Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO # 8: EJEMPLOS SOBRE ESTÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín 1 Temas Recordar el protocolo a seguir para realizar un análisis mecánico de un sistema Ejemplos. Recordar el protocolo a seguir para realizar un análisis mecánico de un sistema Para realizar el estudio del movimiento de un cuerpo (o conjunto de cuerpos) se recomienda seguir el siguiente protocolo: 1. Hacer una representación clara y simple (es decir, muy esquemática) de la escena física. 2. Definir el marco de referencia inercial. 3. Definir los ejes coordenados con su respectivo origen y orientación. 4. Elegir el sistema mecánico (o sistemas mecánicos) que se analizarán. 5. Dibujar aparte los diagramas de fuerza del sistema mecánico (o sistemas mecánicos) que se analizan: se debe tener mucho cuidado en representar solo las fuerzas externas que actúan sobre el sistema mecánico. 6. Aplicar las leyes de Newton en los ejes y direcciones elegidos. 7. Resolver algebraicamente las ecuaciones. 8. Encontrar las soluciones numéricas con sus unidades. 9. Analizar la coherencia del resultado. Ejemplos Ejemplo 1 Un cuerpo de peso W descansa en una barra AB según la Figura 1. El cable que conecta W con B pasa sobre poleas ideales. Si la barra AB se considera de peso despreciable, demostrar que la reacción en A es, L-a R= W L+a

2 2 Figura 1 Solución: 1. Representación de la escena física, Figura Marco de referencia inercial: el piso. 3. Ejes coordenados elegidos: como se tiene el cuerpo en reposo, la elección del origen de los ejes no tiene mucha importancia (cualquiera es igual); por esto para no recargar la Figura 2, se dibujará los ejes, por ejemplo, a un lado y fijo al piso. Observar que el eje z sale ortogonalmente de la hoja. Figura 2 4. Sistema mecánico (S): el cuerpo con la barra, Figura 3 (encerrado en cuadro de línea punteada). Figura 3

3 5. Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 4. La fuerza W es el peso del cuerpo (fuerza de atracción gravitacional que ejerce el planeta Tierra sobre el cuerpo: recordar que a la barra se le está despreciando el peso), R fuerza vertical que ejerce el pasador sobre la barra: en general un pasador liso aportaría también una fuerza horizontal, pero en este caso se observa que sería cero debido a la distribución del resto de fuerzas: todas son verticales), T es la tensión en la cuerda (en forma más precisa la reacción a ésta: recordar adicionalmente que al ser las cuerdas y las poleas ideales la tensión se transmite íntegramente a todas las secciones de cuerda). 3 Figura 4 6. Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido. Aquí será necesario plantear tanto el equilibrio de traslación como el de rotación. Equilibrio de traslación: F = 0 T + T - W + R = 0 [1] y Equilibrio de rotación: Se escogió el punto B para el cálculo de los torques, Figura 5 (en la Figura se ilustra el sentido de los torques). B τ = 0 T L-a - W L-a + RL = 0 [2] Figura 5

4 7. Combinando las ecuaciones [1] y [2] se obtiene, L-a R= W L+a 8. Observar que si a=0, R=W y la tensión T=0 (recordar que a la barra se le está despreciando el peso). 4 Ejemplo 2 Un estudiante aplica una fuerza vertical de 100 kgf a una varilla PQ de peso despreciable que está apoyada en A sobre un pasador liso y soportada por una cuerda PNQ que pasa por una polea ideal. Calcular la tensión en el cable y la fuerza de reacción en el pasador. Las dimensiones se especifican en la Figura 6. Figura 6 Solución: 1. Representación de la escena física, Figura Marco de referencia inercial: el piso. 3. Ejes coordenados elegidos: ver Figura 7. Observar que el eje z sale ortogonalmente de la hoja. Figura 7

5 4. Sistema mecánico (S): la barra, Figura 8 (encerrado en cuadro de línea punteada). 5 Figura 8 5. Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 9. T 1 y T 2 las fuerzas de tensión de la cuerda (o mejor, las reacciones a esta: recordar que como la cuerda es ideal T 1 =T 2 =T), Rx y Ry las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el pasador liso sobre la barra (intencionalmente se les asignó los sentidos que tienen en la figura, pero al final de los cálculos se mostrará que tienen sentidos opuestos a éstos), F la fuerza que ejerce el estudiante. En el diagrama de la derecha de la Figura 9, se ilustra las componentes rectangulares de T 1 y T 2. Figura 9 6. Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido. Aquí será necesario plantear tanto el equilibrio de traslación como el de rotación. Equilibrio de traslación: F = 0 T - T + R = 0 [1] x 1x 2x x F = 0 T + T + R + F = 0 [2] y 1y 2 y y

6 Equilibrio de rotación: Se escogió el punto P para el cálculo de los torques, Figura 10 (en la Figura se ilustra el sentido de los torques). 6 y τ = 0 R a T 3a = 0 [3] P y 2 Se sabe que, Figura 10 o o o o T =Tcos 30 T =Tsen 30 T =Tcos 60 T =Tsen 60 1x 1y 2x 2y 7. Resolviendo con esta información las ecuaciones simultáneas [1], [2] y [3] se obtiene, T=81,1 kgf R =-29,7 kgf R =-211 kgf x y Es decir los sentidos de Rx y Ry son opuestos a los asignados (las magnitudes de los vectores siempre son positivas). Ejemplo 3 Una barra AB de longitud L y peso W, está soportada por un pasador en A y una cuerda en B. Sostiene una carga de peso P suspendida de su extremo. Hallar la tensión en la cuerda y las componentes de la reacción en A. Figura 11

7 Solución: 1. Representación de la escena física, Figura Marco de referencia inercial: el piso. 3. Ejes coordenados elegidos: ver Figura 12. Observar que el eje z sale ortogonalmente de la hoja 7 Figura Sistema mecánico (S): la barra con el bloque suspendido de ella, Figura 13 (encerrado en cuadro de línea punteada). Figura Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 14. T la fuerzas de tensión de la cuerda (o mejor, las reacción a ésta), Rx y Ry las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el pasador liso sobre la barra, W el peso de la barra y P el peso del cuerpo que cuelga de ésta.

8 8 Figura Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido. Aquí será necesario plantear tanto el equilibrio de traslación como el de rotación. Equilibrio de traslación: F = 0 R - T = 0 [1] x x x F = 0 R + T - W - P = 0 [2] y y y Equilibrio de rotación: Se escogió el punto A para el cálculo de los torques, Figura 15 (en la Figura se ilustra el sentido de los torques). Figura 15 L τ A = 0 - W - PL + Ty L = 0 [3] 2 Se sabe que, x y T =Tcos φ T =Tsen φ 7. Resolviendo con esta información las ecuaciones simultáneas [1], [2] y [3] se obtiene, W+2P W+2P T= R x = 2sen φ 2tan φ W R y = 2

9 Ejemplo 4 Una escalera de longitud L y peso W, está apoyada en un muro vertical liso y en un piso rugoso, con coeficiente estático de fricción µ, Figura 16. Hallar el mínimo ángulo para que la escalera pueda estar en equilibrio. 9 Figura 16 Solución: 1. Representación de la escena física, Figura Marco de referencia inercial: el piso. 3. Ejes coordenados elegidos: ver Figura 17. Observar que el eje z sale ortogonalmente de la hoja Figura Sistema mecánico (S): la escalera. 5. Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 18. N A y f las fuerzas de normal y de fricción que ejerce el piso sobre la escalera, N B la fuerza normal que ejerce la pared y W el peso de la escalera.

10 10 Figura Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido. Aquí será necesario plantear tanto el equilibrio de traslación como el de rotación. Equilibrio de traslación: F = 0 N - f = 0 [1] y x A B F = 0 N - W = 0 [2] Equilibrio de rotación: Se escogió el punto A para el cálculo de los torques, Figura 19 (en la Figura se ilustra el sentido de los torques). Figura 19 L τ A = 0 W cosφ - NBLsenφ = 0 [3] 2 Se sabe que para movimiento inminente (con este argumento se calcula el min para el cual la escalera se mantenga en equilibrio), A f = μn 4

11 7. Resolviendo las ecuaciones simultáneas [1], [2], [3] y [4] se obtiene, φ = tan min μ Observar que a mayor µ, min es menor, es decir, más acostada podrá estar la escalera. Adicionalmente, si el piso es liso (µ=0) sería imposible el equilibrio de la escalera. Ejemplo 5 11 Una escalera uniforme de 4,00 m de longitud se apoya en una pared vertical lisa, encontrándose su extremo inferior a 1,00 m de la pared como se indica en la Figura 20. La escalera tiene un peso de 30,0 kgf y un hombre que pesa 70,0 kgf se encuentra de pies en un punto C a 1,00 m del piso, medido a lo largo de la escalera. Calcular la fuerza que ejerce el muro vertical sobre la escalera y las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el piso sobre la escalera. Figura 20 Solución: 1. Representación de la escena física, Figura Marco de referencia inercial: el piso. 3. Ejes coordenados elegidos: ver Figura 21. Observar que el eje z sale ortogonalmente de la hoja 4. Sistema mecánico (S): la escalera con el señor.

12 12 Figura Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 22. N A y f las fuerzas de normal y de fricción que ejerce el piso sobre la escalera, N B la fuerza normal que ejerce la pared, P e el peso de la escalera y P h el peso del señor. Figura Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido. Aquí será necesario plantear tanto el equilibrio de traslación como el de rotación. Equilibrio de traslación: F = 0 N - f = 0 [1] x y A e h B F = 0 N - P - P = 0 [2] Equilibrio de rotación: Se escogió el punto A para el cálculo de los torques, Figura 22 (en la Figura se ilustra el sentido de los torques). L τ A = 0 Pe cosφ + Ph bcosφ - NB Lsenφ = 0 [3] 2 7. Sabiendo que L=4,00 m, b=1,00 m y =77,96 o y resolviendo con esta información las ecuaciones simultáneas [1], [2], [3], se obtiene,

13 NB 8,00 kgf f 8,00 kgf N A=100 kgf Ejemplo 6 En la Figura 23 ilustra una barra de peso P que se introduce en una superficie lisa semiesférica. Si la longitud de la barra es igual a tres veces su radio, calcular el ángulo para que esté en equilibrio. 13 Figura 23 Solución: 1. Representación de la escena física, Figura Marco de referencia inercial: el piso. 3. Ejes coordenados elegidos: ver Figura 24. Observar que el eje z sale ortogonalmente de la hoja Figura Sistema mecánico (S): la barra. 5. Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 25. N 1 y N 2 son las fuerzas normales que ejerce la superficie semiesférica sobre la barra y P el peso de la barra.

14 14 Figura Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido. Aquí será necesario plantear tanto el equilibrio de traslación como el de rotación. Equilibrio de traslación: F = 0 N cos 2α - N sen α = 0 [1] x 1 2 F = 0 N sen 2α + N cos α - P = 0 [2] y 1 2 Equilibrio de rotación: Se escogió el punto A para el cálculo de los torques, Figura 25 (en la Figura se ilustra el sentido de los torques). L τ A = 0 - P cos α + N22Rcos α = 0 [3] 2 7. Sabiendo que L=3R y resolviendo con esta información las ecuaciones simultáneas [1], [2], [3], se obtiene, 2 8cos α - 3cos α - 4 = 0 o α = 23,2 Ejemplo 7 Mostrar que cuando una cuerda ideal pasa a través de una polea ideal (masa despreciable y eje liso), la tensión en un extremo de la cuerda se transmite íntegramente al otro extremo (propiedad que se ha usado en muchos de los ejercicios planteados en el módulo # 7 y en éste módulo). Solución: 1. Representación de la escena física, Figura 26.

15 Figura Marco de referencia inercial: el techo. 3. Ejes coordenados elegidos: ver Figura 27. Observar que el eje z entra ortogonalmente a la hoja Figura Sistema mecánico (S): la polea con trozo de cuerda enrollado y sin eje Figura Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 28. R x y R y son las fuerzas que ejerce el eje sobre la polea, T 1 y T 2 las fuerzas de tensión que actúan en los extremos de la cuerda. 6. Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido. Para esta demostración solo basta aplicar el equilibrio de rotación, τ = 0 T R - T R = 0 A 1 2 En donde R es el radio de la polea. De esta ecuación se concluye que, T 1=T 2

16 Taller Con los ejercicios siguientes el objetivo es adquirir la destreza para analizar de forma ordenada y metódica sistemas mecánicos en equilibrio. En cada una de las soluciones se deberá: Definir el marco de referencia inercial. Definir los ejes de coordenadas con su respectivo origen y orientación. Dibujar aparte los diagramas de fuerza de los subsistemas elegidos que se analizarán para lograr obtener la solución. Aplicar correctamente las leyes de Newton: o o Primera ley de Newton: plantear ordenadamente las ecuaciones correspondientes a las condiciones de equilibrio de los subsistemas y que son necesarias para obtener la solución. Tercera ley de Newton: aplicar correctamente la ley de acción y reacción (esto con el fin de disminuir el número de incógnitas en los sistemas de ecuaciones). Resolver algebraicamente las ecuaciones. Si es necesario encontrar soluciones numéricas, reemplazar los valores en las ecuaciones sin olvidar expresar el resultado con la respectiva unidad de medida. Analizar la coherencia del resultado Una barra homogénea de peso P = 90,0 N y longitud L se mantiene en equilibrio apoyada por su extremo A sobre una pared vertical rugosa, Figura 29; su extremo B está unido a un cable fijo a la pared en el punto C, cuya longitud es 1,57 L que forma con la pared un ángulo de Determinar: el ángulo, la tensión del cable y la fuerza de rozamiento. Rp: 54,0 0 ; 31,0 N; 61,0 N Figura Una barra homogénea de 369 N de peso y longitud L está articulada en su extremo A y se apoya en su extremo B sobre una superficie lisa tal como se ilustra en la Figura 30. Determinar la reacción en la articulación. Rp: 321 N formando un ángulo de 54,2 0 con la horizontal

17 17 Figura Una barra homogénea de 200 N de peso y longitud L se apoya sobre dos superficies tal como se ilustra en la Figura 31. La superficie inclinada es lisa y la horizontal rugosa. Determinar: (a) el valor de la fuerza de rozamiento en A para mantener la barra en equilibrio en la posición indicada; (b) el coeficiente de rozamiento mínimo para el equilibrio. Rp: 86,6 N; 0,577 Figura Una barra homogénea de peso P y longitud L se apoya por su extremo A sobre un suelo horizontal rugoso, coeficiente de rozamiento µ, y su extremo B está unido a un cable, que pasa por una polea (despreciar la fricción con el eje), el cual le ejerce una fuerza F que mantiene la barra en la posición indicada en situación de movimiento inminente, Figura 32. Determinar el valor de µ en función de y. Rp: 1 tan 2 tan Figura 32

18 5. Una escalera uniforme de 4,00 m de longitud se apoya sobre una pared vertical lisa, encontrándose su extremo inferior a 3,00 m de la pared. El peso de la escalera es de 30,0 kgf y el coeficiente estático de rozamiento entre el pie de la escalera y el suelo es 0,400. Un hombre cuyo peso es 70,0 kgf sube lentamente por la escalera. Cuál es la fuerza de rozamiento cuando el hombre ha subido 1,00 m a lo largo de la escalera? Qué longitud podrá subir a lo largo de la escalera antes de que ésta comience a deslizar? Rp. 37,0 kgf; 1,15 m. 6. Una rueda que pesa 80,0 kgf y tiene 20,0 cm de diámetro, es accionada mediante una cuerda en el centro de la rueda, para hacerla subir sobre una tabla de 4,00 cm como se indica en la Figura 33. Calcular la fuerza horizontal mínima que debe ejercer el señor para que la rueda comience a subir. Rp: 107 kgf 18 Figura Un bloque rectangular homogéneo del altura y = 50,0 cm y anchura x = 24,0 cm. Descansa sobre una tabla NM como se indica en la Figura 34. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y la tabla es Se eleva lentamente el extremo M de la tabla aumentando el ángulo del plano hasta que el bloque comience a volcar o a deslizar (lo que suceda primero). Calcular el menor ángulo del plano para el cual comience a volcar o a deslizar. Rp: Desliza para tan= 0,450 Figura 34

19 8. Dos esferas idénticas de peso igual a 5,00 kgf se colocan tal como se ilustra en el sistema de la Figura 35 (superficies lisas). Calcular las reacciones de las superficies sobre las esferas y la fuerza de contacto entre amabas. Rp: 6,35 kgf; 5,20 kgf; 3,90 kgf 19 Figura 35 FIN