Miguel-Ángel Pérez García-Ortega
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- Alejandro Cordero Miguélez
- hace 5 años
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1 Problema 890. (Propuesto por Philippe Fondanaiche) Sea ABC un triángulo. La circunferencia inscrita de centro I es tangente a los lados BC, CA y AB en los puntos A 1, B 1 y C 1, respectivamente. La circunferencia exinscrita correspondiente al vértice A es tangente al lado BC en el punto A. Los puntos A, B y C son los puntos medios de los lados BC, CA y AB, respectivamente. La recta AH es la altura correspondiente al vértice A. Se definen los nueve puntos siguientes: La recta A I corta a AH en el punto M. La recta A I corta a la recta AA 1 en el punto N. La recta A 1 I corta a la mediana AA en el punto P. La recta perpendicular por I a la mediana AA corta en el punto Q a la recta paralela a BC por A. La bisectriz interior correspondiente al vértice C corta a la recta A C en el punto R. La bisectriz interior correspondiente al vértice B corta a la circunferencia de diámetro BC en un segundo punto S. La recta A 1 B 1 corta a la recta A C en el punto T. El punto U es el punto medio de la mediana AA. El punto V es la proyección del vértice A sobre la bisectriz interior correspondiente al vértice B. Demostrar que: Los puntos M, N, U y V están alineados. Los puntos P, Q, R y S están alineados. Los puntos B, I, R y T son concíclicos. Los puntos B, C, R y S son concíclicos. Los puntos A, B, V y T son concíclicos. Solución: Considerando coordenadas baricéntricas respecto del triángulo ABC, resulta que: A 1 (0:a b c: a b c) B 1 (a b c :0: a b c) C 1 (a b c : a b c :0) A (0:1:1) B (1:0:1) C (1:1:0) I (a : b : c) A (0:a b c: a b c) En primer lugar, vamos a calcular las coordenadas de los nueve puntos considerados: A I 0 (a b c)(b c)x a(a b c)y a(a b c)z AH 0 (a b c )y (a b c )z
2 M (a : a b c : a b c ) A I 0 (c b)x ay az AA 1 0 (a b c)y (a b c)z N (a : a b c : a b c) A 1I 0 ( a b c)(b c)x a(a b c)y a(a b c)z AA 0 y z P (a : a b c : a b c) ( AA ) ((b c ) : a 3b c : a 3 b 3c ) BC (0:1: 1) ( AA ) I 0 ( a b c)(b c)x (a b c)(a c)y (a b c)(a b)z BC A 0 y z Q ((b c) : a b c : a b c) Como la ecuación de la bisectriz interior correspondiente al vértice C es: bx ay 0 y: A C 0 x y z R (a : b : b a)
3 Como la ecuación de una circunferencia general que pasa por los puntos B y C es: a yz b xz c xy ux(x y z) 0 (u ) imponiendo que esté centrada en el punto A, obtenemos que: u a b c por lo que la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es BC es: (a yz b xz c xy) (a b c )x(x y z) 0 y, como la bisectriz interior correspondiente al vértice B es: U (:0:0) (0:1:1) (:1:1) cx az 0 S (a : c a : c) A 1B 1 0 ( a b c)x (a b c)y (a b c)z A C 0 x y z T ((b c) : b : c) Como las ecuaciones de las bisectrices interior y exterior correspondientes al vértice B son: cx az 0 cx az 0 entonces, el punto del infinito de las rectas perpendiculares a la bisectriz interior (y, por tanto, paralelas a la bisectriz exterior) es ( a : a c : c), por lo que, la ecuación de la recta perpendicular a la bisectriz interior pasando por A es: y, por tanto: cy (c a)z 0 V (a : a c : c)
4 Una vez calculadas las coordenadas baricéntricas de estos nueve puntos, vamos a probar lo que nos pide el enunciado del problema: rg a a b c a b c a a b c a b c 1 1 a a c c entonces, los puntos M, N, U y V están alineados. rg a a b c a b c (b c) a b c a b c a b b a a c a c entonces, los puntos P, Q, R y S están alineados. Como la ecuación de una circunferencia general que pasa por el punto B es de la forma: a yz b xz c xy (ux wz)(x y z) 0 (u, w ) imponiendo que pase por los puntos I y R, obtenemos que: u c ( a b c) v a (a b c) (a yz b xz c xy) [c( a b c)x a(a b c)z](x y z) 0 Además, como las coordenadas del punto T verifican esta ecuación, entonces, los puntos B, I, R y T son concíclicos. Como la ecuación de una circunferencia general que pasa por los puntos B y C es de la forma: a yz b xz c xy ux(x y z) 0 (u ) imponiendo que pase por el punto R, obtenemos que: u a b c (a yz b xz c xy) (a b c )x(x y z) 0
5 Además, como las coordenadas del punto S verifican esta ecuación, entonces, los puntos B, C, R y S son concíclicos. Como la ecuación de una circunferencia general que pasa por los puntos A y B es de la forma: a yz b xz c xy wz(x y z) 0 (w ) imponiendo que pase por el punto V, obtenemos que: w a b c (a yz b xz c xy) (a b c )x(x y z) 0 Además, como las coordenadas del punto S verifican esta ecuación, entonces, los puntos A, B, V y T son concíclicos.
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x = 1+t 1. [014] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,) y B(1,-1,-) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y
x-z = 0 x+y+2 = [2012] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
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