Soluciones a las actividades de cada epígrafe

Transcripción

1 0 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Pág. PÁGINA 08 En este juego hay que conseguir que no queden emparejadas dos bolas del mismo color. Por ejemplo: GANA PIERDE GANA PIERDE PIERDE uál es la probabilidad de ganar si caen las bolas al azar? Para hallar esta probabilidad, razonemos bola a bola. Supongamos que la primera bola ha sido roja. uál es la probabilidad de que la bola que se le empareje nos permita ganar? Si la primera bola es roja, nos quedan una roja, dos azules y dos verdes. Por tanto, para ganar no debe salir roja. Es decir: P[no roja] uál es la probabilidad de que en esta situación el juego acabe bien? Para que el juego acabe bien, no debe salir la roja, porque entonces acabarían juntas las dos verdes (y perderíamos). Por tanto: P [no roja] Después de la primera bola, en los / de los casos la.a bola es buena. Para la.a, vale cualquiera. Para la.a, hay tres posibilidades, dos de las cuales son buenas. uál es la probabilidad de que el juego acabe bien? P [ganar] 8 PÁGINA 09 ANTES DE OMENZAR, REUERDA En una urna hay bolas de cinco colores: rojo (R), verde (V), azul (A), negro (N) y blanco (). La experiencia consiste en extraer una bola y anotar el resultado. a) Es una experiencia aleatoria? Por qué? b) Describe el espacio muestral. Unidad 0. álculo de probabilidades

2 0Soluciones a las actividades de cada epígrafe c) Di cinco sucesos no elementales. a) Sí que lo es, porque el resultado depende del azar. b) E {R, V, A, N, } c) Respuesta abierta. ualquier suceso con más de un elemento es no elemental. Pág. En los siguientes sucesos, di cuáles corresponden a experiencias regulares y asígnales probabilidad: a) Obtener un al lanzar un dado correcto. b)obtener un al lanzar un dado chapucero. c) Extraer una carta de OROS de una baraja española. d)extraer una bola roja de un bote cuya composición desconocemos. e) Que un cierto asegurado de una compañía de seguros tenga un accidente en el próximo año. a) Regular. P [] b) Irregular. c) Regular. P [OROS] 0 d) Irregular. 0 e) Irregular. PÁGINA 0 Una bolsa contiene 0 bolas numeradas del al 0. La experiencia consiste en extraer una bola y anotar su número. a) uál es el espacio muestral? b)onsideramos los sucesos: A obtener número primo obtener múltiplo de Escribe los sucesos : A A' A«A«A' ' A» A» A' a) E {,,,,,,, 8, 9, 0} b) A {,,, } A' {,,, 8, 9, 0} {,, 9} ' {,,,,, 8, 0} A «{,,,,, 9} A» {} A «A' E A» A' Ö Unidad 0. álculo de probabilidades

3 0Soluciones a las actividades de cada epígrafe Lanzamos tres veces una moneda. Pág. a) Escribe todos los sucesos elementales (,, ), (,, ), (,, ) b)indica cuáles de estos sucesos componen el suceso S la primera vez salió cara. c) Escribe un suceso que sea incompatible con S. a) {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, } b) S {{,, }, {,, }, {,, }, {,, }} c) S': la primera vez salió cruz. PÁGINA Halla la probabilidad de los sucesos A {,,, } y A', tanto en el caso del dado correcto como en el del dado defectuoso del ejemplo anterior. Dado correcto P[A] ; P[A'] P[A] Dado defectuoso P[A] P[] P[] P[] P[] 0, 0, 0, 0, 0, P[A'] P[A] 0, PÁGINA Lanzamos un dado con forma de octaedro, con sus caras numeradas del al 8. Evalúa estas probabilidades: a) P [múltiplo de ] b)p[menor que ] c) P[número primo] d)p[no múltiplo de ] a) P[{, }] 8 b) P[<] P[{,,, }] 8 c) P[primo] P[{,,, }] 8 d) P[no ] P[ ] 8 Unidad 0. álculo de probabilidades

4 0Soluciones a las actividades de cada epígrafe Lanzamos dos dados y anotamos la menor de las puntuaciones. a) Escribe el espacio muestral y asígnale probabilidad a cada uno de los casos. b)halla la probabilidad del suceso la menor puntuación es menor que <. c) Halla P[no < ]. Dado Dado Pág. a) E {,,,,, } P[] P[] 9 P[] P[] P[] P[] b) P[< ] P[] P[] P[] c) P[no < ] P[< ] PÁGINA Lanzamos un dado y, después, sacamos una bola de la bolsa. Estas dos experiencias, son dependientes o independientes? Son independientes, porque el resultado de sacar una bola de la bolsa no depende de qué haya salido en el dado. A Lanzamos un dado. Si sale par, extraemos una bola de la bolsa A. Si sale impar, de la. Las experiencias, son dependientes o independientes? PAR IMPAR Son dependientes, porque al ser los contenidos de las bolsas distintos, el resultado depende de qué bolsa se saque, que depende del valor obtenido al lanzar el dado. Unidad 0. álculo de probabilidades

5 0Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA Pág. Se extraen cartas con reemplazamiento. Halla: a) P[AS en. a y FIGURA en. a y. a ] b)p[ ASES] c) P[un AS y dos FIGURAS] d) P[ningún AS] a) P[AS en. a y FIGURA en. a y. a ] P[AS] P[FIGURA] P[FIGURA] b) P [ ASES] P [AS] P [AS] P [AS] ( 0 ) 000 c) P [un AS y dos FIGURAS] P [AS en. a y FIGURA en. a y. a ] d) P [ningún AS] ( 0 ) 000 Se lanzan monedas. Halla la probabilidad de: a) caras b) alguna cruz / / / / / / -ª MONEDA -ª MONEDA / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / -ª MONEDA -ª MONEDA -ª MONEDA a) P[INO ARAS] b) P[ALGUNA RUZ] P[0 ARAS Y RUES] P[ ARA Y RUES] P[ ARAS Y RUES] P[ ARAS Y RUES] P[ ARAS Y RUZ] P[ ARAS] Unidad 0. álculo de probabilidades

6 0Soluciones a las actividades de cada epígrafe Lanzamos monedas. alcula: a) P[tres caras] b) P[ninguna cara] c) P[alguna cara] a) P [ caras] 8 b) P [ninguna cara] 8 c) Hay formas de que salga una sola cara: {,, }, {,, }, {,, }. De la misma forma, hay de que salgan dos caras. P [alguna cara] P [una cara] P [dos caras] P [tres caras] Pág. Se lanzan dos monedas y un dado. uál es la probabilidad de obtener cara en ambas monedas y seis en el dado? uál, la de obtener cruz en las monedas y par en el dado? Hacemos el diagrama en árbol: / ª MONEDA / / ª MONEDA / / / / DADO No No / / / / / / / No No P [,, ] P [,, (,, )] 8 PÁGINA Extraemos dos cartas de una baraja española. uál es la probabilidad de que la primera sea un REY y la segunda un AS? En la baraja española hay 0 cartas de las cuales son reyes y son ases. P[REYYAS] P[REY] P[AS SUPUESTO QUE LA ª FUE REY] Unidad 0. álculo de probabilidades

7 0Soluciones a las actividades de cada epígrafe ompleta el diagrama en árbol del ejercicio resuelto de esta página y sobre él halla P [NINGÚN AS]. Pág..ª EXTRAIÓN /0 AS Quedan 9 cartas. De ellas, ases.ª EXTRAIÓN /9 /9 AS NO AS Quedan 8 cartas. De ellas, ases Quedan 8 cartas. De ellas, ases.ª EXTRAIÓN /8 /8 /8 /8 AS NO AS AS NO AS /0 NO AS Quedan 9 cartas. De ellas, ases /9 /9 AS NO AS Quedan 8 cartas. De ellas, ases Quedan 8 cartas. De ellas, ases /8 /8 /8 /8 AS NO AS AS NO AS P [NINGÚN AS] Una urna contiene bolas negras y blancas. Extraemos tres bolas. uál es la probabilidad de que las tres sean blancas? Y negras? N 8 bola negra; 8 bola blanca - a EXTRAIÓN - a EXTRAIÓN - a EXTRAIÓN /8 N / / N / / / / N N /8 / / N / / / / N N P [ LANAS] 8 P [ NEGRAS] 8 8 Unidad 0. álculo de probabilidades

8 0Soluciones a las actividades de cada epígrafe Se extraen, una tras otra, cartas de una baraja. uál es la probabilidad de obtener ASTOS las tres veces? a) Supón que se extraen con reemplazamiento. b) Supón que se extraen sin reemplazamiento. Pág. 8 a) - a EXTRAIÓN - a EXTRAIÓN - a EXTRAIÓN 0/0 ASTOS 0/0 0/0 ASTOS NO ASTOS 0/0 0/0 0/0 0/0 ASTOS NO ASTOS ASTOS NO ASTOS 0/0 NO ASTOS 0/0 0/0 ASTOS NO ASTOS 0/0 0/0 0/0 0/0 ASTOS NO ASTOS ASTOS NO ASTOS P[TRES ASTOS] P[ASTOS] P[ASTOS] P[ASTOS] b) P[TRES ASTOS] P[ASTOS] P[ASTOS] P[ASTOS] Una urna A tiene tres bolas blancas y una negra. Otra tiene una bola negra. Sacamos una bola de A y la echamos en. Removemos y sacamos una bola de. uál es la probabilidad de que esta sea blanca? Hacemos un diagrama en árbol: / / / N / N 0 N P [LANA] 0 8 Unidad 0. álculo de probabilidades

9 0Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 9 Pág. 9 Explica el significado de los números 0, 8,, y 0 de la tabla del ejercicio resuelto anterior. 0 8 Número de alumnos de Número de alumnos con NINGUNA actividad extraescolar. 8 Número de alumnos de. con actividad extraescolar ULTURAL. 8 Número de alumnos de. con NINGUNA actividad extraescolar. 0 8 Número de alumnos de. con actividad extraescolar DEPORTIVA. Explica lo que significa, para la tabla del ejercicio resuelto anterior, cada una de las expresiones siguientes y da su valor: P[. ] P[ULTURAL] P[. /ULTURAL] P[ULTURAL/. ] P [. ] 8 Probabilidad de que, elegido al azar, un alumno sea de.. P [. ] 0 0, 00 P[ULTURAL] 8 Probablidad de elegir a un alumno con actividad extraescolar ULTURAL. P[ULTURAL] 0,8 00 P[. /ULTURAL] 8 Probabilidad de que habiendo elegido un alumno con actividad ULTURAL, este resulte ser de.. P[. /ULTURAL] 0, P[ULTURAL/. ] 8 Probabilidad de elegir a un alumno con actividad ULTURAL entre todos los de.. P[ULTURAL/. ] 0, 80 Queremos analizar, partiendo de los datos de la tabla del ejercicio resuelto anterior, la evolución del absentismo (falta de participación) en actividades extraescolares cualesquiera, al aumentar la edad. alcula las proporciones que convenga y compáralas. Debemos observar la probabilidad de los que no hacen ninguna actividad en cada uno de los cursos, es decir: P [NINGUNA/. ] 0, P [NINGUNA/. ] 0, 0 00 P [NINGUNA/. ] 0, P [NINGUNA/. ] 0, Por tanto, según pasan los cursos, cada vez hay menos alumnos que no hacen ninguna actividad extraescolar. Unidad 0. álculo de probabilidades

10 0Soluciones a las actividades de cada epígrafe En una bolsa hay 0 bolas huecas, y dentro de cada una hay un papel en el que pone SÍ o NO. La distribución de bolas según colores y SÍ y NO está en la tabla. a) Describe los sucesos SÍ, NO,, /SÍ, SÍ/ y calcula sus probabilidades. b) Hemos sacado una bola roja. Qué probabilidad hay de que haya SÍ en su interior? Y si la bola es azul? c) Se ha sacado una bola y dentro pone SÍ. uál es la probabilidad de que sea, o? a) SÍ 8 sacar una bola al azar y que sea SÍ. NO 8 sacar una bola al azar y que sea NO. 8 sacar una bola al azar y sea roja. /SÍ 8 de entre dos bolas que dicen SÍ, sacar una roja. SÍ/ 8 de entre las bolas rojas, sacar una que dice SÍ. P [SÍ] 0 P [NO] P [SÍ] 0 P [ ] 0 P [ /SÍ] 0 0 P [SÍ/ ] 0 b) P [SÍ/ ] 0 P [SÍ/ ] c) P [ /SÍ] 0 P [ /SÍ] 0 TOTAL SÍ 0 NO 0 TOTAL Pág. 0 P [ /SÍ] 0 Unidad 0. álculo de probabilidades

11 0Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 0 Pág. P RATIA Relaciones entre sucesos En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el gordo. a) uál es el espacio muestral? b)escribe los sucesos: A MENOR QUE ; PAR. c) Halla los sucesos A «, A», A', ', A'» '. a) El espacio muestral es: E {0,,,,,,,, 8, 9} b) A MENOR QUE {0,,,, } PAR {0,,,, 8} c) A «{0,,,,,, 8} A» {0,, } A' {,,, 8, 9} ' {,,,, 9} A'» ' {,, 9} Escribimos cada una de las letras de la palabra PREMIO en una ficha y las ponemos en una bolsa. Extraemos una letra al azar. a) Escribe los sucesos elementales de este experimento. Tienen todos la misma probabilidad? b)escribe el suceso obtener vocal y calcula su probabilidad. c) Si la palabra elegida fuera SUERTE, cómo responderías a los apartados a) y b)? a) Los sucesos elementales son: {P}, {R}, {E}, {M}, {I}, {O}. Todas tienen la misma probabilidad, porque todas aparecen una sola vez. b) V obtener vocal 8 V {E, I, O} P[V] c) Los sucesos elementales son: {S}, {U}, {E}, {R}, {T} P[V] En este caso el suceso elemental {E} tiene más probabilidad que el resto, por aparecer dos veces. Lanzamos un dado rojo y otro verde. Anotamos el resultado. Por ejemplo, (, ) significa en el rojo y en el verde. a) uántos elementos tiene el espacio muestral? b)describe los siguientes sucesos: Unidad 0. álculo de probabilidades

12 0Soluciones a los ejercicios y problemas A: la suma de puntos es ; A {(, ), (, ), } : En uno de los dados ha salido ; {(, ), } : En los dados salió el mismo resultado. c) Describe los sucesos A «, A», A». d)alcula la probabilidad de los sucesos de los apartados b) y c). e) alcula la probabilidad de A', ' y '. a) omo tenemos dos dados, cada uno con caras, tenemos resultados en uno para cada uno de los resultados del otro. Es decir, en total, elementos en el espacio muestral. b) A {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} c) A «8 En uno de los dados ha salido un o la suma de los dos es. A» 8 Habiendo salido un, la suma de los dos es, es decir, {(, ), (, )}. A» 8 Habiendo salido dos números iguales, la suma es, es decir, {(, )}. d) P [A] P [] P [] P [A «] P [A» ] P [A» ] 8 8 Pág. e) P [A'] P [A] P ['] P [] P ['] P [] El juego del dominó consta de 8 fichas. Sacamos una al azar y anotamos la suma (x) de las puntuaciones. a) uál es el espacio muestral? Di la probabilidad de cada uno de los casos que pueden darse. b)describe los sucesos: A: x es un número primo. : x es mayor que. A «, A», A' c) alcula las probabilidades de los sucesos descritos en el apartado b). a) E {0,,,,,,,, 8, 9,0,, } P [0] ; P[] ; P[] P[] ; P[] ; P[] Unidad 0. álculo de probabilidades

13 0Soluciones a los ejercicios y problemas P[] ; P[] ; P[8] P[9] ; P[0] ; P[] ; P[] Pág. b) A {,,,, } {,,, 8, 9, 0,, } A «{,,,,, 8, 9, 0,, } A» {,, } A' {,,, 8, 9, 0, } c) P [A] P[] P[] P[] P[] P[] 8 P[] 9 P[A «] 8 8 P[A» ] P[A'] P [A] 8 8 Probabilidades sencillas En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas del al 9. alcula la probabilidad de que la primera bola extraída : a) Sea un número de una sola cifra. b)sea un número múltiplo de. c) Sea un número mayor que. a) P [,,,,,,, 8, 9] 9 9 b) P [,,, 8,,, 9] 9 c) P [,, 8,, 9] 9 Se extrae una carta de una baraja española. Di cuál es la probabilidad de que sea: a) REY o AS. b) FIGURA y OROS. c) NO SEA ESPADAS. a) P [REYOAS] 8 0 b) P [FIGURA Y OROS] P [FIGURA DE OROS] 0 0 c) P [NO SEA ESPADAS] 0 0 Unidad 0. álculo de probabilidades

14 0Soluciones a los ejercicios y problemas En una bolsa hay bolas de colores, pero no sabemos cuántas ni qué colores tienen. En 000 extracciones (devolviendo la bola cada vez) hemos obtenido bola blanca en ocasiones, bola negra en 90, bola verde en 9 y bola azul en 0. Al hacer una nueva extracción, di qué probabilidad asignarías a: a) Sacar bola blanca. b)no sacar bola blanca. c) Sacar bola verde o azul. d)no sacar bola negra ni azul. Si en la bolsa hay bolas, cuántas estimas que habrá de cada uno de los colores? omo se han hecho 000 extracciones: P [OLA LANA] 0, P [OLA VERDE] 9 0, P[OLA NEGRA] 90 0,9 P [OLA AZUL] 0 0, a) P [OLA LANA] 0, b) P [NO OLA LANA] 0, 0,89 c) P [OLA VERDE O AZUL] 0,9 0, 0,99 d) P [NO OLA NEGRA NI AZUL] (0,9 0,) 0,9 Si hay bolas: El % son blancas 8 0, 9 bolas blancas. El 9% son negras 8 0,9 bolas negras. El 8% son verdes 8 0,8 bolas verdes. El % son azules 8 0, bolas azules. Pág. 8 Ana tira un dado y su hermana Eva lo tira después. uál es la probabilidad de que la puntuación de Eva sea superior a la de Ana? ANA EVA P [PUNTUAIÓN DE EVA SUPERIOR A LA DE ANA] Unidad 0. álculo de probabilidades

15 0Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Lanzamos dos dados y anotamos la puntuación del mayor (si coinciden, la de uno de ellos). a) ompleta la tabla y di las probabilidades de los seis sucesos elementales,,,, y. Pág. b)halla la probabilidad de los sucesos: A: n. par, : n. menor que, A». a) P [] ; P[] ; P[] P[] ; P[] 9 ; P[] b) P[A] P[] 9 P[A» ] P[] PÁGINA Experiencias compuestas 0 a) Tenemos dos barajas de 0 cartas. Sacamos una carta de cada una. uál es la probabilidad de que ambas sean? uál es la probabilidad de que ambas sean figuras (sota, caballo o rey)? b) Tenemos una baraja de 0 cartas. Sacamos dos cartas. uál es la probabilidad de que ambas sean un? uál es la probabilidad de que ambas sean figura? a) P [ y ] P [FIGURA y FIGURA] Unidad 0. álculo de probabilidades

16 0Soluciones a los ejercicios y problemas b) P [ y ] P [FIGURA y FIGURA] Pág. Lanzamos tres dados. uál es la probabilidad de que las tres puntuaciones sean menores que? P [las tres menores que ] P [menor que ] P [menor que ] P [menor que ] 8 Sacamos una bola de cada urna. alcula: a) La probabilidad de que ambas sean rojas. b)la probabilidad de que ambas sean negras. c) La probabilidad de que alguna sea verde. a) P [ROJA y ROJA] b) P[NEGRA y NEGRA] c) P[alguna VERDE] P [VERDE] P [VERDE] 0 Sacamos dos bolas. alcula: a) P[ rojas] b) P[ verdes] a) P[ ROJAS] b) P[ VERDES] 0 0 Sacamos una bola de A, la echamos en, removemos y sacamos una de. alcula: A Unidad 0. álculo de probabilidades

17 0Soluciones a los ejercicios y problemas a) P[. a roja y. a roja] b)p[. a roja y. a verde] c) P[. a roja /. a verde] d)p[. a roja /. a roja] e) P[. a roja] f) P[. a verde] e) Para calcular esta probabilidad, ten en cuenta el diagrama. Pág. A a) P[. a roja y. a roja] b) P[. a roja y. a verde] c) P[. a roja /. a verde] d) P[. a roja /. a roja] e) P[. a roja] f) P[. a verde] 8 Tablas de contingencia En un centro escolar hay 000 alumnos y HIOS HIAS alumnas repartidos así: USAN GAFAS Llamamos: A chicas, O chicos, G tiene NO USAN GAFAS gafas, no G no tiene gafas. alcula: 8 0 a) P[A], P[O], P[G], P[no G] b)describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: A y G, O y no G, A/G, G/A, G/O. a) P [A] 0 8 0, P [O] P [A] 0,8 0, Unidad 0. álculo de probabilidades

18 0Soluciones a los ejercicios y problemas P[G] 8 0, P[no G] P[G] 0,8 0,8 Pág. 8 b) A y G 8 hica con gafas. P[A y G] 0, 000 O y no G 8 hico sin gafas P[O y no G] 8 0,8 000 A/G 8 De los que llevan gafas, cuántas son chicas. P[A/G] 0,9 8 G/A 8 De todas las chicas, cuántas llevan gafas. P[G/A] 0,8 8 G/O 8 De todos los chicos, cuántos llevan gafas. P[G/O] 0,8 En una empresa hay 00 empleados, 00 hombres y 00 mujeres. Los fumadores son 0 hombres y mujeres. a) Haz con los datos una tabla de contingencia. b)si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea hombre y no fume: P[H y no F]. c) alcula también: P[M y F], P[M / F], P[F / M] a) HOMRE MUJER FUMADOR 0 NO FUMADOR 0 b) P[H y no F] 0 0, 00 c) P[M y F] 0, 00 P[M/F] 0, P[F/M] 0, 00 Unidad 0. álculo de probabilidades

19 0Soluciones a los ejercicios y problemas Los 000 socios de un club deportivo se distribuyen de la forma que se indica en la tabla. Pág. 9 HOMRES MUJERES JUEGAN AL ALONESTO NO JUEGAN AL ALONESTO 8 0 Si se elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que: a) Sea un hombre. b)sea una mujer. c) Juegue al baloncesto. d)sea una mujer que practique baloncesto. e) Sea un hombre que no practique baloncesto. f) Juegue al baloncesto, sabiendo que es hombre. g) Sea mujer, sabiendo que no juega al baloncesto. a) P[H] 8 0, b) P[M] P[H] 0,8 c) P[] 8 0, d) P[M y ] 0, 000 e) P[H y no ] 8 0,8 000 f) P[/H] 0,8 g) P[M/no ] 0 0,8 8 PÁGINA P IENSA Y RESUELVE 8 Una urna contiene 00 bolas numeradas así: 00, 0, 0 99 Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de las unidades del número que tiene cada bola. Se extrae una bola al azar. alcula la probabilidad de que: a) x b) y c) x? d) x > e) x y 9 f ) x < g) y > h) y < Unidad 0. álculo de probabilidades

20 0Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 0 UNIDADES DEENAS a) x 8 P [x ] b) y 8 P [y ] c) x 8 P [x ] d) x > 8 P [x > ] 0 00 e) x y 9 8 P [x y 9] f)x < 8 P [x < ] g) y > 8 P [y > ] 0 00 h) y < 8 P[y < ] Sacamos dos fichas de un dominó. uál es la probabilidad de que en ambas la suma de sus puntuaciones sea un número primo (,,, u )? es primo Tenemos: A {(, ), (, 0), (, ), (, 0), (, ), (, ), (, 0), (, ), (, ), (, ), (, )} P[A] 8 Por tanto: P[en ambas la suma es un primo] 0 0 0, 8 Unidad 0. álculo de probabilidades

21 0Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Después de tirar muchas veces un modelo de chinchetas, sabemos que la probabilidad de que una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,8. Pág. Si tiramos dos chinchetas, cuál será la probabilidad de que las dos caigan de distinta forma? -ª HINHETA -ª HINHETA 0,8 0, HAIA ARRIA HAIA OTRO SITIO 0,8 0, 0,8 0, HAIA ARRIA HAIA OTRO SITIO HAIA ARRIA HAIA OTRO SITIO P [DISTINTA FORMA] 0,8 0, 0, 0,8 0, En una clase hay chicos y 8 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de esa clase. alcula la probabilidad de que: a) Los dos sean chicos. b)sean dos chicas. c) Sean un chico y una chica. / -ª ELEIÓN -ª ELEIÓN / HIO HIO 8/ HIA 8/ HIA / / HIO HIA a) P [DOS HIOS] 8 b) P [DOS HIAS] 8 9 c) P [UN HIO Y UNA HIA] Extraemos una tarjeta de cada una de estas bolsas. S S N OI O a) alcula la probabilidad de obtener una S y una I, SI. b) uál es la probabilidad de obtener NO? c) Son sucesos contrarios SI y NO? Unidad 0. álculo de probabilidades

22 0Soluciones a los ejercicios y problemas Resuélvelo rellenando esta tabla. Pág. S S N I SI O O SO S S N I SI SI NI O SO SO NO O SO SO NO a) P[SÍ] b) P[NO] 9 9 c) No, no son sucesos contrarios, porque P[SÍ]? P[NO]. En un laboratorio se somete un nuevo medicamento a tres controles. La probabilidad de pasar el primero es 0,89, la de pasar el segundo es 0,9 y la de pasar el tercero es 0,8. uál es la probabilidad de que el nuevo producto pase las tres pruebas? Las tres pruebas son independientes una de otra. P [PASAR EL PRIMER ONTROL] 0,89 P [PASAR EL SEGUNDO ONTROL] 0,9 P [PASAR EL TERER ONTROL] 0,8 P [PASAR LOS TRES ONTROLES] 0,89 0,9 0,8 0,0 Se extraen dos bolas de esta bolsa. alcula la probabilidad de que ambas sean del mismo color. / AZUL / / AZUL ROJA / ROJA / / AZUL ROJA P [AZUL Y AZUL] P [ROJA Y ROJA] P [AMAS DEL MISMO OLOR] Unidad 0. álculo de probabilidades

23 0Soluciones a los ejercicios y problemas En una bolsa tenemos las letras S, S, N, I, I, O. Sacamos dos letras. uál es la probabilidad de que con ellas se pueda escribir SI? Pág. S N I O -ª EXTRAIÓN S N I O S I I S N I O S N I -ª EXTRAIÓN SI P[ SI ] Javier tiene en su monedero monedas de cinco céntimos, de veinte y de un euro. Saca dos monedas al azar. uál es la probabilidad de los siguientes sucesos? a) Que las dos sean de cinco céntimos. b)que ninguna sea de un euro. c) Que saque,0. En el diagrama de árbol, las monedas aparecen en céntimos. 00 cent. /9 /9 /9 -ª MONEDA -ª MONEDA /8 /8 0 /8 00 /8 0 /8 0 /8 00 /8 00 /8 0 /8 00 a) P [DOS DE ENT.] 9 8 b) P [NINGUNA DE ] 9 ( 8 8) 9 ( 8 8) 9 8 c) P [SAAR,0 ] P [00, 0] Unidad 0. álculo de probabilidades

24 0Soluciones a los ejercicios y problemas En una bolsa hay bolas, dos de ellas están marcadas con un y las otras dos con un. Se hacen tres extracciones y se anotan los resultados en orden. alcula la probabilidad de que el número formado sea el, suponiendo que: a) La bola se reintegra a la bolsa. b)la bola no se devuelve a la bolsa. Pág. a) -ª EXTRA. -ª EXTRA. -ª EXTRA. b) -ª EXTRA. -ª EXTRA. -ª EXTRA. / / / / / / / / / / 0 / / / / / / / / / / / / / / 0 a) P [] b) P[] 8 8 Un jugador de baloncesto suele acertar el % de sus tiros desde el punto de lanzamiento de personales. Si acierta el primer tiro, puede tirar de nuevo. alcula la probabilidad de que: a) Haga dos puntos. b) Haga un punto. c) No haga ningún punto. P [AERTAR] 0, er TIRO -º TIRO 0, AIERTA 0, 0, AIERTA NO AIERTA 0, NO AIERTA a) P [DOS PUNTOS] 0, 0, 0, b) P [UN PUNTO] 0, 0, 0,9 c) P [NO HAGA NINGÚN PUNTO] 0, Unidad 0. álculo de probabilidades

25 0Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Matías y Elena juegan con una moneda. La lanzan tres veces y si sale dos veces cara y una vez cruz o dos veces cruz y una vez cara, gana Matías. Si sale tres veces cara o tres veces cruz, gana Elena. alcula la probabilidad que tiene cada uno de ganar. Pág. er LANZAMIENTO -º LANZAMIENTO er LANZAMIENTO / / / / / / / / / / / / / / P [GANE MATÍAS] P [,, ] P [,, ] P [,, ] P[,, ] P[,, ] P[,, ] 8 P [GANE ELENA] P [,, ] P [,, ] 8 PÁGINA P ROFUNDIZA 0 En cierto lugar se sabe que si hoy hace sol, la probabilidad de que mañana también lo haga es /. Pero si hoy está nublado, la probabilidad de que mañana lo siga estando es /. Si hoy es viernes y hace sol, cuál es la probabilidad de que el domingo también haga sol? Para resolverlo completa el diagrama y razona sobre él: Viernes Sb ado Domingo Unidad 0. álculo de probabilidades

26 0Soluciones a los ejercicios y problemas Hacemos un diagrama en árbol: Pág. VIERNES / S / SÁADO / N / / S / DOMINGO N S N S P [DOMINGO SOL] P [VIERNES S, SÁADO N, DOMINGO S] P [VIERNES S, SÁADO S, DOMINGO S] 0, Esto es un plano de parte de la red de cercanías de una ciudad. En cada nudo es igual de probable que el tren continúe por cualquiera de los caminos que salen de él. A 8 D E Un viajero sube a un tren en A sin saber adónde se dirige. a) uál es la probabilidad de que llegue a la estación? b) alcula la probabilidad de llegar a cada una de las estaciones. 8 A / / / / / / / E / / / / D / a) P [] 8 b) P [] P [] P [] P [] P [] P [] 8 P [] P [8] Unidad 0. álculo de probabilidades

27 0Soluciones a los ejercicios y problemas Se hace girar la flecha en cada una de estas ruletas, y gana la que consiga la puntuación más alta. Pág. A alcula la probabilidad de que gane A y la de que gane. A P[GANE A] P[GANE ] 9 9 En una urna marcada con la letra A hay una bola roja y una negra. En otra urna, que lleva la letra, hay una bola azul, una verde y una blanca. Se lanza un dado; si sale par, se saca una bola de la urna A, y si sale impar, de la urna. a) Escribe todos los resultados posibles de esta experiencia aleatoria. b) Tiene la misma probabilidad el suceso PAR y ROJA que el IMPAR y VERDE? c) alcula la probabilidad de todos los sucesos elementales y halla su suma. Qué obtienes? a) El espacio muestral es: E {(PAR, ROJA), (PAR, NEGRA), (IMPAR, AZUL), (IMPAR, VERDE), (IMPAR, LANA)} b) P [PAR, ROJA] P [IMPAR, VERDE] c) P [PAR, ROJA] 8 Son distintas P [PAR, NEGRA] P [IMPAR, AZUL] 8 P [IMPAR, VERDE] Se obtiene P[E] P [IMPAR, LANA] Unidad 0. álculo de probabilidades

28 0Soluciones a los ejercicios y problemas uál es la probabilidad de obtener bola blanca al elegir al azar una de estas bolsas y extraer de ella una bola? A Pág. 8 A lanca No blanca lanca No blanca lanca No blanca / / / OLSA OLSA OLSA / / / LANA LANA LANA P [LANA] Lanzamos tres dados y anotamos la mayor puntuación. alcula la probabilidad de que sea. Para que la mayor puntuación sea un, no tiene que salir ningún. Y en uno de ellos debe salir un. Es decir: P[] P[un ] P[? ] P[? ] Lanzamos tres dados y anotamos la puntuación mediana. alcula la probabilidad de que sea. Para que la mediana sea un, deben salir un, un y otro valor menor que. Es decir: P[] P[un ] P[un ] P[< ] Unidad 0. álculo de probabilidades

29 0Soluciones a los ejercicios y problemas Tenemos tres cartulinas. La primera tiene una cara roja (R), y la otra, azul (A); la segunda A y verde (V), y la tercera, V y R. Las dejamos caer sobre una mesa. Qué es más probable, que dos de ellas sean del mismo color o que sean de colores diferentes? Hacemos un diagrama en árbol: Pág. 9 / R / / A V / / / / V R V R R A U R A R R V V R V R / A / V / A / R / / V V / R A A V A A R A V V A V R P [ iguales] 8 P [Todas distintas] 8 Es más probable que salgan dos colores iguales. Unidad 0. álculo de probabilidades

30 0Soluciones a desarrolla tus competencias PÁGINA Pág. LEE Y OMPRENDE Tarea con trampa Alberto y ristina rellenan, para un trabajo de clase, un tablero de 0 casillas del siguiente modo: avanzando de izquierda a derecha y de arriba abajo, se decide a cara o cruz si la casilla se colorea de rojo o de verde. Y estos han sido los cuadros presentados. ALERTO RISTINA Pero el caso es que uno ha hecho el trabajo concienzudamente, tirando una moneda por cada casilla. Y el otro, con trampa, lo ha rellenado en un momento, caprichosamente. Sin embargo, el profesor ha puesto mala nota al que no ha trabajado. ómo lo ha descubierto? Este ha sido su razonamiento: Teóricamente, los dos cuadros son posibles. Sin embargo, ten en cuenta que: El resultado obtenido en una casilla no depende del obtenido en la casilla anterior. Es decir, en cada casilla: P[ARA] P[RUZ] Y eso equivale a decir que, aproximadamente, el color de una casilla será la mitad de las veces igual que el de la anterior y la otra mitad, diferente. Ahora, observa nuevamente los cuadros de Alberto y ristina. En ellos, algunas casillas se han señalado con un punto: aquellas que tienen un color diferente a la anterior: ALERTO RISTINA ambios de color: 8 ambios posibles: 9 Frecuencia relativa: 8/9 8 8% ambios de color: ambios posibles: 9 Frecuencia relativa: /9 8 % Sospechas ahora cuál de los dos ha hecho trampa y, por querer disimularla, ha caído en ella? Ha hecho trampras Alberto, porque su frecuencia relativa (8%) se separa mucho del teórico 0%. Unidad 0. álculo de probabilidades

31 0Soluciones a desarrolla tus competencias PÁGINA Pág. APLIA LO QUE HAS APRENDIDO Sorteo dudoso UNIDADES En una peña futbolística de amigos, consiguen solo entradas (mala suerte) para la final de la copa, el partido del siglo! Así que se hace un sorteo para decidir quién se queda en casa. A DEENAS 0 SI SALE SI SALE UNIDADES Para el sorteo se siguen estas reglas: A cada uno de ellos se le asigna un número del al. El sorteo se realiza utilizando estos tres bombos. Por ejemplo: Si sale en A 0 en, se queda en casa quien lleve el número 0. Si sale 0 en A en, se queda en casa quien lleve el. Te parece justo el sorteo? Por qué? / / 0 /0 /0 / / /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 / Es claro que el sorteo no es justo, ya que la probabilidad de obtener un número que empiece por 0 es menor que la de obtener uno que empiece por. P [0] P [] 0 0 Si la asignación de números se hace al azar, a priori las probabilidades de cada uno coinciden, aunque posteriormente sean distintas. Digamos que su suerte está en ese primer sorteo, es decir, uno. de probabilidad por cada Unidad 0. álculo de probabilidades

32 0Soluciones a desarrolla tus competencias UTILIZA TU INGENIO Pág. Y tú, qué opinas? Raquel es una chica de 0 años, bastante enérgica. Estudió Matemáticas y acabó entre los primeros de su promoción. uando era estudiante militó en movimientos sociales, especialmente en grupos ecológicos y contra la discriminación. uál de estas dos afirmaciones te parece más probable? a) Raquel trabaja en un banco. b) Raquel trabaja en un banco y es una activa militante feminista. A primera vista, y por las condiciones iniciales, parece que b) es la opción más aceptable. pero hemos de observar que b) contiene la condición de a) y otra más. Por tanto, la probabilidad de que ocurra b) siempre será menor que la de a). Unidad 0. álculo de probabilidades

33 0Soluciones a la autoevaluación PÁGINA Pág. Verifícalo resolviendo ejercicios Tenemos dos bolsas, A y con estas bolas: A: blancas y negras : blanca, negras y rojas Tirando un dado, si sale o extraemos una bola de A. Si sale,, o, extraemos una bola de. alcula la probabilidad de extraer la bola roja. P[roja] 0 P[ ó ] P[,, ó ] Extraemos una bola de cada caja. uál es la probabilidad de que sumen? omo en la última siempre sale, el problema se reduce a sacar en las dos primeras. P[] P[] P[] P[] P[] Así, la probabilidad de sacar entre las tres urnas es. Sacamos una bola de A, la echamos en, removemos y sacamos una bola de. alcula la probabilidad de que ambas bolas sean rojas. A / R / / R N / N / / R N P[R y R] 0 0 Unidad 0. álculo de probabilidades

34 0Soluciones a la autoevaluación En un grupo de hombres (europeos, africanos, americanos), unos llevan bigote, y otros, no. Qué significan los sucesos IG/AFRI y AFRI/IG? Halla sus probabilidades. Pág. EUROPA ÁFRIA AMÉRIA IG NO IG 8 IG/AFRI 8 Los que tienen bigote entre los africanos. AFRI/IG 8 Los que son africanos entre los que tienen bigote. P[IG/AFRI] 0 P[AFRI/IG] Unidad 0. álculo de probabilidades