Introducción a la Física Experimental Guía de la experiencia Péndulo de torsión. Momentos de Inercia

Transcripción

1 Introducción a la Física Experimental Guía de la experiencia Péndulo de torsión. Momentos de Inercia Departamento de Física Aplicada. Universidad de Cantabria. Febrero 28, 2005 Tenga en cuenta que la lectura previa de esta guía y la comprobación de las ecuaciones le llevará del orden de tres horas, incluyendo la consulta de las palabras clave, y que la lectura de la bibliografía específica en inglés le llevará entre una y dos horas. Resumen Se muestra cómo mediante experimentos con un péndulo de torsión (resorte espiral) es posible obtener los momentos de inercia de diferentes cuerpos. Así mismo, cómo se puede verificar que el momento de inercia depende de la distribución de las masas respecto al eje de giro. Finalmente, se indica cómo comprobar el teorema de los ejes paralelos (teorema de Steiner) a partir de la variación de la distancia de masas móviles respecto del eje de rotación. Introducción Cuando se sitúa un cuerpo rígido 1 solidario con un eje vertical unido a un resorte (muelle espiral horizontal) y el cuerpo se hace girar un cierto ángulo φ, respecto a la posición de equilibrio, el resorte se expande (o comprime) y ejerce un momento de restitución τ sobre el cuerpo, τ = r F, (1) donde r es el vector desplazamiento y F la fuerza recuperadora. Este dispositivo constituye un péndulo de torsión (Fig. 1). Para ángulos de giro pequeños, el módulo r r es proporcional al ángulo, r α φ, y, de acuerdo con la Ley de Hooke, el módulo de este momento τ es proporcional al texto. 1 Consulte y escriba la definición de todos los conceptos que aparecen en letra cursiva en este 1

2 (d) (re) (1) Figura 1: Montaje experimental para medir momentos de inercia mediante un péndulo de torsión por el método estático. (1) Péndulo de torsión con resorte espiral (re), barra y dinamómetro (d). ángulo de giro siendo la constante de proporcionalidad, constante restauradora angular o constante de torsión del muelle, D, con τ = D φ. (2) El sistema conjunto plataforma más resorte acumula una cierta cantidad de energía inicialmente y cuando el conjunto se deja libre, esa energía se va distribuyendo entre la energía cinética de rotación de la plataforma, T R = Iω 2 /2, siendo I el momento de inercia de la misma y ω su velocidad angular, y la energía elástica del resorte T E = κθ 2 /2, siendo κ su constante elástica y θ el ángulo girado. En la Fig. 2 se muestran las diferentes energías de un experimento con un péndulo de torsión. La aplicación de un momento sobre un péndulo de torsión hace que éste realice oscilaciones en torno a su posición de equilibrio con un período T que viene dado por, IZ T = 2π (3) D siendo I Z el momento de inercia del cuerpo cuando el eje de giro es paralelo a la dirección z. Por tanto, el péndulo de torsión permite obtener el momento de inercia de un cuerpo determinando experimentalmente su período de oscilación, una vez conocida la constante D. Descripción del material Para llevar a cabo este tipo de experiencias se utiliza el siguiente material (Figs. 1 y 3): 1. Un eje de torsión con un muelle espiral horizontal [(re) en Fig. 1 ] 2

3 T /J R (a) T E/J (b) T /J (c) Figura 2: Distribución de energía en un péndulo de torsión. (a) Energía cinética de rotación de la plataforma. (b) Energía potencial de torsión del resorte. (c) Energía total del sistema conjunto plataforma-resorte. 2. Trípode 3. Una varilla metálica con dos masas móviles 4. Disco soporte 5. Dinamómetro [(d) en Fig. 1 ] 6. Barrera fotoeléctrica con contador digital [(2) en Fig. 3] y soporte 7. Cilindro y esfera maciza, y cilindro hueco 8. Regla, calibre y esferómetro Reflexiones previas a la realización del experimento 1. Defina los conceptos de centro de masas y momento de inercia de un cuerpo. 2. Encuentre, en bibliografía, las expresiones correspondientes a los momentos de inercia de algunos objetos con formas geométricas sencillas: varilla, disco, esfera y cilindro, respecto de algún eje de simetría. Presente esa información en una tabla. 3

4 (2) Figura 3: Montaje experimental para medir momentos de inercia mediante un péndulo de torsión por el método dinámico. (2) Barrera fotoeléctrica con contador digital y soporte. (cm) (c) Figura 4: Montaje experimental para el teorema de Steiner. (c) Disco metálico con agujeros y una aguja para cortar el haz de luz de la barrera fotoeléctrica; (cm) Cilindros metálicos con saliente para encajar en agujeros del disco. 3. Enuncie y demuestre el teorema de Steiner (o de los ejes paralelos ). 4. Describa algún otro sistema físico que constituya un péndulo de torsión, distinto del que se describe en la Introducción. 5. Consulte la bibliografía y obtenga la Ec. (3). Qué tipo de movimiento describe, entonces, cualquier objeto solidario con el eje vertical que, a su vez, está unido al resorte horizontal que se menciona en la Introducción. Indicaciones Lleve a cabo las siguientes experiencias: 1. Determine mediante el empleo del dinamómetro el valor de la constante restauradora del muelle espiral (método estático). Para ello, coloque sobre el muelle la varilla, gire un cierto ángulo y mida con el dinamómetro 4

5 el módulo de la fuerza, F, que hay que aplicar a una distancia r del eje para que la varilla se mantenga en equilibrio, para dicho desplazamiento angular. Sitúe el dinamómetro perpendicularmente a la varilla. Desvíe la varilla un ángulo mayor y mida la fuerza situando el dinamómetro a la misma distancia del eje, y así sucesivamente. Para determinar D represente gráficamente el momento frente al ángulo de giro. Qué dependencia observa? 2. Separe la varilla un cierto ángulo de su posición de equilibrio. Suéltela y déjela oscilar libremente. Teniendo en cuenta la Eq. (2), determine con la ayuda de la barrera fotoeléctrica la constante D del muelle (método dinámico). Cómo se le ocurriría proceder si desconociera el momento de inercia de la barra? Emplee para ello las masas móviles Qué observa? Cómo han de situarse las masas? 3. Una vez conocida la constante restauradora del muelle y teniendo en cuenta la Eq. (2), determine experimentalmente los momentos de inercia de diferentes cuerpos: disco, cilindro hueco, cilindro macizo y esfera. Estos objetos poseen geometrías sencillas por lo que sus momentos de inercia se pueden calcular teóricamente conocidas la masa y las dimensiones geométricas de los mismos (emplee la balanza, regla, calibre y el esferómetro, si fuera necesario). Compare ambos resultados (experimental y teórico). 4. Monte el disco plano provisto de agujeros a lo largo de su diámetro. Estos agujeros permiten variar la posición del eje de giro a lo largo de una dirección. Represente gráficamente la variación del momento de inercia frente a la distancia del eje de giro al centro de masas del disco. Determine experimentalmente la dependencia del momento de inercia con la distancia del eje de giro al centro de masas del disco utilizando la Eq. (2). Cómo cambia el momento de inercia? Preguntas adicionales relacionadas con la experiencia 1. Qué ocurre si no se sitúa el dinamómetro perpendicularmente a la varilla? Qué unidades tiene D? Cuál es su significado físico? Es preciso realizar un ajuste por mínimos cuadrados para obtener D? 2. Cómo varía la amplitud de la oscilación? Afecta de alguna manera a la medida del período? Qué sucede si la varilla no está sujeta por su punto medio? Y si en lugar de comprimir el muelle lo expande? Podría determinar la aceleración angular? Cómo? 3. Qué diferencias y similitudes observa entre el movimiento descrito por una masa suspendida de un muelle y el descrito por la barra? 5

6 4. Qué método es más preciso el estático o el dinámico? Discuta las posibles fuentes de error Qué valor de D empleará a la hora de obtener los momentos de inercia? 5. Qué es el radio de giro? Cuál es su utilidad? Cuál es su ecuación dimensional? 6. Confirman los resultados experimentales obtenidos en el apartado 4 de la sección anterior el teorema de Steiner? 7. Para qué se puede utilizar el péndulo de torsión? Describa la balanza de torsión empleada por Henry Cavendish. Cómo funciona y para qué sirve? Referencias [1] P. A. Tipler, Física, 4 a Edición, Tomo I, Ed. Reverté, Barcelona (1999), pp. 255 y ss, 416 y ss. [2] R. A. Serway, Física, Tomo I, 3 a Edición (2 a Ed. en español), Ed. McGraw- Hill, Méjico (1992), pp. 279 y ss, 344 y ss. [3] R. M. Eisberg, L. S. Lerner, Física: Fundamentos y Aplicaciones, Vol. I, Ed. McGraw-Hill, Méjico (1981) pp. 417 y ss. [4] S. Chapman, Discovering the torsion pendulum expression in the freshman laboratory, Am. J. Phys. 16, (1948). [5] R. E. Green, Calibrated torsion pendulum for moment of inertia measurements, Am. J. Phys. 26, (1958). [6] kossi.physics.hmc.edu/courses/p23a/experiments/cavendish.html. [7] 6