Paramagnetismo de Pauli

Transcripción

1 Paramagnetismo de Pauli Hasta ahora no habíamos tenido en cuenta el esín electrónico a la hora de tratar sistemas magnéticos. En realidad, el hamiltoniano comleto de un electrón sometido a un camo magnético H caracterizado a través de su ontencial vector A, vendría dado or H + e m c A 0 H donde ( x ; y ; z ) son las matrices de Pauli. Ahora que conocemos las roiedades magnéticas que surgen del rimer término (orbital) del hamiltoniano, odemos ignorarlo y estudiar solamente la contribución de los esines (aramagnetismo). A la hora de caracterizar un sistema general bastará con sumar la contribución diamagnética y la aramagnética de la suscetibilidad o de la magnetización M. Función de artición canónica Ignorando or comleto el movimiento orbital debido a la resencia del camo magnético H, tomamos el siguiente hamiltoniano ara nuestras artículas H m 0 H Tomaremos el camo H en la dirección z, de modo que 0 H z. Recordemos además que S i } i con (i ; ; ), con lo cual, los valores roios de nuestro sistema quedarían como " ;s m s 0H con s deendiendo de si tenemos esín arriba (" o +) o esín abajo (# o ). Si trabajamos con un sistema del que conocemos los números de ocuación n ;s de los distintos niveles (; s), odremos escribir la energía como E fn(;s)g X X X X " ;s n ;s X s m m (n ; + n ; ) (n ; n ; ) m n+ + n + 0H n ; + m + 0H n ; Donde denotamos P n ; + y P n ; además, introducimos la notación abreviada n ; n + y n ; n. Ahora que tenemos la energía

2 de una determinada con guración de números de ocuación fn ;s g (con n ;s 0; ) exresada en forma conveniente, odemos calcular la función de artición canónica (que denotaremos or rimera vez como Q y no como Z C (T; V; ) or simlicidad de notación). Q X 0 fn + gfn g ex X m n+ + n + donde la rima del sumatorio denota la restricción P P s n ;s. La suma se extiende a todos los osibles conjuntos de números de ocuación n + y n de acuerdo con la restricción sobre el número de artículas. Resulta conveniente reescribirla de una forma más ordenada. Suongamos jo el número de esines arriba, + (también estaría jo + ). En este caso, sumaríamos a n + con la restricción P n+ + (que denotaremos con 00 ) y a n con la restricción P n + (que denotaremos or 000 ). Si ahora barremos todos los osibles valores de + sumando desde 0 hasta, obtendremos recisamente el P 0 + fn gfn g que retendemos calcular X Q e ( + ) X 00 fn + g ex + 0 X X000 m n+ fn g ex X m n Hemos tenido en cuenta en el argumento de la rimera exonencial que + + ( + ) +. Si ahora escribimos la función de artición canónica de un sistema de artículas libres sin acolamiento entre esines y camo magnético, vemos que Q (0) X 0 fn g ex ( P n) X n m Con lo cual, la función de artición de nuestro sistema uede escribirse en función de Q (0) y Q (0) + como Q X + 0 e ( + ) (0) Q Q (0) + e X + 0 e + Q (0) + Q (0) + Ahora bien, sabemos que la función de artición canónica se relaciona con la función de Helmhotz F (que a menudo se denota or A) según Con lo cual llegamos a ln Q A ) Q e A

3 X Q e e + e A( + ) e A( + ) + 0 X e ex + A + + A y tomando logaritmos y dividiendo or el número de artículas, tendremos A () ln Q + ln X + 0 ex + A + + A + Donde A () denota la función de Helmholtz del sistema comleto de esines acolados a un camo magnético H que estamos estudiando. Como trabajamos con un sistema en equilibrio con temeratura bien de nida, sabemos que la traza de la matriz densidad (función de artición) tendrá muchas contribuciones nulas y a efectos rácticos sólo será distinta de cero la del microestado más robable. En términos clásicos diríamos que la distribución de robabilidad está tan localizada en torno al máximo que indica el microestado más robable que las contribuciones del resto bien odrían ignorarse o bien incluirlas como equeñas correcciones o uctuaciones. Este razonamiento es en todo análogo al que hicimos en el rimer caítulo al analizar el gas ideal cuántico con el colectivo microcanónico. Estamos interesados ues en ver cuándo el funcional anterior es máximo (ara qué valor de + la robabilidad es máxima). Se trata de un simle roblema de maximización de una única variable, ero uede servirnos como retexto ara introducir un equeño inciso sobre el método de la fase estacionaria del que este caso es un ejemlo trivial. Fase estacionaria Sea la integral aramétrica I () I () Z b a dx g (x) e if(x) con Si examinamos el integrando, observamos que la contribución de g (x) queda enmascarada or una ráida oscilación en torno al origen dada or e if(x) y teniendo en cuenta que hemos escogido. Dado que esto es así, el efecto de la exonencial es romediar a cero el valor de g (x). Los únicos untos donde odríamos tener una contribución areciable a la integral dentro del intervalo (a; b) son aquellos fx 0 gdonde f 0 (x 0 ) 0 (o lo que es lo mismo, donde

4 d dx eif(x) se anule). Suongamos que hay un único x 0 en (a; b). En este caso, odremos desarollar f (x) en serie en un equeño entorno de x 0 y tomar el valor constante g (x 0 ) en lugar de mantener g (x), ya que será el único valor que no se romedie a cero or las bruscas oscilaciones de la exonencial. f 0 (x 0 ) 0 ; f 00 (x 0 ) 6 0 f (x) f (x 0 ) + f 00 (x 0 ) (x x 0 ) + ::: g (x) g (x 0 ) I () Z b a dx g (x 0 ) e i(f(x0)+ f 00 (x 0)(x x 0) ) Z g (x 0 ) e if(x0) dx e i f 00 (x 0)(x x 0) ::: fx x 0 g ::: Z g (x 0 ) e if(x0) d e i g (x 0 ) e if(x0) s g (x 0 ) e if(x0) if 00 (x 0 ) En rimer lugar, hemos extendido el dominio de integración a todo R dado que la ráida oscilación de la exonencial anularía a efectos rácticos toda contribución al valor de la integral no rocedente de un equeño entorno alrededor del unto x 0. A continuación, un cambio de variable trivial nos lleva a una integral gaussiana conocida, que odemos resolver de forma inmediata. Dado que en el resultado nal f 00 (x 0 ) aarece en el denominador, es lógica la exigencia inicial de que f 00 (x 0 ) 6 0. Si tuviésemos más untos x 0 en el intervalo (a; b), haríamos exactamente lo mismo ara cada uno de ellos y luego sumaríamos. Si tanto la derivada rimera como la segunda se anulasen, deberíamos incluir hasta términos de tercer orden en el desarrollo en serie de f (x). También odríamos lantearnos extender este método en general al lano comlejo C. Volviendo a nuestro caso concreto, vemos que ln Q 0H+ ln X + 0 ex + A + + A + Dado que tanto ln x como ex x son funciones monótonas, odemos maximizar equivalentemente su argumento (odemos obviar el factor común ) 4

5 f + + f + max f + A + + A + Escribimos la condición de maximización de f ( + ) f 0 + " # 0 + Sabemos T;V ln z Donde hemos recuerado la notación ln z que emleamos en su momento en los desarrollos de Sommerfeld. os quedará entonces f 0 + 0H A artir de esta condición, imoniendo el límite de bajas y altas temeraturas (donde conocemos el desarrollo analítico aroximado de ()), odríamos tratar de deducir + y a artir de él, la magnetización y la suscetibilidad del medio.. Límite de bajas temeraturas En rimer lugar, recordemos qué entendemos or bajas temeraturas. Dado que la magnitud de interés de nida en nuestro sistema de fermiones es la energía " F de fermi, la temeratrua T diremos que debe ser T T F " F k B : En cuanto a órdenes de magnitud de estas temeraturas en un metal tíico, basta que T 0 5 K ara oder considerar válido el desarrollo siguiente (recordando los resultados del Problema 4) mientras que sabemos que ara observar las oscilaciones tíicas de la suscetibilidad magnética características del efecto de Haas-Van Alhen habíamos dicho que se recisan temeraturas muy inferiores a temeraturas del orden K. En este rango de bajas (ero no tan bajas) temeraturas, el desarrollo de Sommerfeld nos dice que " kb T () () " F () + :::# " F () El que incluimos en el argumento de " F viene imuesto dado que cuando dedujimos esta aroximación asintótica ara, no estábamos considerando degeneración (g ) en la de nición de " F. Sin embargo, nuestro sistema sí que 5

6 es degenerado (g ), de tal forma que ara recuerar el " F que aarece en el desarrollo, debemos incluir este factor en el número de artículas. Lo vemos inmediatamente a artir de la de nición de " F 6 } " F gv m Sustituyendo el desarrollo en nuestra condición de extremo ara nuestra función f ( + ), tenemos " F + 4 " F + + ::: 5 " F + 4 Reagruando llegamos a ) " F + " F + ( ) " F + + ::: 5 ) " F + " F + +::: En este unto, resultará conveniente de nir un nuevo arámetro r tal que r + Que uede variar entre (todas las artículas tienen esín ") y las artículas con esín #). En términos de r, resulta (todas " F () " F + " F () ( ) " F + " F () " F () " F () " F () " F + " F + + ::: y, de la de nición de " F (), vemos que " F + " F () " F + " F () sustituyendo, nos queda + ( + r) + ( r) " F () ( + r) ( r) kb T ( + r) ( r) " F () 6

7 Resultará interesante estudiar el límite de camo débil tanto en el cero absoluto como a temeraturas equeñas. El límite de camo débil imlica que r se encuentra en un equeño entorno de r 0 dado que, en ausencia de camo, cualquier esín (" ó #) es equirobable y or tanto + ) r 0. Bastará entonces un desarrollo de Taylor en torno a este unto. " F () ::: f( + "x) n + n"x + :::g ::: + r + r ( ) " F () 4 r + kb T " F () r r Estudiaremos rimero el caso simle del cero absoluto " F () 4 r 4 + ) r 0H " F () ) + + 0H " F () Es decir, en ausencia de camo, observamos que la mitad de los esines se orientan hacia arriba y la mitad restante hacia abajo. Sin embargo, cuando añadimos un camo débil en la dirección del eje z, si el módulo de éste es ositivo, el número más robable de esines hacia arriba aumenta, mientras que si H < 0, + disminuye. Ahora odemos escribir la función de artición canónica or unidad de volumen (salvo uctuaciones) como ln Q V + V ln X ex + A + + A V + A + + A + Derivando resecto de H y multilicando or, llegamos a la magnetización M y a la suscetibilidad M 0 + V 0 + V n 0H " F n 0 " F 0 v" F Consideraremos ahora lo que ocurre si activamos la excitación térmica yéndonos a temeraturas T T F. En este caso Recordemos que A () es una notación conveniente que denota la energía libre de un sistema de artículas sin interacción magnética. Por este H A () 0. 7

8 r " F () " F () ) + + kb T 0H " F () " F () kb T ) ::: " F () + 0H " F () kb T " F () kb T " F () + (r + ) ::: ) La magnetización en este caso vendría dada or M 0 V + 0H v" F 0 v" F T T F T T F. Límite de altas temeraturas En este límite, tomaremos la aroximación habitual ara z dada or v z ) ln z ln v Volviendo a la condición de maximización de f + + ln V + ln V + ) ex + ex + ex ex ) ex ex + ex La magnetización, or lo tanto, nos queda como M ex V ex 0 ex + ex +, obtenemos que ln + ex 0 v tanh + ) + ) 8

9 Hasta ahora, hemos entendido or temeraturas altas z 0 o lo que es lo mismo v 0. Si or temeraturas altas, odemos entender también excitaciones térmicas muy sueriores al término de la energía or artícula corresondiente al acolamiento magnético de los esines y el camo H, odríamos ensayar un desarrollo en serie truncado en los términos lineales ara tanh x ( 0 J, de modo que debe ser 0 J). En esta suosición, tendremos M 0 v v x + x 0 v 0 x + x 0 v x x 0H v Vemos que la suscetibilidad aramagnética a altas temeraturas es del mismo orden (tres veces mayor) y de distinto signo que la suscetibilidad diamagnética en el mismo límite. Sin embargo, a bajas temeraturas (tomaremos el cero absoluto), el cociente entre P D deende del volumen or artícula, de modo que si trabajamos en un sólido, la contribución dominante será la aramagnética enmascarando totalmente el diamagnetismo de Landau. P 0H 0 e} D 4" F mc 8 n}c e 4 n ( n n) m } ( n) En un metal tíico como la lata, tenemos n 5:780 8 m y or tanto, a temeratura cero, la contribución aramagnética a la suscetibilidad es del orden de veces mayor que la diamagnética 9