Física I. TEMA IV. Trabajo y Energía. Ing. Alejandra Escobar UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA

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1 Física I TEMA IV. Trabajo y Energía UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA Ing. Alejandra Escobar

2 TRABAJO Y ENERGÍA Trabajo Para que una caja que se encuentra en reposo sobre una superficie plana sin fricción adquiera movimiento, es necesario darle un impulso o halarlo con una cuerda, es decir aplicarle una fuerza. Supongamos que la caja que se muestra en la figura es halada por una cuerda que forma un ángulo θ con respecto a la horizontal, es decir la dirección en la cual se mueve la caja. Según lo anteriormente expuesto, el trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo es equivalente a la energía necesaria para desplazar ese cuerpo. De otra manera, el trabajo (W) realizado por un agente externo, mientras el cuerpo efectúa un desplazamiento x, se define como el producto del desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. Sus unidades son el Julio (J = N. m), ergio (e = dina. cm) y Kilogramometro (Kgm = Kp. m) y su ecuación es: F θ W = (F. cos θ)x Trabajo realizado por Fuerzas Variables Existen muchos casos en los cuales el trabajo realizado por una fuerza que actúa sobre un cuerpo varía durante el desplazamiento. Uno de los ejemplos más comunes se da cuando se quiere estirar un resorte, ha de aplicarse una fuerza cada vez mayor conforme aumente el alargamiento. Para el cálculo del trabajo realizado en los casos donde la fuerza es variable, es necesario utilizar el cálculo integral. Supongamos que una fuerza variable actúa sobre un cuerpo, el cual realiza un desplazamiento simultáneo e dirección al eje x, tal como se muestra en la figura. Durante un desplazamiento infinitesimal dx, tanto la fuerza F como el ángulo θ formado por la fuerza y el desplazamiento pueden considerarse prácticamente constantes.

3 F θ F θ F θ En este desplazamiento infinitesimal solo se realiza un trabajo infinitesimal dw, que vale: dw = (F. cos θ)x El trabajo total W realizado en un desplazamiento finito desde un punto x 1 hasta un punto x 2, es la suma de un número infinito de términos del tipo dado por la siguiente ecuación: x 2 W = dw = F. cos θ dx x 1 Ejercicios sobre Trabajo 1. Una caja que pesa 90 N es empujada 7 m sobre una superficie horizontal a velocidad constante, mediante una fuerza que forma un ángulo de 30 con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal es de 0,25. Qué trabajo se ha realizado? Diagrama de Cuerpo Libre N F 30 d fr 30 w F F x = ma x F y = ma y

4 Como la velocidad del movimiento es constante v = ctte a = 0, no existe aceleración. Así las ecuaciones anteriores quedan de la siguiente manera: F x = 0 F y = 0 F x = F cos 30 fr = 0 (1) F y = N w F sin 30 = 0 (2) Sabemos que: Sustituyendo esto en (1) De la ecuación (2) Sustituyendo esto en (3) fr = μ r N F cos 30 μ r N = 0 (3) N w F sin 30 = 0 N = w + F sin 30 F cos 30 μ r (w + F sin 30 ) = 0 F cos 30 μ r w μ r F sin 30 = 0 μ r w F(cos 30 μ r sin 30 ) = μ r w F = cos 30 μ r sin 30 F = Para el trabajo, se conoce que: 0,25 90N = 30,36 N cos 30 0,25 sin 30 W = (F cos θ)x = 30,36 N cos( 30 ) 7m = 184,05 J (N. m) 2. En la figura se muestra un bloque de masa 20 Kg, ubicado sobre un plano inclinado 30, el se desea levantar hasta una altura de 1,5 m ejerciéndose una fuerza de 600 N. Si el coeficiente de rozamiento de 0,1. Calcular: a. El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. b. El trabajo neto realizado.

5 N F Diagrama de Cuerpo Libre fr 30 w N F fr w 30 Primeramente calculemos todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Asumamos que el cuerpo se mueve a velocidad constante. F x = 0 F y = 0 F x = F w x fr = 0 (1) F y = N w y = 0 (2) Sabemos que es peso es: w = m. g = 20 Kg 9,8 m s 2 = 196 N De la ecuación (2) calculamos la normal N w cos 30 = 0 N = w cos 30 = 196 N cos 30 = 169,74 N La fuerza de roce es: fr = μ r N = 0,1 169,74 N = 16,974 N Calculemos la componente en x y y del peso De la ecuación (1) De la ecuación (2) F w x fr = 0 w x = F fr = 600 N 16,974 N = 583,026 N

6 N w y = 0 w y = N = 169,74 N Para calcular el trabajo debemos conocer la distancia recorrida. Se calcula de la siguiente manera: d 30 1,5 m sin 30 = d = 1,5 m d 1,5 m sin 30 = 3 m Calculemos el trabajo para cada fuerza: Para F W = (F cos θ)d = 600 N cos 0 3 m = 1800 J Para N W = (N cos θ)d = 169,74 N cos 90 3 m = 0 J Para fr W = (fr cos θ)d = 16,974 N cos m = 50,922 J Para w x W = (w x cos θ)d = 169,74 N cos m = 509,22 J Para w y W = (w y cos θ)d = 169,74 N cos m = 0 J Trabajo Neto W T = W F + W N + W fr + W wx + W wy

7 W T = 1800 J + 0 J 50,922 J 509,22 J + 0 J = 1239,858 J Potencia En la definición de trabajo no está incluido el concepto de tiempo. Si se incluye a la definición de trabajo el tiempo obtenemos lo que denominamos potencia, que no es más que el trabajo realizado por unidad de tiempo. La variación con el tiempo del trabajo realizado por un agente externo cualquiera recibe el nombre de potencia desarrollada por dicho agente. Si en un intervalo de tiempo t se ha realizado un trabajo W, se define la potencia media P como: P = W t ó P = dw dt Su unidad es el watts (W), los caballos de fuerza (Hp), entre otras. Si relacionamos la potencia con velocidad se obtiene lo siguiente: sabemos que el trabajo es; W = F. x Sustituyendo en la ecuación de potencia P = F x t = Fv o P = F dx dt Energía En todos los actos cotidianos se emplea algo de fuerza. Al levantarnos, peinarnos, caminar, correr, jugar, trabajar, etc. Siempre se necesita de fuerza para poder desenvolvernos con facilidad, según las exigencias del medio ambiente que nos rodee. La capacidad que posee una persona, o un objeto, para ejercer fuerza y realizar cualquier trabajo, se denomina Energía. La energía es la capacidad de producir un trabajo en potencia o en acto. Por eso decimos que alguien tiene mucha energía cuando realiza grandes actividades durante el día como: trabajar, estudiar o practicar deportes.

8 Por estas razones se define la energía como una propiedad o atributo de los cuerpos o sistemas materiales en virtud de la cual estos son capaces de transformarse, modificando su condición o estado, así como actuar sobre otros, originando en ellos procesos de transformación. Energía Mecánica Cuando un cuerpo o sistema se mueve por acción de una fuerza, se dice que posee energía. Por eso se dice que la energía es la capacidad de los cuerpos o sistemas para realizar un trabajo. Dependiendo de la transformación que sufra el cuerpo o sistema, es decir desplazamiento vertical, desplazamiento horizontal o deformación, se dice que posee energía cinética, potencial gravitatoria o potencial elástica, respectivamente. Así, entendemos por energía mecánica total de un cuerpo, en un instante dado, a la suma de las energías cinética, potencial gravitatoria y potencial elástica que posee dicho cuerpo en ese instante. Energía Cinética La energía cinética es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento. Esta depende de la masa y la velocidad del cuerpo. Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m que desarrolla una aceleración a, el cual se mueve por una superficie lisa, suponiendo que la velocidad del cuerpo aumenta de v 1 que se encuentra en una posición 1 a v 2 que se encuentra en una posición 2, y si cos θ = 1, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula. x 2 W = F. dx x 1

9 Pero; F = m. a y a = v dv dx Entonces: x 2 W = m. v. dv dx dx = m. v. dv x 1 v 1 v 2 W = 1 2 mv mv 1 2 Así la energía cinética de un cuerpo como: E c = 1 2 mv2 Por consiguiente, cuando un cuerpo es obligado a moverse sobre una superficie horizontal lisa y no se realiza ningún trabajo, excepto el de aumentar la velocidad del cuerpo, el trabajo realizado es igual al incremento de su energía cinética. Existen diferentes clases de energía cinética o relaciones entre la energía cinética con otras clases de energías. Entre estas tenemos la relación entre trabajo y energía, la trasmisión de energía cinética en choques o colisiones y la relación entre energía y la cantidad de movimiento. Con respecto a la relación entre trabajo y energía es por todos conocido que un cuerpo en movimiento realiza un trabajo y por lo tanto posee una energía, si el movimiento posee una rapidez variable, la energía del cuerpo también varía. Esta clase de energía que depende de la rapidez que posee en cuerpo se llama energía cinética. Esta relación es llamada El principio de trabajo y energía que se podría explicar así: Cuando la velocidad de un cuerpo pasa de un valor a otro, la variación de la energía cinética

10 que experimenta es igual al trabajo realizado por la fuerza neta que origina el cambio de velocidad Energía Potencial Gravitatoria Un cuerpo adquiere energía potencial gravitatoria cuando realiza un trabajo contra la gravedad, para colocarlo a cierta altura en relación con el plano horizontal. Para elevar un cuerpo de masa m a una altura h es necesario realizar una fuerza igual a su peso w = m. g, luego siendo g la aceleración de la gravedad; el trabajo sería igual: W = m. g(y 2 y 1 ) = w(y 2 y 1 ) sí la energía potencial gravitatoria es: V G = mgy = wy Energía Potencia Elástica La energía potencial es la energía almacenada que posee un sistema como resultado de las posiciones relativas de sus componentes. Al comprimir un resorte o levantar un cuerpo se efectúa un trabajo y por lo tanto se produce energía la cual es potencialmente disponible. En este caso la energía adquirida por el resorte se debe a su configuración, y la energía del cuerpo se debe a su posición. En el primer caso se dice que la energía potencial es elástica y en el segundo que la energía potencial es gravitatoria. Ley de Elasticidad de HooK Cuando un objeto se somete a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de forma, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material. Cuando un peso jala y estira a otro y cuando se le quita este peso y regresa a su tamaño normal decimos que es un cuerpo elástico. La Elasticidad es la propiedad de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto, y el objeto regresa a su forma original cuando cesa la

11 deformación. Si un material se estira o se comprime más allá de cierta cantidad, ya no regresa a su estado original, y permanece deformado, a esto se le llama límite elástico. Cuando se tira o se estira un cuerpo de lago se dice que está en tensión, pero cuando se aprieta o se comprime algo se dice que está en compresión. De esta manera la ley de Hook enuncia, que La cantidad de estiramiento o de compresión (cambio de longitud) de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza aplicada. F = kx en donde F es la fuerza, k la constante de elasticidad del cuerpo y x la distancia de compresión o de estiramiento. La energía potencial elástica se podría explicar así: si un resorte deformado posee energía potencial, es necesario para deformarlo la realización de un trabajo, que se manifiesta en una transformación de energía muscular en energía cinética y esta a su vez se transforma en energía potencial que adquiere el resorte. Analicemos lo que ocurre al comprimir el resorte: la fuerza que se aplica al resorte es proporcional a la compresión que este experimenta. El trabajo realizado es: Así la energía potencial elástica es: x 2 W = k. x. dv = 1 x 1 2 kx kx 1 2 V E = 1 2 kx2

12 Trabajo e Incremento de Energía f ϕ 1 y1 N ϕ mg F θ 2 y2 ϕ ds dx dy En la figura se muestra un cuerpo de masa m que es arrastrado sobre una superficie rugosa de forma arbitraria, representada por una curva que une los puntos 1 y 2. Durante un desplazamiento infinitesimal, tal como el indicado por ds en el pequeño diagrama, actúan cuatro fuerzas: el peso mg, la fuerza normal N, la fuerza de rozamiento f y la fuerza F ejercida por cualquier agente externo la cual forma un ángulo θ con la tangente. Se supone que el cuerpo no está en equilibrio en ningún instante, y que pasa por el punto de altura y 1 con una velocidad v 1, y por el punto y 2 con una velocidad v 2. O bien; Con ayuda de la segunda ley de Newton se deduce: F (tangente) = ma = mv dv ds F cos θ mg sin φ f = mv dv ds Multiplicando ambos miembros de la ecuación anterior por ds, se obtiene: F cos θ ds = mvdv + mg sin φ ds + fds

13 Teniendo en cuenta que: ds sin φ = dy Resulta que: F cos θ ds = mvdv + mgdy + fds Si integramos la ecuación anterior desde el punto 1 al punto 2, se obtiene: 2 F cos θ ds 1 2 F cos θ ds 1 2 = (mvdv + mgdy + fds) 1 2 = mvdv mgdy fds 1 W F = ( 1 2 mv mv 1 2 ) + (mgy 2 mgy 1 ) + W f W F = (E c2 E c1 ) + (V g2 V g1 ) + W f Ejercicios sobre Trabajo y Energía 1. Calcular la energía cinética de un cuerpo cuya masa es de 100 g en el instante en que su velocidad es de 20 cm s. Primeramente realicemos la transformación de unidades m = 100 g 1 Kg 1000 g = 0,1 Kg, v = 20 cm s 1 m 100 cm = 0,2 m s E c = 1 2 mv2 = 1 2 0,1 Kg (0,2 m s) 2 = 0,002 J 2. Cuál es la energía potencial de un ascensor de 800 Kg en lo alto del edificio Empire State de la ciudad de Nueva York, de 370 m de altura? Suponga nula la energía potencial a nivel del suelo. V G = mgy = 800 Kh 9,8 m s m = J

14 3. Se sabe que una fuerza de 2 N alarga el muelle de una puerta de mampara en 50 cm. Cuál será la energía potencial del resorte cuando al abrir la mampara se alarga 15 cm? Aplicando ley de hook F = kx k = F x = 2 N 100 cm 50 cm 1 m = 4 N m V E = 1 2 kx2 = N 2 m (15 cm 1 m 100 cm ) = 0,045 J 4. El motor de un avión de reacción desarrolla un empuje de 3000 lbf. Qué potencia desarrolla a la velocidad de 800 ft s? Realicemos las transformaciones F = 3000 lbf 1 N ft = 12091,90 N, v = 800 0,22481 lbf s 1 m 3,2808 ft = 243,84 m s P = Fv = 12091,90 N 243,84 m s = ,75 W Sistemas Conservados y No Conservados Sistemas Conservados Son aquellos sistemas en donde no hay disipación de la energía en forma de calor, y siempre se cumple que la suma de la energía mecánica es igual a cero. Según lo anteriormente expuesto se puede afirmar lo siguiente: E m = 0 E mi = E mf E ci + V gi + V ei = E cf + V gf + V ef Sistemas no Conservados Son aquellos sistemas donde hay disipación de la energía en forma de calor. En estos tipos de sistemas la energía mecánica no se conserva, si no que parte de ella se transforma en trabajo, y se cumple lo siguiente:

15 W fnc = E m = E mf E mi W fnc = (E cf + V gf + V ef ) (E ci + V gi + V ei ) W fnc = (E cf E ci ) + (V gf V gi ) + (V ef V ei ) W fnc = E c + V g + V e Dónde: W fnc = fd W fnc = mgh (horizontal) (vertical) Ejercicios de Sistemas Conservados y No Conservados 1. Una bomba de 10 Kg de masa es soltada desde un avión que vuela horizontalmente a 270 Km h.ñ si el avión está a 100 m de altura, calcular: a. Energía cinética inicial de la bomba. b. Su energía potencial inicial. c. Su energía potencia total inicial (energía mecánica). d. Su velocidad al llegar al suelo. Calculemos la energía potencial inicial: E c = 1 2 mv2 = Kg. (270 Km h m. 1 Km. 1 h 3600 s ) = J NOTA: se utiliza la velocidad del avión, ya que al inicio la bomba se encuentra en el avión y sale con esa velocidad. Calculemos la energía potencial inicial: V G = mgy = 10 Kg. 9,8 m s m = 9800 J

16 Calculemos la energía total inicial: E Ti = E ci + V gi = J J = J Calculemos la velocidad al llegar al suelo: Por conservación de la energía E Ti = E Tf J = E cf + V gf J = 1 2 mv f J J. 2 v f = = m 10 Kg = 87,09 m s 2. Un bloque de 7 Kg de masa choca contra un resorte horizontal sin masa de constante de fuerza 9 N m. El bloque comprime el resorte 3 m a partir de su posición de reposo. Suponiendo que el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie horizontal es de 0,3. Cuál es la velocidad del bloque al hacer contacto con el resorte? Como existe una fuerza de roce entre el bloque y la superficie, el sistema es no conservado, por lo tanto: W fnc = (E cf E ci ) + (V gf V gi ) + (V ef V ei ) fx = 1 2 mv i kx f 2 μnx = 1 2 mv i kx f 2 v i = 2μNx + kx f 2 m Ec. 1 F k fr N w = mg F y = 0 F y = N mg N = mg

17 De le ecuación 1 se obtiene v i = 2μgx + kx f 2 m = (2.0,3.9,8 m s 2. 3 m) + ( 9 N m. (3 m)2 ) = 5,04 7 Kg m s 3. Un bloque de 10 Kg es lanzado hacia arriba a lo largo de un plano inclinado 37, con una velocidad en el pie del plano de 9,8 m s. Se observa que sube una distancia de 5 m a lo largo de la superficie inclinada, se detiene i se desliza hacia abajo hasta el punto de partida. Calcular: a. La fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque. b. La velocidad del bloque cuando vuelve al pie del plano. Para el movimiento hacia arriba: (el trabajo de la fuerza externa se asume cero) W F = (E c2 E c1 ) + (V g2 V g1 ) + W f 0 = ( E c1 ) + V g2 + W f W f = E c1 V g2 = 1 2 mv 1 2 mgh W f = Kg. (9,8 m s) 2 10 Kg. 9,8 m s 2. (5 m. sin 37 ) = 185,31 J Sabiendo que: W f = fx cos θ = fx f = W f x = 185,31 J 5 m = 37,06 N Para el movimiento hacia abajo: W F = (E c2 E c1 ) + (V g2 V g1 ) + W f 0 = E c2 + ( V g1 ) + W f E c2 = V g1 W f 1 2 mv2 = mgh W f v = 2(mgh W f) m

18 v = 2 (10 Kg. 9,8 m s 2. 5 m 185,31 J) = 7,8 10 Kg m s