Modelos de Transporte: Problemas de asignación n y de transbordo. M. En C. Eduardo Bustos Farías

Transcripción

1 Modelos de Transporte: Problemas de asignación n y de transbordo M. En C. Eduardo Bustos Farías as

2 Problemas de Asignación 2

3 Problemas de Asignación: Son problemas balanceados de transporte en los cuales todas las ofertas y todas las demandas son iguales a 1. Consiste en determinar la asignación óptima de agentes u objetos indivisibles a n tareas. Son indivisibles en el sentido de que ningún n agente se puede dividir en varias tareas. La restricción n importante, para cada agente, es que será designado a una y solo una tarea. 3

4 Uno de los problemas que utilizan el modelo de transporte, es el de asignación, n, el cual se refiere a la disposición n de algunos recursos (equipos o personas) para la realización n de ciertos productos o tareas a un costo diferenciado. El problema consiste en minimizar los costos por asignación n de recursos para el desempeño o de actividades. 4

5 Problemas de Asignación Definición n del Problema * m trabajadores deben ser asignados a m trabajos. * Un costo unitario (o ganancia) C ij es asociado al trabajador i que realizara el trabajo j. * Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la l asignación n de trabajadores a sus respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la óptima posible.

6 EJEMPLO 1 Electrónica Ballston Problema de asignación 6

7 Electrónica Ballston Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas de producción n que necesitan ser inspeccionadas. El tiempo para realizar una buena inspección n de un área de pende de la línea l de producción n y del área de inspección. n. La gerencia desea asignar diferentes áreas de inspección n a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mínimo. m

8 Datos * Tiempo de inspección n en minutos para la línea l de ensamble de cada área de inspección. n. Area de Inspección A B C D E Linea Ensamble

9 RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA Línea de ensamble S 1 =1 1 Área de Inspección A D 1= 1 S 2 =1 2 B D 2 =1 S 3 =1 3 C D 3 =1 S 4 =1 4 D D 4 =1 S 5 =1 5 E D 5 =1

10 Supuestos restricciones * El número n de trabajadores es igual al número n de empleos. * Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es asignado sólo s una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo trabajador. * Para un problema desbalanceado se debe agregar un trabajador ficticio (en el caso de que existan más m s trabajos que trabajadores) o un empleo ficticio (en el caso de que existan más s trabajadores que trabajos), quedando así el problema balanceado.

11 Solución n mediante el método m Problema: Húngaro El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias etarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Además s los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla: Capítulos Secretaría a Juana María Jackeline Edith

12 Restricciones del MétodoM * Solo problemas de minimización. n. * Número N de personas a asignar m es igual al número n de lugares m. * Todas las asignaciones son posibles * Una asignación n por persona y una persona por asignación Matriz de Costos Capítulos Secretaría a Juana María Jackeline Edith

13 Restar el Menor valor de cada fila Capítulos Secretaría a Juana María Jackeline Edith Restar el menor valor de cada columna en la matriz anterior Capítulos Secretaría a Juana María Jackeline Edith

14 Trazar el mínimo m número n de líneas l que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior. Capítulos Secretaría a Juana María Jackeline Edith Si el número n de líneas l es igual al número n de filas se esta en la solución óptima, sino identificar el menor valor no rayado restarselo a los demás s números n no rayados y sumarlo en las intersecciones. Pare este caso corresponde al valor 2

15 Capítulos Secretaría a Juana María Jackeline Edith Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0 Juana Cap.. 13 María Cap.. 16 Jackeline Cap.. 15 Edith Cap.. 14 *Costo Asignación: n: =410

16 Casos especiales * Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en particular * Cuando un trabajador puede ser asignado a más m s de un trabajo. * Un problema de maximización.

17 EJEMPLO 2 PROBLEMA DE ASIGNACIÓN 17

18 La gerencia general de una compañí ñía, como parte de su auditoria anual, decidió que cada uno de los cuatro vicepresidentes visite e inspeccione una de las 4 plantas durante las 2 primeras semanas de octubre. 18

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20 SOLUCIÓN 20

21 Solución Enumeración n completa Usar el método m húngaroh a) Por enumeración n completa, se hace una lista de las posibles soluciones, se calcula su costo asociado y se escoge la mejor. F = vicepresidente de finanzas M = vicepresidente de mercadotecnia O = vicepresidente de operaciones P = vicepresidente de personal 21

22 F puede asignarse a cualquiera de las 4 plantas M puede enviarse a cualquiera de las 3 plantas restantes O puede enviarse a cualquiera de las 2 planta restantes P se asigna a la única planta disponible 22

23 b) Método M HúngaroH 23

24 Pasos del método m húngaro: h 1. Reducción n en renglones: Elabore una nueva matriz eligiendo el costo mínimo m de cada renglón n y restándolo de cada costo de ese renglón. n. 2. Reducción n en columnas: Elija el elemento de costo mínimo m en cada columna y réstelo r a cada elemento de la columna. 3. Determine si la matriz es reducida: Encuentre el número n mínimo m de líneas l rectas que se pueden trazar sobre los renglones y las columnas para cubrir todos los ceros. Si este número n es igual al de los renglones (o columnas), se dice que la matriz es reducida. Continúe e al paso 5. Si el número n de rectas es menor que el de renglones (o columnas) continúe e con el paso 4. 24

25 Pasos del método m húngaro: h 4. Reducciones posteriores: Encuentre la menor de las celdas no cubiertas (sin línea l recta). Reste el valor de esta celda a todas las celdas no cubiertas. Agréguelo guelo al valor de las celdas que se encuentran en las intersecciones de las restas dibujadas en el paso Localización n de la solución óptima: Las celdas de costo cero se eligen, una por columna y renglón n a fin de hallar una asignación óptima. Se suman los sotos originales de las celdas con asignación n para saber el costo total. 25

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29 Formulación n matemática tica del modelo de Asignación 29

30 Existen n personas las cuales pueden desempeñar cualquier actividad de un conjunto de n actividades y conocemos el costo cij de asignación n de la actividad i a la persona j. i = 1,,, m j = 1,,, n El problema es determinar de todas las asignaciones posibles las de costo total mínimo. 30

31 1. Variables de decisión: xij = 1, si la actividad i es asignada a la persona i 0, si i no es asignada a j 2. Función n objetivo: Mín m Z = 1C x ij ij 1 n i= j= 31

32 3. Restricciones: 32