Volumen de cuerpos geométricos

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1 _ qxd /9/07 15:06 Págin 381 Volumen de cuerpos geométricos INTRODUCCIÓN RESUMEN DE LA UNIDAD Como complemento l estudio del Sistem Métrico Deciml, inicimos est unidd con el concepto de volumen y sus respectivs uniddes de medid. De igul mner, y recordndo ls uniddes de cpcidd y ms, estblecemos ls relciones entre ests uniddes y ls de volumen. Prtiendo del estudio de los cuerpos geométricos relizdo en tems nteriores, se introduce el concepto de volumen de los diferentes poliedros como el producto del áre de l bse por l ltur. Inicimos este estudio con el ortoedro y el cubo (cso prticulr del primero), siendo suficiente pr los lumnos de este nivel conocer y clculr el volumen del cilindro y l pirámide. Tmbién en est unidd se recomiend el uso de diversos mteriles específicos en eometrí, en concreto los cuerpos geométricos trnsprentes, dotdos de orificios pr llenrlos de ren o gu y efectur ls relciones entre volúmenes de los diferentes poliedros. Será útil l construcción del metro cúbico medinte vrills de PVC y vértices de unión, sí como l mnipulción del decímetro cúbico descomponible. El volumen de un cuerpo es l cntidd de espcio que ocup. El metro cúbico (m 3 ) es l unidd principl de volumen. El pso de un unidd de volumen otr se efectú multiplicndo o dividiendo por El litro es l unidd principl de cpcidd. El kilogrmo y el grmo son ls uniddes principles de ms. Otrs uniddes son l toneld y el quintl métrico. L conversión de ests uniddes de cpcidd y ms se efectú multiplicndo o dividiendo por 10. Medinte equivlencis estblecemos relciones entre ls diferentes uniddes de volumen, cpcidd y ms. El volumen totl de cuerpos geométricos, como el ortoedro y el cubo, se hll multiplicndo sus tres dimensiones: lrgo, ncho y lto. De igul mner, el volumen del cilindro y l pirámide se hll multiplicndo el áre de ls bses por su ltur. OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Comprender el concepto de volumen de los cuerpos. 2. Relcionr ls uniddes de volumen, cpcidd y ms. Concepto de volumen. Uniddes de volumen: múltiplos y submúltiplos. Uniddes de ms y cpcidd: múltiplos y submúltiplos. Equivlencis entre ls uniddes de volumen, cpcidd y ms. Identificción de uniddes cúbics. Conversión de uniddes de volumen plicndo ls equivlencis. Conversión de uniddes de cpcidd y ms medinte equivlencis. Identificción de ls relciones entre uniddes de volumen, cpcidd y ms. ADAPTACIÓN CURRICULAR 3. Clculr el volumen de lgunos cuerpos geométricos. Volumen del ortoedro. Volumen del cubo. Volumen del cilindro y l pirámide. Cálculo del volumen del ortoedro y el cubo. Cálculo del volumen del cilindro y l pirámide. Resolución de problems. MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 381

2 _ qxd /9/07 15:06 Págin 382 OBJETIVO 1 COMPRENDER EL CONCEPTO DE VOLUMEN DE LOS CUERPOS NOMBRE: CURSO: ECHA: CONCEPTO DE VOLUMEN El volumen de un cuerpo es l cntidd de espcio que ocup. Pr medir el volumen de un cuerpo, lo comprmos con el volumen de otro cuerpo elegido como unidd, y determinmos el número de uniddes que contiene. EJEMPLO Si tommos como unidd el cubo (unidd cúbic), podemos firmr que l figur tiene como volumen 5 uniddes cúbics. 1 Tomndo como unidd el cubo, clcul el volumen de ls figurs. ) b) c) d) 2 Hz lo mismo que en el ejercicio nterior con ests figurs. ) b) 3 Clcul los cubos que cben en cd un de ls siguientes figurs. ) b) 4 Continú y dibuj l serie de figurs en función de ls uniddes cúbics que formn. IURA N.º DE CUBOS MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

3 _ qxd /9/07 15:06 Págin 383 UNIDADES DE VOLUMEN El metro cúbico es l unidd principl de volumen. Se escribe m 3. Es el volumen de un cubo que tiene 1 metro de rist. Los múltiplos del m 3 son cubos que tienen de rist múltiplos del metro: 1 decámetro cúbico (dm 3 ) es un cubo que tiene 1 dm de rist. 1 hectómetro cúbico (hm 3 1 m ) es un cubo que tiene 1 hm de rist. 1 kilómetro cúbico (km 3 ) es un cubo que tiene 1 km de rist. Los submúltiplos del m 3 son cubos que tienen de rist submúltiplos del metro: 1 decímetro cúbico (dm 3 ) es un cubo que tiene 1 dm de rist. 1 centímetro cúbico (cm 3 ) es un cubo que tiene 1 cm de rist. 1 milímetro cúbico (mm 3 ) es un cubo que tiene 1 mm de rist. 1 m 1 m 3 1 m 1 dm 3 1 cm 3 1 m 3 Cd unidd es veces myor que l inmedit inferior y veces menor que l inmedit superior km 3 hm 3 dm 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 : : : : : : Si cd cubo tiene un volumen de 1 cm 3, clcul el volumen de ls figurs. 6 Complet. ) 69 m 3 =... dm 3 e) 53 dm 3 =... m 3 i) 0,38 km 3 =... hm 3 b) mm 3 =... cm 3 f) 0,34 cm 3 =... mm 3 j) 901 dm 3 =... m 3 c) 1 hm 3 = g) 1 m 3 = k)... = m 3 d) 1 dm 3 = h) mm 3 = 1... l) =... m 3 ADAPTACIÓN CURRICULAR 7 Orden, de menor myor (<), ls siguientes uniddes. Tom como referenci el metro cúbico (m 3 ) y trnsform tods ls uniddes de medid en est m mm 3 34 m 3 0,23 hm 3 0,5 dm dm 3 2,01 hm cm 3 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 383

4 _ qxd /9/07 15:06 Págin 384 OBJETIVO 2 RELACIONAR LAS UNIDADES DE VOLUMEN, CAPACIDAD Y MASA NOMBRE: CURSO: ECHA: UNIDADES DE CAPACIDAD El litro es l unidd principl de cpcidd. Abrevidmente se escribe. Los múltiplos (uniddes myores) y submúltiplos (uniddes menores) del litro son: mirilitro ml MÚLTIPLOS DEL LITRO kilolitro kl 100 hectolitro hl 10 declitro dl UNIDAD PRINCIPAL litro SUBMÚLTIPLOS DEL LITRO 0,1 decilitro dl 0,01 centilitro cl 0,001 mililitro ml UNIDADES DE MASA El kilogrmo y el grmo son ls uniddes principles de ms. Abrevidmente se escriben kg y g. Los múltiplos (uniddes myores) y submúltiplos (uniddes menores) del grmo son: g mirigrmo mg MÚLTIPLOS DEL RAMO g kilogrmo kg 100 g hectogrmo hg 10 g decgrmo dg UNIDAD PRINCIPAL grmo g SUBMÚLTIPLOS DEL RAMO 0,1 g decigrmo dg 0,01 g centigrmo cg 0,001 g miligrmo mg Pr medir mss de grndes objetos se utilizn ests uniddes. UNIDADES SÍMBOLO EQUIVALENCIA (kg) EQUIVALENCIA (g) Toneld métric t kg g Quintl métrico q 100 kg g 1 Complet l tbl de equivlencis de vlores de cpcidd. kl hl dl dl cl ml 1,5 0, Complet ls siguientes tbls de equivlencis de vlores de ms. ) t q kg g b) ,5 kg g mg MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

5 _ qxd /9/07 15:06 Págin Un depósito contiene 29 kl 30 hl de gu y otro depósito contiene 31 kl 450 dl. Cuál de ellos contiene más litros de gu? 4 Observ los vlores de l ms de estos vehículos. Expres ls uniddes en kilogrmos, y ordénls de myor menor cntidd de ms. ) Biciclet: g. b) Coche: kg. c) Cmionet: 46 q. d) urgonet: 2,3 t. e) Cmión: 25,4 t. Vertemos un botell de gu de 1 de cpcidd en 1 dm 3, y observmos que cbe exctmente. 1 litro es el volumen de un cubo que tiene 1 dm de rist, es decir, l cpcidd de 1 dm = 1 dm 3 1 dm Vertemos un cuchrill de gu de 1 ml de cpcidd en 1 cm 3, y observmos que cbe exctmente. 1 mililitro es el volumen de un cubo que tiene 1 cm de rist, es decir, l cpcidd de 1 cm 3. 1 ml 1 ml = 1 cm 3 5 Expres en litros. 1cm 3 1 cm ) 345 dm 3 =... c) 950 cm 3 =... e) cm 3 =... b) 200 dl =... d) 0,35 m 3 =... f) 0,5 dm 3 =... ADAPTACIÓN CURRICULAR 6 Expres en dm 3. ) 23 =... dm 3 c) 5 dl =... dm 3 e) 0,255 kl =... dm 3 b) 20 dl =... dm 3 d) 0,35 m 3 =... dm 3 f) ml =... dm 3 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 385

6 _ qxd 21/9/07 : Págin Un lt de refresco tiene un cpcidd de 33 cl; un botell de ceite, un cpcidd de 750 ml, y un frsco de jrbe, un volumen de 150 cm 3. Orden, de menor myor cpcidd, los objetos nteriores. 8 El emblse A tiene un volumen de 0,35 hm 3 y el emblse B tiene un cpcidd de kl de gu. Expres mbs uniddes en litros y compr l cpcidd de los emblses. Un recipiente con 1 litro de gu destild (ocup 1 dm 3 ), l pesrlo en un blnz, se equilibr exctmente con un pes de 1 kg. 1 kilogrmo es l ms que tiene 1 dm 3 de gu destild. 1 dm 3 de gu destild Pr el gu destild: 1 kg = 1 1 kg Un recipiente con 1 mililitro de gu destild (ocup 1 cm 3 ), l pesrlo en un blnz, se equilibr exctmente con un pes de 1 g. 1 grmo es l ms que tiene 1 cm 3 de gu destild. 1 cm 3 de gu destild Pr el gu destild: 1 g = 1 cm 3 1 g Tbl resumen de equivlencis UNIDADES DE VOLUMEN m 3 dm 3 cm 3 UNIDADES DE CAPACIDAD kl hl dl dl cl ml UNIDADES DE MASA t q mg kg hg dg g Pr el gu destild: 1 = 1 dm 3 = 1 kg 386 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

7 _ qxd /9/07 15:06 Págin Responde ls siguientes cuestiones. ) Cuánts pess de 1 kg hcen flt pr equilibrr un recipiente con 3 litros de gu?... b) Cuánts pess de 1 g hcen flt pr equilibrr un recipiente de 9 cm 3?... c) Cuánts pess de 1 g hcen flt pr equilibrr un recipiente de 0,006 dm 3?... d) Cuánts pess de 1 kg hcen flt pr equilibrr un recipiente de 0,2 dl? Expres en kilogrmos ests cntiddes de gu destild. ) 345 =... kg c) 0,5 kl =... kg e) cm 3 =... kg b) 20 dm 3 =... kg d) 3,5 kl =... kg f) 0,5 m 3 =... kg 11 Expres en grmos los siguientes volúmenes y cpciddes de gu destild. ) 43 =... g c) 0,001 kl =... g e) 0,25 cl =... g b) 7 cm 3 =... g d) 205 dm 3 =... g f) 450 ml =... g Un depósito de gu contiene de litros. Clcul. ) Su cpcidd en m 3. b) Su cpcidd en hectolitros. c) Si fuer gu destild, cuál serí su ms en tonelds y en kilogrmos? 13 Dos recipientes contienen un cntidd totl de 15 hl de gu. Si uno de ellos contiene 72 dl, hll. ) L cpcidd de cd recipiente en litros. b) L ms en kilogrmos de cd uno de ellos. c) El volumen que ocupn en metros cúbicos. ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 387

8 _ qxd /9/07 15:06 Págin 388 OBJETIVO 3 CALCULAR EL VOLUMEN DE ALUNOS CUERPOS EOMÉTRICOS NOMBRE: CURSO: ECHA: VOLUMEN DE UN ORTOEDRO El ortoedro es un prism cuys crs son rectángulos. Un cj de cerills, un cj de zptos, un piscin, un ul, desde un punto de vist geométrico, son ortoedros. 8 cm 4 cm En el fondo de l cj cben 32 cubitos de 1 cm 3 cd uno 8 4 = 32 cm 3 5 cm Pr llenr l cj hy que colocr 5 fils más de 32 cubitos de 1 cm 3 cd uno (8 4) 5 = 160 cm 3 El volumen de l cj es 160 cm 3, y contiene 160 cubitos de 1 cm 3 cd uno. El volumen del ortoedro es el producto del lrgo, el ncho y l ltur. V = c b c b Como el producto c b es el áre de l bse (A B ), podemos firmr que el volumen del ortoedro se puede expresr como el producto del áre de l bse por l ltur ( en el dibujo y h en ls fórmuls generles). V = A B h 1 Indic el volumen de los ortoedros en función del número de cubitos de 1 cm 3 que contengn. ) b) 2 Hll el volumen de los siguientes ortoedros. ) b) 1 cm 4 cm 6 cm 2 dm 3 dm 5 dm 388 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

9 _ qxd /9/07 15:06 Págin Obtén el volumen de los ortoedros. Expres los resultdos en cm 3 y en dm 3. ) b) c) 3 cm 2 cm 2 cm 2 cm 4 cm 2 cm 4 cm 1,5 cm 3 cm 4 Determin el volumen de los siguientes ortoedros. ) b) c) 4 cm 3 cm 1 cm 3 cm 1 cm 2,8 cm 6 cm 1,5 cm 2 cm 5 6 Clcul el volumen de un piscin de dimensiones: Lrgo: 15 m Ancho: 7 m Profundidd: 1,5 m 15 m Hll el volumen de un ul cuy áre de l bse es 40 m 2 y su ltur es 2,5 m. Reliz un dibujo representtivo. 7 m 1,5 m ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 389

10 _ qxd /9/07 15:06 Págin 390 VOLUMEN DE UN CUBO El cubo es un ortoedro que tiene igules sus tres rists, lrgo-ncho-lto. Altur V = = 3 Lrgo Ancho 7 Indic el volumen de los cubos en función del número de cubitos de 1 cm 3 que contienen. ) b) 8 Clcul el volumen de los siguientes cubos según su rist. Reliz un dibujo representtivo y expres el resultdo en dm 3 y m 3. ) Arist = 5 cm b) Arist = 70 dm 9 Hemos construido un cubo de crtulin. Se hn forrdo tods ls rists con 240 cm de cint dhesiv. Cuánto mide cd rist? Cuál es el volumen del cubo? 390 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

11 _ qxd /9/07 15:06 Págin 391 VOLUMEN DE UN CILINDRO Observ los siguientes cuerpos geométricos: el ortoedro y el cilindro. Tienen l mism ltur (h) y sus bses tienen l mism áre. 8 cm h 6 cm h 3,91 cm h = cm A B Ortoedro = lrgo ncho = 8 6 = 48 cm 2 A B Cilindro = π r 2 = π (3,91) 2 = 48 cm 2 Bses de igul áre Si llenmos el ortoedro con ren fin o gu y lo vcimos en el cilindro, comprobmos que este se llen. Ambos cuerpos tienen el mismo volumen. V Ortoedro = V Cilindro = A B h 10 Clcul el volumen de un cilindro que tiene de rdio de l bse 5 cm y un ltur de 8 cm. h r 11 Obtén el volumen de un cilindro, si l bse tiene un áre de 30 cm 2 y mide cm de ltur. 13 Determin el volumen de un cilindro cuy bse es un círculo de 8 cm de diámetro y tiene un ltur de 15 cm. Un depósito de gu tiene form cilíndric. El diámetro de l bse es 1,8 m y su ltur 4,5 m. Clcul el volumen totl del depósito y l cntidd de litros que cben en él. ADAPTACIÓN CURRICULAR h r MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 391

12 _ qxd /9/07 15:06 Págin 392 VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE Observ los siguientes cuerpos geométricos: el ortoedro y l pirámide. Tienen l mism ltur h y l mism áre de ls bses. h Bses de igul áre Si llenmos l pirámide con ren fin o gu y l vcimos en el prism, comprobmos que pr llenr el prism se necesitrí el contenido excto de 3 pirámides. El volumen de l pirámide es tres veces menor que el del prism, es decir, un tercio del áre de l bse por l ltur. V Pirámide VPrism AB h = = 3 3 h B 14 Clcul el volumen de un pirámide de cm de ltur, si l bse es un cudrdo de 4 cm de ldo. 15 Obtén el volumen de un pirámide de 9 cm de ltur cuy bse es un rectángulo de 4 cm de lrgo y 2,5 cm de ncho. 16 L pirámide de Keops, en Egipto, es de bse cudrngulr. El ldo de l bse mide 230 m y su ltur 160 m. Clcul su volumen totl. 392 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.