6. MODELO MATEMÁTICO.

Transcripción

1 6. MODELO MATEMÁTICO Introducción al modelo matemático. Un modelo, es un esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja, que se elabora para facilitar su compresión y el estudio de su comportamiento. Por otro lado, se entiende por modelar, la acción de construir un modelo, es decir, de encorsetar la realidad. Un modelo es, en definitiva, una herramienta de ayuda a la toma de decisiones. Por esta razón, sus resultados deben ser legibles y útiles. Por una parte, la construcción de modelos se tiene carácter científico, pues se basa en un conjunto de procesos estructurados: análisis y detección de las relaciones entre los datos, establecimiento de suposiciones y aproximaciones en la representación de los problemas, desarrollo o uso de algoritmos específicos de solución. Por otra parte, es un arte, porque materializa una visión o interpretación de la realidad no siempre de manera unívoca. Cada persona imprime su estilo en el modelo mismo y en la especificación, en el desarrollo y en la documentación Etapas en el desarrollo de un modelo. Las etapas que componen el ciclo de vida de un modelo son las siguientes: Identificación del problema. Cosiste en la recolección y análisis de la información relevante para el problema, en el intercambio de información entre los agentes que intervienen en el proceso de haber varios. Toda esta etapa es la que se ha establecido en el apartado quinto del presente documento, denominado MODELO A IMPLEMENTAR Especificación matemática y formulación. Escritura matemática del problema de optimización, definiendo sus variables, sus ecuaciones, su función objetivo, sus parámetros. En esta etapa se analiza el tamaño del problema, la escritura de la matriz de restricciones y su tipo. Es una etapa de creación donde se debe prestar especialmente atención a la precisión en la formulación y a la escritura de las ecuaciones que describen el 119

2 problema. Hay que tener en cuenta, además, que existen diversas alternativas de modelado, que afectan de manera fundamental en la resolución del mismo Resolución. Se trata de implementar un algoritmo de obtención de la solución numérica (muy próxima a la matemática) óptima o cuasi-óptima. Puede haber diferentes métodos de solución de un problema o diferentes implantaciones de un mismo método. El tiempo de resolución de un problema también puede depender drásticamente de cómo esté formulado Verificación, validación y refinamiento. Esta etapa conlleva la eliminación de los errores en la codificación, es decir, conseguir que el modelo haga lo que se desea (depurar y verificar). Es necesario comprobar la validez de las simplificaciones realizadas a través de los resultados obtenidos, incluso contrastando éstos con situaciones reales ya transcurridas (validar). Esta etapa de verificación, validación y comprobación da lugar a nuevas necesidades de modelado para mejorar la capacidad de representación de la realidad, a nuevos refinamientos indicados por el usuario Interpretación y análisis de los resultados. Esta etapa consiste en proponer soluciones. Permite conocer en detalle el comportamiento del modelo al hacer un análisis de sensibilidad en los parámetros de entrada, estudiar diferentes escenarios plausibles de los parámetros, detectar soluciones alternativas cuasi-óptimas pero suficientemente atractivas, comprobar la robustez de la solución óptima. Esta etapa se verá en el apartado séptimo de RESULTADOS Leguaje del modelado. Como lenguaje para el modelado del problema, se usará una herramienta diseñada para la construcción, y la resolución, de forma eficiente, de modelos de optimización lineal, no lineal, y de integración, llamada LINGO. 120

3 El modelo de optimización constará de tres partes: Función objetivo: formula que describe exactamente qué es lo que el modelo tiene que optimizar. Variables: son cuantificadores que pueden ser cambiados para alcanzar los valores óptimos de la función objetivo. Restricciones: son fórmulas que definen los límites en los valores de las variables Desarrollo del modelo. Se va a abordar el problema de optimización en el proceso de ejecución de pruebas funcionales de una aeronave. Para el desarrollo del modelo se dividirá este en 5 partes: La primera, tratará de definir el escenario del problema. En ella, se tratan el problema de las distintas líneas, los distintos ATA s, y las variables que serán necesarias en el problema. cómputo. La segunda, suministrará los datos que requiere el modelo para su posterior La tercera, realizará una serie de cálculos necesarios, para la adecuación de las matrices de datos al modelo que se tiene que ejecutar. La cuarta, tratará de representar las restricciones del modelo. La quinta, formulará la función objetivo que optimizará el modelo Descripción del escenario y variables. En primer lugar, se tienen que definir las tres líneas de pruebas funcionales, que son la verde (neumática), la roja (hidráulica) y la azul (eléctrica). Esto supone la generación de tres variables (L i ). 121

4 En segundo lugar, habrá que definir un conjunto fila (NF). Este conjunto recogerá una sucesión de pruebas funcionales. Por otro lado, el conjunto fila vendrá definido por el número de pruebas que contiene (Ntasks), lo cual será un dato en el modelo, dos variables para definir el tiempo de inicio y de fin del conjunto (Tinicio y Tfin), y del proyecto (BTinicio y BTfin), además de cinco variables que se usarán para tener una idea del uso de recursos (número de operarios que están trabajando, SumaF i ). Del análisis ya realizado durante el apartado sexto, se deriva que las líneas azul y roja tienen 13 conjuntos filas, mientras que la verde solo tiene 6. No obstante en el modelo se definirán 13 conjuntos filas, para las tres líneas y se asignarán 0 tareas, es decir, pruebas funcionales, a los conjuntos filas de la línea verde que van del 7 al 13. Esto se modela de la siguiente forma: En tercer lugar, hay que definir las pruebas o tareas (NT) que se deben de realizar en cada fila de cada línea. De la misma forma que se ha hecho para las filas, se ha estudiado, que fila es la que más pruebas tiene que realizar, de forma que éste sea el número de pruebas que se definan para cada una de las filas. En el problema que acontece, 14 será el número máximo de pruebas funcionales que están asociadas a una fila. De esta forma: 122

5 Cada tarea o prueba, tendrá información sobre el instante de inicio (I_task), del fin (F_task), de la duración que será un dato (Dura), y de un campo que indique con qué nivel de recursos se va a llevar a cabo la tarea (Multiple). Para esto último se crean 5 variables binarias (f i ), que definirán si se realizan las tareas: con el 100% de los recursos, con el 200%,..., 500% (número de operarios). De forma que: En cuarto lugar, se van a definir variables para cada uno de los AIM s existentes, para los computadores, así como para los sistemas de distribución. Para el caso de los AIM s (AIMS), existen 18 tipos diferentes, por lo que 18, serán las variables a definir. Puesto que son independientes de la línea, solo crearán incompatibilidades entre tareas que pertenezcan a filas que estén dentro de la misma línea. Se creará una matriz de datos (Uso), función de la línea, la fila, la tarea y AIM, para conocer el uso o no de cada AIM, rellena con 0 y 1. Por otra parte, se creará una matriz de variables (C mat ), función de la línea, la fila y las tareas que determinará las incompatibilidades entre las tareas por el uso de AIM s. La forma de modelar esto es: 123

6 Para el caso de los computadores y los sistemas de distribución, se hará de forma conjunta, puesto que el criterio para la ejecución de tareas es el mismo. La posibilidad de realizar una tarea al mismo tiempo pasa por que tenga el avión la misma configuración en cuanto a computadores y sistemas de distribución se refiere. Se creará un conjunto llamado COM_SIST_DIST (CSD), que supondrán 8 variables a definir para cada línea, fila y tarea. Puesto que son independientes de la línea, solo crearán incompatibilidades entre tareas que pertenezcan a filas que estén dentro de la misma línea. Se creará una matriz de datos (Uso1), función de la línea, la fila, la tarea y COM_SIST_DIST, para conocer el uso o no de cada computador y sistema de distribución, rellena con 0 y 1. Por otra parte, se creará una matriz de variables (C mat1 ), función de la línea, la fila y las tareas que determinará las incompatibilidades entre las tareas por el uso de computadores y sistemas de distribución. A continuación se muestra la forma de modelarlo: 124

7 Datos del problema. A continuación se le tiene que asignar al modelo una serie de datos de partida en algunas de las variables que se han definido anteriormente. En primer lugar, hay que definir el número de tareas por fila. Éste se definió entre 1 y 14, por lo que en realidad, el número de tareas tendrá que ser menor o igual a catorce. Para definirlo, habrá que dar para cada línea y cada fila un valor del número de tareas, asignando 0 si una línea no tiene tareas, como ocurre en la verde. Por lo que habrá que dar 39 datos. La forma de modelarlo es la siguiente: En segundo lugar, hay que definir la duración de cada una de las tareas. Habrá que dar un valor de la duración de la tarea para cada línea, para cada fila y para cada tarea. Como se definieron por defecto 14 tareas por línea, el número de datos a aportar, será de 546. No obstante, puesto que anteriormente se han definido, el número de tareas en cada fila, el resto de tareas hasta la catorceava, se les asignará un cero, en los casos en que la fila no tenga 14 tareas, quedando el modelo, de la siguiente forma: 125

8 En tercer lugar, hay que definir la forma en la que se puede hacer una tarea utilizando el campo (atributo) que se ha definido como Multiple. Esto se refiere a la cantidad de recursos (operarios), con la que se puede realizar una tarea. Para la modelación, se usará la siguiente codificación: Pondremos un 5 en el caso que una tarea se pueda hacer a 100%, 200%, 300%, 400% y 500% de recursos. Pondremos un 4 en el caso de que una tarea se pueda hacer a 100%, 200%, 300% o 400% de recursos. Se pondrá un 3 en el caso de que la tarea se pueda realizar con el 100%, el 200% o el 300% de los recursos. Un 2 en el caso de poder realizarse con recursos al 100% o 200%. Un 1 en cuyo caso sólo se hagan al 100% de recursos. Un cero para aquellas tareas que no existen, pero por la forma en que se ha definido el modelo hay que poner, y por consiguiente se les asigna 0 recursos, puesto que su duración en la matriz anterior también es cero. De esta forma el modelo se representaría de la siguiente forma: 126

9 En cuarto lugar, hay de definir la matriz de Uso. Será una matriz que tendrá por columnas los 18 tipos de AIM s que existen, y por filas cada una de las tareas, de cada fila y cada línea. Estará llena de ceros y unos, (0 en caso de que la tarea no requiera el AIM y 1 en el caso de que dicha tarea requiera el uso del AIM). En total habrá 9828 elementos. La forma matemática de modelarlo y de codificarlo en LINGO es la siguiente: En quinto lugar, se tiene que definir la matriz de Uso1. Será una matriz en la que las cuatro primeras columnas, hacen referencia al uso de computadores que requieren una tarea y las siguientes cuatro, hacen referencia a los sistemas de distribución que requieren la misma tarea. Además dicha matriz tendrá por filas cada una de las tareas, de cada fila y de cada línea. La matriz de Uso1 estará llena de ceros y unos (0 en caso de que la tarea no use el computador y 1 en caso que sí, de la misma forma con el caso de los sistemas de distribución). En total habrá 4368 elementos. La forma matemática de modelarlo y codificarlo en LINGO es la siguiente: 127

10 Cálculos del problema. En este apartado se tratará de realizar una serie de cálculos necesarios, para la adecuación de las matrices de datos (C mat y C mat1 ) al modelo que se tiene que ejecutar. La matriz C mat determina la compatibilidad entre las distintas tareas de cada una de las líneas para el uso de AIM s. De forma que habrá un cero si las tareas son compatibles y un uno en caso que sean incompatibles. La forma matemática de modelarlo y de codificarlo es: 128

11 La matriz C mat1 determina la compatibilidad entre las distintas tareas de cada una de las líneas para el uso de computadores y sistemas de distribución. De forma que habrá un uno si las tareas son compatibles y un cero en caso que sean incompatibles. La forma matemática de modelarlo y de codificarlo es: 129

12 Restricciones del problema. En este apartado, se van a modelar todas las restricciones del problema, con el objetivo de que se reproduzcan de forma adecuada todas las limitaciones de éste, así como, simplificar el cómputo Anulación de las variables fi. Se obligará la anulación de las variables f i dependiendo del valor del atributo Multiple que se haya definido en la sección de datos. De esta forma: 130

13 Forzar que la suma de fi sea 1 excepto en el caso Multiple igual a cero. Hay que forzar que la suma de las variables f i sea igual a la unidad, lo que implica que cada tarea sólo se puede hacer con una condición de recursos determinada, excepto en el caso de que un elemento del atributo Multiple tenga cero. En tal caso significa que la tarea no se realiza y por tanto no tiene que tener ningún criterio de asignación de recursos. De esta forma el modelo matemático y el código quedarían de la siguiente forma: Variables auxiliares para relacionar tiempos. Una vez que se ha forzado que cada tarea tenga un valor de f i, es decir, una condición de recursos determinada, es conveniente definir una serie de variables auxiliares para evitar tener que arrastrar las f i a lo largo del modelo. Para ellos, se relacionará el tiempo de fin, con el de inicio y duración de la tarea. 131

14 Condiciones de tiempo de fin y de inicio. Como es sabido, en cada una de las filas, las tareas tienen un orden prefijado, por tanto se pueden imponer una serie de condiciones entre los tiempos de inicio y de fin de las tareas. La forma de expresar esto es como sigue: 132

15 Variables auxiliares para conocer duración de las tareas de una línea. Puede resultar interesante conocer el tiempo empleado por las tareas de una línea, desde su inicio hasta que la última tarea de la línea se ha realizado. Para ello, se suman todas las tareas de cada fila y se almacenarán en las variables: BTfin y BTinicio. Estas nos servirán a posteriori para tener una idea de lo que ocurre con la asignación de recursos. Al mismo tiempo Tinicio y Tfin serán variables que almacenarán los tiempos de la primera tarea y el final de la última. De esta forma, el modelo quedaría de la siguiente forma: 133

16 Hacer cero variables binarias tipo d y d1. Se tiene que obligar hacer cero las variables binarias del tipo d en el caso de los AIM s; y del tipo d1 en el caso de los computadores y sistemas de distribución, siendo éstas acotadas por los valores de C mat y C mat1 respectivamente. El modelo y el código serían los siguientes: Restricciones entre tareas y AIM s. Por otra parte hay que impedir que dos tareas que usan el mismo AIM s, se puedan hacer al mismo tiempo. De esta forma el modelo y el código serían el siguiente: 134

17 De forma parecida a lo que se acaba de plantear para el caso de los AIM s tiene que hacerse con los computadores y los sistemas de distribución. En este caso de usar los mismos, tareas distintas, implicaría que son compatibles. De esta forma: 135

18 Declaración de variables binarias. Se tienen que declarar como variables binarias del modelo todas las que se muestran a continuación: 136

19 Cálculos auxiliares interesantes. Por último, se quiere tener una idea de la cantidad de recursos que se está utilizando en cada momento. Para ello, se hará una suma en cada línea de las tareas que se han realizado al 100%, con la variable SumaF1, de las realizadas al 200%, variable SumaF2, al 300%, SumaF3, al 400%, SumaF4, y al 500%, SumaF5. La forma de modelar esto es la siguiente: 137

20 Función objetivo. Por último, hay que preparar la función objetivo del problema. Puesto que lo que se quiere es minimizar el tiempo en el que se realicen todas las tareas, habrá que establecer dos criterios a la función objetivo para que todo cuadre. El primero, será que la función objetivo, tendrá que tener una duración mayor que el tiempo de fin de las últimas tareas de cada línea y fila de forma independiente. En segundo lugar, hay que minimizar esa duración. Es decir, el primer criterio, lo que establece es un tipo de restricción, puesto que el problema no podrá tener nunca una duración inferior a lo que se dedicaría en realizaran las tareas de la fila, de mayor duración, de forma consecutiva. El segundo criterio, si es lo que de verdad se quiere alcanzar, la mínima duración para realizar todas y cada una de las tareas. Esto se plasma de la siguiente forma: 138