SOBRE LA MATEMÁTICA FINANCIERA

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1 SOBRE LA MATEMÁTICA FINANCIERA SIGMA 31 M. Gilsanz (*) y Mikel Fernando Vadillo (**) Resumen. La operaciones financieras: cálculo de intereses, saldos, vencimientos,... son habituales en nuestra vida, aunque casi siempre desde el lado de la víctima porque las que realizar las operaciones son las entidades financieras que cobran y siempre obtienen beneficios. Este artículo trata de otra disciplina: la Matemática Financiera que utiliza un aparato matemático más sofisticado para construir y controlar todo el complejo entramado financiero del mundo moderno. 1. INTRODUCCIÓN Cuenta Aristóteles en su Política (1259a) como a Tales de Mileto se le reprochaba, por su pobreza, lo inútil que era su amor a la sabiduría pues, previendo, gracias a sus conocimientos de Astronomía, que habría una buena cosecha de aceitunas cuando todavía era invierno, entregó fianzas, con el poco dinero que tenía, para arrendar todos los molinos de aceite de Mileto y Quíos, alquilándolos por muy poco dinero ya que no tenía ningún competidor. Cuando llegó el momento oportuno, muchos los buscaban a la vez y apresuradamente, y él los realquiló en las condiciones que quiso, y, habiendo reunido mucho dinero, demostró que es fácil para los filósofos enriquecerse, si quieren, pero no es eso por lo que se afanan. Los ejemplo históricos que muestran el aprovechamiento de los conocimientos científicos y técnicos para conseguir grandes beneficios son numerosos. podemos citar el industrial, científico e inventor prusiano Werner Siemens que reunió su fortuna principalmente en el campo de la industrial de la electricidad y que, en la exposición de Berlín de 1879, hizo la primera demostración práctica del tren eléctrico, pasando por Bill Gates o quizá el último ejemplo conocido del famoso buscador en internet Google, los fundados de esta compañía: Larry Page y Sergey Brin, que siendo todavía estudiantes de la Universidad de Stanford diseñaron el algoritmo matemático PageRank que es la base del exitoso buscador. El lector interesado puede encontrar una breve explicación de su funcionamiento en [6]. A pesar de su nombre la Matemática Financiera es una disciplina que no ha servido para construir grandes fortunas personales, que se conozcan, su objetivo pretende ordenar y regular los actuales y muy complejos mercados financieros. Se trata de una disciplina moderna, por ejemplo la fórmula de Black-Scholes es de 1973, y fundamentalmente se ocupa de los mercados de derivados, que son productos cuyo precio depende de la cotización en ese momento de otro activo, el denominado activo subyacente. Los derivados más conocidos son los futuros y las opciones de las que [4], [5] y [9] son referencias clásicas. La Matemática Financiera es una disciplina que escasamente aparece en los planes de estudio de las Facultades de Ciencias o Matemáticas, aunque ya existen algunos masters que se ocupan de ellas, consideramos que los nuevos planes de estudio es una buena oportunidad para que aparezca al menos como asignatura optativa porque seguramente su incorporación en el curriculum académico de los alumnos, abriría nuevos campos profesionales. (*) Profesor de Matemáticas de la U.P.V. (**) Licenciado en Matemáticas por la U.P.V. Noviembre ko Azaroa 229

2 M. Gilsanz y F. Vadillo El artículo es como sigue: comenzaremos explicando el movimiento browniano y el geométrico browniano que sirve como modelo aleatorio de evolución de los precios de los distintos productos: stocks, valores, índices,... y haremos alguna simulación numérica utilizando el clásico método de Monte Carlo. En el siguiente apartado nos ocupamos de los futuros y opciones para llegar a la famosa fórmula de Black-Scholes, esta parte del artículo es más técnica y necesita de mayores conocimientos matemáticos por lo que lectores menos avezados pueden saltarla. En el último apartado hacemos algunos comentarios que consideraciones interesantes. Finalizamos esta introducción con un comentario sobre la bibliografía: no daremos referencias sobre las herramientas estadística elementales, son tantos los textos y tan parecidos que casi cualquiera de ellos puede ayudar al lector con dificultades. 2. UN MODELO ESTOCÁSTICO PARA LA EVOLUCIÓN DE LOS PRECIOS Todos hemos observado en algún momento un movimiento browniano, son las trayectorias de partículas de polvo danzando en un rayo de luz solar, cada partícula gira de acá para allá, se eleva, se hunde, se vuelve a elevar..., el movimiento es totalmente aleatoria sin llegar jamás al reposo. El movimiento browniano toma su nombre del botánico inglés Robert Brown que en 1825 los describió como el movimiento de una partícula sumergida en un liquido o gas. Brown inicialmente colocó bajo el microscopio células sexuales masculinas pertenecientes al polen de una planta y el movimiento que observo lo argumento diciendo que era el movimiento vital de los espermatozoides. Después Brown observó el mismo movimiento con células recogidas en otras partes de la planta y formuló una hipótesis nueva sobre el movimiento vital, se trata de la Urmolekül, la molécula básica de la vida que está contenida en toda materia viviente, una teoría que tuvo mucha importancia para los biólogos de la época. Pero el problema grave se le planteó cuando descubrió este movimiento perpetuo en las raspaduras de rocas sumergidas en el agua, acaso la materia inanimada contiene también la Urmolekül vital? Llegado a este punto, prudentemente Brown se abstuvo de realizar más hipótesis y dejo sin explicar la naturaleza del movimiento browniano. Posteriormente el movimiento browniano apareció en el centro de la controversia entre los atomistas y los energicistas que dominó Física a finales del siglo XIX. Los dos grandes defensores de la teoría atomista: Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann desarrollaron modelos de gases y de su comportamiento, en los que cada gas estaba compuesto por átomos o moléculas en constante movimiento relacionado con la temperatura del gas. Sin embargo, destacados científicos de la época como Ernst Mach y Wilhelm Ostwald rechazan la hipótesis atomista basada en átomos y movimientos invisibles. Hay historiadores que defienden que este rechazo fue uno los motivos de la depresión que acabo en el suicidio de Boltzmann en Algunos años después de la controversia comentada, el joven Albert Einstein que conocía la polémica pero ignoraba el movimiento browniano, explicó la termodinámica partiendo del movimiento de las moléculas entre , y en 1905 ya en colaboración con físicos experimentales pudo confirmar que las propiedades cualitativas del movimiento browniano y las magnitudes de los caminos recorridos por las partículas correspondían con los resultados de la teoría, lo que acabo con la resistencia a la teoría atomista. La definición matemática de movimiento browniano la dió el matemático americano Norbert Wiener en 1918 y es la siguiente: 230 SIGMA Nº 31 SIGMA 31 zk.

3 Sobre la Matemática Financiera Definición 2.1. Un proceso de Wiener o movimiento browniano W t en un proceso continuo con las propiedades (a) W 0 = 0. (b) Para todo t 0, W t ~ (0,t), es decir, W t es una variable normalmente distribuida de media 0 y varianza t. (c) Todos los incrementos W t = W t + t W t son independientes, es decir, para todo 0 t 1 < t 2 < t 3 < t 4 los desplazamientos W t2 W t1 y W t4 W t3 son independientes. (d) W t depende continuamente de t. Resulta bastante sencillo simular numéricamente movimientos brownianos. El algoritmo es el siguiente: Valores iniciales: W 0 = 0, t 0 = 0, t, para j = 1; 2; t j = t j-1 + t ~ (0,1) W j = W j-1 + t donde es un número aleatorio con distribución normal de media cero y varianza uno. El algoritmo para generar este tipo de números está explicado en el capítulo 2 de la referencia [8] y en MATLAB está implementado en el comando randn que se puede consultar en el capítulo 20 de la referencia [3]. En la figura 1 hemos dibujado tres trayectorias del movimiento browniano. En 1900 el matemático francés Bachelier en su tesis doctoral [1] utilizó el movimiento browniano como modelo para estudiar las variaciones en los precios de los stocks, si bien, el movimiento de Wiener tiene dos importantes inconvenientes para esta aplicación: 1. Si los precios siguieran este modelo podrían tomar valores negativos. 2. El movimiento browniano verifican que para 0 s < t el incremento de la variable W t W s ~ (0, (t s)) sin considerar si s y t son grandes o pequeños, sólo cuenta su diferencia. Una hipótesis que parece poco razonable para los precios de los stocks y materias primas. Para evitar estas dificultades se define el movimiento browniano geométrico (GBM: Geometric Browniano Motion). Figura 1. Tres trayectorias brownianas Noviembre ko Azaroa 231

4 M. Gilsanz y F. Vadillo Definición 2.2. Un movimiento browniano geométrico S t de parámetros m y s es un proceso continuo tal para todo t y t no negativos la variable aleatoria S t + t S t es independiente de los valores de la variable anteriores a t y además existen dos parámetros m y s tales que ~ (m t, ts2 ) El parámetro s es la volatilidad. log ( S t + t S t ) Ahora el logaritmo de la razón de los precios puede ser negativa pero no los precios de los stocks, y además es el logaritmo de la razón de los precios quien tiene la misma distribución y no sus diferencias absolutas. Veamos ahora como aparece los GBSs en los modelos estocásticos relacionados con la evolución de los precios de los stocks. Sea t una cantidad pequeña y positiva y supongamos que en cada paso de tiempo el precio del stock puede subir un valor u > 1 con probabilidad p, esto significa que si valía S pasa a costar us o puede descender un factor d < 1 con probabilidad 1 p donde u = e s t (2.1) d = e-s t p = 1/2 (1 + m/s t ) con m y s parámetros conocidos. En realidad tomamos estas expresiones para que los resultados sean más evidentes. Si realizamos n pasos y definimos { 1, cuando el precio sube en el paso i Y i = 0, cuando el precio baja en el paso i Y = n i =1 Y i dará el número de veces que ha subido y, n Y, las que ha bajado. Y es una variable aleatoria binomial de parámetros n y p (Y ~ B(n, p)) por lo que su esperanza y su varianza valen E[Y] = np El precio del stock en el tiempo t = n t será por lo que y tomando logaritmos resulta que (2.2) log ( S t S 0 ) Var[Y] = np(1 p) S t = S 0 u Y d n-y = S 0 d n (u/d) Y S t = d n S 0 ( u Y d ) = n log (d) + Y log ( u d ) = -ts + 2s t Y t Para demostrar que los precios de los stocks siguen una movimiento GBS, calcularemos la esperanza y la varianza de la expresión (2.2). En primer lugar la esperanza es (2.3) E [ log ( S t S 0 )] = -ts -ts + 2s t E [Y] = + 2s tnp = mt t t 232 SIGMA Nº 31 SIGMA 31 zk.

5 Sobre la Matemática Financiera y la varianza (2.4) Var [ log ( S t S 0 )] = 4s 2 t Var [Y] = 4s 2 tp (1 p) s 2 t si p 1/2 En conclusión, cuando t es muy pequeño la variable aleatoria log(s t / S 0 ), por el teorema central del límite, sigue una distribución normal de media mt y varianza s 2 t que es lo que caracteriza al movimiento BGS. Evidentemente la evolución del precio de cada stock dependerá de los valores de los parámetros m y s que deberemos ajustar, la volatilidad s caracteriza cada producto y más adelante demostraremos que (2.5) m = r s 2 /2 donde r es el tipo de interés compuesto. En las figuras 2, 3 y 4 hemos realizado una simulación numérica usando el método de Monte Carlo con S 0 = 100 r = 0,06, t = 0,1 y tres volatilidades diferentes s = 0,2; 0,4; 0,8 respectivamente. Si observamos la escala vertical de las tres gráficas veremos que, para volatilidades mayores, aumentan las soluciones posibles. En la siguiente tabla hemos realizado ensayos por el método de Monte Carlo y calculado la media en T = 5, que será el precio más probable del stock en cada caso. s Media en T = 5 con 1000 ensayos Tiempo de ejecución en segundos 0,2 136,3596 0,40 0,4 138,7258 0,36 0,8 139,1764 0,40 Figura 2 Noviembre ko Azaroa 233

6 M. Gilsanz y F. Vadillo Figura 3 De estos experimentos resulta evidente que la volatilidad es una medida del riesgo. Las fluctuaciones en el precio dependen directamente de su valor por lo que es un parámetro que caracteriza cada tipo de stock y conviene ajustarlo adecuadamente. Una técnica clásica es la siguiente: supongamos que conocemos los precios del stock "n" días consecutivos, el precio inicial es S 0 y en los días sucesivos S 1 ;, S n, entonces la variable aleatoria X k = log ( S k S k-1), k = 1,, n seguirá una distribución normal con varianza s Hemos tomado el año como unidad de tiempo con 252 días laborables. Entonces su media es X = n k =1 X n n Figura SIGMA Nº 31 SIGMA 31 zk.

7 Sobre la Matemática Financiera y su varianza con lo que se tiene la estimación V 2 = n k =1 (X n X) 2 n 1 (2.6) s 252 V 3. LOS FUTUROS Y LAS OPCIONES FINANCIERAS Un contrato de futuros es un acuerdo para comprar o vender una cantidad normalizada de un activo, llamado activo subyacente, en una fecha futura y a un precio acordado entre las partes. Para validar este compromiso se depositan unas garantías. Si el activo es financiero se trata en un contrato de futuros financieros, principalmente son futuros sobre índices bursátiles, dividas o tipos de intereses, en el mercado de futuros se negocia a través de una cámara de compensación que en el mercado español es el MEFF (Mercado Español de Futuros Financieros). Por contra, en los contratos a plazo, denominados forward se negocia privadamente entre las partes. Una opción financiera da el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender algún activo a un determinado precio, denominado strike, con una fecha futura de vencimiento. Con las opciones call se adquiere el derecho de compra y las put la opción es de venta. Las opciones pueden ser europeas o americanas, el nombre no tiene ningún significado geográfica, las opciones americanas se pueden ejercitar en cualquier momento hasta su fecha de vencimiento, mientras que las europeas sólo se puede ejercer en el mismo momento de su vencimiento. La mayoría de las opciones negociadas en los mercados son americanas, pero las opciones europeas son generalmente más fáciles de analizar y muchas de sus propiedades son también válidas para sus análogas americanas. Actualmente en los mercados se negocian opciones sobre: Acciones de empresas, en Estados Unidos se negocian opciones sobre las acciones de más de 500 empresas, en España sólo son 16. Índices de acciones. Divisas. Contratos de futuros La cuestión que nos planteamos es cómo determinar el precio de las opciones, lo que se denomina la prima de la opción. Supongamos que el precio actual (en euros) del activo subyacente es 100, y que después de un periodo de tiempo conocemos que su precio sube a 200 o baja a 50. Supongamos que además de comprar "y" opciones call a "c" euros cada a un strike de 150 euros. También podemos adquirir x valores a su precio de mercado que es de 100 euros. Suponemos que x e y pueden ser positivos, negativos o cero. Esto significa que se pueden comprar o vender opciones y valores, por ejemplo, si x es negativo hemos vendido -x valores y hemos ingresado -100x euros, además nos comprometemos a devolver -x valores en el tiempo 1 al precio de mercado que será de 200 o 50 euros. La venta de valores que no se tiene se denomina adoptar una posición en corto. El precio de la operación es 100x + cy. Si esta cantidad es positiva debemos solicitar un préstamo, y si es negativa depositamos los -(100x + cy) euros en una cuenta. Noviembre ko Azaroa 235

8 M. Gilsanz y F. Vadillo El valor de la nuestra cartera en el tiempo 1 es { 200x + 50y, si el valor ha subido a x, si el valor ha bajado a 50 porque si el valor ha bajado no ejercemos la opción de compra. Si hacemos que 200x + 50y = 50x, es decir, y = -3x nuestra posición es indiferente de la subida o bajada del valor, estamos en idéntica situación, el valor de la cartera es 50x. Esto quiere decir que si x es negativo, vendemos -x valores y compramos y = -3x opciones. En cuanto a la ganancia o pérdida de dinero, debemos considerar que si (100x + cy) > 0 debemos dinero al banco, y si (100x + cy) < 0 disponemos de dinero en la cuenta, es decir ganancia = 50x (100x + cy) (1 + r) donde r es el interés simple. Es decir: = 50x (100x 3cx) (1 + r) = (1 + r) x (3c (1 + r) -1 ) 1. Si 3c = (1 + r) -1 la ganancia es cero. 2. Si 3c (1 + r) -1 podemos garantizar una ganancia positiva si 3c > (1 + r) -1 haciendo x > 0 y, al revés, si 3c < (1 + r) -1 tomando x < 0. Cuando el precio de la opción evita estrategias de ganancia segura, se dice que se ha establece un principio de no arbitraje y estos principios son los que establecerán los precios de las opciones, en nuestro ejemplo entonces el precio de la opción será c = (1 + r)-1 Consideremos ahora una opción de compra sobre unos valores al precio K en un periodo de tiempo t = n t con un interés simple r por cada periodo de tiempo t. Como el precio de los valores siguen un movimiento BGS, la esperanza de la ganancia en i-ésimo paso en el tiempo t i 1 es E[ganancia] = (1 + r) -1 [pus i 1 + (1 p)ds i 1 ] S i 1 donde S i indica el precio del valor en t i y u, d y p están definidos en la relaciones (2.1). Esta esperanza vale cero cuando (3.1) p = 1 + r d u d que será una condición necesaria para establecer el principio de no arbitraje. Finalmente el valor de la opción en el tiempo t = 0 es 3 (1 + r) -n (S t K) + donde f + = máx(f, 0), y su esperanza nos dará el precio final de la opción (3.2) C = E[(1 + r) -n (S t K) + ] Los argumentos de tipo no arbitraje son muy importantes para calcular las primas de las opciones financieras, también se obtienen cotas y relaciones entre los precios de distintos tipos de opciones. 236 SIGMA Nº 31 SIGMA 31 zk.

9 Sobre la Matemática Financiera 4. LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES Consideremos una opción europea de compra (call) a un precio K en un periodo T. Suponemos que el tipo de interés compuesto es r y que los precios del stock siguen una GBM de volatilidad s, hallaremos el coste de la opción estableciendo un principio de no arbitraje. Tomando un n grande para cada intervalo T/n, 2T/n,, nt/n, el factor de subida teniendo en cuenta (2.1) es (4.1) u = e s T/n 1 + s T/n + s2 T 2n y el de bajada (4.2) d = e-s T/n 1 s T/n + s2 T Por otra parte, el interés simple en cada intervalo de tiempo es rt/n y usando (3.1) tenemos que (4.3) p = 1 + rt/n d u d 1 2 Teniendo en cuenta (3.2) el precio de la opción es C = (1 + rt/n) -n E[(S 0 ( 2n + r T/n 2s s T/n 4 u d ) d n K) + ] = (1 + rt/n) -n E[(S 0 e 2s T/nY e -s nt K) + ] (4.4) = (1 + rt/n) -n E[(S 0 e W T K) + ] con la variable aleatoria (4.5) W T = 2s T/nY s nt, donde Y es la variable aleatoria binomial que ya definimos anteriormente. Si calculamos la esperanza de esta nueva variable aleatoria tenemos E[W T ] = 2s T/nE[Y] s nt = 2snp T/n s nt = 2s nt (p 1/2) (r s 2 /2) T por lo que el parámetro 1 del movimiento BGM es m = r s 2 /2 como ya comentamos en (2.5) En cuanto a su varianza Var[W T ] = (2s T/n) 2 Var[Y] = 4s 2 Tp (1 p) = s 2 T porque cuando n es grande p 1/2 Noviembre ko Azaroa 237

10 M. Gilsanz y F. Vadillo Como todas las aproximaciones anteriores son exacta cuando n, el valor de la opción que establece el principio de arbitraje es donde W T ~ ((r s 2 /2)T), s 2 T) C = e -rt E[(S 0 e W T K) + ] Usando fórmulas clásicas, el valor C se puede también expresar como la fórmula de Black- Scholer (4.6) C = S 0 F ( ) Ke -rt F ( s T ) donde = rt + s2 T/2 log (K/S 0 ) s T y F es la función de distribución normal standard. En el ejemplo del modelo simulado anteriormente, S 0 = 100, r = 0,06, si el precio acordado en T = 5 en K = 150 la fórmula (4.6) estima los precios de la opciones dependiendo de la volatilidad en la tabla siguiente s C 0,2 13,6241 0,4 31,1232 0,6 47,1120 0,8 60,9145 1,0 72,2350 En la figura 5 hemos representado estos valores y podemos apreciar el crecimiento del precio de las opciones con respecto a la volatilidad del valor subyacente. En este ejemplo el crecimiento es casi lineal porque los puntos están muy cerca de la recta de regresión mínimo cuadrática y = 73,5066x + 0,8978 que también dibujamos. Figura 5. Evolución del precio de las opciones 238 SIGMA Nº 31 SIGMA 31 zk.

11 Sobre la Matemática Financiera 5. ALGUNOS COMENTARIOS PARA TERMINAR Acabaremos esta breve introducción a la Matemática Financiera con algunos comentarios que consideramos de interés: 1. La fórmula de Black-Scholes determina el precio de la opción cuando el modelo del valor subyacente es un GBM. Sin embargo, algunos datos no son adaptables a GBM y se deben considerar otros modelos, por ejemplo, en el precio del del barril de crudo (capítulo 10 de la referencia [7]). 2. Basta observar brevemente las trayectorias brownianas en la figura 1 para concluir que no son diferenciables, es imposible trazar una tangente por casi todos sus puntos, son trayectorias de funciones que tanto preocuparon a los matemáticos de finales del siglo XIX, eran funciones tan perturbadoras que Charles Hermite en una carta a su colega Thomas J. Stieljes expresó que con miedo y horror me apartó de está plaga lamentable de funciones que carecen de derivada. Esta situación tiene una importante consecuencia técnica, las funciones son no diferenciables y por tanto no podemos utilizar el Análisis clásico, es imprescindible utilizar integrales y ecuaciones diferenciales estocásticas de las que no hemos tratado en este artículo. 3. Una disciplina aún más moderna es la Computación Financiera que se ocupa de los métodos numéricos para aproximar las soluciones de los modelos estocásticos que, en general, carecen de soluciones exactas conocidas. Las referencias [8] y [2] son dos buenas introducciones a esta novedosa disciplina. Finalizaremos con quien comenzamos: Tales de Mileto, el primero de los famosos siete sabios de la Grecia arcaica. Cuenta Platón en su diálogo Teeteto (174, A) que Tales por ir mirando las estrellas, se cayó en un pozo, y una criada se burló de él por tratar de investigar los cielos cuando no veía lo que tenía a sus pies. Esta anécdota, que parece compensar la narrada por Aristóteles, completa el personaje. Debió ser enorme la impresión en sus conciudadanos cuando predijo el eclipse en el año 585 a.c. La hazaña de Tales permitió ver en el eclipse un fenómeno natural regular y no un milagro divino de oscuros presagios, los eclipses fueron motivo de terror en todos los pueblos primitivos. Como escribió el profesor Carlos Garcia Gual: "Los sabios como Tales inauguran la tradición científica de proponer explicaciones de lo real por causas naturales y agentes materiales, mediante procesos sujetos a causas y normas surgidas de su misma conformación física" (Los Siete Sabios (y tres más)). Sólo se nos ocurre añadir que la Ciencia sigue en lo mismo: buscando explicaciones. REFERENCIAS L. Bachelier, 1900: Theorie de la speculation, Annales de l École Normale Superieure, nº. 17, D. J. Higham, 2000: An Introduction to Financial Option Valuation. SIAM. D. J. Higham and N. J. Higham, 2000: MATLAB Guide. SIAM. John Hull, 1996: Introducción a los mercados de futuros y opcions. Prentice Hall., 2000: Options, Futures and Others Derivatives, 4th edn. Prentice Hall. Cleve B. Moler, 2004: Numerical Computing with MATLAB. SIAM. S. R. Ross, 1999: An Introduction to Mathematicl Finance. Cambrige University Press. R. Seydel, 2006: Tools for Computational Finance. Third Edition. Springer. P. Wilmont, 2001: Introduction Quantitative Finance. John Wiley & Sons. Noviembre ko Azaroa 239

12 Introductio in Analysin Infinitorum. Leonhard Euler