AJUSTES DE MODELOS DINÁMICOS APLICADOS A RECURSOS PESQUEROS. Fernando Brito 1 ; María Saravia 2

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1 AJUSTES DE MODELOS DINÁMICOS APLICADOS A RECURSOS PESQUEROS Fernando Brio 1 ; María Saravia RESUMEN El ajuse de modelos dinámicos de Biomasa de Schaefer (1954) alicados a recursos esqueros es ejemlificado uilizando daos de caura or unidad de esfuerzo emleados en la lieraura. En rimer lugar se muesra como llevar a cabo la eaa de calibración de incororando inceridumbre en las observaciones en el modelo de Schaefer. Se idenificaron regiones óimas de verosimiliud ara los arámeros de inerés del modelo, la caacidad de carga y la asa inrínseca de crecimieno. La validación y comaración de los modelos rouesos es realizada en el ámbio de un enfoque Bayesiano. Dicho análisis ha sido imlemenado mediane el rograma OenBUGS que, en ese caso, ofrece venajas comuacionales reseco al enorno de rogramación R uilizado en el reso de la invesigación. Los resulados obenidos sugieren que las écnicas esadísicas alicadas en ese rabajo ermien enconrar los unos de referencia biológicos adecuados ara la esquería de la esecie exloada, al como el Rendimieno Máximo Sosenible, índice de suma imorancia ara la reservación de una esquería. Palabras clave: Modelo de Schaefer, calibración, esadísica Bayesiana, méodo MCMC, rogramación en R y OenBUGS 1 Inroducción En el resene rabajo se imlemena un io de modelo ara la evaluación del sock de recursos esqueros que erenece a la clase de los denominados modelos de roducción excedene". Esos modelos son una herramiena radicional y sencilla ara la evaluación del sock de un recurso ecológico, ya que ara su imlemenación sólo se necesia una serie de cauras y una serie de índices de abundancia. En aricular se rofundizará en un modelo basado en el modelo de crecimieno logísico de una oblación sujea a exloación, originalmene esudiado or Milner Baily Schaefer en El objeivo erseguido en la alicación de ese io de modelos es deerminar el nivel óimo de esfuerzo, es decir, el esfuerzo que roduce el máximo rendimieno que uede ser sosenible sin afecar la roducividad a largo lazo del sock del recurso esquero, lo que se denomina en el Manual de evaluación de recursos esqueros (Cadima, 003) como Rendimieno Máximo Sosenible (RMS). En el manejo esquero resula de inerés rioriario la deerminación del RMS, orque ermie evaluar el esado en el que se encuenra el recurso y generar olíicas de manejo ara que su exloación a ravés del iemo sea susenable y el recurso no se agoe. Resula úil ara esablecer cuos de caura oales y or aís cuando se raa de un recurso comarido. El rocesamieno de la información comienza con las series de iemo de las variables Caura or Unidad de Esfuerzo (CPUE) medida en oneladas/h y la serie de Caura medida en miles de oneladas. A ravés de rocedimienos clásicos imlemenados mediane el lenguaje R, se obienen las esimaciones de los arámeros de inerés del Modelo de Schaefer 1 Unidad Nacional de Seguridad Vial, Presidencia de la Reública. Laboraorio de Probabilidad y Esadísica, Faculad de Ingeniería, Universidad de la Reública 1

2 que son la asa inrínseca de crecimieno r y la caacidad de carga que en eoría sería el límie de biomasa del sock en ausencia de moralidad esquera K. La biomasa de un recurso, es la canidad del mismo en eso. En el enfoque clásico se obienen los resecivos erfiles de verosimiliud y se consruyen inervalos de confianza ara los arámeros. Los arámeros esimados ermien deerminar a su vez unos de referencia biológicos, enre los más imoranes se encuenra el RMS. Por oro lado se realiza un análisis Bayesiano ara enconrar las disribuciones a oseriori de los arámeros r, K, RMS, obeniéndose ambién medidas de endencia cenral ara esos. El análisis Bayesiano se realiza uilizando el lenguaje de rogramación de OenBUGS. - Marco Teórico Varias clases de modelos se uilizan ara la evaluación esquera, en la resene invesigación se adoa un modelo ereneciene a los denominados modelos de roducción. Ese modelo se roone esudiar la evolución de la Biomasa oal del sock en su globalidad, conemlando enre oros efecos, el esfuerzo de esca. Dicho modelo no considera la esrucura de edades o de allas del sock, las cuales dan lugar a la alicación de los denominados modelos esrucurados. Modelo de Schaefer Ese modelo desarrollado or Schaefer (1954) oma como base el modelo de crecimieno logísico de oblación desarrollado or Verhuls (1838). Usualmene en la lieraura esquera se conoce como un modelo de roducción excedenaria". El modelo es el siguiene: B B B B 0 + rb 1 B C K En ese modelo la asa inrínseca de crecimieno r y la caacidad de carga K son consanes en el iemo. Además Schaefer incororó el suueso de que la exloación, en ese caso la caura (C) es una función lineal de la Biomasa y el esfuerzo de caura: C qe B donde q es el coeficiene de caurabilidad y E es el esfuerzo de esca, o asa de exloación, en el insane, y cuyas unidades se deallan en el caíulo 5. El índice de abundancia, en adelane Caura Por Unidad de Esfuerzo CPUE, es asumido generalmene como roorcional a la Biomasa y esá dado or la siguiene ecuación: CPUE qb A arir de esos arámeros biológicos r y K se obienen una serie de indicadores, denominados unos biológicos de referencia, esos son: El rendimieno máximo sosenible RMS, bajo el suueso de equilibrio que (B B +1 ):

3 rk RMS 4 Tasa de rendimieno máximo sosenible RMS: h RMS r Biomasa máxima sosenible o Biomasa óima: B óima K Biomasa virgen: B virgen K En la Figura 1 se observan algunos unos aneriormene mencionados Figura 1-. Modelo de Schaefer en equilibrio, B B +1. Incororación de aleaoriedad en el modelo 3

4 Hasa el momeno el modelo de dinámico laneado es deerminísico. Para la incororación de la inceridumbre en el mismo se ienen en cuena las siguienes consideraciones: La aleaoriedad roia de los rocesos de inerés (asa de nacimienos, asa de muere, ec.), ese io de inceridumbre se la conoce como inceridumbre del roceso, ues es la aleaoriedad de los arámeros (rocesos) biológicos del modelo maemáico. La inceridumbre roia de los errores de medición, denominada en la lieraura como inceridumbre en las observaciones. La incororación de la aleaoriedad en el modelo deerminísico de Schaefer, de acuerdo a The Ecological Deecive: Confroning Models wih Daa (Hilborn & Mangel, 1997), se inroduce de modo general como se resena a coninuación: B B + 1 B + rb 1 K CPUE ex qb Vσ v C ex Wσ σ v + w + σ w donde W y V son los érminos que inroducen la aleaoriedad en el roceso y en las observaciones resecivamene, se asume que ienen disribución normal con media 0 y desvío σ w esándar 1. Como consecuencia los érminos de errores del roceso ex( W σ w + ) y de las σ v observaciones ex( V σ v + ) ienen disribución Log-Normal. Enfoque Bayesiano En ese enfoque esadísico, se asume que los arámeros de inerés son variables aleaorias con cieras disribuciones de robabilidad (Bayesian Daa Analysis, Gelman e al., 004). Si θ es el vecor de arámeros, según el Teorema de Bayes la disribución de robabilidad a oseriori de θ es calculada de la siguiene forma: ( θ y) ( θ, y) ( y) θ ( θ ) ( y θ ) ( θ ) ( y θ ) dθ donde ( θ ) es la disribución a riori del vecor de arámeros, y ( y θ ) disribución de los daos y ( y) ( θ, y) reresena la disribución conjuna de θ e y. hace referencia a la θ reresena la disribución a oseriori de θ. Además También se uede lanear la disribución a oseriori no normalizada de θ : ( θ y) ( θ ) ( y θ ) En ese rabajo la variable de inerés y es la CPUE y el vecor θ esá formado or los arámeros r, K, q, el desvío de la variable CPUE dado or las observaciones (τ ) y el desvío de la variable CPUE dado or el roceso (σ ). Un aseco muy imorane en ese io de 4

5 análisis a ener en cuena es el siguiene: La invesigación sobre las disribuciones a riori es sin duda el aseco más conroverido de cualquier análisis Bayesiano. Por lo ano, recomendamos mucho cuidado al realizar una evaluación Bayesiana, dado que se debe ener en cuena una invesigación exhausiva sobre varias disribuciones a riori. Ese roceso debe incluir información esecífica sobre los modelos considerados ara su inclusión en el análisis y or qué algunos de esos modelos no fueron considerados a esar de que ueden ser lausibles ([13] Pág. 4 a 43). Teniendo en cuena lo anerior se ueden considerar disribuciones a riori usando crierios biológicos y en algunos casos asumir disribuciones no informaivas ara algunas variables. Se incorora inceridumbre en el modelo deerminisa de Schaefer mediane variables aleaorias indeendienes e idénicamene disribuidas de forma mulilicaiva que reresenan resecivamene un error de roceso y el error de observación. Se uiliza en ese caso la rearamerización realizada or Meyer y Millar (ver más dealles en Bugs in Bayesian sock assesmen, Meyer & Millar, 1999) ara realizar inferencia Bayesiana denominada Modelo de esacios de esado. Los esacios de esado se refieren a las observaciones de la serie de iemo observada de CPUE esados y a la serie de iemo no observada B. Esos esados se suonen que siguen un modelo de ransición esocásica. Si se asume que la Biomasa anual es como un orcenaje de la caacidad de carga se uede lanear la siguiene rearamerización: P B /K, el moivo de uilizar esa rearamerización es acelerar el muesreo de Gibbs. Además se suone que la inceridumbre iene una disribución Log-Normal. Bajo esos suuesos el modelo se uede exresar como se dealla a coninuación: ( u ) P1 σ ex 1 P P 1, r, K, σ CPUE P, q, τ P + rp ( qpk ) ex( v ) ( 1 P ) ex( u ) C K u y v son variables aleaorias i.i.d. normales con media 0 y varianza σ y τ resecivamene. Se debe lanear odas las disribuciones a riori conjunas ara los cinco arámeros r, K, q, σ y τ y los esados desconocidos P 1,, P N, además la disribución conjuna de los índices de abundancia CPUE 1,,CPUE N. Se asume que los arámeros r, K, q, σ y τ son indeendienes a riori. Por el Teorema de Bayes, la disribución a oseriori de los arámeros es roorcional a la conjuna, y or la indeendencia condicional de la CPUE, se llega a la siguiene exresión: ( θ y) ( θ y) ( r, K, q, σ, τ, P,..., P ) ( CPUE,..., CPUE r, K, q, σ, τ, P,..., P ), 1 N 1 N 1 N N ( r ) ( K ) ( q) ( σ ) ( τ ) ( P1 σ ) ( P P 1, r, K, σ ) ( CPUE P, q, τ ) Méodo MCMC y BUGS Se realiza una reresenación uilizando diagramas DAG (Direced Acyclic Grah) ara indicar como se rocede con la esimación a ravés del enfoque Bayesiano. Ese diagrama (Figura ) iene la venaja de que ermie concenrarse en la esrucura esencial del modelo sin meerse en odos los dealles sobre las densidades. Para cualquier insane, se reresenan odas las caracerísicas no observables, los arámeros desconocidos (r, K, q, σ, τ, P ) y 1 5 N

6 observables (CPUE obs ) como elises y la única consane (Caura) en forma de recángulo. Una forma de exresar el suueso de indeendencia condicional es or un dibujo de las flechas sólidas enre los nodos, or ejemlo de iau a CPUE[]. Las flechas dobles van a los nodos deerminisas, que son las funciones lógicas de los demás nodos. El logarimo de la media condicional de P (Pmed[]), es un ejemlo de un nodo deerminisa, ya que es una función de los nodos K, r, la Caura -1 y P -1. En el diagrama la variabilidad en el roceso se iene en cuena a ravés de isigma e iau hace referencia a la variabilidad en las observaciones. Figura -. Reresenación del modelo de roducción como un Direced Acyclic Grah (DAG). 3 Meodología Para ajusar el modelo se uiliza los daos referidos a la esecie Merluccius caensis, merluza de Namibia ([9] Pág. 40) que se resenan en la Figura 3: Figura 3-. Evolución de la CPUE (on/h) y Caura (10 3 on) observada de Merluccius caensis en el eríodo Descrición ara la calibración del modelo or máxima verosimiliud 6

7 El siguiene rocedimieno esá basado en los seudocódigos laneados en Caíulo 10 del libro The Ecological Deecive: Confroning Models wih Daa (Hilborn & Mengel, 1997). 1. Se cargan los daos referidos a las series de iemo de CPUE y Caura.. Ingresar los valores iniciales ara del modelo: r, K, B 0. Hay que ener la recaución de omar valores iniciales de los arámeros de forma al que el modelo ueda funcionar numéricamene. 3. Se ejecua la oimización de la suma en el iemo de la función de verosimiliud L como se indican en la Figura 4, or lo que se busca enconrar los valores de los arámeros r y K que minimizan la suma de la función L. 4. Una vez enconrado los valores de r y K que minimizan la función objeivo L, se calcula la serie de Biomasas redicha or modelo y la observada y el valor del RMS, q y el desvío esimado. 5. Se consruyen los erfiles de verosimiliud ara los arámeros r, K y RMS Figura 4 -. Esquema del rocedimieno 4 Resulados Se resena en rimera insancia el ajuse del modelo uilizando los daos referidos a la esecie Merluccius caensis, merluza de Namibia ([9] Pág. 40). Para enconrar los valores unuales de r y K que minimizan la función L, se omaron valores iniciales de r enre 0.1 y 1 y valores iniciales de K enre 1000 y 10000, el resulado de alicar el algorimo de oimización es similar ara odas las combinaciones osibles de esos dos arámeros. La Tabla 1 coniene el resumen descriivo del resulado del mecanismo de oimización ara el modelo de Schaefer, se observa en dicha abla que a si bien hay una gran variabilidad considerada ara los valores iniciales de r y K los valores óimos se encuenran acoados, es decir que exise convergencia hacía una misma solución. 7

8 Tabla 1-. Esadísica descriiva del mecanismo de oimización de los arámeros Se obuvo un valor de r igual a y on ara K. En base a esos valores se obuvo un valor esimado ara q , σ obs 0,15, RMS on y se esimaron los valores de CPUE y de biomasa que se resenan en las Figuras 5 y 6 resecivamene. Figura 5-. Evolución de la CPUE observada y redicha or el modelo 8

9 Figura 6-. Evolución de la Biomasa observada y la redicha or el modelo. Perfiles de verosimiliud El erfil de la función de verosimiliud, ermie idenificar un rango de valores, ara cada arámero del modelo r y K y ara el uno de referencia biológico RMS, donde se oimiza la función de verosimiliud indeendienemene del valor que oman los arámeros resanes. Para ello se considera un rango de valores ara cada arámero y se oimiza la función logarimo de la verosimiliud del mismo reseco al resane. Por ejemlo ara un rango de valores de r se evalúa que valor de K minimiza el logarimo de la verosimiliud del arámero r. En la Figura 7 se muesra el erfil de verosimiliud ara cada uno de los arámeros aneriormene mencionados. Para un nivel de significación del 5%, el inervalo de confianza ara r se encuenra enre 0.31 y 0.48, K enre y oneladas y el RMS enre y oneladas. a) a) ) b) a) ) a) a) ) 9

10 a) a) ) b) Figura 7-. a) Perfiles de verosimiliud ara r, K y RMS, b) Disribución Chi-Cuadrado asociada ara r, K, y RMS. Ajuse del modelo con el enfoque Bayesiano Para realizar el ajuse del modelo mediane inferencia Bayesiana se consideraron las siguienes disribuciones a riori ara los arámeros: Para la elección de los arámeros de la disribución a riori de r se considera una Log- Normal cuyos cuaniles al 10 % y 90% oman los valores 0.1 y 0.8 resecivamene. Para el arámero K se consideró una disribución a riori Log-Normal cuyos cuaniles al 10 % y 90% oman los valores 1000 y 8000 resecivamene. Para la disribución de q se consideró un disribución no informaiva 1/iq donde iq iene una disribución a riori Gamma, sólo se iene en cuena el inervalo que uede omar los valores de q, ara ese caso el inervalo considerado es: a Para las disribuciones a riori de los desvíos ano de las observaciones como del roceso se considera una InversaGamma cuyos cuaniles al 10 % y 90% oman los valores 0.05 y 0.15 resecivamene. Se dealla a coninuación el rocedimieno realizado en OenBUGS ara ajusar el modelo alicando inferencia Bayesiana: 10

11 La Tabla resena los resulados obenidos mediane simulaciones ara los arámeros r, K, q y RMS: Tabla -. Medidas de resumen esadísico de la disribución a oseriori de los arámeros En el mismo se muesreó veces y se omaron las úlimas muesras de las res cadenas que se corrieron. En la Figura 8 se resenan ara los arámeros r y K la densidad a riori (línea uneada) y a oseriori (línea sólida), en dicha figura se observa como la densidad oserior se conrae una vez se incorora a la información a riori la verosimiliud de los daos. La Figura 9 coniene la disribución a oseriori ara el RMS, los cuaniles, los auocorrelogramas y la convergencia de las res cadenas simuladas. Se realizó el mismo rocedimieno ara el reso de los arámeros. Densiy 0e+00 e-04 4e-04 6e-04 ariori aoseriori Densiy ariori aoseriori K r Figura 8-. Disribución a riori y a oseriori ara los arámeros K y r. 11

12 Figura 9-. (a) Disribución a oseriori. (b) Cuaniles. (c) Auocorrelograma. (d) Hisoria que muesra la convergencia de las res cadenas simuladas ara el RMS. Conclusiones De lo aneriormene exueso se ueden desacar algunas conclusiones como las que se deallan a coninuación: 1. Es osible generar a ravés del lenguaje en rogramación R, un rocedimieno que ermia enconrar los óimos de los aramenos or máxima verosimiliud, de la asa inrínseca de crecimieno y la caacidad de carga con la venaja de que ermie ener esimaciones unuales con inervalos de confianza mediane la consrucción de erfiles de verosimiliud.. A ravés del rocedimieno desarrollado se logró ajusar modelos esocásicos sobre rocesos de dinámica oblacional y or consiguiene eso ermie evaluar las imlicancias de manejo alernaivas sobre recursos esqueros or medio de los valores en los unos de referencia biológica. 3. Una de las limiaciones que se ha enconrado, es que el rocedimieno de ajuse se comlejiza cuando se iene óimos locales. En ese caso es conveniene ener en cuena el conocimieno biológico sobre deerminada esecie de manera de oder descarar algunos de esos óimos locales que no sean biológicamene aceables (modelo resringido). 4. Una alernaiva ara obener información sobre los arámeros del modelo de Schaefer es alicar un méodo Bayesiano. El cual ermie enconrar disribuciones a oseriori de los arámeros. Por oro lado las esimaciones unuales de los 1

13 Bibliografía arámeros realizadas or máxima verosimiliud se encuenran conemladas denro de los osibles valores de las disribuciones a oseriori de los arámeros. 1. Cadima E. L. (003), Manual de evaluación de recursos esqueros, Organización de las Naciones Unidas ara la Agriculura, FAO, Documeno de Pesca 339, Roma.. Cooke K., Wiens M. (1986), One Dimensional Linear and Logisic Harvesing Models, Mahemaical Modelling, Vol. 7, , Pergamon Journals Ld., U.S.A. 3. Gelman A., Carlin J.B., Sern H.S., Rubin D.B. (004), Bayesian Daa Analysis, Chaman and Hall/CRC, U.S.A. 4. Haddon M. (001), Modelling and Quaniaive Mehods in Fisheries, Chaman and Hall/CRC. 5. Hilborn R., Mangel M. (1997). The Ecological Deecive: Confroning Models wih Daa, Princeon Universiy Press. 6. Meyer R., Millar R.B. (1999), Bugs in Bayesian sock assessmens, Canadian Journal of Fisheries and Aquaic Sciences, Vol. 56, , Canada. 7. Pun A.E., Hilborn R., (1997) Fisheries sock assessmen and decision analysis: he Bayesian aroach, Reviews in Fish Biology and Fisheries, Vol.7, Paquee esadísico uilizado: R Develomen Core Team (01). R: A language and environmen for saisical comuing. R Foundaion for Saisical Comuing, Vienna, Ausria. ISBN , URL h:// 9. Paquee de Análisis Bayesiano uilizado: OenBUGS 3..1, h:// 13