Propagación de Errores en Expresiones Aritméticas

Transcripción

1 Teoría de Errores

2 Contenido Propagación de Errores en Expresiones Aritméticas Error Absoluto Error Relativo Errores de Redondeo Errores de Truncamiento Notación de Punto Flotante Notación de Punto Flotante Normalizado Error de Redondeo en Operaciones Aritméticas de Puntos Flotantes

3 Propagación de Errores en Expresiones Aritméticas Existen dos tipos de errores en el trabajo computacional: Errores Inherentes son los que existen en los datos antes de efectuarse los cálculos Errores Adquiridos son producidos durante el cálculo ya sea por truncaciones o redondeo

4 Error Absoluto El error ε x en una cantidad x se define como la diferencia entre el valor verdadero x v y el valor calculado o medido, es decir: ε x = x v - x Vamos a denotar el símbolo para cualquier operación aritmética +,,,.

5 Error Absoluto El error en una cantidad x y será denotado por ε x y, donde x y y son cantidades conocidas que contienen errores ε x y ε y respectivamente, los cuales pueden ser errores inherentes o adquiridos. Entonces el error de la cantidad x y es ε x y = (x v y v ) - (x y)

6 Error Absoluto 1. Suma: εε xx+yy = xx vv + yy vv (xx + yy) εε xx+yy = xx vv xx + (yy vv yy) εε xx+yy = εε xx + εε yy 2. Resta: εε xx yy = εε xx εε yy 3. Multiplicación: εε xx yy = εε xx yy + εε yy xx, despreciando εε xx εε yy 4. División: εε xx yy = εε xxyy εε yy xx, si yy 2 εε yy yy 1

7 Error Absoluto Agregando los errores de redondeo o truncamiento: 1. Suma: εε xx+yy = εε xx + εε yy + αα 2. Resta: εε xx yy = εε xx εε yy + σ 3. Multiplicación: εε xx yy = εε xx yy + εε yy xx + μμ 4. División: εε xx yy = εε xxyy εε yy xx + δδ yy 2

8 Error Relativo El error relativo rr xx en una cantidad xx se define como la relación (o razón) entre su valor absoluto εε xx y su valor verdadero xx vv, más comúnmente se define en relación a su valor medido o calculado xx, es decir: Entonces rr xx = εε xx xx rr xx yy = εε xx yy (xx yy)

9 Error Relativo 1. Suma: 2. Resta. 3. Multiplicación. 4. División. rr xx+yy = εε xx+εε yy xx+yy rr xx yy = εε xx εε yy xx yy rr xx yy = εε xxyy+εε yy xx xx yy rr xx yy = = xxrr xx+yyrr yy xx+yy = xxrr xx yyrr yy xx yy (εε xx yy εε yy xx) yy 2 xx yy + αα + σσ = xxyyrr xx+xxyyrr yy xxxx = xxyyrr xx xxxxrr yy xxxx + μμ = rr xx + rr yy + μμ + δδ = rr xx rr yy + δδ

10 Error Relativo

11 Error Relativo Ejemplo. Encuentre el error absoluto εε en la suma de los números reales aa 0, aa 1, aa 2, aa 3, los cuales poseen errores relativos rr 0, rr 1, rr 2, rr 3, respectivamente. Considere αα kk como el error relativo de redondeo en cada suma.

12 Error Relativo

13 Error Relativo

14 Errores de Redondeo Los errores de redondeo se originan debido a que la computadora sólo puede guardar un número fijo de cifras significativas durante el cálculo.

15 Errores de Truncamiento Son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto.

16 Notación de Punto Flotante NN = aabb ee donde: aa es la matiza o coeficiente bb es la base del sistema numérico ee es el exponente

17 Notación de Punto Flotante Ejemplo: N = 245.3(10 0 ) N = 24.53(10) N = 2.453(10 2 ) N = (10 3 ) N = (10 4 )

18 Notación de Punto Flotante Normalizado (NPFN) Si la matisa aa es una fracción FF en el sistema base, tal que: (1/bb) FF < 1 entonces el número expresado como FFbb ee esta en NPFN Ejemplo: Normalizado: (10 3 ) No Normalizado: 245.3

19 Error de Redondeo en Operaciones Aritméticas de Puntos Flotantes La matiza FF ZZ del resultado ZZ = XX YY, donde = +,,,, y donde FF xx y FF yy son las fracciones que contienen "d" dígitos, puede tener hasta 2d dígitos si el formato al almacenarlo es de doble longitud. Sin embargo, si sólo se pueden almacenar números que tengan matizas con un máximo "d" dígitos, entonces es necesario redondear la matiza FF ZZ antes de almacenarla en ZZ. El dígito "d" más a la izquierda es el dígito más significativo y es denotado por FF, mientras que el dígito más a la derecha es el dígito menos significativo y es denotado por ff.

20 Error de Redondeo en Operaciones Aritméticas de Puntos Flotantes Entonces ZZ se puede expresar como: ZZ = FF 10 ee zz + ff 10 ee zz dd Ejemplo: d = 4, X = (10 3 ), Y = (10 2 ), Z = X Y =? Z = (10 5 ) = [ ] 10 5 = (10 5 ) ( ) ZZ = FF 1100 ee zz + ff 1100 ee zz dd

21 Error de Redondeo en Operaciones Aritméticas de Puntos Flotantes Regla General para Redondear: Si f < 0.5 entonces Z = F 10 εε zz (truncamiento) Si f 0.5 entonces Z = F 10 εε zz + 10 εε zz dd (redondeo) Entonces como en el ejemplo ff < 0.5, el valor de ZZ redondeado es (10 5 ) Asumiendo, para el mismo ejemplo, que ff > 0.5, entonces el valor de ZZ redondeado sería (10 5 ) = (10 5 ) + 10 = = = (10 5 ).

22 Error de Redondeo en Operaciones Aritméticas de Puntos Flotantes Máximo Error de Redondeo : El error absoluto de redondeo lo interpretamos como : εε zzzz = αα, σσ, μμ, δδ Si f < 0.5 entonces εε zzzz = ff 10 εε zz dd entonces el máximo error absoluto de redondeo será εε zzzzzzzzzz = ( )10 εε zz dd Si f 0.5 entonces εε zzzz = 1 ff 10 εε zz dd entonces el máximo error absoluto de redondeo será εε zzzzzzzzzz = (0.5)10 εε zz dd Entonces para ambos casos el máximo error absoluto de redondeo es : εε zzzzzzzzzz = (0.5)10 εε zz dd εε zzzz εε zzzzzzzzzz εε zzzz (0.5)10 εε zz dd

23 Error de Redondeo en Operaciones Aritméticas de Puntos Flotantes Error Relativo de Redondeo: El error relativo de redondeo lo interpretamos como : rr zzzz = αα, σσ, μμ, δδ rr zzzz = εε zzzz ZZ Máximo Error relativo de redondeo: rr zzzz = εε zzzz ZZ εεzz dd εε zz rr zzzz (5)10 dd = (5)10 dd

24 Error de Redondeo en Operaciones Aritméticas de Puntos Flotantes Ejemplo. Sean dos números en NPFN: N 1 = (10 12 ) N 2 = (10 11 ) Con errores relativos: r1 = (10-3 ) r2 = (10-3 ) ε (N1+N2)? Considerando que se debe redondear a 3 dígitos significativos.

25 Error de Redondeo en Operaciones Aritméticas de Puntos Flotantes N 1 +N 2 = (10 12 ) (10 11 ) N 1 +N 2 =[ (10-1 )] N 1 +N 2 = (10 12 ) F=0.410(10 12 ); f= (10 9 )<0.5(10 9 ) z=0.410(10 12 ) ε zr =f= (10 9 )= r zr =ε zr /z=[ (10 9 )]/[0.410(10 12 )]= (10-3 )=α r (N1+N2) =[r 1 N 1 /(N 1 +N 2 )]+[r 2 N 2 /(N 1 +N 2 )]+α= (10-2 ) N O + N O + R= N ε (N1+N2) =zr (N1+N2) =[0.410(10 12 )][ (10-2 )]= (10 9 )

26 Problemas 1. Calcular el error absoluto e que se produce al formar el producto de los números reales aa 0, aa 1, aa 2, aa 3, los cuales poseen errores relativos rr 0, rr 1, rr 2, rr 3, respectivamente. Considere que mm kk representa el error relativo de redondeo en cada producto. Escriba además la fórmula para el caso general. 2. Si los coeficientes aa 0, aa 1, aa 2, del polinomio de xx, PP 2 xx = aa 0 xx 2 + aa 1 xx + aa 2, tienen errores relativos rr 0, rr 1, rr 2, respectivamente, determine el error absoluto εε en PP 2 (xx) para un valor dado de xx con error relativo rr xx. Utilice el método anidado de Horner para evaluar el polinomio y considere aa kk y mm kk como los errores relativos de redondeo en las operaciones. 3. Calcular el error relativo de redondeo de los siguientes números de NPFN, considere el redondeo a 4 dígitos: a) x = (10-5 ), d = 4 b) y = (10-5 ), d = 4

27 Problemas 4. Sean dos números en NPFN: x = (10 7 ) y y = (10 8 ) con errores relativos: r x = (10) y r y = (10 2 ) respectivamente. Calcular el error absoluto (εε) al sumar, restar, multiplicar y dividir dichos números, considerando que el resultado debe redondearse a 4 dígitos. Sugerencia: Calcule la operación primero para evaluar el error de redondeo y después aplique NONOR. 5. Repita el ejercicio anterior pero considerando el máximo error relativo de redondeo.

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