Ejercicio Reto. Potenciación. ENCUENTRO # 7 TEMA: Propiedades de las potencias CONTENIDOS: 1. Potenciación. Cálculo de potencias.

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1 ENCUENTRO # 7 TEMA: Propiedades de las potencias CONTENIDOS:. Potenciación. Cálculo de potencias. 2. Propiedades de las potencias de exponente entero. 3. notación científica. DESARROLLO Ejercicio Reto. Cuatro personas juntaron sus ahorros para abrir un negocio aportando el 5%, 20%, 25% y 40%, respectivamente, del monto total. Si la menor aportación fue de C$9000, la de mayor aportación fue de: A)0500 B)2000 C)24000 D)60000 E) Una epidemia mató los 5 de las reses de un ganadero y el vendió los 2 de las que 8 3 quedaban. Si aún tiene 26 reses. Cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió? A)600, 950, 220 B)728, 080, 243 C)539, 080,243 D)600, 84, 300 E)728, 950, 300 Potenciación Es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar por ella misma las veces que lo indique el exponente. De lo anterior se define: a n a } a a {{ a a... }, donde a es la base de la potencia y n el exponente. n-veces Ejemplo.. Calcula 7 2 Al ser el exponente 2, la base 7 se debe multiplicar 2 veces ella misma: Portal de Matemática portaldematematica.com

2 Ejemplo.2. Cuál es el resultado de calcular ( ) 3? 2 La fracción se debe multiplicar 3 veces por ella misma: ( 2 ) NOTA: Sea a n una potencia donde {a R n N}, entonces: Si n es par el resultado de calcular a n siempre es positivo. Si n es impar el resultado de a n siempre conserva el signo de la base de la potencia. Ejemplo.3. Cuál es el valor numérico de ( 3 4) 2? Ejemplo.4. Calcula ( 2 3 ( 4) 3 2 ( 3 ) ( 3 ) ) 3 ( 2 3 ( 3) 2 ) ( 2 ) ( 2 ) Propiedades de las potencias de exponente entero Sea a; b R y r; s Z, entonces se cumple que:. a r a s a r+s 6. a 0 2. a r b r (ab) r 3. a r a s a r s 4. a r b r (a b) r ( a b 5. (a r ) s a r s ) r 7. a k a k ( ) ( a k k b 8. b a) Portal de Matemática 2 portaldematematica.com

3 Ejemplo 2... Calcula aplicando las propiedades de las potencias. (a) (b) ( ) ( 4 7) Es un multiplicación de potencias de bases diferentes y exponentes iguales por tanto se multiplican las bases y se mantiene el exponente a r b r (ab) r (4 2) Ejemplo 2.2. ( 3 2) Simplifique la expresión: ( 2 2 3) 2 En este caso es un división de números elevados a un exponente común, por consiguiente se aplica la siguiente propiedad ) r a r ( a b ( 4 7 b r ) ( 3 2 2) ( 2 2 3) [ ] 2 [ ] [ ] ( 2 4 ) 2 Ejemplo 2.3. Simplifica ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) Ejercicios propuestos. Completa los espacios en blanco de forma tal que obtengas una proposición verdadera. (a) a 7 a a 7 (b) a a 3 a (c) (a 2 ) a (d) a 6 a a (e) a a a (f) a a a a 2 (g) a a Portal de Matemática 3 portaldematematica.com

4 2. Simplifica las siguientes expresiones empleando las propiedades de las potencias. (a) (b) (c) (d) ( )( ) (e) ( )( ) (f) (g) 67 (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) ( 7 (o) ) 2 Notación científica La notación científica se utiliza para expresar cantidades en función de potencias de 0 y por lo regular se usa para cantidades muy grandes o muy pequeñas. Potencias de Para expresar una cantidad en notación científica el punto se recorre una posición antes de la primera cifra, si la cantidad es grande, o un lugar después de la primera cifra si la cantidad es pequeña. El número de lugares que se recorre el punto decimal es el exponente de la base 0. Ejemplo 3.. Expresa en notación científica Se coloca el 2 como cifra entera, 345 como parte decimal (2.345) y se indica la multiplicación por 0 con exponente 6, ya que fue el número de cifras que se recorrió el punto a la izquierda Portal de Matemática 4 portaldematematica.com

5 Ejemplo 3.2. Expresa en notación científica El punto decimal se recorre cuatro posiciones a la izquierda, por tanto, Ejemplo 3.3. Un satélite gira en una órbita circular de km sobre la superficie terrestre. Expresar esta cantidad en notación científica. La órbita del satélite expresada en notación científica es: km Cuando los números son pequeños, el punto decimal se recorre hacia la derecha hasta dejar como parte entera la primera cifra significativa y el exponente del número 0 es de signo negativo. Ejemplo 3.4. Escribe en notación científica El punto decimal se recorre 2 lugares hacia la derecha y el resultado se expresa como: Ejemplo 3.5. Representa en notación científica Se recorre el punto decimal 7 lugares de izquierda a derecha, por consiguiente, Ejemplo 3.6. La longitud de una bacteria es de m, expresa esta longitud en notación científica. La longitud de la bacteria expresada en notación científica es: m Portal de Matemática 5 portaldematematica.com

6 Ejercicios propuestos. Expresa en notación científica las siguientes cantidades: (a) 4350 (b) 6000 (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) 0.76 (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) Escritura en forma desarrollada El número a 0 n se expresa en forma desarrollada de las siguientes formas: Si el exponente n es positivo, entonces indica el número de posiciones que se debe recorrer el punto decimal a la derecha y los lugares que no tengan cifra son ocupados por ceros. Ejemplo 3.7. Expresa en su forma desarrollada El exponente 3 indica que el punto se deberá recorrer 3 lugares hacia la derecha, esto es: Ejemplo 3.8. Escribe en su forma desarrollada El exponente 6 indica el número de lugares que se recorren hacia la derecha y los lugares que no tengan cifra serán ocupados por ceros Si el exponente n es negativo, entonces indica el número de posiciones que se debe recorrer el punto decimal a la izquierda y los lugares que no tengan cifra son ocupados por ceros. Portal de Matemática 6 portaldematematica.com

7 Ejemplo 3.9. Expresa en notación desarrollada En este número, el punto decimal se recorre 4 lugares hacia la izquierda Ejemplo 3.0. Escribe en su forma desarrollada Se recorren 2 lugares hacia la izquierda, por lo tanto, Ejercicios propuestos. Escribe en su forma desarrollada las siguientes cifras: (a) (e) (i) (m) (b) (c) (f) (g) 0 6 (j) (k) (n) (d) (h) (l) (o) Operaciones con notación científica Suma y resta Para efectuar estas operaciones es necesario que la base 0 tenga el mismo exponente. a 0 n ± b 0 n (a ± b) 0 n Ejemplo 4.. Efectúa Como los exponentes de la base 0 son iguales, se suman las cifras y la potencia de 0 permanece constante ( ) Portal de Matemática 7 portaldematematica.com

8 Ejemplo 4.2. Cuál es el resultado de ? Como los exponentes de la base 0 son iguales, se realiza la operación de la siguiente manera: ( ) NOTA: Cuando los exponentes de la base 0 sean diferentes, se recorre el punto decimal para igualarlos y después se efectúa la operación. Ejemplo 4.3. Efectúa Se escoge una de las cifras para igualar los exponentes, en este caso se expresa a exponente 5. Luego, la operación resulta: ( ) Esta misma operación se realiza convirtiendo a exponente 6 y el resultado no se altera, entonces, Luego, al sustituir: ( ) Ejemplo 4.4. Halla el resultado de Se convierte a exponente 6, y el resultado (28.2.) Ahora bien, si se convierte a exponente 5, entonces, ( ) Por consiguiente Portal de Matemática 8 portaldematematica.com

9 Ejercicios propuestos. Efectúa las siguientes operaciones: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) Multiplicación y división Para multiplicar o dividir un número en notación científica por o entre un número real cualquiera, se afecta sólo a la primera parte del número. a(b 0 n ) (a b) 0 n b 0 n b a a 0n con a 0 para la división Ejemplo 4.5. Cuál es el resultado de 3( )? Se efectúa el producto de 3 por 5.2, la base 0 y su exponente no se alteran. 3( ) 3(5.2) Portal de Matemática 9 portaldematematica.com

10 Ejemplo Efectúa 5 Se realiza la división de 3.5 entre 5 mientras que la base 0 y su exponente no se alteran Para multiplicar o dividir números escritos en notación científica, se efectúa la multiplicación o división en las primeras partes y para la base 0 se aplican las leyes de los exponentes. (a 0 m )(b 0 n ) (a b 0 m+n a 0 m ) b 0 a n b 0m n Ejemplo 4.7. Efectúa la siguiente operación ( )( ). Se multiplican 8.2 por 4. y los exponentes de la base 0 se suman. Ejemplo 4.8. ( )( ) (8.2)(4.) Determina el resultado de ( )( ) Se realiza la multiplicación y posteriormente la división para obtener el resultado. ( )( ) ( )( ) Ejemplo Cuál es el resultado de ( )? Se realizan las sumas y restas, posteriormente la multiplicación y la división para obtener el resultado final ( ) ( ) ( )(2 0 7 ) (3.2)(2) Portal de Matemática 0 portaldematematica.com

11 Ejercicios Propuestos. Efectúa las siguientes operaciones: (a) 3( ) (b) 4.2( ) (c) (d) 4 ( ) (e) 3 (f) 5( ) (g) 3.8( ) (h) ( )( ) (i) ( )( ) (j) ( )( ) (k) ( ) (l) ( ) (m) (n) (o) ( )( ) (p) ( )( ) (q) (r) (s) ( )( ) ( )( ) (t) ( ) Autoevaluación. Qué altura tendría una pila de hojas de cuaderno si se necesita 0 hojas para tener mm? A)0 3 mm B)0 6 mm C)0 5 mm D)0 2 mm 2. En el año 982 la edad de la Tierra era de segundos y la de la pirámide de Keops de segundos. La diferencia de edad entre la Tierra y la pirámide en notación científica es: A) B) C) D) La expresión es equivalente a: A)3 2 B)9 33 C)3 33 D)9 E)Ninguna Portal de Matemática portaldematematica.com