Restricciones. Inteligencia Artificial. Ingeniería Superior en Informática, 4º Curso académico: 2011/2012 Profesores: Ramón Hermoso y Matteo Vasirani

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1 Restricciones Ingeniería Superior en Informática, 4º Curso académico: 2011/2012 Profesores: Ramón Hermoso y Matteo Vasirani 1

2 Tema 2: Agentes basados en Búsqueda Resumen: 2. Agentes basados en búsqueda 2.1. Búsqueda en espacios de estados 2.2 Búsqueda no-informada 2.3. Búsqueda heurística 2.4. Búsqueda multiagente 2.5. Búsqueda con espacios estructurados Planificación Satisfacción de Restricciones 2

3 Problemas de Satisfacción de Restricciones Estructura de estados: Un estado está compuesto por un conjunto de n variables que pueden tomar diferentes valores Un estado es un estado meta si los valores que tienen sus variables cumplen una serie de restricciones Definición: Un problema de satisfacción de restricciones (Constraint Satisfaction Problem, CSP) es una tripleta (X, D, R) X {x 1,, x n } es un conjunto de variables D: X V es una función total que asigna un dominio (conjunto de valores de V i ) a cada variable. Frecuentemente se escribe D i en vez de D(x i ) para refirse al dominio de la variable x i R {R 1,, R k } es un conjunto de restricciones tal que cada R i es un predicado sobre un subconjunto de las variables de X. Formalmente: R i (x 1,, x l ) D 1 D l 3

4 Ejemplo: n-reinas Problema de los n reinas: Posicionar n reinas en un tablero n n, tal que ninguna de ellas está amenazada por otra 4-reinas como CSP: X {x 1,, x 4 } (número de las filas) D {D 1,, D 4} siendo D i {1,3,4} (nº de las columnas) R {R 1 } siendo R 1 (x 1, x 2,x 3,x 4 ) {(4,1,3),(3,1,4,2)} Ejemplo: 4 reinas X 1 X 2 X 3 X 4 Nótese: Normalmente R es un cjto de restricciones binarias (involucrando sólo 2 variables) En el ejemplo: R {R 1,, R 6 } refiriendose cada R i a la amenaza entre dos filas Ejemplo: R 2 expresa que no debe haber amaneza entre reinas en las filas 1 y 3 R 2 (x 1,x 3 ) {(1,2),(1,4),(1),(3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)} Cualquier CSP puede expresarse sobre la base de restricciones binarias 4

5 CSP como grafo Los CSPs de restricciones binarias se suelen representar como grafos Cada variable x i del CSP es representada por un nodo Cada restricción binaria R i (x j,x k ) se representa por un arco ente los nodos x j y x k Ejemplo: grafo correspondiente al problema de las 4-reinas x 1 R 1 R 2 x 2 x 3 R 4 R 3 Restricción R 2 : no debe haber amenaza entre reinas en las filas 1 y 3 R 5 R 6 x 4 CSPs con restricciones n-arias se pueden representar mediante hipergrafos 5

6 Problemas de Satisfacción de Restricciones Solución a un CSP Una asignación es una función parcial σ : X D(X) Habitualmente se escribe x 1 v a por σ(x 1 ) v a y se describe una asignación de forma extensiva, es decir σ {x 1 v a, x 3 v b, x 7 v c, } Una asignación es completa si está definida para todas las variables X del CSP Una asignación σ cumple con una restricción R i sii (σ(x 1 ),, σ(x l )) R i (x 1,, x l ) Una asignación completa σ es una solución si cumple todas las restricciones en R i R Ejemplos para el caso de las 4 reinas σ {x 1 2, x 2 4, x 3 3 } es una asignación parcial que cumple R 2 σ {x 1 1, x 2 2, x 3 3, x 4 4 } es una asignación total que no cumple R 2 σ {x 1 2, x 2 4, x 3 1, x 4 3 } es una solución al problema de las 4 reinas 6

7 Solución con métodos de búsqueda Búsqueda con asignaciones completas Estado: asignación completa (valores para todas las variables) Operador: modificar el valor de una variable en la asignación Meta?: asignación que cumple todas las restricciones Coste: cero (la longitud de un camino hasta un nodo meta es irrelevante) Heurística del conflicto mínimo: Preferir los sucesores que violen el mínimo número de restricciones 4-reinas: n de amenazas entre pares de reinas

8 Solución con métodos de búsqueda Problema: Cada nodo tiene n d sucesores, i.e. el árbol de búsqueda tendría (n d) n nodos Pero sólo hay d n posibles asignaciones Equivalencia de caminos por conmutatividad: El orden en el que se asignan valores a las variables es irrelevante Búsqueda con asignaciones parciales Estado: asignación parcial (valores asignados a algunas variables) Operador: elegir un valor para una variable no asignada (sólo en estados que cumplen R) Meta?: solución (asignación completa que cumple todas las restricciones) Posibles heurísticas: Elegir variables: Preferir la variable de mínimos valores restantes Elegir variables: Preferir la variable involucrada en el mayor número de restricciones (grado heurístico), intentando reducir el factor de ramificación sobre futuras opciones Elegir valores: Preferir el valor menos restringido, que excluye el menor número de restricciones en las variables vecinas 8

9 Satisfacción de restricciones con vuelta atrás cronológica Algoritmo: Vuelta atrás cronológica (cronological backtracking) Búsqueda en profundidad en el espacio de asignaciones parciales Ejemplo: 4-reinas {} {x 1 1} {x 1 2} {x 1 3} {x 1 4} {x 1 1, {x 1 1, {x 1 1, {x 1 1, {x 1 {x 1 {x 1 {x 1 x 2 1} x 2 2} x 2 3} x 2 4} x 2 1} x 2 2} x 2 3} x 2 4} {x 1 1, x 2 3, x 3 1} {x 1 1, {x 1 1, x 2 3, x 2 3, x 3 2} x 3 3} {x 1 1, x 2 3, x 3 4} {x 1 1, {x 1 1, {x 1 1, {x 1 1, x 2 4, x 3 1} x 2 4, x 3 2} x 2 4, x 3 3} x 2 4, x 3 4} {x 1 x 2 4, x 3 1} {x 1 x 2 4, x 3 2} {x 1 x 2 4, x 3 3} {x 1 x 2 4, x 3 4} {x 1 1, x 2 4, x 3 2, x 4 1 } {x 1 1, x 2 4, x 3 2, x 4 2 } {x 1 1, {x 1 1, x 2 4, x 2 4, x 3 2, x 3 2, x 4 3 } x 4 4 } {x 1 x 2 4, x 3 1, x 4 1 } {x 1 x 2 4, x 3 1, x 4 2 } {x 1 x 2 4, x 3 1, x 4 3 } {x 1 x 2 4, x 3 1, x 4 4 } 9

10 Satisfacción de restricciones con vuelta atrás cronológica Función vuelta-atrás-cronológica(csp, σ) devuelve σ' / fallo Si σ n entonces % la asignación es completa (i.e. una solución) devolver(σ) x i elegir-variable-no-asignada(x, σ) % orden de elección no afecta la completitud dominio D Xi Mientras dominio {} hacer v elegir-valor(dominio) σ' σ {x i v} % en el dominio quedan valores por probar % generar nueva asignación parcial Si σ' R entonces % la nueva asignación parcial es consistente resultado vuelta-atrás-cronológica(csp, σ') % completarla Si resultado fallo entonces devolver(resultado) dominio dominio \ {v} Fin {Mientras} devolver(fallo) Fin {vuelta-atrás-cronológica} 10

11 Propagación de restricciones: Propagación de restricciones Idea: usar el conjunto de restricciones para reducir el espacio de búsqueda Método: propagar valores a través de las restricciones que afectan a sus variables, intentando eliminar de los dominios los valores que no podrán formar parte de una solución Ejemplo de las 4 reinas: Si {x 1 1} se puede eliminar 1 y 2 de D 2, i.e D 2 {3,4} (debido a R 1 (x 1,x 2 )) eliminar 1 y 3 de D 3, i.e D 3 {4} (debido a R 2 (x 1,x 3 ) ) eliminar 1 y 4 de D 4, i.e D 4 {3} (debido a R 3 (x 1,x 4 )) X 1 X 2 X 3 X Aplicación: a) Antes de la búsqueda, para reducir la cardinalidad de los dominios b) Intercalado con la búsqueda: filtrar dominios sobre la base de una asignación parcial 11

12 Propagación de restricciones: comprobación hacia adelante Búsqueda con vuelta atrás cronológica con comprobación hacia delante (forward checking): Filtrar dominios después de cada ampliación de la asignación parcial σ: Para todas las restricciones binarias R k que involucran una variable x i asignada en σ y otra x j no asignada en σ Para todo valor v de D j : Si (σ(x i ), v) viola R k (x i, x j ) entonces eliminar v de D j Marcha atrás si algún dominio se queda sin valores {} D 2 {3,4} D 3 {4} D 4 {3} D 2 {4} D 3 {1,3} D 4 {1,3,4} {x 1 1} {x 1 2} {x 1 3} {x 1 4} D 3 {} D 4 {2} {x 1 1, x 2 3} {x 1 1, x 2 4} D 3 {2} D 4 {3} D 3 {1} D 4 {1,3} {x 1 x 2 4} {x 1 1, x 2 4, x 3 2} D 4 {} D 4 {3} {x 1 x 2 4, x 3 1} {x 1 x 2 4, x 3 1, x 4 3 } 12

13 Transitividad de Restricciones {} D 2 {3,4} D 3 {4} D 4 {3} D 3 {} D 4 {2} {x 1 1, x 2 3} {x 1 1, x 2 4} D 3 {2} D 4 {3} X 1 D 2 {4} D 3 {1,3} D 4 {1,3,4} {x 1 1} X 2 {x 1 2} {x 1 3} {x 1 4} X 3 X D 3 {1} D 4 {1,3} {x 1 x 2 4} No se ha tomado en cuenta R' 6 (x 3,x 4 ), porque ni x 3 ni x 4 tienen valores asignados en {x 1 1, x 2 4} Se habría detectado que un dominio se queda sin valores Y, por tanto, que no se puede ampliar la asignación para que forme una solución {x 1 1, x 2 4, x 3 2} D 4 {} D 4 {3} {x 1 x 2 4, x 3 1} {x 1 x 2 4, x 3 1, x 4 3 } Debería tomarse en cuenta la transitividad de las restricciones 13

14 Consistencia de arco Definición.: Un CSP es arco consistente si para todo par de dominios D y y D z, y z, se cumple que Ejemplo: vi Dy v j Dz i, ( y v z v ) cumple R El CSP de las cuatro reinas con D 1 {1}, D 2 {3,4}, D 3 {4}, X 1 y D 4 {3} no es arco consistente porque (entre otros) X 2 Para x 3 2 no existe v D 4 tal que (v) R 7 (x 3,x 4 )) X Para x 3 4 no existe v D 2 tal que (4,v ) R 4 (x 3,x 2 )) 3 X Por tanto, para alcanzar arco consistencia, D 3 tendría que quedarse vacío Propagación de restricciones para establecer consistencia de arco: Al eliminar un valor de un dominio D i involucrado en una restricción R y (x i,x j ), se puede estropear la condición de arco consistencia de otra restricción R z (x i,x k ) Puede ser necesario propagar valores varias veces por la misma restricción j 14

15 Algoritmo de arco consistencia D A 3, 4, 5 x A {(A,B) : A B-1} x B D B 3, 4, 5 {(A,C) : A > C} {(B,C) : C (B+1) div 2} {,(1),(3,2),(4,2),(5,2), } x c D C 1, 3 15

16 Algoritmo de arco consistencia D A 3, 4, 5 x A {(A,B) : A B-1} R 1 x B D B 3, 4, 5 {(A,C) : A > C} {(B,C) : C (B+1) div 2} {,(1),(3,2),(4,2),(5,2), } x c D C 1, 3 16

17 Algoritmo de arco consistencia D A 3, 4, 5 x A {(A,B) : A B-1} x B D B 3, 4, 5 {(A,C) : A > C} R 2 {(B,C) : C (B+1) div 2} {,(1),(3,2),(4,2),(5,2), } x c D C 1, 3 17

18 Algoritmo de arco consistencia D A 3, 4, 5 x A {(A,B) : A B-1} x B D B 3, 4, 5 {(A,C) : A > C} R 3 {(B,C) : C (B+1) div 2} {,(1),(3,2),(4,2),(5,2), } x c D C 1, 3 18

19 Algoritmo de arco consistencia D A 3, 4, 5 x A {(A,B) : A B-1} R 1 x B D B 3, 4, 5 {(A,C) : A > C} {(B,C) : C (B+1) div 2} {,(1),(3,2),(4,2),(5,2), } x c D C 1, 3 19

20 Algoritmo de arco consistencia D A 3, 4, 5 x A {(A,B) : A B-1} R 1 OK x B D B 3, 4, 5 {(A,C) : A > C} R 3 OK x c D C R 2 OK 1, 3 {(B,C) : C (B+1) div 2} {,(1),(3,2),(4,2),(5,2), } El CSP con D A {3,4}, D B {4,5} y D C {3} es arco consistente 20

21 Algoritmo de arco consistencia Función consistencia-de-arcos(csp) devuelve CSP % con dominios reducidos abierta R % inicialmente todas las restricciones binarias dirigidas Mientras vacio?(abierta) hacer R y (x i, x j ) primero(abierta) Si borrar-valores-inconsistentes(r y (x i, x j )) entonces Para cada x k vecinos(x i ) hacer abierta abierta {R z (x k, x i ) } Fin {consistencia-de-arcos} Función borrar-valores-inconsistentes(r y (x i, x j )) devuelve si / no borrado no % variable booleana iniciar con false Para cada v D i hacer % borrar valores inconsistentes (sólo de D i ) Si v D j tal que (v,v ) R y (x i, x j ) entonces D i D i \ {v} borrado si Devolver (borrado) Fin {borrar-valores-inconsistentes} 21

22 Algoritmo de arco consistencia D A 3, 4, 5 x A {(A,B) : A B-1} R 1 x B D B 3, 4, 5 abierta R 1 (x A, x B ) R 1 (x B, x A ) R 2 (x B, x C ) R 2 (x C, x B ) R 3 (x A, x C ) R 3 (x C, x A ) R 1 (x A, x B ) {(A,C) : A > C} R 3 x c D C R 2 1, 3 {(B,C) : C (B+1) div 2} {,(1),(3,2),(4,2),(5,2), }... 22

23 Algoritmo de arco consistencia Resultado: El algoritmo de consistencia de arco reduce un CSP en un CSP equivalente (es decir: con las mismas soluciones) Si al aplicar el algoritmo el dominio de una variable se queda vacío, el CSP es inconsistente (es decir: no tiene solución) Complejidad: Un CSP binario tiene como mucho n 2 arcos Cada arco puede insertarse en abierta a lo sumo d veces El borrado de valores inconsistentes se realiza en O(d 2 ) pasos Por tanto, la complejidad en tiempo en el peor caso es O(n 2 d 3 ) Análisis: No se puede garantizar que el algoritmo detecta cualquier CSP inconsistente Aún así, por lo general la generación de arco-consistencia merece la pena 23

24 Algoritmo MAC Algoritmo: Mantenimiento de consistencia de arcos Inglés: Maintaining Arc Consistency (MAC) Intercalar satisfacción y propagación de restricciones Realizar búsqueda con vuelta atrás cronológico Después de aumentar una asignación, construir un CSP equivalente que sea arco-consistente MAC es de los algoritmos básicos más conocidos para CSPs 24

25 Algoritmo MAC Función MAC(CSP, σ) devuelve σ' / fallo Si σ n entonces % la asignación es completa (i.e. una solución) devolver(σ) x i elegir-variable-no-asignada(x, σ) % orden de elección no afecta la completitud dominio D Xi Mientras dominio {} hacer v elegir-valor(dominio) σ' σ {x i v} % en el dominio quedan valores por probar % generar nueva asignación parcial Si σ' R entonces % la nueva asignación parcial es consistente CSP' consistencia-de-arcos(σ'(csp)) resultado MAC(CSP', σ') % completarla Si resultado fallo entonces devolver(resultado) dominio dominio \ {v} Fin {Mientras} devolver(fallo) Fin {vuelta-atrás-cronológica} 25

26 Algoritmo MAC {} D 2 {4} D 3 {2} D 4 {} D 2 {4} D 3 {1} D 4 {3} {x 1 1} {x 1 2} {x 1 3} {x 1 4} D 3 {1} D 4 {3} {x 1 x 2 4} D 4 {3} {x 1 x 2 4, x 3 1} {x 1 x 2 4, x 3 1, x 4 3 } 26

27 CSPs avanzados Temas avanzados: Algoritmos de satisfacción y propagación más sofisticados Heurísticas de selección de variables y/o valores Estructuración de CSPs CSPs con dominios continuos Preferencias sobre soluciones (COPs) Satisfacción de restricciones distribuida (DCSP) Relajación de restricciones... 27

28 Ejercicio 7.1 Problemas de satisfacción de restricciones (CSP) Se trata de colorar el mapa de los estados de Australia con tres colores, (rojo, verde, y amarillo) de tal modo que ningún par de estados adyacentes tengan el mismo color a) Modelice el problema como CSP b) Dé una solución al CSP 28

29 Ejercicio 7.2 Consistencia de Arcos: Contemple el grafo de la derecha que representa la estructura de un CSP: El dominio de cada variable x i es rojo, verde, y amarillo (D i {r, v, a}) salvo para las variables NT y SA, donde D NT {r} y D SA {r,v} Cada restricción binaria expresa desigualdad ( ) {( ) } Rk xi, x j v, v Di D j v v Aplique el algoritmo anterior para generar un CSP equivalente que sea arco-consistente 29

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