Tema 2: Dinámica de la partícula

Transcripción

1 Tema : Dinámica de la partícula

2 Leyes de Newton () Primera ley de Newton o ley de inercia Si 0, v Segunda ley de Newton ma cte Tercera ley de Newton o de acción y reacción

3 El peso Peso: fuerza que la gravedad ejerce en la proximidad de la superficie de la tierra ctua sobre masas P mg Dirección vertical hacia abajo celeración de la gravedad: g=9,8 m/s Unidad de fuerza: SI: Newton N=kg m/s Ingeniería: Kilopondio Kp=Kg*=9,8 N, peso de 1kg masa

4 Clasificaciones de tipos de fuerza Por su naturaleza Por su acción desde un punto de vista macroscópico lgunos tipos especiales de fuerzas: muelles, poleas, cables, etc

5 uerzas en la naturaleza Gravitatoria m m G G r 1 11 kg, 6,67410 N m / Electromagnética Electrostática Magnética k e q q r 1 9, k 9,010 N m / C e Nuclear fuerte En el núcleo atómico ~10-15 m Nuclear débil En ciertas desintegraciones como la beta

6 uerzas a distancia y de contacto distancia: gravitatoria, electromagnética (también el peso P) De contacto (electromagnéticas a pequeña escala): Normales a las superficies de contacto N Tangenciales a las superficies de contacto o de rozamiento r

7 uerzas de rozamiento Se oponen al movimiento Estática Dinámica d e d N e N, 1, 1 d e e Si e =0.3 y d =0. calcular (a) el angulo máximo para que el esquiador esté en reposo y (b) El angulo para que se mueva con velocidad constante

8 Simulación de fuerzas de rozamiento

9 uerza tangencial y centrípeta n n t n t ; v v unitarios ; n R v m dt dv m n t ; radio de curvatura R

10 Ejemplo de fuerza centrípeta. Curvas peraltadas Velocidad máxima? a) Sin rozamiento, como en el dibujo (carretera helada) b) Con coeficiente de rozamiento estático e

11 lgunas fuerzas especiales Muelles: fuerza opuesta al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio Ley de Hooke kx Cables y cuerdas: La tensión siempre realiza tracción en la dirección de la cuerda Poleas: cambian la dirección de la tensión uerzas de ligadura Imponen que el movimiento tenga unas condiciones determinadas. Ejemplo: vías del tren

12 Muelles (1) Realizan una fuerza opuesta al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio Ley de Hooke kx Calcular la constante k del muelle si el niño pesa 4 kg y el muelle se ha alargado cm Calcular T 1 y T si el dinamómetro pesa 0.5 kg

13 Simulación de la ley de Hooke 1 kx; U kx

14 Muelles () Movimiento armónico simple kx ma kx x x 0; mx con kx k m x cos( t 0 ) Movimiento periódico, con amplitud, periodo T, frecuencia f y fase inicial 0 T f ; f 1 T

15 Cables y cuerdas: La tensión T siempre realiza tracción en la dirección de la cuerda Ejemplo: calcular la tension de la cuerda si la escaladora pesa 50 kg despreciando la fuerza de las manos. Suponiendo la pared vertical, calcular la fuerza de rozamiento de las botas. Por qué la escaladora pone sus piernas casi perpendiculares a la pared? e =0.3

16 Poleas Cambian la dirección de la la tension Ejemplo: Calcular T si m=5 kg y q es 30º, 45º o 60º. Si tienen rozamiento y o masa las tensiones son dirferentes

17 Trabajo y energía W l l cos( q)

18 Trabajo hecho por una fuerza constante Si la fuerza es paralela al desplazamiento W l Si la fuerza no es paralela al desplazamiento W l l cos( ) Notación vectorial W l

19 Trabajo hecho por una fuerza W En general el trabajo depende del camino entre y variable dl dl cos( )

20 Energía potencial En un campo conservativo el trabajo realizado por el campo no depende del camino El rozamiento y las fuerzas aplicada no son conservativas Las fuerzas uniformes son conservativas Las fuerzas centrales son conservativas La gravedad es conservativa El campo electrostatico es conservativo U U W

21 Trabajo hecho por un campo conservativa y por una fuerza aplicada externa Trabajo hecho por el campo cuando m se mueve de a = disminución de la energía potencial (algo cae): W U U Trabajo hecho por una fuerza aplicada para mover m de to = incremento de energía potencial (la mano eleva algo): W ext, U U

22 Dos ejemplos de energía potencial

23 Energía potencial en un campo de fuerzas constante U U dr cos( q) dl ( l l ) U l l : desplazamiento en la dirección y sentido de la fuerza

24 plicación: gravedad sobre la superficie terrestre Por ejemplo el campo gravitatorio en la superficie terrestre mgk l l z h : desplazamiento en la dirección y sentido de la fuerza U g mgh mgz

25 Simulación: skaters

26 Ejemplo: fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales M y m Mm G r tiene dirección radial atractiva E

27 W Energía potencial en un campo de fuerzas centrales (gravitatorio) ( r)dl ( r) e dl ( r)dl cos( q) r G Mm ( r)d r G r Mm r G Mm r d r Tomamos U g =0 en r= U g G Mm r

28 Gradiente dw dl dx x dy y dz z du du U x dx U y dy U z dz x U ; x Definimos el operador gradiente Definición alternativa de la energía potencial y U ; y i x z U z j y U k Comprobar para las dos energías potenciales gravitatorias z

29 Propiedades del gradiente () du U dl U dl cos( q) dl cos( q) 1.-Perpendicular a las superficies equipotenciales.- Tiene la dirección de máximo aumento (disminución) de la energía potencial 3.- Su modulo es igual a la variación de U por unidad de longitud en la dirección de máximo aumento (=disminución) U du dl grad 4.-La variación de U en la dirección de un vector unitario viene dada por du dl U

30 Paisajes de energía potencial Máximo de U Mínimo de U

31 Tipos de equilibrio Estable Inestable indiferente Qué puntos son de equilibrio y de que tipo?

32 Energía cinética. Teorema de las fuerzas vivas, conservativa o no, resultante de todas las fuerzas dr ma dr m dv dt dr mdv dr dt mv dv 1 md( mv ) 1 mv 1 mv Definición de energía cinética: Ec 1 mv Teorema del trabajo o de las fuerzas vivas W Ec, Ec,

33 Teorema de conservación de la energía Si W es conservativa dr Ec, Ec, U Teorema de conservación de la energía: E c, U Ec, U En la gravedad de la superficie terrestre En la gravedad en general E E E U E 1 E mv 1 E mv G c U Mm r mgh

34 Ejemplo: esquiador sin rozamiento Gravedad de la superficie terrestre E 1 mv mgh Calcular la velocidad final suponiendo que no hay rozamiento entre el esquiador y la nieve. Cual es la velocidad mínima para subir la pendiente? Respuesta: v f v i gh; vi, min 7m/s

35 Ejemplo Gravedad en general E 1 mv G Mm r Calcular la energía de un satelite en orbita circular en función de r Cual es el radio de la orbita geoestacionaria si el radio de la tierra es R=6371 km? Resultado E 1 G Mm r r~4000 km~6.6 R

36 Teorema de conservación de la W energía con fuerzas no conservatvas c n dr E c, E c, U U Teorema de conservación de la energía: E Si W n 0 c, Si Q 0 W n U Ec, U W n n dr Se transforma energía química o de otro tipo en energía cinética y potencial. Ejemplo: músculos, motores Se transforma energía cinética y potencial en energía térmica o de otro tipo. Por ejemplo: rozamiento

37 Ejemplo: esquiador con rozamiento Gravedad de la superficie terrestre E 1 mv mgh d Calcular la velocidad final si µ d =0. Cual es la velocidad mínima para subir la pendiente? Cual es la energía disipada por rozamiento en ese último caso (m=80 kg)? Respuesta: v f v i gh(1 d cot(35º )); v i,min 7,94m/s; Q 1 mv i,min.5kj

38 Potencia Potencia media Potencia instantánea P W t dw P dt P Potencia de una fuerza que actua sobre una partícula en movimiento dw dt dr dt dr dt P v Unidades : Vatio=W=J/s, kw=10 3 W, CV=HP=745,7W Unidad de trabajo derivada: kwh=kw h=3.6 MJ

39 El Mulhacen por siete lagunas desde Trevelez (1)

40 El Mulhacen por siete lagunas desde Trevelez () Mulhacen : ~3500 m Trevelez: ~1500 m Tiempo: 5 h Peso con carga: 100 kg g=10 m/s Potencia media, Trabajo en kwh? P= W; W=0.55 kwh Velocidad ascensional media? Se cumple? P v Despreciar la fuerza no ascensional