RESOLVER PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL POR METODO SIMPLEX

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1 RESOLVER PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL POR METODO SIMPLEX Prof. MSc. Julio Rito Vargas Otro ejemplo ================================================================================ Resolver por el método Simplex, el problema de programación lineal que se indica: Max = 100X X 2 s. a: X 1 + X X 1 +2 X Función Objetivo Restricciones del problema X 1 0 X 2 0 Restricciones de no negatividad Solución paso a paso: 1. Convertimos las restricciones que son inecuaciones en ecuaciones, para lo cual en cada inecuación introducimos una variable nueva en el lado izquierdo, dado que partimos que si los lados izquierdos son menores o iguales que los lados derechos, al introducir un valor adecuado logramos igualdad total, pero como ese valor no lo conocemos lo hacemos a través de variables. Las variables que vamos a introducir son llamadas variables de holgura. Una vez que incorporamos las variables en las restricciones, también deben ser añadidas en la función objetivo con coeficiente cero, esto para que no afecten o alteren el valor de optimización real del modelo matemático original. Por lo que la ecuación quedará como se muestra a continuación. Max = 100X X 2 + 0X 3 + 0X 4 Función Objetivo modificada s. a: X 1 + X 2 + X 3 = X X 2 +X 4 = 124 Las restricciones del problema al introducir las variables de holgura, se convierten en ecuaciones. X 1 0 X 2 0 X 3 0 X 4 0 Las variables de holgura deben ser mayores o iguales a cero. 2. La función objetivo se modifica expresándola de manera que todas las variables queden al lado izquierda junto con z, lo cual se verá como sigue. 1

2 Max - 100X X 2 + 0X 3 + 0X 4 = 0 s. a: X 1 + X 2 + X 3 = X 1 + 2X 2 +X 4 = 124 X 1 0 X 2 0 X 3 0 X Una vez que el modelo matemático a resolver lo hemos expresado como se ve en el paso 2. Procedemos a trasladar los coeficientes en un Tabloide llamada Tabloide del Simplex o tabla del Simplex. Variables Básicas (VB) Variables del modelo VB x1 x2 x3 x4 LD X X Tabla Simplex inicial Lado Derecho (LD) En la primer fila se ubica el encabezado de la tabla del Simplex que está formado por la columna de las Variables Básicas (VB), luego todas las variables del modelo (variables originales del modelo más las variables de holgura incorporadas) y por último la columna de los valores del lado derecho de las ecuaciones del modelo. Columna 1: Debajo del encabezado de VB se pone la variable (variable de optimización) y las casillas debajo de esa columna lo conformaran las variables de holguras que introdujimos al modelo en el orden en que las incorporamos, ellas serán las Variables Básicas con que inicia el Simplex. Columna 2: Correspondiente a la variable X 1 se escriben los coeficientes de todos los X 1 de Columna 3: Correspondiente a la variable X 2 se escriben los coeficientes de todos los X 2 de Columna 4: Correspondiente a la variable X 3 se escriben los coeficientes de todos los X 3 de Columna 5: Correspondiente a la variable X 4 se escriben los coeficientes de todos los X 4 de 2

3 Columna 6: Correspondiente al Lado Derecho (LD), se escriben los valores de los lados derechos de todas las ecuaciones del modelo y se escriben en el orden en que están las ecuaciones. En las ecuaciones de restricción que no tengan una variable o más de una, para efectos de llenar los coeficientes en la tabla del Simplex, se escribe(n) cero(s). De esa manera se llena la tabla que hemos llamada la Tabla Simplex Inicial. Ahora comenzaremos con las iteraciones o transformaciones que nos conducirán a la solución del problema por el método simplex. 4. Proceso de Iteraciones Iteración 1: Entrará a las Variables Básicas Fila 1 Fila 2 Fila 3 VB x1 x2 x3 x4 LD X X Saldrá de las variables básicas. Para iniciar la primera iteración nos ubicamos en la fila 1 que inicia con y observamos los coeficientes debajo de las variables X 1,X 2,,X 4, poniendo nuestro interés en los valores negativos y podremos observar que hay dos: -100 y -200 elegimos siempre el valor más pequeño o más negativo siendo Marcamos la columna donde encontramos el valor más negativo de la fila 1. Esto nos indica que la variable X 2 entrará a ser variable básica. Los valores 1 y 2 son los coeficientes debajo de la variable X 2 estos valores serán divisores de los lados derechos en cada fila correspondiente es decir 80/1; 124/2; luego elegimos el mínimo de los cocientes: mínimo {80,62} = 62. Esto significa que el mínimo se encontró en la fila 3. Significa que la variable básica X 4 saldará y será reemplazada por X 2. Marcamos la fila donde encontramos el mínimo de los cocientes de {80,124} que como vimos es 62. Ahora que hemos marcado la fila y la columna resulta que la casilla de intersección es 2. A ese valor le llamaremos número pivote. El número pivote lo convertimos en 1. Como es 2, tendremos que dividir toda la fila 3 por 2. Los resultados los vemos en la fila 3 de la tabla del simplex siguiente. 3

4 Fila 1 Fila 2 Fila 3 VB X1 X2 X3 X4 LD X X Los valores restantes de la columna pivote (X 2) deben convertirse en cero. Para lo cual haremos los siguientes cálculos: f2 f3 f2 (de f2 restar f3 y dejar el resultado en f2) f *f3f1 ( f1 sumarlo de 200 por f3 y dejar el resultado en f1) Los resultados de estos cálculos los vemos en la tabla Simplex que se muestra a continuación. VB X1 X2 X3 X4 LD X 3 X Iteración 2: Ahora que hemos terminado la primera iteración, observamos la tabla del Simplex que ha resultado. Poniendo nuestra atención en la fila1. Observamos que uno de los coeficientes debajo de las variables X1, X2,,X4. Es negativo por lo que debemos volver hacer una nueva Iteración (es decir demos iterar mientras en la fila 1 hayan valores negativos). Entrará como Variable Básica VB X1 X2 x3 x4 LD X X Saldrá de las variables básicas para ser reemplazada por X 1 Los valores 0.6, y 0.4 son los coeficientes debajo de la variable X 1 estos valores serán divisores de los lados derechos en cada fila correspondiente, es decir 18/0.6; 62/0.4; luego elegimos el mínimo de los cocientes: mínimo {30,155} = 30. Esto 4

5 significa que el mínimo se encontró en la fila f2.. Significa que la variable básica X 3 saldará y será reemplazada por X 1. Marcamos la fila donde encontramos el mínimo de los cocientes de {30,155} que como vimos es 30. Ahora que hemos marcado la fila y la columna resulta que la casilla de intersección es 0.6. Ese valor le llamaremos número pivote. El número pivote lo convertimos en 1. Como es 0.6, tendremos que dividir toda la fila 2 por 0.6. Los resultados los vemos en la fila 2 de la tabla del simplex siguiente. VB X1 X2 x3 x4 LD X 1 X Los valores restantes de la columna pivote (X 1) deben convertirse en cero. Para lo cual haremos los siguientes cálculos: o f3-*f2 f2 (de f3 restar f2 y el resultado dejarlo en f2) o f1+ 20*f2f1 ( f1 sumarlo con 20 por f2 y el resultado dejarlo en f1) Los resultados de estos cálculos los vemos en la tabla Simplex que se muestra a continuación. VB X1 X2 X3 X4 LD X1 X Como en la fila 1, o fila de ya no hay coeficientes con valores negativos entonces hemos llegado a la solución óptima. La cual se obtiene de la siguiente manera: el valor = 13,000 (lado derecho de la primer fila); la variable X 1 = 30 (lado derecho en la fila 2); la variable X 2=50 (lado derecho de la fila 3). Si retomamos la Función Objetivo original Max = 100X X 2 Sustituimos los valores X 1=30; X 2=50 Max = 100* *50 = ,000= 13,000 5

6 Max =13,000 Por lo tanto la solución óptima es la Indicada. Hay un valor máximo para un X 1=30 y un X 2=50 6