Colegio Espíritu Santo Iván Cardona Torres, Ph.D.

Transcripción

1 Colegio Espíritu Santo 016 Iván Cardona Torres, Ph.D. 4 de noviembre de 016

2 Problema. Considere la sucesión 4, 1, 3, 80,..., n + 1) n,... Para cada n, sea Sn) la suma de los primeros n términos de la sucesión. Encuentre el valor exacto de S016) 016. Explique. Consider the sequence 4, 1, 3, 80,..., n + 1) n,... For each n, let Sn) the sum of the first n terms of the sequence. Find the exact value of S016) 016. Explain.

3 Problema. Considere la sucesión 4, 1, 3, 80,..., n + 1) n,... Solución. Para cada n, sea Sn) la suma de los primeros n términos de la sucesión. Encuentre el valor exacto de S016) 016. Explique. Note que, S1) S) S1) S3) 3 S) S4) 4 S3) De hecho, suponga que para k entero positivo Sk) k k+1. Entonces Sk + 1) k + 1 Sk) + k + )k+1 k + 1 kk+1 + k + ) k+1 k + 1 k + )k+1 k + 1 k + 1)k+ k + 1 k+ Por lo tanto, Sn) n n+1, n N. Así que, S016)

4 Problema. Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos n tales que 3n + 3 n no es primo. Explique. Show that there are infinitely many positive integers n such that 3n + 3 n is not prime. Explain.

5 Problema. Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos n tales que 3n + 3 n no es primo. Explique. Solución. Show that there are infinitely many positive integers n such that 3n + 3 n is not prime. Explain. Mostraremos que si n N es impar, entonces 3n + 3 n 1 y a la misma vez es un múltiplo de 1. Primero, para cualquier n N, 3n + 3 n 3) n + 3 ) n 8 n + 9 n Segundo, si n k 1 con k N, obtenemos 3n + 3 n 8 n + 9 n 8 k k ) 8 k 8 k k k k ) }{{}}{{} 1 Q 1Q Otra Forma Si conoce el lenguaje de congruencias). 3n + 3 n 8 n + 9 n 8 n + 8) n mod 1) 8 k 1 + 8) k 1 mod 1) 8 k 1 8 k 1 mod 1) 0 mod 1) En fin, para n 1) impar 3n + 3 n es un múltiplo de 1 mayor que 1) y por ende no es primo.

6 Problema. Sean a, b, c números reales tales que log b a) log c a) y b c ck. Encuentre el valor de k. Explique. Let a, b, c be real numbers such that Find the value of k. Explain. log b a) log c a) y b c ck.

7 Problema. Sean a, b, c números reales tales que log b a) log c a) y b c ck. Encuentre el valor de k. Explique. Let a, b, c be real numbers such that log b a) log c a) y b c ck. Solución. Find the value of k. Explain. Utilizando la fórmula de cambio de base todo en base 10), ) ) De otra parte, log ba) log c a) loga) logb) loga) logc) ) 1 logb) 1 logc) ) logc) logb). b c c k b c k+1 logb) k + 1) logc) logb) logc) 1 k En fin, k logb) logc)

8 Problema. En la figura, el cuadrado de lado 4 es subdividido y tres círculos son inscritos como se ilustra. Encuentre la suma de las áreas de los tres círculos. Explique. In the figure, the square of side 4 is subdivided and three circles are inscribed as shown. Find the sum of the area of the three circles. Explain. 4

9 Problema. En la figura, el cuadrado de lado 4 es subdividido y tres círculos son inscritos como se ilustra. Encuentre la suma de las áreas de los tres círculos. Explique. Solución. In the figure, the square of side 4 is subdivided and three circles are inscribed as shown. Find the sum of the area of the three circles. Explain. El área de un círculo cuyo diámetro es d está dada por A πr π ) d π 4 d. De la figura, obtenemos que los diámetros de los tres círculos en orden descendente son d 1 1, d 6 y d 3 3. La suma de las áreas de los tres círculos es: 4 S A 1 + A + A 3 π π π 4 3. Factorizando π 4, obtenemos: S π 4 [ ] π 4 [ ] 189π 4.

10 Problema. Cuál es el valor exacto de π ) B cos cos ) π cos ) 3π? Explique. What is the exact value of π ) B cos cos ) π cos ) 3π? Explain.

11 Problema. Cuál es el valor exacto de π ) B cos cos ) π cos ) 3π? Solución. Explique. Por la fórmula de doble ángulo tenemos, sinθ) sinθ) cosθ). Esto implica que, Sea A cos ) π cos π ) 4π cos cos }{{} Factor Distinto ) 4π cosθ) sinθ) sinθ). ). Dado que cosπ θ) cosθ) se sigue que, cos ) 3π y A B. Entonces, A π ) ) ) π 4π cos cos cos [ ] [ ] [ ] sinπ/) sin4π/) sin8π/) sinπ/) sinπ/) sin4π/) sin8π/) 8 sinπ/) sinπ/) 8 sinπ/) 1 8 Así que, B 1 8

12 Problema. Considere el conjunto S {4,, 55, 64, x}. Dado que la media de los números en S es un número primo y que la mediana de S es un múltiplo de 3. Cuál es la suma de todos los posibles valores enteros positivos de x? Explique. Consider the set S {4,, 55, 64, x}. Given that the mean of all numbers in S is a prime number and that the median of S is a multiple of 3. What is the sum of all positive integral values of x? Explain.

13 Problema. Considere el conjunto S {4,, 55, 64, x}. Dado que la media de los números en S es un número primo y que la mediana de S es un múltiplo de 3. Cuál es la suma de todos los posibles valores enteros positivos de x? Explique. Solución. Consider the set S {4,, 55, 64, x}. Given that the mean of all numbers in S is a prime number and that the median of S is a multiple of 3. What is the sum of all positive integral values of x? Explain. Ordenando los elementos de S de menor a mayor y sin saber el valor de x, las posibilidades son: S {4,, 55, 64, x} S {4,, 55, x, 64} S {4,, x, 55, 64} S {4, x,, 55, 64} S {x, 4,, 55, 64}. Las restricciones en la mediana nos dejan las siguientes posibilidades: S {4,, x, 55, 64} S {4, x,, 55, 64} S {x, 4,, 55, 64}. La mediana es x o. Esto es, 3 divide a x y x < 55, o x. En cualquier caso la suma de los cinco 5) números es, x 10 + x < Así que la media µ satisface < µ < Como µ es un número primo, 5 5 µ 3, 41, o 43. Ahora bien, µ 10 + x 5 x 5µ 10. Los posibles valores para x, son respectivamente x 15, 35, o 45. Pero, x 35 es mayor que pero no es un múltiplo de 3, así que se descarta. La contestación es

14 Problema. Considere el polinomio P x) x 4 14x x 90x Dado que 3 + 4i es una raíz compleja de P x) y que las demás raíces son números complejos o números enteros primos, factorice P x) completamente. Explique. Consider the polynomial P x) x 4 14x x 90x Given that 3 + 4i is a complex root of P x) and that the other roots are either complex numbers or prime integers, factor P x) completely. Explain.

15 Problema. Considere el polinomio P x) x 4 14x x 90x Dado que 3 + 4i es una raíz compleja de P x) y que las demás raíces son números complejos o números enteros primos, factorice P x) completamente. Explique. Solución. Consider the polynomial P x) x 4 14x x 90x Given that 3 + 4i is a complex root of P x) and that the other roots are either complex numbers or prime integers, factor P x) completely. Explain. Por P x) tener coeficientes enteros, las raíces complejas de P x) vienen en pares conjugados. Esto es, si a + bi es una raíz de P x), entonces a bi también es una raíz de P x). En nuestro caso esto implica que, utilizando el teorema del factor, x 3 + 4i))x 3 4i)) x 6x + 5 es un factor de P x). Dividiendo P x) por x 6x + 5, obtenemos residuo 0 y cociente x 8x En fin que P x) factoriza, P x) x 4 14x x 90x + 35 x 6x + 5)x 8x + 15) x 3 + 4i))x 3 4i))x 3)x 5) Otra forma. Por el teorema de las raíces racionales, las posibles raíces racionales positivas de P x) están en la lista {1, 3, 5, 15, 5, 5, 15, 35}. En esta lista solo hay dos enteros primos 3 y 5. Ambos son raíces de P x). Así que x 3)x 5) x 8x + 15 es un factor de P x), etc.

16 Problema. Para cada k 0, sea T k k + k + 1). Encuentre el valor de la suma 016 1) k T k. Explique. For each k 0, let T k k + k + 1). Find the value of the sum 016 1) k T k. Explain. k0 k0

17 Problema. Para cada k 0, sea T k k + k + 1). Encuentre el valor de la suma 016 1) k T k. Solución. k0 Explique. For each k 0, let T k k + k + 1). Find the value of the sum 016 1) k T k. Explain. k0 Note que T m T m 1 m ) k T k T 0 T 1 + T + T 016 k0 T 0 + T T 1 ) + T 4 T 3 ) + + T 016 T 015 ) k + 1) k k) + 1) k0 k k) k0 [ ] )

18 Problema. Defina una función I : N N como sigue: { n, si n es par In) n + 1, si n es impar. Para toda x, escribimos I x) IIx)), I 3 x) II x)),... i). Encuentre un entero positivo k tal que I k 49) 1. ii). Para todo k N, defina Γ k {n N : I k n) 1} y γ k la cantidad de elementos en Γ k. Demuestre que γ 100 γ 99 + γ 98. Define a function I : N N as follows: In) { n, if n is even n + 1, if n is odd. For all x, we write I x) IIx)), I 3 x) II x)),... i). Find a positive integer k such that I k 49) 1. ii). For all k N, define Γ k {n N : I k n) 1} and γ k the number of elements in Γ k. Show that γ 100 γ 99 + γ 98.

19 Problema. Defina una función I : N N como sigue: { n, si n es par In) n + 1, si n es impar. i). Encuentre un entero positivo k tal que I k 49) 1. ii). Para todo k N, defina Γ k {n N : I k n) 1} y γ k la cantidad de elementos en Γ k. Demuestre que γ 100 γ 99 + γ 98. Solución. i) Note que I 10 49) 1. Así que, k 10. Vea diagrama. 49 I 50 I 5 I 6 I 13 I 14 I I 8 I 4 I I 1. ii) De la definición, a manera de ejemplo, podemos ver que Γ 3 {8, 3}, Γ 4 {16, 6, }, Γ 5 {3, 1, 14, 15, 5}, γ 3, γ 4 3 y γ 5 5. Note que γ 5 γ 4 + γ 3. De hecho es posible demostrar que k 3, γ k+ γ k+1 + γ k. Defina Γ {n Γ 100 : n es par} y Γ {n Γ 100 : n es impar}. Es claro que, Γ 100 Γ Γ unión disjunta). Para demostrar que γ 100 γ 99 + γ 98, es suficiente encontrar dos biyecciones: Γ Γ 99 Γ Γ 98 La función f : Γ Γ 99 definida por la regla fy) y es una biyección, pues F x) x es la función inversa. Hay que cotejar algunos detalles de dominio y codominio. A saber, note que También, y Γ I 100 y) 1 y y es par 1 I 99 Iy)) I 99 fy)) fy) Γ 99 z Γ 99 I 99 z) 1 y F z) z 1 I 99 z) I 99 Iz)) I 100 z) I 100 F z)) F z) Γ Igualmente, la función g : Γ Γ 98 definida por la regla gy) y+1 es una biyección, pues Gx) x 1 es la función inversa. Es cuestión de cotejar dos cosas y Γ gy) Γ 98 y z Γ 98 Gz) Γ En fin, dadas las dos biyecciones, tenemos γ 100 γ 99 + γ 98.

20 Problema. En el año 1614 el escocés John Napier, estudió una función muy parecida a los logaritmos. Napier definió una función, que hoy en día se conoce como logaritmo napieriano, como sigue: NapLogN) L si y solo si N ) L. 10 Exprese NapLog10 9 ) en términos del logaritmo común log 10. Explique. In the year 1614 the scottish John Napier, studied a function very similar to logarithms. Napier defined a function, that is known today as napierian logarithm, as follows: NapLogN) L if and only if N ) L. 10 Express NapLog10 9 ) in terms of the common logarithm log 10. Explain.

21 Problema. En el año 1614 el escocés John Napier, estudió una función muy parecida a los logaritmos. Napier definió una función, que hoy en día se conoce como logaritmo napieriano, como sigue: NapLogN) L si y solo si N ) L. 10 Solución. Exprese NapLog10 9 ) en términos del logaritmo común log 10. Explique. In the year 1614 the scottish John Napier, studied a function very similar to logarithms. Napier defined a function, that is known today as napierian logarithm, as follows: NapLogN) L if and only if N ) L. 10 Express NapLog10 9 ) in terms of the common logarithm log 10. Explain ) L ) L L log ) L log ) Por lo tanto, NapLog10 9 ) log ).