Clave de primer parcial

Transcripción

1 Clave de primer parcial Realizado por: Rafael Martínez Curso: Año de realización: 2013 Revisado por: Ing. Renato Ponciano Código de Curso: 960 Semestre: Segundo

2 Tema 1 Primer examen parcial a) De cuántas maneras pueden distribuirse 16 libros diferentes entre Hugo, Paco y Luis de manera que Hugo reciba el doble de los libros que Paco y Luis reciban individualmente? b) Determine el coeficiente de x 2 y 5 z 6 en (x 2y 1 z 3 ) 9. c) En un paquete estadístico, solo pueden usarse dos caracteres como mínimo (sean letras o números) y cinco como máximo para dar nombre a una variable; ademas, el primer síbolo debe ser forzosamente una letra. Cuantos nombres de variable pueden formarse? Cuantos pueden formarse si no pueden repetirse letras ni números? Use un alfabeto de 26 letras. d) Cuántas permutaciones de las letras de la palabra MANT ARRAY A existen? Cuántas de esas permutaciones no tienen letras A consecutivas? Tema 2 Demuestre la validez del siguiente argumento: p (q r) p s s r q Tema 3 Sea P la proposición compuesta: Si Erick Barrondo entrena adecuadamente y Quetzaltenango organiza los Juegos Centroamericanos y del Caribe, entonces él ganará la medalla de oro ante su afición o romperá el récord mundial de marcha. a) Escriba P en forma simbólica. b) Dé la contrapositiva, la recíproca y la inversa de P en forma simbólica. c) Refute (niegue) P en forma verbal. Tema Simplifique la siguiente proposición usando las leyes de la lógica. p [( q (r r)) [ q ((r s) (r s))]] 1

3 Tema 1 a) Solución Hugo tendrá 8 libros mientras que Paco y Luis, cada uno. De cuántas formas puede elegir Hugo sus 8 libros en el conjunto de los 16? ( ) 16 8 De cuántas formas puede elegir Paco sus libros en el conjunto de los 8 restantes? ( ) 8 De cuántas formas puede elegir Luis sus libros en el conjunto de los restantes? ( ) Como cada grupo de libros de Paco es distinto a cada grupo de libros de Luis, no hace falta dividir entre algo más, por lo tanto la respuesta es ( )( )( ) 16 8 = b) Como (x 2y 1 z 3 ) 9 es el producto de 9 paréntesis (x 2y 1 z 3 ), el coeficiente de x 2 y 5 z 6 es la manera de elegir en 2 paréntesis a x, en 5 paréntesis a 2y 1 y en 2 paréntesis a z 3 (Se cumple que = 9), y esto se puede hacer (Usando el coeficiente multinomial) de 9! 2!5!2! formas Pero debemos incluir a los factores 2,( 2) 5 y ( 1) 2 porque acompañan a las potencias de x,y 1 y z 3 respectivamente.por lo tanto, la respuesta es 9! 2!5!2! 2 ( 2) 5 ( 1) 2 =

4 c) Se tiene un alfabeto de 26 letras y 10 dígitos como caracteres disponibles (36 en total). Caso 1: Se pueden repetir caracteres. Debemos sumar las palabras de 2,3, y 5 caracteres. Para el primer caracter tenemos 26 opciones porque necesariamente debe ser una letra, para cada uno de los restantes tenemos 36 opciones, porque es el total de caracteres y se pueden repetir. Ya que una palabra de 2 letras no puede ser de 3, ó 5 a la vez (son excluyentes, de igual manera para cada cantidad de caracteres) se aplica la regla de la suma para obtener el resultado = palabras posibles. Caso 2: No se pueden repetir caracteres. El primer caracter también se puede elegir de 26 formas, pero para el siguiente 35 porque no se pueden repetir, luego 3, 33 y 32. Entonces la respuesta es d) = palabras posibles. Caso 1: No hay restricciones. Como no hay restricciones, las letras de la palabra MANT ARRAY A se pueden permutar de 10! 2!! = formas. Caso 2: No deben haber letras A juntas. Debe existir por lo menos un espacio entre cada letra A: A A A A Falta repartir los 3 espacios restantes (en total son 10 espacios). Si los colocamos juntos, podemos hacerlo de 5 maneras (entre una pareja de letras A o en los extremos izquierdo o derecho). Si colocamos 2 juntos y 1 separado, podemos colocar los en 5 lugares y el en, por el principio del producto, obtenemos 20 maneras de hacerlo. Si colocamos los tres todos separados, tenemos ( 5 3) = 10 maneras de hacerlo. Si sumamos todas las opciones, obtenemos = 35 maneras de repartir los espacios restantes. Ahora solamente falta contar la manera de repartir las letras: una M, una N, una T, dos R, y una Y (Las A ya tienen su lugar asignado en cada opción contada anteriormente; en total tenemos 6 letras por ordenar, y esto se puede hacer de 6! = 360 formas 2!1!1!1!1! La respuesta es la multiplicación entre la cantidad de formas de elegir los espacios por la cantidad de formas de llenar los espacios = permutaciones 3

5 Tema 2 Pasos 1) s p Ley conmutativa 2) s Premisa 3) p Regla del silogismo disyuntivo ) p (q r) Premisa 5) q r Modus Ponens 6) r q Contrapositiva Tema 3 a) Consideremos las siguientes proposiciones r : Erick Barrondo entrena adecuadamente q : Quetzaltenango organiza los Juegos Centroamericanos y del Caribe s : Él ganará la medalla de oro ante su afición t : Él romperá el récord mundial de marcha Entonces P : (r q) (s t) b) Contrapositiva (s t) (r q) Recíproca (s t) (r q) Inversa (r q) (s t) c) Como (r q) (s t) (r q) (s t), La negación en forma simbólica de P es Entonces la negación de P en forma verbal es ( (r q) (s t)) (r q) (s t) (Por De Morgan) (r q) ( s t) (Por De Morgan) Erick Barrondo entrena adecuadamente y Quetzaltenango organiza los Juegos Centroamericanos y del Caribe pero no ganará la medalla de oro ni romperá el récord mundial de marcha. Tema p [( q (r r)) [ q ((r s) (r s))]] p [( q r) [ q ((r s) (r s))]] p [( q r) [ q (r (s s)]] p [( q r) [ q (r T 0 )]] p [( q r) [ q r]] p [(q r) [ q r]] p [(q q) (r r)] p [T 0 (r r)] p [T 0 r] p T 0 p Proposición Ley idempotente Ley distributiva Ley de inverso Ley de neutro Equivalencia de la implicación Ley asociativa Ley de inverso Ley idempotente Ley de dominación Ley de neutro