Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

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1 UNIVERSIDD NCIONL DE COLOMI SEDE MEDELLÍN CULTD DE CIENCIS-ESCUEL DE ÍSIC ÍSIC MECÁNIC MÓDULO # 17: DINÁMIC DE L PRTÍCUL TRJO Y ENERGÍ (I)- Diego Luis ristizábal R., Roberto Restrepo., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de ísica de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín 1 Temas Introducción Trabajo Potencia Máquinas simples Energía cinética: principio del trabajo y la energía Introducción Para el estudio de la dinámica de un cuerpo, la física emplea fundamentalmente tres metodologías: La segunda ley de Newton: a través de la relación fuerza y aceleración. El principio del trabajo y la energía: a través de la relación fuerza, velocidad y posición (no es necesario determinar la aceleración). Se fundamenta en la integral fuerza-posición. El principio del impulso y la cantidad de movimiento: a través de la relación fuerza, velocidad y tiempo (no es necesario determinar la aceleración). Se fundamenta en la integral fuerza-tiempo. Hasta esta parte del curso se ha empleado el primer método. En este módulo se empleará el segundo método. El tercer método se tratará en otro módulo posterior (módulo # 19). Trabajo Considerar una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria desde la posición hasta la posición. Sea una fuerza que actúa sobre la partícula (no necesariamente la fuerza resultante o total, sino una de las fuerzas que actúa sobre ella). En una posición general, es el ángulo entre los vectores, fuerza, y V, velocidad de la partícula, igura 1. Sea s la longitud de arco medida a través de la curva desde hasta la posición general. El trabajo hecho por una fuerza, que actúa sobre una partícula, a lo largo de una trayectoria, entre las posiciones y, se define como, W = dr [1] Esta expresión se conoce con el nombre de integral del trabajo.

2 2 Como dr = ds y se puede escribir como sigue, igura 1 cosφ = T corresponde a la componente tangencial de la fuerza, la integral de trabajo W = dr = ds cosφ = cosφ ds = T ds W = ds [2] T De la definición de trabajo se obtienen las siguientes conclusiones: El trabajo es una magnitud ESCLR. La unidad de trabajo en el SI es N.m que recibe el nombre de Joule (J). Las fuerzas ortogonales al desplazamiento no realizan trabajo. El trabajo realizado por una fuerza puede ser positivo, negativo o cero. El área bajo la curva T vs s es el trabajo realizado por la fuerza, igura 2. igura 2

3 Trabajo realizado por una fuerza constante En la igura 3 se ilustra un estudiante halando con una cuerda un bloque para desplazarlo desde una posición hasta una posición. La fuerza que ejerce es, su magnitud es constante y su dirección siempre forma un ángulo con la horizontal. Como se observa adicionalmente actúan otras fuerzas sobre el bloque: la fricción f la fuerza de gravedad P y la normal N. En la figura también se ilustra el sistema de coordenadas elegido y el diagrama de fuerzas sobre el bloque. El marco de referencia elegido es el piso, y es inercial. 3 igura 3 Se desea calcular el trabajo realizado sólo por la fuerza para desplazar el bloque desde la posición hasta la posición. Para esto se aplica la integral de trabajo, ecuación [1], W = dr ˆ ˆ x y ˆ ˆ W = i + j dx i + dy j W = dx x x W = dx W = x x-x W = x d [3a] o equivalente W = d cosφ [3b]

4 Es decir, para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante, simplemente se multiplica el valor de la magnitud de la componente de la fuerza en dirección tangencial (o sea en la dirección del movimiento) por la distancia que se mueve su punto de aplicación. La interpretación gráfica se ilustra en la igura 4. 4 igura 4 Ejemplo 1 El bloque de la igura 3 se desplaza con velocidad constante. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre las superficies en contacto es 0,200, la masa del bloque es 10,0 kg y el ángulo es 30 o, calcular el trabajo realizado por cada fuerza para desplazar el bloque 5,00 m y el trabajo total. Solución: Primero se calculará el valor de la fuerza. Para esto se aplicará la primera ley de Newton. = 0 cosφ - f = 0 [1] y x = 0 senφ + N - mg = 0 [2] dicionalmente, f = μkn [3] Reemplazando los valores correspondientes en las ecuaciones [1], [2] y [3] se obtiene, = 20,3 N N = 87,8 N f = 17,6 N P = 98,0 N continuación se calcula el trabajo realizado por cada una de estas cuatro fuerzas: El trabajo realizado por el peso y la normal es nulo, ya que son perpendiculares al desplazamiento. El trabajo realizado por la fuerza de fricción,

5 f W = - f d = - 17,6 N 5,00 m = - 88,0 J El signo menos se debe a que la fuerza se opone al desplazamiento: esto se deduce al aplicar la fórmula f o completa de trabajo de una fuerza constante: W = f d cos180 = - fd. El trabajo realizado por la fuerza es: W = x d = d cosφ 5 o W = 20,3 N 5,00 m cos 30 = 87,9 J El trabajo total es Total P N f W = W + W + W + W = - 88,0 J + 87,9 J 0 J Cuando el cuerpo se mueve con velocidad constante desde un marco de referencia inercial el trabajo total debe dar cero: esto se mostrará más adelante. Trabajo realizado por una fuerza variable Una fuerza variable de mucha aplicación es la ejercida por un resorte, igura 5. Para realizar bien este análisis se ilustra también en la figura, el eje coordenado elegido y el diagrama de fuerzas: N es la fuerza normal, P es el peso del bloque, f la fuerza de rozamiento, r la fuerza que ejerce el resorte sobre el bloque y s la fuerza que ejerce él sobre el bloque. La idea es calcular el trabajo realizado por la fuerza del resorte para desplazar el bloque desde la posición hasta la posición. igura 5

6 La fuerza r obedece la ley de Hooke y por lo tanto se cumple que, r = kx = - kx ˆi r En donde k corresponde a la constante de rigidez del resorte. Por lo tqnto su trabajo es, x ˆ ˆ x r W = - kx i dx i 6 x r W = - x kx dx r W = kx - kx [4] 2 2 En la igura 6 se ilustra la interpretación gráfica de este resultado (se ilustra en valor absoluto, es decir r = kx ). Ejemplo 2 igura 6 Una partícula se mueve en línea recta bajo la acción de una fuerza x que varía con la posición tal como se ilustra en la igura 7. Determinar el trabajo realizado por la fuerza para desplazar la partícula desde x 0 m hasta x 12 m.

7 7 igura 7 Solución: El trabajo corresponde al área bajo la curva x vs x. Por lo tanto, x 1 1 W = 8,5 m6 N - 3,5 m2 N = 22 J 2 2 Potencia La potencia desarrollada por una fuerza se define como el trabajo realizado por esta en la unidad de tiempo, P = dw dt [5a] También se puede escribir así, dr P = V [5b] dt La potencia media, es el cociente entre el trabajo realizado por la fuerza y el tiempo empleado en realizarlo, W P = [6] t La unidad de potencia en el SI es J.s -1 =W, denominada Watt (traducida como Vatio, aunque esto no es permitido). Otras unidades de potencia muy utilizadas son: Caballo uerza (Horse Power, HP), 1 HP= 745,7 W. Caballo Vapor (CV), 1CV= 735,5 W.

8 Ergio/s= 10-7 W. Kiligrametro (kgm)/s=9,80 W. Ejemplo 3 Si en el ejemplo 1 el desplazamiento de los 5,00 m se realizó en 2,0 s calcular la potencia desarrollada por. Solución: 8 P = 87,9 J 2 s = 43,95 W Máquinas simples Nota: en esta sección se empelará la misma nomenclatura que se empleó en el módulo 9 sobre máquinas simples. Para comprender lo tratado aquí se debe repasar ese módulo. En el módulo 9 se trataron las máquinas simples desde el punto de vista de la ley de inercia. En este módulo se tratarán desde el punto de vista del trabajo y la potencia. Para calcular la ventaja mecánica ideal se despreciarán las fuerzas de rozamiento en cuyo caso se puede concluir que: La potencia desarrollada a la entrada de la máquina es igual a la potencia desarrollada a la salida de la máquina. Ya que la fuerza de entrada y la fuerza de salida actúan en el mismo intervalo de tiempo, se puede decir también que, El trabajo realizado por la fuerza de entrada de la máquina es igual al trabajo realizado por la fuerza de salida de la máquina. Estos conceptos llevan a concluir que si la máquina aumenta la magnitud de la fuerza (o mejor, >), debe disminuir su desplazamiento en la misma proporción : por ejemplo si =2, para que desplace un cuerpo en una cantidad x, se debe desplazar una cantidad 2x; "si se gana en magnitud de fuerza, se pierde en la misma proporción en magnitud del desplazamiento". Ejemplo 1 Hallar la ventaja mecánica ideal de la máquina simple (polea fija) de la igura 8. Solución: Como la longitud de la cuerda es constante se tiene que, y + y = constante Por lo tanto sus desplazamientos cumplen que,

9 9 igura 8 Δy = - Δy (1) Como idealmente, W = W Entonces, Δy = Δy (2) Combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene, = hora la ventaja mecánica ideal se define como, VMI = y por lo tanto la ventaja mecánica ideal de esta máquina simple (polea fija) es, VMI = 1

10 Ejemplo 2 Hallar la ventaja mecánica ideal de la máquina simple (polea móvil) de la igura igura 9 Solución: Como la longitud de las cuerdas son constantes se tiene que, y + y - y = constante P p y - y = constante P Combinando estas dos ecuaciones, 2y - y = constante Por lo tanto sus desplazamientos cumplen que, 2 Δy = Δy (1) Como idealmente, W = W

11 Entonces, Δy = Δy (2) Combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene, = 2 11 hora la ventaja mecánica ideal se define como, VMI = y por lo tanto la ventaja mecánica ideal de esta máquina simple (polea móvil) es, VMI = 2 Ejemplo 3 Hallar la ventaja mecánica ideal de la máquina simple (polipasto) de la igura 10. igura 10 Solución: Como la longitud de las cuerdas son constantes se tiene que, y + y + y = constante P p

12 y - y = constante P Combinando estas dos ecuaciones, 2y + y = constante Por lo tanto sus desplazamientos cumplen que, 2 Δy = - Δy (1) 12 Como idealmente, W = W Entonces, Δy = Δy (2) Combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene, = 2 hora la ventaja mecánica ideal se define como, VMI = y por lo tanto la ventaja mecánica ideal de esta máquina simple (polea móvil) es, VMI = 2 Ejemplo 4 Hallar la ventaja mecánica ideal de la máquina simple (plano inclinado) de la igura 11. igura 11

13 Solución: Si la fuerza desplaza su punto de aplicación Δx, la fuerza lo desplaza Δx senφ y por lo tanto, W = W Δx = Δx senβ 13 1 L VMI = = = senβ H Energía cinética: principio del trabajo y la energía Supóngase que la fuerza de la igura 1 es el resultado de la suma de TODS las fuerzas que actúan sobre la partícula. En este caso se aplica la segunda ley de Newton, = ma Por lo tanto el trabajo total de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a, Total dv ds W = dr tangencial ds = m ds = m dv mvdv dt dt 1 1 W = mv - mv 2 2 Total 2 2 Se define como energía cinética de una partícula a, 1 K = mv 2 2 y por lo tanto, Total W = K - K [7a] Total W = K [7b] Es decir, dado un marco de referencia inercial el trabajo realizado por la fuerza total o resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula (o sea el trabajo total), es igual al cambio en su energía cinética. Ejemplo 5 En el ejemplo 1 la partícula se mueve con velocidad constante, por lo tanto su energía cinética inicial y su energía cinética final son iguales y como consecuencia el trabajo total es NULO.

14 Taller Trabajo y potencia 1. Un bloque de 2,50 kg de masa es empujado 2,20 m a lo largo de una mesa horizontal sin fricción por una fuerza constante de 16,0 N dirigida 25,0 0 debajo de la horizontal, igura 1. Encontrar el trabajo efectuado por: (a) la fuerza aplicada, (b) la fuerza normal ejercida por la mesa, (c) la fuerza de gravedad, y (d) la fuerza neta sobre el bloque (es decir el trabajo total). Rp: (a) 31,9 J (b) 0 (c) 0 (d) 31,9 J 14 igura 1 2. Calcular el trabajo realizado por un hombre que arrastra un cuerpo de 65,0 kg por 10,0 m a lo largo del piso con una fuerza de 25,0 kgf y que luego lo levanta con velocidad constante hasta un camión cuya plataforma está a 75,0 cm de altura. Cuál es la potencia promedio desarrollada por el hombre si el proceso entero tomó 2 minutos? Rp: J; 24,4 W. 3. Una partícula se mueve en línea recta bajo la acción de una fuerza x que varía con la posición tal como se ilustra en la igura 2. Determinar el trabajo realizado por la fuerza para desplazar la partícula desde x 0 m hasta x 15 m. Si este trabajo fue realizado en 2,0 s, cuál es la potencia promedio desarrollada. Rp: 30 J; 15 W. igura 2

15 Máquinas Simples 4. Demostrar por el método de energía que la ventaja mecánica ideal de la máquina simple de la igura 3 es igura 3 5. Demostrar por el método de energía que la ventaja mecánica ideal de la máquina simple de la igura 5 es 3. igura 5