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1 Sistemas de Comunicaciones I T207-PEC2 Consultor: Francesc Tarrés Fecha entrega: 27 de noviembre de 208 Normas de entrega - Entregar referiblemente un documento en PDF y comrobar que todas las ecuaciones se visualizan correctamente. Es osible incluir áginas escaneadas de documentos elaborados manualmente. En este caso, rocure tener una letra y organización del documento clara. Si se desea, se uede entregar el PDF y el formato Word Office conjuntamente. Se recomienda no entregar solo el formato Word ya que no siemre se mantienen las fórmulas en todas las versiones. No se acetan entregas en OenOffice. - Nombre del documento: Aellido Aellido_2_Nombre_PEC2.df. - Se tienen que numerar todas las áginas del documento, esecialmente cuando se entregan documentos manuscritos escaneados. - Todos los resultados de los roblemas se tienen que demostrar o razonar. Si algunas de las demostraciones necesarias aarecen en el libro de texto sólo es necesario referenciar la fórmula del libro. El detalle con el que se esera la resolución de los ejercicios es el mismo que el de los ejercicios resueltos que se roorcionan en las guías de estudio de cada módulo. - Las soluciones finales de cada aartado deben identificarse de forma clara. Problema. Modulaciones de línea (30%) En este roblema se comaran diferentes modulaciones de línea ara codificar una secuencia de bits. Hemos realizado una catura de una señal y sabemos que está codificada en Manchester y que se corresonde a 6 bits de información. La forma de onda de la señal caturada se reresenta en la figura adjunta: a) Determine la secuencia binaria corresondiente (0s y s) y rereséntela en codificación NRZ biolar. b) Reresente las formas de onda que se obtendrían si la secuencia se codificase en los siguientes códigos de línea: Código bifase Manchester Diferencial HDB3

2 Sistemas de Comunicaciones I T207-PEC2 2 Suonga, si fuera necesario, que el bit anterior al rimer bit es 0, y la tensión es V. c) Determine el tiemo máximo que la forma de onda ermanece en un nivel de tensión constante en el ejemlo concreto que estamos considerando y ara las diferentes modulaciones de línea evaluadas en los aartados anteriores (incluyendo la Manchester del enunciado). d) Calcule la energía total de cada una de las señales de línea obtenidos en los aartados anteriores (incluyendo la Manchester de enunciado). Suonga que el tiemo de bit es T = μs y las amlitudes de +V, 0, V (V = 5 volts). Suonga también que en todos los casos la duración de la señal de línea es de 6 μs. Solución a) La modulación de Manchester codifica los s emezando or un valor ositivo y cambiando en medio del símbolo. Los 0s se codifican comenzando en negativo y cambiando en medio del símbolo. Por lo tanto, la señal que tenemos en la figura codifica la siguiente secuencia de bits: Al codificarlo en NRZ obtenemos: b) En el gráfico adjunto se reresentan las formas de onda asociadas a cada uno de los moduladores de línea ara la secuencia de 6 bits.

3 Sistemas de Comunicaciones I T207-PEC2 3 c) i d) A artir de los resultados anteriores odemos extraer la siguiente tabla sobre las duraciones máximas de los valores de tensión de salida y sobre la energía de cada modulación. Es imortante notar que la energía es siemre la misma (exceto en el caso de HDB3) debido a que en todos los demás casos la señal es o ositivo o negativo, ero siemre con una tensión con el mismo valor absoluto. Modulación T max nivel tensión Energía Manchester μs W NRZ 6 μs W Bihase μs W Manchester diferencial μs W HDB3 3 μs W

4 Sistemas de Comunicaciones I T207-PEC2 4 Problema 2. Energía modulaciones PAM (30%) Suongamos que queremos transmitir una secuencia de alabras binarias de 4 bits cada una. Usaremos una modulación 6 PAM uniolar donde los niveles sucesivos están searados or una tensión de,5 voltios, emezando or el nivel de 0 voltios. Sabemos que las 6 alabras no son equirobables ya que las robabilidades de los bits 0 y son asimétricas. (b = 0) = 0. (b = ) = 0.9 Una manera de asignar la amlitud de los 6 niveles de los ulsos es que el nivel de tensión sea roorcional a la alabra binaria tal como se muestra en la columna de asignación de la tabla adjunta. Sabemos que los ulsos son rectangulares y que la velocidad de transmisión del sistema es de 8 Mbs. Se ide: alabra Asignación Asignación 2 Palabra Asignación Asignación V V 000,5 V 00 3,5 V V 00 5 V 00 4,5 V 0 6,5 V V 00 8 V 00 7,5 V 0 9,5 V 00 9 V 0 2 V 0 0,5 V 22,5 V a) Determina la robabilidad de cada símbolo. b) Determina la duración de cada ulso. c) Determina el nivel medio de energía de la señal ara la asignación de niveles. Sin embargo, quisiéramos hacer una asignación de niveles PAM en alabras binarias que sea ótima con resecto a la energía media de la señal (lo más equeña osible). d) Hacer una rouesta de asignación (2) de niveles en cada uno de los símbolos ara que la energía final sea lo más equeña osible teniendo en cuenta las robabilidades de cada símbolo. (La solución no es única). Exlica el rocedimiento emleado ara hacer la asignación 2. Calcula la energía media con la nueva asignación de niveles. e) Discute si la reasignación de niveles afectará a la robabilidad de error del sistema. Solución a) Teniendo en cuenta las robabilidades de cada bit, las robabilidades de los símbolos quedan deginidas or la tabla siguiente: Símbol Probabilitat Símbol Probabilitat

5 <latexit sha_base64="bvibv5ghx2czvxyndca0qb5erju=">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</latexit> <latexit 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Por tanto, el número de ulsos (símbolos) or segundo debe ser 2 Msimbols / s. De esta manera, obtenemos que la duración de un ulso (símbolo) es: T simbol =0.5µs c) Podemos calcular la energía teniendo en cuenta la duración del símbolo, su amlitud y las robabilidades de cada uno de los símbolos. obtenemos: X5 E = T simbol i A 2 i =T i=0 + T T = = T = 24µJ d) Con el fin de minimizar la energía total lo que deberíamos hacer es que los símbolos más robables tuvieran asignados los niveles de amlitud más equeños. De esta manera se minimizaría la energía transmitida. Una osible asignación sería la que se muestra en la siguiente tabla: araula Assignació Assignació 2 Paraula Assignació Assignació V 22,5 V V 6,5 V 000,5 V 2 V 00 3,5 V 0,5 V V 9,5 V 00 5 V 9 V 00 4,5 V 5 V 0 6,5 V 4,5 V V 8 V 00 8 V 7, 5 V 00 7,5 V 3,5 V 0 9,5 V 3 V 00 9 V 2 V 0 2 V,5 V 0 0,5 V 6 V 22,5 V 0 V e) La energía media ara la nueva asignación de niveles será: f) X5 E = T simbol i A 2 i =T i=0 + T T = = T 2, 7 = 6, 35µJ g) Generalmente, al aumentar la energía tenemos más rotección frente al ruido. Esto se debe a que es habitual que la energía aumenta debido a que la searación entre los niveles aumenta, reduciendo or tanto la robabilidad de error. No obstante, hay que considerar este ejemlo de roblema con cuidado, ya que en este caso, los niveles de tensión que se transmiten siguen siendo los mismos, simlemente hemos cambiado las robabilidades con las que se ueden transmitir. Si se suone que los umbrales de decisión de cada símbolo están en los niveles de tensión intermedios, la robabilidad de error deenderán de las robabilidades de los símbolos. En la Figura mostramos una versión simlificada, sólo con 4 niveles, donde se mantienen los niveles ero cambiamos las robabilidades de los mismos. A artir de la figura queda claro que la robabilidad de error en el símbolo 3 es la misma indeendientemente de las asignaciones de niveles que estamos haciendo. Las robabilidades de error or los símbolos 4 y también son las mismas ara que estando en los extremos,

6 <latexit sha_base64="5mhuas9xfo+jrz8nx8d8ykam6o=">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</latexit> <latexit sha_base64="5mhuas9xfo+jrz8nx8d8ykam6o=">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</latexit> <latexit sha_base64="5mhuas9xfo+jrz8nx8d8ykam6o=">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</latexit> <latexit sha_base64="5mhuas9xfo+jrz8nx8d8ykam6o=">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</latexit> Sistemas de Comunicaciones I T207-PEC2 6 de manera, que la robabilidad de error or símbolo no cambia en las dos configuraciones estudiadas. Nuestro caso tiene más niveles or lo que su estudio es más comlejo y su análisis debería realizarse con mayor cuidado. No obstante, el caso simlificado nos muestra que la energía se reduce debido a una reasignación de los niveles, estamos menos tiemo transmitiendo ulsos de alta energía, or lo que se reduce la energía, ero las diferencias entre los niveles de los ulsos, se mantienen iguales, or lo que nuestros errores en identificar símbolos correctamente también. En conclusión, en sistemas donde las robabilidades de los símbolos no son iguales es osible reducir la energía mediante una asignación adecuada de los niveles de tensión más bajos a los simbolos más robables con un imacto menor sobre la robabilidad de error. P = = = = 4 ; 2 = 3

7 <latexit sha_base64="eul+sgku+islnnk+3vsetvetlko=">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</latexit> <latexit sha_base64="eul+sgku+islnnk+3vsetvetlko=">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</latexit> <latexit sha_base64="eul+sgku+islnnk+3vsetvetlko=">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</latexit> <latexit sha_base64="eul+sgku+islnnk+3vsetvetlko=">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</latexit> Sistemas de Comunicaciones I T207-PEC2 7 Problema 3. Modulaciones PAM i cálculos de robabilidad de error (40%) Tenemos un sistema de modulación de ulsos en amlitud biolar asimétrico, tanto en cuanto a las robabilidades de cada bit como a los niveles de tensión. La señal que obtenemos al recetor se uede modelar como: El ulso (t) está definido como: r(t) = (t) = +X k= a k (t if 0 ale t ale T0 /3 0 other values kt 0 )+w(t) El valor de a uede tomar los valores {A, 2A} en función de si el bit a transmitir es o 0, resectivamente. Las robabilidades de cada bit son: bit a robabilidad 0-2A 0.8 A 0.2 El ruido w(t) es un roceso blanco y gaussiano con varianza σ = 49. Sabemos que el recetor usa el umbral de 0 voltios ara decidir el bit recibido, de manera que cuando r(t) es ositivo decidimos que hemos recibido un y cuando es negativo un 0. Se ide: a) Calcular la forma de onda de la señal cuando se transmite la secuencia de bits (suoner que se uede desreciar el ruido) b) Calcula el valor de T ara que la tasa de transmisión del sistema sea de 50 Mbs c) Calcular el valor de A ara que la energía romedio or bit de la señal sea de 5 0 J. Hazlo ara un caso genérico, teniendo en cuenta las robabilidades reales de cada bit y no ara el ejemlo concreto del aartado a) d) Determina una fórmula que nos ermita obtener la robabilidad de error en función de A y de σ suoniendo que usamos un umbral de decisión igual a cero, es decir, si la señal es ositiva decidiremos haber recibido un y si es negativa un 0. e) Determina el valor numérico de la robabilidad de error ara los valores de A y σ calculados en los aartados anteriores ara el caso de un umbral de decisión cero. f) Calcula cuál sería la robabilidad de error si doblamos la energía de la señal (cambiamos el valor de A ara que la energía sea de 30 0 J), manteniendo el mismo umbral de decisión que en los casos anteriores. g) La robabilidad de error deende del umbral emleado en el recetor. Como calcularías el valor ótimo del umbral ara que la robabilidad de error fuera mínima?. Suonga que todo el resto de arámetros se mantienen constantes. Realícelo ara el caso de A obtenido en el aartado c). (Nota: no es necesario encontrar el valor ótimo, simlemente, exlicar cómo se obtendría or métodos analíticos o gráficos. Sin embargo, se valorará favorablemente a los estudiantes que lleguen a encontrar el valor del umbral) Solución a) El ulso tiene una duración de /3 arte del eriodo de símbolo y las amlitudes son asimétricas. La forma de onda que tendríamos asociada a la señal sería la de la figura adjunta:

8 <latexit sha_base64="agdq8kucw7snwc6tb95i9dy=">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</latexit> <latexit 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sha_base64="oct7i676ct5n7tvto0kwv52lxu=">aaacmnicbzblswmxemezpmt9vt6czzct2xx96vq8okxql/qjnszwytzzkvizlfhc/h3ev+hh0jl48+cfmh4faohd4zx9mmmnfjwq34lrvztlyyuraemyju7mvbob29tvgbvryuucavbpjfmcmnqwegwvqqzcx3bmv79ajefgdaccvrmixynyqdyqnocvilzu9rldq+jtgzr55cwo4emnphs5mzfhdxgd339hyn5woby2l6ubxbcsebf8gbqh5no9rlfxf6isyhk0afmabturf0e6kbu8hsbcc2lcl0ngxy26ikitpdzpy5fbes0seb0vzjwgndiihothd0lediye7m8bif/v2jeel92eyyggjulkuraldaqpnmj9rhkfmbraqob2vkzvilugrj/zwuwaebzdztkstcabn2irgsclz/lnab5snjquqyfocbwrhy5qbv2jkqoji7qc3fb86z8+f8ol+tivnonoa/otz8wtvvalp</latexit> Sistemas de Comunicaciones I T207-PEC2 8 a) En cada símbolo se transmite un bit, or tanto: b) En este caso tenemos: T simbol = T bit = = 20 ns E = T ( 2A) A 2 = =) A = Volts c) Tenemos la situación reresentada en la Figura adjunta donde intuitivamente vemos que el umbral de decisión igual a cero no es el valor ótimo. La robabilidad de error sería: Z error =0.8 0 =0.8 =0.8 Q 2 ex Z 2 2A/ ex 2 2A +0.2 Q (x +2A) A d +0.2 Z 0 dx +0.2 Z A/ 2 2 ex ex 2 2 (x A) 2 dx = 2 2 d =

9 <latexit sha_base64="bugstf/mk+jviy+ctakmv5fewka=">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</latexit> <latexit 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Q 2 A Z th dx +0.2 d +0.2 th Z (th 2 2 ex A)/ ex (x A) 2 dx = d = El valor mínim ot trobar-se analíticament derivant resecte a th. Un altra alternativa es resoldre el mínim de forma numèrica. En la gràfica adjunta es mostra el resultat obtingut gràficament, donant diferents valors a th er tal d obtenir el mínim. Segons aquests resultats, el valor (aroximat) de th és th = -2.

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