculo de las integrales del elemento. 4 Errores en la solución del sistema de ecuaciones. 5 Errores asociados a la ecuación constitutiva.

7 Definición del El es la diferencia entre la solución exacta y la solución aproximada Esta definición puede expresarse mediante: E u (x) = u(x) u h (x) (1) E ε (x) = ε(x) ε h (x) (2) E σ (x) = σ(x) σ h (x) (3) La determinación del local mediante (1), (2) o (3) no es conveniente en general. Es conveniente introducir normas del que representen una cantidad escalar integral del mismo: E = E (4) Definición del Norma energética del : ( ) 1 ( 2 E ε = E ε CE ε dω, Eσ = Ω Norma L 2 del : E u = ( Ω Ω ) 1 E σ C 1 2 E σ dω (5) E u E u dω) 1/2 (6) Localizando la expresión (4) sobre un elemento se obtiene el local E e : ( ) 1/2 E e = E e, E e = (7) Ω e Con estas normas, la relación entre el global y los es locales viene dada por un sumatorio.

8 Estimadores de para análisis lineal 1 Extrapolación de Richardson (Zienkiewicz y Morgan, 1983) [3] 2 Estimadores residuales (Babuška y Rheinboldt, 1978) [1] 3 Estimadores basados en problemas locales de Neumann (Bank y Weiser, 1985) [2] 4 Estimadores basados en problemas locales de Dirichlet (Babuška y Rheinboldt, 1978) [3] 5 Estimadores basados en técnicas de suavizado (Zienkiewicz y Zhu, 1987) [1] Estimador Z 2 Parte de la idea de que el campo de alisado σ es una aproximación mejor que la solución obtenida con el MEF (con proyección discontinua en los nodos). El estimador de en cada punto se define como: E σ = σ σ (8) Existen diversos procedimientos para obtener el campo de alisado. Se demuestra que la tasa de convergencia con este estimador de es E σ = O(h m ), siendo m el grado de las funciones de forma del campo de desplazamientos, y h el tamaño medio de los elementos.

9 Estimador Z 2 Solución aceptable Generalmente se dice que la solución es aceptable si se satisfacen las dos siguientes condiciones: 1 Condición de global. La norma energética del global debe ser menor que un tanto por ciento de la energía de deformación total: ( 1/2 E σ η U, U σ C 1 σ dω) (9) 2 Condición de malla óptima. La distribución de los elementos en la malla ha de satisfacer un criterio de malla óptima : E e σ = Ee σ r (10) Ω siendo E e σ r el valor requerido de la norma de del elemento e, y que está definido de acuerdo con el criterio de malla óptima elegido.

10 Condición de global La desigualdad (9) permite definir un parámetro de global ξ g como: ξ g = E σ (11) η U ξ g = 1 indica que se verifica la condición de global. ξ g > 1 y ξ g < 1 indican que el tamaño de los elementos debe refinarse o desrefinarse, respectivamente. El nuevo tamaño del elemento ĥe será: ĥ e = he ξ 1/m g (12) Como el valor de ξ g es el mismo para toda la malla, todos los elementos modificarían su tamaño en igual proporción. En consecuencia es necesario introducir un criterio de local que permita modificar el tamaño de los elementos de manera selectiva en diversas partes de la malla. Condición de malla óptima De la expresión (10) se puede definir un parámetro de local como: ξ e = Ee σ E e σ r (13) ξ e = 1 indica que el tamaño de elemento es óptimo, ξ e > 1 y ξ e < 1 indican que el tamaño del elemento debe disminuirse o agrandarse, respectivamente. Se puede definir único parámetro de refinamiento del elemento que englobe los dos anteriores: ξ e = ξ g ξ e = E σ E e σ η U E e σ r (14)

11 Estrategia de refinamiento de la malla De acuerdo con los conceptos anteriores, se puede diseñar una estrategia de refinamiento con los siguientes objetivos: 1 Obtener una distribución óptima de tamaños de elemento, que satisfaga (10). 2 Conseguir que el global satisfaga (11) Con el primer criterio, se hace la modificación del tamaño: y la segunda modificación es: h e ξ = he (ξ e ) 1/q (15) h e = h e ξ ξ 1/m g (16) En todo lo anterior, la definición del requerido en cada elemento es clave. Esta definición puede basarse en diferentes criterios de malla óptima. Criterios de malla óptima 1 Equidistribución del global Este criterio de malla óptima supone que la distribución de elementos en una malla es óptima si el global se reparte por igual en todos los elementos: E e σ r = E σ n (17) 2 Equidistribución del específico Una alternativa al criterio anterior es suponer que una malla es óptima si el por unidad de área (o volumen) es el mismo en toda la malla: E e σ = E σ (18) Ω e Ω Comparando (10) y (18) se obtiene que el elemental requerido es: ( ) Ω E e e 1/2 σ r = E σ (19) Ω

12 Ejemplo En la práctica tiene interés obtener el valor de las en los nodos: dibujo de contornos, estimación de, etc. Por ejemplo, para el nodo i del elemento e: σ i = CB(ξ i )d e (20) El inconveniente de la expresión anterior es que en la formulación estándar del MEF los requisitos de continuidad se exigen al campo de desplazamientos y no a las. Para obtener un sólo valor de las en cada nodo es necesario alisar las nodales.

13 Extrapolación y alisado global Con este procedimiento se extrapolan a los nodos los valores de las en todos los puntos de Gauss de la malla. siendo: σ = n σi e N i = NσA e (21) i=1 N i = N i 1 nσ y σ e A = σ e 1 σ e 2. σ e n (22) Extrapolación y alisado global El entre la solución alisada y la global en cada punto es: e = σ σ = Nσ e A CBd e (23) El problema se transforma ahora en uno de mínimos cuadrados, en el que se minimiza el medio dado por la expresión integral: F = (σ σ) (σ σ)dω (24) Ω e resultando: F σ e A = 2 N T (σ σ)dω = 0 (25) Ω e

14 Extrapolación y alisado global En la ecuación (25), llamaremos: M e = N T NdΩ; r e = N T σdω (26) Ω e Ω e Las matriz M e y el vector r e se ensamblan en la forma estándar: n elm n elm M def = A e=1 Me, r def = A obteniéndose las nodales alisadas: e=1 re (27) σ A = M 1 r (28) Extrapolación y alisado local El procedimiento explicado en el apartado anterior se aplica a cada elemento por separado: σ e A = Me 1 r e (29) Las nodales obtenidas son discontinuas. El valor final de cada nodo es el valor medio de las de cada uno de los elementos que comparten el nodo. Un método más directo es la extrapolación de las en los puntos de Gauss a los nodos del elemento mediante las funciones de forma modificadas para que valgan uno o cero en los puntos de Gauss: n

15 Bibliografía Cavendish, J.C. Automatic triangulation of arbitrary planar domains for the finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol 8. pp , Lo, S.H. A new mesh generation scheme for arbitrary planar domains. International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol 21. pp , Peraire, J., Vahdati, M., Morgan, K. and Zienkiewicz, O.C. Adaptive remeshing for compressible flow computations. Journal of Computational Physics. Vol 72. pp Bibliografía (cont.) Zhu, J.Z., Zienkiewicz O.C., Hinton. E. and Wu, J. A new approach to the development of automatic quadrilateral mesh generation. International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol 32. pp , Rank, E., Schweingruber, M. and Sommer, M. Adaptive mesh generation. Communications in Applied Numerical Methods. Vol 9. pp Zienkiewicz, O. y Morgan, K. Finite elements and approximation. John Wiley and Sons, 1983.

16 Bibliografía (cont.) Babuška, I. y Rheinboldt, W. Error estimates for adaptive finite element computations. SIAM Journal of Numerical Analysis, tomo 15:págs , 1978a. Bank, R. y Weiser, A. Some a posteriori estimators for elliptic partial differential equations. Mathematics of Computation, tomo 44:págs , Babuška, I. y Rheinboldt, W. A posteriori estimates for the finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, tomo 12:págs , 1978b. Bibliografía (cont.) Zienkiewicz, O. y Zhu, J. A simple estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, tomo 24:págs , Oñate, E. Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos. Análisis estático lineal. CIMNE. Segunda edición, George, P.L. Automatic Mesh Generation. Application to Finite Element Methods. Wiley

17 Páginas web Scientific Applications on Linux (Discrete Methods & Related Tools): Meshing Research Corner postprocesador GID Generador de EMC2