MATEMÁTICA APLICADA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN SOLUCIÓN SEGUNDO PARCIAL Manizales, 17 de Octubre de 2014

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Emilio Castro Córdoba
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1 de 6 Manizales, 7 de Octubre de 04 (VALE POR UN PUNTO) Determine la recta de intersección de los dos planos: : 3 y z 0 y : 6 4y z 6 La opción inicial es verificar la posición relativa de los dos planos; esto la hare con base en los vectores normales de cada uno de los planos. Los vectores normales los podre obtener con base en los coeficientes de las variables en cada una de las ecuaciones cartesianas de cada plano. n n 3,, 6,4, n n Con base en lo anterior, podre concluir que no se interceptan los planos y por ende no eiste la línea recta que se busca. Otra opción es que con base en el hecho de que la intersección de los planos genera la línea recta, procedo a conformar un sistema de ecuaciones lineales simultáneas: 3 y z 0 6 4y z 6 Procedo a aplicar el procedimiento de Gauss-Jordan para llevar el sistema en forma de matriz a escalonada reducida: f f f f f Reescribiendo la solución encontrada en forma matricial a la forma algebraica: y z Se observa que la segunda ecuación ilustra un absurdo, lo que conduce a que el sistema no tiene solución y por ende los planos son paralelos. Con base en lo anterior se concluye que no es posible obtener la ecuación de la línea recta; ya que, los planos son paralelos. (VALE POR UN PUNTO) Determine la ecuación de la recta ortogonal (perpendicular) a las rectas siguientes que pasa por el punto P. y z y 5 z L: y L: ; P,3,4 4 5 Retomando el procedimiento de obtención de la ecuación de la línea recta en el espacio:

2 de 6 Manizales, 7 de Octubre de 04 X P td Para poder desarrollar el procedimiento de cálculo tengo las coordenadas del punto P y requiero de una vector para poder realizar el cálculo. Con base en el hecho de que las dos rectas son ambas perpendiculares a la recta buscada, procedo a etraer de la ecuación contínua de cada línea recta, el vector director de cada una de ellas. y z y 5 z L: y L: 4 5 Las ecuaciones continuas no están normalizadas; procedo a normalizarlas: y z y z 5 L: y L: 4 5 y z y z 5 L: y L: 4 5 y z y z 5 L: y L: 4 5 Después de normalizadas ambas ecuaciones, podre deducir las coordenadas de los vectores directores de cada una de las línea rectas: L : d,, 4 y L : d,,5 Para obtener el vector director de la línea recta buscada, que es perpendicular de las dos líneas rectas aportadas; realizo el producto cruz de éstos vectores para deducir un vector perpendicular a ambas líneas rectas. iˆ ˆj kˆ d d d d i j k 5 5 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 4 ˆ 0 8 ˆ 4 ˆ 6 ˆ 8 ˆ6 d d i j k d d i j k d d 6iˆ 8 ˆj 6kˆ d d 6,8, 6

3 3 de 6 Manizales, 7 de Octubre de 04 Reemplazando en la ecuación vectorial: d 6,8, 6 P,3,4 X P td d 6,8, 6, y, z,3, 4 t 6,8,6, y, z, 3, 4 t 6,8,6, y 3, z 4 6 t,8 t,6t 6t y 3 8t z 4 6t 6t y 8t 3 z 6t 4 (VALE POR UN PUNTO) Determine el valor de a para que el coseno del ángulo entre los vectores u y v sea ½. 3,0,0 3,, 4 u y v a Retomando el procedimiento de obtención del ángulo entre dos vectores: a 3,0,0 3, a, 4 cos uv u v uv u v 3, 0, 03, a, ,0,0 3,, 4 3,0,0 3,0,0 3,0, , a, 4 3, a, 43, a, 4 9 a 6 5 a a

4 4 de 6 Manizales, 7 de Octubre de a 3 5 a 6 5 a 36 a 36 5 a 9 a 3 (VALE POR DOS PUNTOS) En estudios realizados se ha demostrado que el tabulado se comporta como la epresión algebraica que se ilustra. Calcule las magnitudes de los parámetros de la epresión algebraica y el valor de para y 5. y y Realizo el agrupamiento apropiado para que la epresión dada adquiera la apariencia de la línea recta: ln y ln y ln y b e ln ln ln Y ln y y ln b Y B B ln Recalculo el tabulado para poder aplicar el procedimiento de mínimos cuadrados por calculadora (estadística): y Las resultantes de mínimos cuadrados por calculadora dan: Y B b

5 5 de 6 Manizales, 7 de Octubre de 04 Y r Realizando los cálculos de reversar la sustitución, obtengo:.87953e y y 5 y y 5 ln y 5 ln y b e y b ln 5 ln ln ln 5 ln ln 5 ln y b y 5 y a y 5 y5 y y y 5 5 y 5 y a y a y5 a

6 6 de 6 Manizales, 7 de Octubre de 04 y y 5a y 5 5a y a e y n n f( n) f'( n) f( n)/f'( n) E E E E E E para y 5 *UTILIZAR CINCO (5) CIFRAS DECIMALES SIGNIFICATIVAS POR TRUNCAMIENTO.

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