PRÁCTICAS DE FÍSICA I

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1 GRADOS E IGEIERÍA DE TECOLOGÍAS IDUSTRIALES E IGEIERÍA QUÍMICA CURSO PRÁCTICAS DE FÍSICA I. Estátca y dnámca: prncpo de Arquímedes y ley de Stokes.. Leyes de la dnámca: ª ley de ewton. 3. Osclacones mecáncas: péndulo de Pohl. 4. Coefcente adabátco del are: osclador de Flammersfeld. Apéndce: Ajuste por el método de mínmos cuadrados. ESCUELA DE IGEIERÍA Y ARQUITECTURA UIVERSIDAD DE ZARAGOZA C/ MARÍA DE LUA, 3 E-5008 ZARAGOZA ESPAÑA

2 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) PRÁCTICA PRICIPIO DE ARQUÍMEDES Y LEY DE STOKES. OBJETIVO: La práctca trata del estudo epermental de la ley de Stokes, que relacona la fuerza de frccón vscosa que produce un fludo sobre un objeto que se mueve en él (fuerza de arrastre). Se va a manejar tambén el prncpo de Arquímedes. Más concretamente, se utlzará el concepto de fuerza de empuje que epermenta un objeto al sumergrse en un fludo para aplcarlo a la medda de la densdad de la glcerna utlzando una balanza mecánca. FUDAMETO TEÓRICO: El prncpo de Arquímedes establece que todo cuerpo sumergdo en un fludo epermenta un empuje F E, vertcal haca arrba de valor gual al peso de fludo desplazado: Empuje = F E = gv, donde es la densdad del fludo y V el volumen del cuerpo que está sumergdo en el fludo. Es decr, medr el empuje permte obtener el valor de la densdad del fludo, conocdos la gravedad y el volumen del cuerpo sumergdo. Cuando un objeto se mueve dentro de un fludo a poca velocdad (o es el fludo el que se mueve estando el objeto fjo nmerso en él), sufre una fuerza vscosa o de arrastre que es proporconal al tamaño del msmo y a su velocdad y se opone a ésta. En el caso de un objeto esférco la fuerza está dada por: F 6R v, () donde es una constante característca del fludo que se llama vscosdad y que ndca de una forma ntutva lo pastoso que es el fludo. La undad de vscosdad en el sstema CGS (en toda esta práctca los números son más smples s se utlza el sstema

3 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) CGS, por ejemplo g = 980 cm/s ) es el pose = dyns/cm = g/scm. Por ejemplo, el acete de olva es muy vscoso mentras que el agua lo es menos (aunque el acete es menos denso que el agua). Los gases son tambén vscosos aunque mucho menos que los líqudos. La vscosdad dsmnuye muchísmo con el aumento de la temperatura, la eperenca dara nos dce que los líqudos vscosos (como el acete) se hacen más fludos al calentarlos. En esta práctca vamos a estudar epermentalmente s la ley de Stokes se cumple o no. Para ello dejaremos caer bolas de acero de dstnto rado en un tubo lleno de glcerna (que es un líqudo vscoso). El movmento de una bola vendrá regulado por las leyes de la Mecánca. Las fuerzas que actúan son (ver fgura): - la gravedad: 4 3 Fg mg Vg R g 3 ( = densdad del acero = 7.86 g/cm 3 ) - Empuje, según Arquímedes, gual al peso del fludo desalojado: 4 3 Fe Vf 0g R 0g, sendo 0 la densdad del fludo. 3 - fuerza de frccón vscosa: F 6 v R v La ecuacón del movmento (consderamos sentdo postvo haca abajo) es: F F F ma m dv g e v, es decr: dt R 0g 6Rv R dv () 3 3 dt S dejamos caer lbremente una bola sn velocdad ncal en un fludo, al prncpo la fuerza vscosa es cero y, s la densdad es mayor que la del fludo, se acelerará debdo a que la fuerza de la gravedad es mayor que el empuje. Pero no descenderá con movmento unformemente acelerado porque conforme la velocdad aumenta aparece la fuerza de rozamento vscoso y la aceleracón es cada vez menor. Fnalmente se alcanzará una velocdad límte cuando la suma de las tres fuerzas sea cero y a partr de ese momento la bola se moverá con aceleracón nula. La velocdad límte v 0 se obtene ponendo en la ecuacón () la aceleracón cero: 3

4 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) R R g 6Rv 0 v 0 0 0, es decr, es proporconal al rado al cuadrado de la bola. 9 0 g (3) El tempo T que tardará la bola en alcanzar la velocdad límte es del orden de 4 ó 5 veces el valor: T 4 3 R 3 R 6R 9. (4) En nuestro caso, la velocdad límte se alcanza en pocos centímetros. MÉTODO OPERATIVO: I. Prncpo de Arquímedes: determnacón de la densdad de la glcerna. Se dspone de: una balanza mecánca, clndros de 0 cm 3 de volumen (nmersores) y una probeta que contene glcerna. La balanza consta de un soporte (5) con un tornllo que permte el equlbrado de la balanza (6), y de una peza metálca que se apoya sobre él (brazo de la balanza). Dcho brazo dspone de dos escalas graduadas y dos pesas deslzantes (5) y (6). La mayor de las pesas deslza sobre una escala graduada en gramos, y la menor sobre una escala 4

5 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) graduada en centésmas de grado. La balanza estará en equlbro cuando los punteros del brazo () y del soporte () queden perfectamente enfrentados. Se comenza hacendo un ajuste a cero con el tornllo (6) tenendo las pesas deslzantes en la poscón 0. Cuando la balanza está equlbrada, se coloca en el platllo el cuerpo que se quere pesar y se desplazan las pesas sobre las escalas hasta recuperar la poscón de equlbro de la balanza (se mueve la pesa grande mantenendo la pesa pequeña en cero, para fnalmente ajustar la poscón de la pesa pequeña). En estas condcones, bastará con sumar los valores de las poscones en que descansen las pesas para obtener la masa buscada. La balanza está preparada para pesar utlzando un platllo () y su soporte (). o es posble equlbrar la balanza sn ellos, pero resulta más cómodo retrarlos para la realzacón de la práctca. Por este motvo se equlbrará la balanza con estos accesoros y habrá que tener en cuenta que cualquer medda posteror tendrá descontada su masa, en adelante M. Al obtenerse el empuje como una dferenca de pesos, no será necesaro conocer el valor de M. Sean m are la masa medda al colgar el nmersor del gancho de la balanza, y m glcerna la obtenda al sumergr completamente el nmersor en la glcerna. El clndro no debe tocar las paredes de la probeta. Al sumergrlo por completo (ncludo el tornllo), epermentará un empuje que se podrá calcular restando al peso del nmersor el obtendo tras ntroducrlo en el fludo: F E = (m are + M) g (m glcerna + M) g = (m are m glcerna ) g Aplcando el prncpo de Arquímedes, se obtene la sguente epresón: (m are m glcerna ) g = Vg Sólo queda despejar la densdad y obtener su valor ( no olvdar sus undades!). II. Ley de Stokes: Se trata de dejar caer bolas de acero calbradas en un límte de tubo vertcal lleno de glcerna, que es un líqudo muy vscoso. Se lanzarán bolas de dstntos rados (prevamente conocdos) y se determnará epermentalmente la velocdad caída de cada una mdendo con un cronómetro el tempo que tardan en recorrer la dstanca entre dos 5

6 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) marcas hechas con cnta aslante. Fnalmente se representará en papel mlmetrado el cocente R como funcón de R, que según la fórmula () debe ser constante e gual a v0 9 s la ley de Stokes es válda. De todas formas recuérdese que la ley de 0 g Stokes sólo es válda para pequeñas velocdades, por lo que los puntos se desvarán para velocdades (y rados) grandes. ) Se dspondrá de bolas de dstnto rado, desde 0.5 mm a.5 mm Se dspondrá de un palmer o calbrador para medr su dámetro o ben estará prevamente meddo y anotado. ) Lanzar 6 bolas de cada tamaño y determnar su velocdad límte de caída (= v 0 ) mdendo el tempo que tardan en recorrer la dstanca entre dos marcas del tubo. Anotar en una tabla los datos obtendos para cada bola. Calcular los valores de R que resultan v0 para cada bola. 3) Hacer el promedo de los resultados de R /v 0 que corresponden a bolas del msmo rado y representarlos en papel mlmetrado tomando los valores de R como abscsas. 4) Decr s se cumple la ley de Stokes o no. Obtener la vscosdad de la glcerna de la etrapolacón a R 0. La vscosdad de la glcerna no puede darse con un únco valor. Utlzando un reómetro de la Facultad de Cencas, se ha meddo la vscosdad de la glcerna que utlzamos en el laboratoro para dferentes temperaturas en el rango de 0 a 40 ºC. Medr con un termómetro la temperatura de la sala y comparar el resultado con los datos obtendos con el reómetro, que se muestran en la sguente tabla: T(ºC) (pose) ================ 0 8, 5 3,6 0 8,0 5 6,3 30 4,5 35 3,3 40,5 6

7 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) 5) En este rango de temperaturas, el logartmo neperano de es apromadamente lneal con la temperatura. Representar gráfcamente y ln ((T) / (0ºC) ) frente a T (en ºC). Ajustar los datos de la tabla a una recta por mínmos cuadrados y representar en la msma gráfca los datos, la recta de ajuste y con un punto el dato meddo en esta práctca. Concde con lo esperado? 7

8 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) CUESTIOARIO PRÁCTICA : PRICIPIO DE ARQUÍMEDES Y LEY DE STOKES I. Prncpo de Arquímedes: Meddas con la balanza: m are = Valor obtendo para la densdad: =.. m glcerna = II. Ley de Stokes. Tabla de datos (apartado ): R(mm) t(s) v 0 (cm/s) R R(mm) t(s) v (cms) 0 (cm/s) R (cms) v0 v0 3) y 4) En el papel mlmetrado. Vscosdad : Temperatura: 5) Datos de la tabla de vscosdad para dstntas temperaturas. Representar y ln 0º C frente a T º C. Ajustar los datos a una recta y a b por mínmos cuadrados y representarla junto con los datos. Coefcentes del ajuste: a=... b=... Valor de obtendo del ajuste a la temperatura de trabajo:... Representar tambén en la msma gráfca el valor encontrado epermentalmente en la práctca. 8

9 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) LEYES DE LA DIÁMICA: ª LEY DE EWTO. PRÁCTICA OBJETIVO: En esta práctca se van a manejar las magntudes báscas de la dnámca de una partícula y se va a estudar la relacón entre la fuerza que actúa sobre una partícula y la aceleracón que le comunca. FUDAMETO TEÓRICO: Según la segunda Ley de ewton, la fuerza total F que actúa sobre un cuerpo es la dervada temporal de su momento lneal p, F dp / dt. S la masa del cuerpo, m, permanece constante durante el movmento, la ecuacón anteror es equvalente a: F ma, sendo a la aceleracón de la partícula. Partendo de ésta, puede demostrarse que las ecuacones de movmento de un objeto que se mueve bajo la accón de una fuerza constante en una trayectora recta son: S v0 t at / y v f v0 as, donde S es el espaco recorrdo, v 0 y respectvamente y t es el tempo transcurrdo. v f son las velocdades en los nstantes ncal y fnal Se va a estudar el movmento de un carrto de masa m c que puede desplazarse sobre un carrl metálco. Una cuerda que pasa por una polea tra del carrto. La cuerda se mantene a una tensón T que puede modfcarse colgando pesas de dstnta masa (m p ) de un soporte (m s ) en el otro etremo de la cuerda. Como el movmento del carrto es undmensonal prescndmos de la notacón vectoral de las magntudes. S puede desprecarse la accón del rozamento, las ecuacones de movmento para las masas nvolucradas son: p s p s m m g T m m a T m a c () Cuando se ntroduce el rozamento entre el carrto y el carrl metálco, la últma ecuacón se converte en: T F roz = m c a 9

10 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) ESQUEMA DEL MOTAJE EXPERIMETAL Y MATERIAL ECESARIO: Materal necesaro: - Reloj - Carrto, mc; Pesas, m p. - Puertas y. - Soporte guía para el movmento del Carrto. Algunos de los elementos de la práctca son bastante delcados. En partcular los carrtos y la polea deben ser manejados con mucho cudado. Un aspecto mportante de esta práctca consste en la medda precsa de ntervalos de tempo, para lo que se usan unas puertas fotoeléctrcas (dos por montaje) conectadas a un reloj. Sobre el carrto móvl se coloca una peza de cartón (C) con altura sufcente para ser detectada por la célula (y dsparar el reloj) y que permte caracterzar el movmento del carrto. Estos meddores tenen varos modos de funconamento, que se selecconan con el mando correspondente. En esta práctca vamos a utlzar dos. Modo pulso : El meddor nos proporcona drectamente el tempo que tarda el carrto en recorrer la dstanca entre las dos puertas. 0

11 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) Modo gate : Mde el tempo durante el que un obstáculo bloquea la célula de cada una de las puertas. En este caso el obstáculo es la peza de cartulna colocada sobre el carrto. Conocendo su longtud (se mde) puede hacerse un cálculo de la velocdad del carrto cuando atravesa cada puerta. Es mportante tener en cuenta que en este modo la prmera medda de tempo (durante el que la célula de la prmera puerta está bloqueada) queda almacenada en la línea de abajo (t - ) del meddor. La lectura de la línea de arrba corresponde al tempo acumulado de los dos pasos bajo las puertas fotoeléctrcas. Además del mando que permte selecconar el modo de medda, hay un botón de reset que permte llevar a cero el reloj en cualquer momento. Es mportante famlarzarse con las dferentes meddas de tempo que habrá que realzar antes de comenzar la toma de datos propamente dcha. MÉTODO OPERATIVO: El objetvo es determnar la aceleracón del carrto sometdo a fuerzas dstntas. La aceleracón se determnará de forma ndrecta, a partr de la medda de tempos (célula fotoeléctrca + reloj) y longtudes (regla). Será necesaro medr la masa del soporte y de las dstntas pesas que se cuelguen para tensar la cuerda. Para cada valor de fuerza aplcada sobre el carrto (dstntos valores de la tensón) su aceleracón se va a medr por dos métodos: Método. Partendo del reposo, se medrá el tempo que el carrto tarda en recorrer una determnada dstanca. Para ello, trabajando en modo pulso dejaremos suelto al carrto en la poscón más próma posble a la puerta, sn que llegue a dspararse el reloj y dejaremos que pase bajo la puerta, stuada a una dstanca S. Se repetrá el proceso varas veces y se calculará la aceleracón despejando en la ecuacón S v t at. 0 /

12 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) Método. La aceleracón del carrto tambén puede calcularse a partr de los valores de su velocdad meddos en dos puntos separados una dstanca S y usando la ecuacón v v as. Para calcular esas velocdades pondremos el meddor de f 0 tempo en modo gate y dejaremos en lbertad el carrto desde una poscón ncal de manera que atravese las dos puertas. Sabendo la longtud del obstáculo utlzado (lo medmos) y el tempo durante el que dcho obstáculo bloquea la célula (lo da el reloj) podemos calcular la velocdad del carrto al pasar bajo cada una de las dos puertas: v 0 y v f. Parte : Meddas sn rozamento Recordar que para cada valor de tensón, (se proponen varos valores para la masa que cuelga, a título ndcatvo) habrá que hacer varas meddas de los tempos (al menos 5) para obtener un resultado más fable, medante promedado. Escoger 3 valores de masas en los rangos 5-0 g, g, g. Parte : Meddas con rozamento Para aumentar el rozamento con el carrl, se puede acoplar a la parte nferor del carrto una plaquta con un adhesvo de feltro. Para la mayor de las masas usadas en el apartado anteror, se repetrán las meddas que permten calcular la aceleracón por el método y se compararán los valores de aceleracón obtendos sn y con rozamento. Parte 3: Plano nclnado En esta últma parte se va a nclnar el carrl convrténdolo así en un plano nclnado. Utlzando una de las masas anterores para tensar la cuerda, se repetrá la medda de la aceleracón del carrto tal y como se ha hecho antes y se comparará su valor con el obtendo sn nclnar el carrl.

13 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) CUESTIOARIO PRÁCTICA : LEYES DE LA DIAMICA: ª LEY DE EWTO. ) Meddas sn rozamento: Determnar la aceleracón del carrto, por los dos métodos descrtos, para tres valores de tensón. Método : m p t t t 3 t 4 t 5 <t> a Fórmula usada: Método : m p t 0 t 0 t 03 t 04 t 05 < t 0 > t f t f t f3 t f4 t f5 < t f > a Fórmula usada: Conocendo la aceleracón y la masa de las pesas que cuelgan puede calcularse la tensón de la cuerda T (ecuacones en ()). Hacer los cálculos necesaros para rellenar la tabla: m p a (método ) (m S +m P )(g-a) m c a 3

14 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) Son guales las dos últmas columnas? En caso de que no lo sean, dscutr las posbles causas de la dscrepanca. ) Meddas con rozamento: Masa utlzada m p = Aceleracón del carrto a= Con los datos de que dspones, es posble calcular el valor de la fuerza de rozamento que actúa sobre el carrto? 3) Meddas en el plano nclnado: Masa utlzada m p = Aceleracón del carrto a= Es posble calcular el ángulo del plano nclnado a partr de esa medda de la aceleracón tenendo en cuenta los resultados anterores? En caso afrmatvo, comparar ese ángulo con el valor que puede determnarse geométrcamente. 4

15 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) OSCILACIOES MECÁICAS: PÉDULO DE POHL. PRÁCTICA 3 OBJETIVO: Estudo epermental de las osclacones amortguadas lbres y forzadas de un péndulo de torsón y comparacón de los datos epermentales con los calculados. FUDAMETO TEÓRICO: El péndulo de Pohl (ver dbujo) es un sstema osclante en el que, para pequeñas osclacones, el ángulo respecto a la poscón de equlbro varía de forma armónca con el tempo. Por tanto, todo el tratamento descrto en las clases de teoría para el movmento lbre y forzado (con y sn amortguamento) es váldo. PÉDULO LIBRE AMORTIGUADO La ecuacón de movmento de este sstema es: I B K () donde I es el momento de nerca del péndulo, B es una constante de proporconaldad que depende de la magntud del amortguamento y K es la constante recuperadora del muelle de torsón. Dvdendo por I, nos encontramos con la ecuacón característca de un osclador lbre: 0 0 () donde B I K es la constante de amortguamento y 0 es la frecuenca angular I propa (natural) de las osclacones lbres. En funcón de cuál sea la relacón entre 0 y pueden darse tres stuacones:. 0 Sobreamortguamento: el péndulo, tras sacarlo de su poscón de 4 equlbro, vuelve a ella sn osclar.. 0 Amortguamento crítco: la vuelta al equlbro se produce lo más 4 rápdamente posble sn osclar. 5

16 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) Osclador amortguado. El péndulo oscla sguendo la ecuacón: t A0 e cos t (3) donde A 0 es la ampltud angular ncal del movmento y 0 4 OTA: S se utlza la constante de amortguamento defnda como =b/m (o =B/I en el péndulo de la práctca), hay que susttur por en todas las epresones que aparecen en este guón. PÉDULO FORZADO AMORTIGUADO Cuando sobre el péndulo se ejerce un momento eterno peródco, dado por la epresón: M E M 0cos t, la ecuacón de movmento en este caso es (sendo F0 M0 ): I 0 F0cost (4) cuya solucón será suma de la solucón general vsta arrba para las osclacones lbres más una solucón partcular, que caracterzará el estado estaconaro de movmento descrta por: AF cos( t ) (5) donde la ampltud del movmento forzado A F depende de la magntud del momento aplcado y de la frecuenca eterna F 0 AF (6) ( 0) y el desfase entre el momento eterno y la osclacón vene dado por: arctg 0 6

17 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) ESQUEMA DEL MOTAJE EXPERIMETAL Y MATERIAL ECESARIO: Materal necesaro: - Péndulo de torsón (PT) - Caja de control, que ncluye: -Motor mpulsor (M) -Fuente de almentacón (F) y amperímetro (A) para controlar la ntensdad del crcuto -Cronómetro (Cr) PT Cr OO:OO 0 0 : 0 0 Coneones del crcuto de amortg. F Control de la ntensdad de amortguamento A M Control de la velocdad del motor MÉTODO OPERATIVO: En este montaje, el amortguamento del sstema se controla varando la ntensdad que crcula por el crcuto (leída en el amperímetro A). La ntensdad se varía con el mando del frontal de la fuente: a mayor ntensdad, mayor amortguamento. Por otra parte, el momento mpulsor eterno actúa sobre el etremo del muelle espral. La frecuenca angular del momento eterno puede vararse medante los dos mandos del motor (M) stuados en la parte nferor del frontal de la fuente. El de la derecha permte varacones más pequeñas de la frecuenca (ajuste fno). En la práctca se trata de: a) Determnar el perodo de las osclacones lbres del péndulo de torsón. Se aconseja medr el tempo que le cuesta al péndulo realzar osclacones (por ejemplo 5) t y calcular el perodo: T=t /. Hay que realzar varas meddas para dsmnur el error. 7

18 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) Repetr el procedmento para dstntos valores de amortguamento (dstntos valores de ntensdad del crcuto). Hay que controlar cudadosamente la ntensdad de amortguamento ya que puede r dsmnuyendo en el transcurso de la medda y puede ser necesaro retocar el mando correspondente. b) Para uno de los valores de amortguamento, determnar la constante. Para ello, observad el decrecmento de la ampltud (A) de la osclacón en funcón del tempo, sendo A 0 la ampltud ncal: A n =A 0 ep(-t/)=a 0 ep(-nt/). (n ndca el número de osclacones contablzadas y T es el perodo de la osclacón). Haced una tabla de la ampltud de osclacón A n en funcón de n y representad el log(a 0 /A n ) frente a n. Trazad la recta que de forma apromada mejor se ajuste a los datos que habés representado y obtened el valor de a partr de la pendente de la recta. a) Para el msmo valor de amortguamento utlzado en el apartado anteror y hacendo actuar el momento mpulsor, observad que la ampltud de las osclacones forzadas depende de la frecuenca con que se mpulsa. Obtened la curva de resonanca de ampltud varando la frecuenca del mpulso eterno. b) Sabendo que la anchura a altura mtad de la curva de resonanca de ampltud está relaconada con la constante de amortguamento medante la epresón: = /3, obtened el valor de y compararlo con el obtendo en el apartado b). c) Observad el desfase entre la osclacón y el momento eterno. 8

19 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) CUESTIOARIO PRÁCTICA 3 OSCILACIOES MECÁICAS: PÉDULO DE POHL ) OSCILACIOES LIBRES AMORTIGUADAS a) Cuál es la frecuenca de las osclacones lbres en ausenca de amortguamento? b) Para los valores ndcados de ntensdad del crcuto de amortguamento, ndcad cuáles son las frecuencas de osclacón. ITESIDAD (A) 0,4 0,6 0,9 FRECUECIA(rad/s) c) Para un valor de amortguamento elegdo, medd las ampltudes (decrecentes) A n de las osclacones sucesvas. Obtened la constante de amortguamento a partr de la pendente de la representacón de log(a 0 /A n ) frente a n. ) OSCILACIOES FORZADAS a) Mantenendo el valor del amortguamento del apartado c), haced una tabla de valores de ampltud A F de las osclacones forzadas para dstntas frecuencas de la fuerza eterna (). Dbujad en la hoja de papel mlmetrado adjunta la gráfca de A F frente a (curva de resonanca). b) Una vez obtenda la curva de resonanca, determnad la constante a partr de la anchura de dcha curva. c) Observad el desfase entre la osclacón y el momento eterno para valores de la frecuenca eterna mayores y menores que 0. 9

20 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) OBJETIVO: Determnar el coefcente adabátco del are a partr de la osclacón peródca de una masa m sobre un volumen V de ese gas. FUDAMETO TEÓRICO: En esta práctca observaremos la osclacón de un clndro de materal plástco en el nteror de un tubo de vdro (colocado vertcalmente) en cuya parte central se ha practcado un pequeño orfco. Para mantener una osclacón estable, no amortguada, se ntroduce de forma contnuada are (el gas bajo estudo) en dcho tubo. Supongamos que el osclador está stuado ncalmente por debajo del orfco del tubo. El gas que fluye haca el sstema causa una lgera sobrepresón que mueve al osclador haca arrba. Cuando el clndro sube por encma de la abertura practcada en el tubo, el are se escapa por dcha abertura (y a través de la holgura entre el tubo de vdro y el clndro) provocando una caída de presón que conlleva la bajada del cuerpo osclante. Una vez que el clndro vuelva a bloquear la salda de are por el orfco, el flujo de are provocará un nuevo aumento de presón que elevará el clndro, ncándose así un nuevo cclo. Consderemos la aplcacón de la ª Ley de ewton al movmento del clndro en el tubo de vdro. De acuerdo con el esquema de la fgura, puede epresarse como: d y() t Fy Fn Fout Fpeso P A P0 A mg m () dt 0

21 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) donde P y P 0 son, respectvamente, la presón del are en el nteror y el eteror del recpente. En la stuacón de equlbro, la resultante de fuerzas se anula y la presón en el nteror del recpente toma el valor P = P eq : mg mg P eq A P 0 A mg 0 P eq P 0 P0 A r () Puesto que el clndro se separa poco de su poscón de equlbro, el valor de la presón del gas en el nteror del recpente tampoco se separará mucho de P eq. Defnendo esa dferenca como P = P - P eq, la ecuacón () se smplfca a la forma () (3) d y t P A P r m dt Pero, cómo podemos epresar P en funcón de y? Dado que el proceso osclatoro tene lugar de forma relatvamente rápda, se puede consderar adabátco. La ecuacón de estado de un proceso adabátco para el are en el nteror del recpente establece que: PV C (4) donde V es el volumen de are, el coefcente adabátco que queremos hallar y C un valor constante. La dferencacón de la ecuacón (4) nos proporcona la sguente relacón: dp d P CV CV ( PV ) V (5) dv dv V P De este modo, P V. Pero como la varacón del volumen V respecto a la V P stuacón de equlbro es precsamente Ay, conclumos que P Ay. V Reemplazando en (3) llegamos a la nueva epresón m d y t () dt P V A y (6) que aún no sabemos resolver porque P y V tambén dependen de y. Sn embargo, por hallarnos en el régmen de pequeñas osclacones no es mala apromacón suponer que

22 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) P V P V eq eq, lo que converte a (6) en la ecuacón de un osclador armónco en el que la fuerza es proporconal al desplazamento P y la frecuenca natural de osclacón toma el valor 0 A mv m P d y() t eq A y (7) dt Veq En consecuenca, el cuadrado del perodo de osclacón es nversamente proporconal al coefcente adabátco del gas: T 4mVeq 4 rpeq Y así podremos determnar a partr de la medcón del perodo T. eq eq (8) Por otro lado, el coefcente adabátco se puede predecr a partr de la teoría cnétca de los gases - con ndependenca del tpo de gas consderando úncamente el número de grados de lbertad (f) de las moléculas del gas. Los grados de lbertad de las moléculas de un gas dependen del número de átomos que las componen. Así, un gas monoatómco tene solamente 3 grados de lbertad, los de la traslacón a lo largo de los tres ejes del espaco, f=3; un gas datómco tene grados adconales debdo a su capacdad de rotacón entorno a dos ejes prncpales de nerca, f=5; y fnalmente, los gases tratómcos tenen 3 grados de lbertad por rotacón y los 3 de traslacón, hacendo que f=6. Esto sgnfca que a partr de la teoría cnétca de los gases, y con ndependenca del tpo de gas, el coefcente adabátco será: Para gases monoatómcos, f=3 y =.67. Para gases datómcos, f=5 y =.40. Para gases tratómcos, f=6 y =.33. f f Con unos valores típcos de m = kg, V = m 3, P 0 = Pa y r = m, y tras unas dez meddas de unas 300 osclacones cada una, dan un coefcente adabátco del are =.38±0.08..

23 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) ESQUEMA DEL MOTAJE EXPERIMETAL Y MATERIAL ECESARIO: Materal necesaro: Clndro (osclador) de masa m y rado r. Tubo de vdro donde oscla el clndro, con una ranura. Está colocado sobre un matraz. Soporte y pnza que sujetan lo anteror. Bomba de are y tubos de goma para conducr el gas. Botella amortguadora de la presón de gas. Llave reguladora del flujo de are. Tubo caplar que ntroduce el are en el matraz que soporta el tubo de vdro. Balanza para pesar el clndro osclador, y calbre o mcrómetro para medr su dámetro (se utlza un clndro déntco al del montaje para no manpular éste). La presón necesara de are se genera con una pequeña bomba de are. Se coloca una botella entre el osclador y la bomba de gas para actuar como un amortguador de la presón del gas. El are pasa a través de una válvula reductora para consegur un ajuste adecuado de la presón en la zona del montaje que nos nteresa. En el tubo que conduce el are se nserta un tubto de vdro con una bolta de algodón en su nteror para atrapar la humedad. 3

24 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) Con la válvula reductora se debe regular la velocdad de flujo del gas de modo que el clndro oscle smétrcamente alrededor de la marca. S el centro de osclacón se encuentra claramente por encma de la henddura, s la osclacón no comenza, o s ésta cesa cuando la presón del gas se reduce lgeramente, entonces lo más probable es que haya entrado polvo en el sstema y el tubo de vdro se debe lmpar de nuevo (avsar al profesor*). *Importante: El osclador es una peza de precsón y debe ser tratada con cudado. S el osclador está fuera del tubo, prmero se establecerá el flujo de are y después se nsertará el clndro. S el clndro ya está dentro no hay que sacarlo, sno poner en marcha la bomba. En ambos casos y ante cualquer modfcacón de la presón, debés colocar una mano sobre la abertura del tubo hasta que se obtenga una ampltud de osclacón estable. La mano evtará una posble epulsón del clndro del tubo de vdro por eceso de presón. S el clndro cae podría deformarse y dejar de ser váldo para osclar dentro del tubo. S el osclador queda atascado en el etremo nferor del tubo, hay que retrar el tubo de vdro y aflojar cudadosamente el osclador con el etremo romo de un lápz. Además debés ser cudadosos con el materal de vdro, especalmente con el tubo de osclacón. MÉTODO OPERATIVO: Medd la masa m del osclador medante una balanza. Medd el dámetro r del osclador testgo con un calbre. Tomad el valor medo de varas medcones en dferentes poscones, ya que de este resultado depende en gran medda la eacttud del objetvo de esta práctca. Consderad g=9,8 m/s y medd la presón atmosférca P 0 en el laboratoro con un barómetro para obtener el valor de P eq. El volumen de are V eq (meddo hasta la ranura del tubo) ha sdo determnado prevamente para cada montaje, y aparece anotado sobre el matraz. La parte epermental más delcada de esta práctca es la determnacón del período T de osclacón. Se utlza el msmo cronómetro que en la práctca, pero esta vez en modo péndulo. o obstante este modo está dseñado para otro tpo de meddas, con lo 4

25 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) que habrá que hacer una pequeña adaptacón de los resultados obtendos. S observás el ploto rojo que se encende y apaga en el cronómetro (no en la puerta detectora) comprobarés que no mde en todas las osclacones (se regstran dos de cada cuatro osclacones), y además podrés observar que consdera que ha transcurrdo una osclacón cuando el detector se bloquea y lbera dos veces. En nuestro caso cada paso del clndro será una osclacón, con lo que el número de cclos que leerés en la pantalla del cronómetro será la mtad del número de osclacones que deberés anotar. o olvdés multplcar por dos el número de cclos! Una vez hecha esta cuenta, el tempo que aparece en la pantalla será el transcurrdo durante el número de cclos calculado, de donde puede obtenerse fáclmente el período T. Es mportante saber que la poscón del detector es crítca: la altura del detector deberá ser tal que el osclador pase por ella y la vuelva a dejar lbre en cada osclacón, porque en caso contraro nos saltaremos osclacones. Por otra parte, para que el detector funcone deberés colocarlo de forma que la línea que une la célula fotoeléctrca y el emsor sea cas tangente al tubo. Os puede llevar algo de tempo encontrar la poscón adecuada. Sabrés que lo habés consegudo cuando se encenda y apague el ploto rojo ncludo en el detector con cada osclacón. Los valores meddos no dejarán de ser una apromacón al valor real de la magntud medda. Como en práctcas anterores, ntentaremos apromarnos al valor real realzando una sere de meddas y calculando el valor promedo de todas ellas, pero en esta práctca daremos un pequeño paso más y calcularemos el error relatvo. unca basta con hacer una únca medda, porque cualquer equvocacón estropearía el resultado del epermento. Harés los sguentes cálculos:. Cálculo de la meda. Se tomará como valor de la magntud la meda artmétca de los dversos valores obtendos. S se realzan n meddas,,..., n, el mejor valor que podemos dar de la magntud medda es la meda : n n 5

26 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca). Cálculo del error absoluto : El error absoluto se defne a partr del error en cada medcón: = X, donde X es el valor real de la magntud, mposble de conocer. Sustturemos el valor real por la meda obtenda en el apartado anteror, y la dferenca entre los valores meddos y dcha meda nos permtrá obtener. Se aplca la sguente defncón: = (a+b)/, donde a=ma{} y b=mn{}. Llamaremos error absoluto a. Puesto que tene las msmas dmensones que, la forma correcta de epresar cualquer magntud es la sguente: (número ± error) undades = ( ± ) undades 3. Cálculo del error relatvo : El error relatvo se defne como la relacón entre el error absoluto y el valor real de la magntud = / X. Tampoco puede evaluarse eactamente, pero se utlza su cota superor: / X. Este error suele epresarse en %, multplcando por 00, y carece de undades. Desechando meddas: A veces se obtenen meddas muy dstntas al resto, que nfluyen negatvamente en los resultados desvando la meda y aumentando el error. S uno está seguro de que un determnado valor etraño es debdo a un error de medda y que no refleja un efecto físco no prevsto, se puede desechar y trabajar úncamente con el resto. 6

27 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) CUESTIOARIO PRÁCTICA 4: COEFICIETE ADIABÁTICO DEL AIRE: OSCILADOR DE FLAMMERSFELD. Anota los valores del rado y la masa del clndro osclante: Rado = Masa=. Medda del período de osclacón: Completa la sguente tabla con las meddas de tempo obtendas y el error relatvo calculado: Medda Medda Medda3 Medda4 Medda5 úmero de osclacones t t t 3 t 4 t 5 T Anota el valor de la presón atmosférca que proporcona el barómetro sn olvdar sus undades. P 0 = Anota el volumen de are que cabe en el sstema (hasta la rendja). V eq = 4. Utlzando los datos anterores y los proporconados en el guón, calcula el coefcente adabátco del are (completar la últma columna de la tabla). A la vsta de los valores obtendos, da el valor que estmes más adecuado a deducdo. deducdo = 7

28 y Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) APÉDICE Ajuste por el método de MÍIMOS CUADRADOS Un problema muy general es obtener el mejor valor de una magntud a partr de varas meddas. En muchas ocasones la relacón funconal entre dos magntudes e y que pueden medrse en un epermento es una relacón lneal. Cuando realzamos el ajuste por mínmos cuadrados de parejas (,y) de datos epermentales, nuestro objetvo es obtener la ecuacón de la recta que mejor representa a los datos meddos. Es decr, tenemos que calcular a partr de los datos meddos, los parámetros a y b que determnan la ecuacón de una recta: y = b + a () donde b es la pendente de la recta y a es la ordenada en el orgen, es decr la altura a la que corta la recta al eje de ordenadas. Para concretar, supongamos que los valores que han resultado de un epermento son los sguentes: y,3,5 3,9 4, 5,9 6, Ante un problema de este tpo, lo prmero que convene hacer es representar gráfcamente los resultados para observar s los valores meddos se aproman a una recta o no Fgura: Representacón de los pares de valores, y correspondentes al epermento. Se observa que los puntos están cas alneados. La recta que parece representar mejor 8

29 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) la relacón se ha dbujado a ojo. Es mportante darse cuenta de que los ses puntos dbujados no están todos sobre la msma recta. Esto es debdo a los errores de las meddas, por lo que los puntos se dstrbuyen de forma más o menos aleatora en torno a esa recta. A pesar de ello es claramente vsble la tendenca lneal de los puntos. Para determnar la recta que mejor se adapta a los puntos se emplea el llamado método de los mínmos cuadrados. Para un valor de determnado, la recta de ajuste proporcona un valor dferente de y del meddo en el epermento. Esta dferenca será postva para algunos puntos y negatva para otros, puesto que los puntos se dsponen alrededor de la recta. Por este motvo, la suma de estas dferencas para todos los puntos es poco sgnfcatva (las dferencas negatvas se compensan con las postvas). Por ello, para medr la dscrepanca entre la recta y los puntos, se emplea la suma de los cuadrados de las dferencas, con lo que aseguramos que todos los térmnos son postvos. Esta suma tene la forma: ( y b a) () De todas las posbles rectas que podemos trazar, caracterzadas por los parámetros a y b, la recta que mejor se ajusta a los puntos es la que hace mínma la suma epresada en la ecuacón (). Esto es fácl de comprender, puesto que esta suma representa la dscrepanca entre los puntos y la recta. Las condcones de mínmo (prmeras dervadas nulas) conducen a las ecuacones: b a y b a y (3) donde es el número de parejas de valores de que se parte para determnar la recta. La solucón de ese sstema son los valores de a y b. Dchas solucones son: 9

30 Práctcas de Físca I ( er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industrales y Químca) 30 b y y y y y a y y y y b (4) Con los datos del ejemplo y aplcando las ecuacones anterores, se obtene: 0, ,5 3,8 9 0, ,8 6 00,5 a b coefcentes de la recta que mejor se ajusta a los datos según este método. El caso de una relacón lneal que hemos tomado como ejemplo no es tan especal como podría pensarse, porque muchas relacones funconales de nterés pueden transformarse en lneales con un cambo de varable adecuado y/o tomando logartmos.