Relación de Problemas. Tema 4

Transcripción

1 Relación de Problemas. Tema 4 1. Un experimento consiste en lanzar cuatro monedas al aire. Calcular la función de probabilidad y la función de distribución de las siguientes variables aleatorias: 1) Número de caras antes de la primera cruz. 2) Número de caras después de la primera cruz. 3) Número de caras menos número de cruces. 2. La siguiente tabla muestra la función de distribución de una variable aleatoria discreta. Encontrar la función de probabilidad. x F (x) Sea X una variable leatoria con la siguiente función de densidad kx si 0 x 3 f(x) = k(6 x) si 3 x < 6 0 resto a). Hallar k para que f(x) sea función de densidad. b). Pr(X > 3) y Pr(1.5 X 4.5). 4. Nos proponen el siguiente juego: elegimos un número del 1 al 6 y la banca lanza 3 dados. Si el número elegido sale el los tres dados, cobramos 3000 ptas; si sale en dos, cobramos 2000, si sale en uno, cobramos 1000 y si no sale perdemos 1000 ptas. Según la banca, al jugar con tres dados, tenemos el triple de oportunidades y además, a veces se gana más de 1000 ptas que es lo máximo que se llega a perder cada vez. Es el juego tan ventajoso como parece?. 5. Supóngase que se selecciona al azar una palabra de la frase LA MU- JER SE PUSO SU PRECIOSO SOMBRERO ROJO. Si X es el número de letras de la palabra seleccionada. Cuál es el valor de E[X]?. Supóngase que 1

2 se selecciona al azar una de las 35 letras que tiene la oración anterior. Si Y es el número de letras de la palabra en que aparece la letra seleccionada, cuál es el valor de E[Y ]?. 6. Sea X una v.a. con función de densidad { f(x) = 1 2 si 1 x 0 ae x si x > 0 Calcular el valor de a para que f sea función de densidad. Calcular la función de distribución de probabilidad. 7. La función de densidad de una v.a. X viene dada por: { kx f(x) = 2 (1 x) x (0, 1) 0 resto a). Calcular k para que f sea función de densidad. b). Calcular la función de distribución de probabilidad. c). Calcular E[X] y V ar[x]. 8. En ocasiones, algunas líneas aéreas venden más billetes que los disponibles en un vuelo. Una de estas líneas aéreas ha vendido 205 billetes que corresponden a un avión con 200 plazas. Sea X la v.a. correspondiente al número de pasajeros que se presentan en el aeropuerto para viajar en avión. La distribución de X es: x i p i a). Hallar la probabilidad de que todos los pasajeros que llegan a coger el avión tengan plaza. b). Obtener la probabilidad de que alguno de los pasajeros que se presentan en el aeropuerto se queden sin plaza. c). Calcular el número esperado de viajeros que aparecen en el aeropuerto. d). Cuál es la probabilidad de que la primera persona que está en lista de espera tenga sitio en el vuelo?. 9. La longitud de una cierta pieza se distribuye con función de densidad { k(x 1)(3 x) x [1, 3] f(x) = 0 x resto 2

3 Se consideran válidas las piezas cuya logitud esté comprendida entre 1.7 y 2.1 cm. Se pide: a). Caclular el valor de k para que sea función de densidad. b). Calcular la probabilidad de que una determinada pieza sea útil. 10. La función de densidad de una variable aleatoria X es: { e k(x 1) x > 1 f(x) = 0 x 1 Calcular el valor de k para que sea una función de densidad. 11. Un vendedor de helados suele ganar 7000 ptas en un día soleado y 2000 en un día lluvioso. Hallar la ganancia esperada del vendedor en un día para el que se sabe que la probabilidad de que llueva es 1/ El tiempo de reparar una máquina en horas tiene una función de distribución: 0 x 0 x/2 0 x 1 F (x) = 1/2 1 x 2 x/4 2 x 4 1 x 4 a). Dibujar la función de distribución. b). Obtener la función de densidad. c). Si el tiempo de reparación es superior a 1 hora, cuál es la probabilidad de que sea superior a 3.5 horas?. 13. Se considera una v.a. Bernoulli que toma el valor 1 con probabilidad Se toma una muestra de n elementos. Calcular el valor mínimo que debe tener n para que la probabilidad de obtener al menos una vez como resultado un 1 sea mayor o igual que Sabemos que en una ciudad, de cada personas, 1500 están viendo un cierto programa de TV. Cuál es la probabilidad de que de 100 personas elegidas aleatoriamente, menos de 4 estén viendo el programa?. 15. Una universidad sabe que el 75% de sus graduados tiene trabajo a los 12 meses de su graduación. Se eligen 8 graduados al azar. Se pide: a). Probabilidad de que al menos 6 tengan empleo a las 12 meses. b). Probabilidad de que como máximo 6 tengan empleo. 3

4 16. Un examen tipo test consiste en 20 preguntas, cada una de ellas con 4 posibles respuestas. Un estudiante es capaz de identificar y eliminar como incorrecta una de las opciones de cada pregunta y elige aleatoriamente entre las otras tres. El examen se aprueba si hay 12 o más preguntas correctas. a) Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe?. b) Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe si puede eliminar dos opciones de cada pregunta?. 17. Las llamadas de teléfono recibidas en una casa siguen un proceso de Poisson con parámetro λ = 2 cada hora. a) Si una persona toma una ducha de 10 minutos, cuál es la probabilidad de que el teléfono suene durante ese tiempo?. b) Durante cuánto tiempo puede tomar una ducha si desea que la probabilidad de no recibir ninguna llamada sea como mucho 0.5?. 18. Consideremos que el número de trozos de chocolate de una galleta sigue una distribución de Poisson. Queremos que la probabilidad de que una galleta seleccionada al azar tenga por lo menos tres trozos de chocolate sea mayor que 0.8. Encontrar el menor valor entero de la media de la distribución que asegura esa probabilidad. 19. En la realización de un programa, el número de errores cometidos por página sigue una distribución de Poisson de varianza 2. Cuál será la probabilidad de no cometerlos en un programa de 20 páginas?. 20. Un aparcamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada I según una Poisson con 3 coches por hora y a la entrada II con 4 coches por hora. Si el número de coches que llega a cada entrada son independientes, cuál es la probabilidad de que en una hora lleguen 3 coches al aparcamiento?. 21. En un proceso de fabricación de película fotográfica aparece por término medio 1 defecto por cada 20 metros de película. Si la distribución de defectos es Poisson, calcular la probabilidad de que haya 6 defectos en un rollo de 200 metros. 22. Se supone que una persona cualquiera contrae en promedio 3 resfriados durante el invierno y se distribuye según una P (λ). a) Calcular la probabilidad de que una persona en un invierno determinado, contraiga por lo menos 1 resfriado. b) Calcular la probabilidad de que de 5 personas elegidas al azar, 4 contraigan 2 resfriados en un invierno. 4

5 23. Supongamos que el tiempo de vida de un componente electrónico sigue una exponencial con λ = 0.1. a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de vida sea menor que 10. b) Calcular la probabilidad de que el tiempo de vida esté entre 5 y 15. c) Calcular t para que la probabilidad de que el tiempo de vida sea mayor que t sea Una máquina consta de 12 componentes cuya duración sigue una distribución exponencial de media 500 horas. La política de mantenimiento preventivo consiste en sustituir todos los componentes simultáneamente cada 700 horas. La máquina se avería cuando uno cualquiera de sus componentes lo hace, sustituyéndose en ese caso dicho componente por uno nuevo. Se supone que los componentes funcionan independientemente. a) Cuál es la probabilidad de que una máquina se averíe en el intervalo comprendido entre dos renovaciones? b) Si han transcurrido 500 horas desde la última sutitución de todos los componentes, cuál es la probabilidad de que la máquina se averíe antes de la próxima renovación?, depende esta probabilidad del número de averías que haya habido en las 500 horas?. 25. Un sistema electrónico consta de 4 subsistemas idénticos conectados en serie, con distribución exponencial de tiempo de fallo. Si el tiempo medio de fallo de cada subsistema es de 2000 horas, hallar la probabilidad de que el sistema falle antes del tiempo t y la probabilidad de que no haya fallos después de 100 horas. 26. La duración de un componente eléctrico sigue una distribución exponencial con media horas. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que si el componente ha durado más de 20000, dure más de horas. Comparar esta probabilidad con la probabilidad de que dure entre 0 y 1000 horas. Comentar razonadamente el resultado. b) Si se instalan 4 de esos componentes en serie en un aparato, calcular la probabilidad de que el aparato siga funcionando al cabo de horas. 27. La longitud, X, de los tornillos producidos por una máquina sigue una distribución normal con media 112 milímetros y desviación típica de 2.2 milímetros. Construir tres intervalos centrados en la media que contengan el 68.3%, el 95.5% y el 99.7% de la población respectivamente. Si Y es la longitud en centímetros, a) Obtener la distribución de Y. 5

6 b) Hallar la probabilidad de que un tornillo elegido al azar mida más de 11.5 centrímetros. Un tornillo es defectuoso si su longitud está fuera del intervalo (10.9 cms, 11.5 cms). a) Cuál es la proporción de tornillos defectuosos?. b) Cuál es la probabilidad de que de entre 10 tornillos ninguno se defectuoso?. 28. Sea X una variable aleatoria normal con µ = 5 y σ = 10. Calcular: a) Pr(X > 10), b) Pr( 20 < X < 15), c) el valor de x tal que Pr(X > x) = La longitud L de las piezas fabricadas en un proceso es una variable aleatoria N(32, 0.3), considerándose aceptables aquellas cuya medida se encuentra en el intervalo (31.1,32.6). a) Calcular la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea aceptable. b) Si se toma al azar una muestra de tres piezas, cuál es la probabilidad de que la primera y la tercera sean aceptables y la segunda no lo sea?. c) Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 3 piezas al menos una sea aceptable?. d) Las piezas se embalan en lotes de 500 piezas. Calcular la probabilidad de que un lote tenga más de 15 defectuosas. 30. Se admite que las retribuciones recibidas en una empresa se distribuyen normalmente. Se conoce que el 1% son superiores a ptas y el 10% inferiores a ptas. Se pregunta qué proporción de las retribuciones son superiores a ?. 31. Se considera el siguiente juego. Participar cuesta una cantidad fija c que se ha de pagar de antemano y el juego consiste en acertar el número de caras que se obtendrán al lanzar una moneda equilibrada veces; llamamos S a esta variable aleatoria. Para adivinar el valor de S, el jugador puede elegir 101 números naturales cualesquiera. si S está entre ellos el jugador gana ptas; si no está pirde la misma cantidad. Se pide: a) Indicar cuál es la elección de número más recomendable para el apostante. b) Calcular la probabilidad de ganar utilizando esos números (utilizar el Teorema Central del Límite). c) Se dice que un juego es justo si la esperanza de ganancia del jugador es cero. A partir de la probabilidad de ganar halla da en el apartado anterior, calcular el valor de c para que el juego se justo. d) Si nos informan de que la moneda está trucada y la probabilidad de salir cara es 0.4, razonar si el juego sigue siendo justo. En el caso de que no lo sea 6

7 indicar si el apostante saldrá beneficiado o perjudicado al pagar c. 32. Un sistema está formado por tres componentes conectados en serie. El sistema falla cuando falla uno de los componentes. Los componentes C1 y C2 tienen tiempo de vida T1 y T2 que se distribuyen como una exponencial de media horas. La distribución de probabilidad de la vida del componente C3, T3, es N(3000, 200). Las tiempos de vida de los tres componentes son independientes. C1 C2 C3 a) Calcular la probabilidad de que el componente C1 dure más de 3000 horas. b) Calcular la probabilidad de que el componente C1 dure más de 6000 horas, si ha durado ya 3000 horas. c) Calcular la probabilidad de qu el sistema dure más de 3000 horas. d) Para reforzar el componente C3 se instala un componente gemelo en paralelo, con un interruptor que hace entrar en funcionamiento a la pareja cuando el componente C3 falla. Suponiendo que el interruptor funciona siempre que es necesario, calcular la probabilidad de que el sstema dure más de 3000 horas. C3 C1 C2 C3 7

8 33. En una planta industrial dos bombas B1 y B2 en paralelo conducen agua desde un pozo a una depuradora D, y posteriormente a otras dos bomas B3 y B4, también en paralelo, la trasladan a un depósito. Pozo B2 B4 D B1 B3 Depósito Los tiempos de vida de la depuradora y de las bombas son variables aleatorias independientes con distribución exponencial, siendo horas la vida media de la depuradora y horas la de cada bomba. a) Calcular la probabilidad de que el agua llegue al depósito después de horas de funcionamiento. b) Calcular la probabilidad de que una depuradora que ha trabajado T horas falle antes de las mil horas siguientes. Es razonable que para evitar fallos de la depuradora se renueve ésta cada horas?, por qué?. 3. Los circuitos integrados (chips) se obtienen a partir de ob 34. (Feb 05) Los circuitos fabricación, integrados (chips) los chips se optienen son muy a partir susceptibles de obleasa cualquier defecto de silicio y son muy susceptibles como defecto a culaquier fatal falloaquel en la defecto superficiede la oblea. que pueda echar Se define como defecto fatal de pista aquel defecto los chips que pueda que echar se están a perder produciendo un chip. a partir de dicha El número de defectos fatales por 100 milímetros cuadrados de oblea de silicio viene caracterizado por una El número variable aleatoria de defectos de media fatales 0.1 por 100 milímetros cuadrados d por una variable aleatoria de media 0,1. a) Cuál es la probabilidad d haya más de un defecto fa b) Si se toman 25 chips difer probabilidad de que m defectos? c) Si se pretenden obtener obleas de 100 milímetros 58 chips de 10x10 mm 2 de encontrar más de 12 total de 4 obleas? a) Cuál es la probabilidad de que en un chip de mm 2 haya más de un defecto fatal?. X: Nº de defectuosos por 100 mm 2 = (0,1) a) 8 De la figura se observa que un chip de 20x de 10x10. Tenemos pues:

9 b) Si se toman 25 chips diferentes de mm 2, cuál es la probabilidad de que más de 22 de esos chips no tengan defectos? c) Si se pretenden obtener chips de mm 2 de las obleas de 100 mm de diámetro, cuál es la probabilidad de encontrar más de 12 defectos fatales en la superficie útil total de 4 obleas? 35. (Feb. 05) El valor de una determinada señal s producida por un aparato sufre pequeñas perturbaciones que consideramos aleatorias. a) Supongamos que la distribución de los valores de s se puede aproximar por una distribución Normal con media 12 y desviación típica 0.5. Entre los valores de la señal que son mayores que 12.5, cuál es la proporción de valores que son mayores que 13?. b) Queremos ahora medir la señal s con un aparato de medición. Sea X la v.a. valor proporcionado por el aparato al realizar una medición y ɛ la variable error cometido por el aparato al realizar la medición. Suponiendo que ɛ sigue una distribución normal con media 0 y desviación típica 0.4, y es independiente de s. Cuál es la relación entre s, X y ɛ, cuál es la distribución de X? c) Se planifica realizar varias mediciones y proporcionar su media para aproximar el valor de la señal. Cuántas mediciones habrá que tomar para que nos aseguremos con una probabilidad mayor o igual a 0.95 que el valor proporcionado no se alejará en más de 0.1 unidades de la señal promedio? d) Después de ser producida la señal entra en un dispositivo que la transforma en una señal saliente con tres estado: -1, 0, 1. La señal s out toma el valor -1 si la señal entrante es menor que 11.5, toma el valor 0 si la señal entrante está entre 11.5 y 12.5, y toma el valor 1 si la señal entrante es mayor que Calcula la función de probabilidad de s out. Si se toman 1124 valores de s out, cuál es en promedio el número de valores no nulos de s out? 36. (Sep. 05) La resistencia de ciertos componentes eléctricos fabricados en un proceso es una v.a. que sigue una distribución Normal de media 36 ohmios y varianza 0.64 ohmios 2. Dicho componente se considera defectuoso para montarlo en cualquier sistema cuando su resistencia es menor de 35 ohmios. Se pide: a) Proporción de componentes defectuosos. 9

10 b) Se toma una muestra aleatoria de 400 componentes, cuál es la probabilidad de que haya al menos 350 componentes no defectuosos?. c) Un sistema acopla 2 componentes en serie, calcular la probabilidad de que el sistema funcione. Y si se acoplan en paralelo? 10