EJERCICIOS DE CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS EJERCICIOS DE CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas, Venezuela Abril 26

2 Año de la primera publicación de este texto: 998. Primera revisión: año 25 Segunda revisión: año 26 Ramón Bruzual Correo-E: Marisela Domínguez Correo-E: Laboratorio de Formas en Grupos Centro de Análisis Escuela de Matemática Facultad de Ciencias Universidad Central de Venezuela

3 Índice general Integrales múltiples. Integrales de línea y teorema de Green. 9 Análisis vectorial. 5 iii

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5 Integrales múltiples. () Calcular las siguientes integrales iteradas. (a) 2 dy (x 2 +2y)dx (b) x 2 dx +y dy 2 (c) dx (x+y) dy 2 2π (d) a dθ rdr asenθ (2) Construir las regiones cuyas áreas se expresan por las siguientes integrales, decir qué tipo de región es, y calcular la integral. (a) ( x 2 dy ) dx (b) 2 ( 3x+ 2x ) dy dx (3) Hallar y representar gráficamente las regiones de integración que correspondan con cada una de las siguientes integrales iteradas. (a) y dy f(x,y)dx y 2 4 (b) 3 25 x 2 dx f(x,y)dy (c) 3 x+9 2 dx f(x,y)dy (d) dx x 2 x+2 (4) Calcular la siguiente integral doble por integración sucesiva. x 2 f(x,y)dy xy(x+y)dxdy, donde Q = [,] [,]. Q (5) Demostrar que el área de la parte del disco de centro (,) y radio que está comprendida entre la recta x = /2 y la recta x = /2 es igual a π/3+ 3/2. (6) Sea < t <. Calcular el área de S = {(x,y) [,] [,] : y < t/x}.

6 2 INTEGRALES MÚLTIPLES. (7) Dibujar las regiones de integración y calcular la integral doble. (a) xcos(x+y)dxdy donde S es el triángulo de vértices (,), (π,) y (π,π). (b) S S e x+y dxdy donde S = {(x,y) : x + y }. (8) Sea f : [,] [,] R definida por si x es racional; f(x,y) = 2y si x es irracional. Demuestre que dx f(x,y)dy =, y que f no es integrable Riemann en el rectángulo [,] [,]. (9) Es posible dar un ejemplo de una función f : [,] [,] R que es integrable y sin embargo no están definidas ninguna de las integrales iteradas de f? () Demuestre que dy (e xy 2e 2xy )dx dx (e xy 2e 2xy )dy. () Sea D R n y f : D R n una función continua. Demostrar que si x es un punto interior de D entonces f( x ) = lím r V n (B(x,r)) B(x,r) f dv. (2) Demostrar la regla de Leibnitz: Si g : [a,b] [c,d] R es continua y g es continua y entonces d b b g g(t,y)dt= dy y (t,y)dt. a (Indicación: Cambiar el orden de integración en y dx b g (t,x)dt.) c a y (3) Demostrar que si g(x,y) y g y (x,y) son continuas y h y h 2 son diferenciables, entonces d dy h2 (y) h (y) g(t,y)dt = h2 (y) h (y) a g y (t,y)dt+h 2(y)g(h 2 (y),y) h (y)g(h (y),y).

7 INTEGRALES MÚLTIPLES. 3 (4) Evaluar la siguiente integral iterada y dibujar la región D determinada por los límites de integración (algunas de las integrales son impropias). (a) x 2 x e x+y dydx (b) π 2 cosθ cosθdrdθ (c) x dxdy (5) Cambiar el orden de integración en x (d) π 2 f(x,y)dydx. re r2 drdθ (6) Usando integrales, verificar: (a) El área de una elipse con semiejes de longitud a y b es πab. (b) El volumen de un elipsoide con semiejes a, b y c es 4 πabc. 3 (c) El área de una región semicircular de radio a es 2 πa2. (d) El volumen de la esfera unitaria es 4π. 3 (7) Cambiar el orden de integración en x y f(x,y,z)dzdydx para obtener las otras cinco formas posibles. Esbozar la región. (8) Utilizar integrales triples para justificar la fórmula para el volumen de un sólido de revolución estudiada en cursos previos de cálculo. (9) Evaluar ye xy dv, donde W = [,] [,] [,]. W (2) Evaluar x 2 coszdv, donde W es la región acotada por los planos W z =, z = π, y =, y = π, x =, x+y =. (2) Calcular 2x x+y x 2 +y 2 dzdydx.

8 4 INTEGRALES MÚLTIPLES. (22) Sean λ,λ 2,λ 3 números positivos. Demostrar que (a) (b) λ λ 2 λ 3 e λ x λ 2 y λ 3 z dxdy = λ 3 e λ 3z xyzλ λ 2 λ 3 e λ x λ 2 y λ 3 z dxdydz = λ λ 2 λ 3 (23) Sean f y g dos funciones acotadas, integrables y de valor absoluto integrable en R, la convolución de f y g es la función dada por: f g(x) = f(x y)g(y)dy Sean f, g, h funciones integrables y de valor absoluto integrable en R. Demostrar que: (a) La integral que define f g converge para todo x R. (b) f g = g f. (c) (f g) h = f (g h). (24) El propósito del siguiente ejercicio es calcular el valor de (a) Probar que e xy dy = x si x >. (b) Usar integración por partes para probar que (c) Justificar las siguientes igualdades (d) Deducir que e xy senxdx = si y >. +y2 senx + x dx = = = dx dy +y 2 dy. senx x dx = π 2. e xy senxdy e xy senxdx senx x dx

9 INTEGRALES MÚLTIPLES. 5 (25) Pasar a coordenadas polares r y θ, y colocar los límites de integración para las siguientes integrales: (a) (b) (c) (d) (e) 2 S dx dx x f(x,y)dy. ( ) f x2 +y 2 dy. f(x, y) dx dy donde S es el triángulo limitado por las rectas y = x, y = x, y =. S ( y ) dx f dy. x x 2 f(x,y)dxdy donde S es la región limitada por la lemniscata (x 2 +y 2 ) 2 = a 2 (x 2 y 2 ). (26) Calcular la siguiente integral doble pasando previamente a coordenadas polares: S ydxdy donde S es el semicírculo de diámetro a con centro en ( a 2,). (27) Sea (x,y) = T(u,v) = (u 2 v 2,2uv). (a) Dibujar la región que se obtiene como imagen por T del cuadrado de vértices: (,), ( ) (, 3 2, 3,) y ( 3, ). (b) Encuentre el área de la región dibujada en (a). (28) Calcular la integral doble S x2 a 2 y2 b 2 dxdy donde S es la región limitada por la elipse x2 a + y2 =, pasando a coordenadas 2 b2 polares generalizadas x a = rcosθ, y b = rsenθ.

10 6 INTEGRALES MÚLTIPLES. (29) Representar gráficamente la región cuya área se expresa por la siguiente integral: π 2 π 2 dθ a(+cosθ) a rdr. (3) Sea a >, hallar el área limitada por las curvas: r = a(+cosθ) y r = acosθ, para π 2 θ π 2. (3) Usando coordenadas polares hallar el área de la región interior a la curva (x 2 +y 2 ) 3 = 6x 2. (32) Calcular el área de la región interior a la circunferencia x 2 +y 2 8y = y exterior a la circunferencia x 2 +y 2 = 9. (33) El propósito del siguiente ejercicio es calcular el valor de (a) Demostrar que (b) Deducir que (34) Sea f(x) = (a) (c) e t2 dt = e (x2 +y 2) dydx = π 4. π 2. ( ) exp (x m)2. Demostrar que: 2πσ 2 2σ 2 f(x)dx = (b) x 2 f(x)dx = m 2 +σ 2 (d) xf(x)dx = m x 2 f(x)dx ( e t2 dt. xf(x)dx) 2 = σ 2. (35) Hallar el volumen de un cono circular recto de radio R y altura h. (36) Calcular (37) Calcular dxdydz, donde B es el sólido limitado por el elipsoide B B e (x2 +y 2 +z 2 ) 3 2 ( ) x 2 a + y2 2 b + z2 2 c 2 dxdydz, donde B = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 }. x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 =.

11 INTEGRALES MÚLTIPLES. 7 (38) Calcular xyzdxdydz donde S es el conjunto de los puntos (x,y,z) tales que B x 2 +y 2 +z 2, x, y, z. (39) El propósito del siguiente ejercicio es deducir la fórmula para el contenido n-dimensional de la bola de radio R en R n. (a) Sea α n el contenido n-dimensional de la bola con centro y radio R en R n. Demostrar que el contenido n-dimensional de una bola de radio R en R n es igual a α n R n. Por lo tanto, basta que hallemos una fórmula para α n. (b) Demostrar que α n = V n (B n (, t 2 ))dt, donde V n es el contenido n dimensional y B n (, t 2 ) es la bola con centro y radio t 2 en R n. (c) Deducir que Luego, si entonces α n = 2α n ( t 2 ) (n )/2 dt π/2 = 2α n sen n (θ)dθ, I n = π/2 sen n (θ)dθ, α n = 2α n I n, y, por lo tanto, α n = 4α n 2 I n I n. (d) Utilizar integración por partes para demostrar que ( ) n I n = I n. n

12 8 INTEGRALES MÚLTIPLES. (e) Demostrar por inducción que y I 2n+ = n 2n+ I 2n = π n 6 2n. Usar estas dos fórmulas para probar que Concluir que (f) Demostrar que α 2m = πm m! I n I n = π 2n. α n = 2π n α n 2. y α 2m+ = 2 m+ π m 3 5 (2m+). (4) * Sea A un subconjunto de R n. Se dice que A tiene medida n-dimensional nula o simplemente medida si para cada ε > existe un conjunto numerable de paralelepípedos rectangulares {Q,,Q 2,...} tales que V n (Q i ) < ε y A i= interior(q i ). i= (a) Demostrar que en la definición de medida podemos cambiar la condición A N i= interior(q i) por A N i= Q i. (b) Demostrar que todo conjunto de contenido nulo tiene medida. (c) Demostrarquetodosubconjunto numerable der n tienemedida,enparticular Q n tiene medida (d) Demostrar que Q n [,] n no tiene contenido nulo. (e) Dar un ejemplo de un subconjunto infinito de R de contenido nulo.

13 Integrales de línea y teorema de Green. () Sea g : R R 2 la trayectoria definida por g(t) = (e t,t). (a) Representar gráficamente la curva g. (b) Representar gráficamente los vectores tangentes g () y g (). (2) Representar gráficamente la curva asociada a la trayectoria (x,y) = (t 3,t 5 ). Verificar que esta parametrización no define un vector tangente en el origen. Será posible encontrar otra parametrización que sí defina un vector tangente en el origen? (3) Sea g(t) = (sen2t,2sen 2 t,2cost). Demostrar que la curva g está contenida en una esfera con centro en el origen. (4) Demuestre que si g : R R 3 es diferenciable y g (t) = para todo t R entonces g(t) es un vector constante. Interprete físicamente. (5) Sea g : R R 3 una trayectoria diferenciable tal que g (t) para todo t R. Sea p un punto que no pertenece a la curva g. Supóngase que q = g(t ) es el punto de la curva g más cercano a p, es decir, p q p g(t) para todot R. Demostrar que el vector p q es ortogonal a la curva g en q. Indicación: Derivar la función q(t) = p g(t) 2. Interpretar gráficamente el resultado anterior. (6) Encontrar la longitud de las siguientes curvas: (a) (x,y) = (t,ln(cost)) para t. (b) (x,y) = ( t 2, 2 3 t3 t) para t 2. 2 (c) y = x 3/2 para x 5. (d) g(t) = (3t 2,4 2t 3,3t 4 ) para t 2. 9

14 INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. (7) Demuestre que la curva (x,y) = (cosθ,senθ), para θ π, está parametrizada 2 por la longitud de arco. Represente gráficamente los vectores velocidad y aceleración cuando θ = π 2. (8) Encontrar una parametrización por la longitud de arco de la curva espiral con t. (x,y,z) = (acosωt,asenωt,bt) (9) Sea f : [a,b] R 2 una función de clase C. Demostrar que si G es el gráfico de f entonces l(g) = b a +(f (x)) 2 +(f 2(x)) 2 dx donde f(x) = (f (x),f 2 (x)) para todo x [a,b]. () Calcular las siguientes integrales de línea: (a) xdx+xdy +ydz, donde L está dada por g(t) = (t,t,t) para t 2. L (b) P (x+y)dx+dy, donde P está dada pot g(t) = (t,t2 ) para t 3. (c) G ex dx+zdy + senzdz, donde G está definida por (x,y,z) = (t,t 2,t 6 ) para t. (d) G xdy+ G 2 xdy, donde G está definida por g (t) = (cost,sent), t 9π y G 2 está definida por g 2 (t) = (cost,sent), 2 t 4π. () Calcular el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la curva (x,y,z) = (t,t,t 2 ), t 2, bajo la influencia del campo de fuerzas F(x,y,z) = (x+y,y,y). (2) Halle la masa total de la espiral definida por g(t) = (acost,bsent,bt) con t 2π, si su densidad en el punto (x,y,z) es x 2 +y 2 +z 2.

15 INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. (3) Usar el teorema de Green para calcular el valor de la integral de línea ydx+x 2 dy G para los casos en que G es cada uno de los siguientes caminos cerrados. (a) La circunferencia definida por g(t) = (cost,sent) con t 2π. (b) El cuadrado con vértices en (,),(, ),(,) y (, ) recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj. (4) Sea G la curva parametrizada por g(t) = (2cost,3sent) con t 2π. Calcule (2x+y)dx+(3x+y)dy. G (5) Sea D una región simple cuya frontera es una curva G lisa por pedazos. Demuestre que si G se recorre en sentido positivo entonces el área de D es A(D) = ydx+xdy. 2 G (6) Sea G el triángulo con vértices (,),(,) y (, π ) recorrido en sentido positivo. 2 Evaluar la siguiente integral de línea. e x cosydx+e x senydy. G (7) Valiéndose de la fórmula de Green, transformar la integral curvilínea I = x2 +y 2 dx+y(xy+ln(x+ x 2 +y 2 ))dy C donde C es el contorno, recorrido en sentido positivo, que limita un recinto S. (8) Calcular C xdy ydx x 2 +y 2 en los siguientes dos casos: (a) El origen de coordenadas está fuera del contorno C. (b) El origen de coordenadas está dentro y C es una elipse. (9) Calcular el área limitada por las siguientes curvas: (a) La elipse x = acost, y = bsent. (b) x = acos 3 t, y = bsen 3 t. (c) x = a(2cost cos2t), y = a(2sent sen2t).

16 2 INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. (2) Consideremos el campo vectorial f : D R 2 definido por ( f(x,y) = y ) x x 2 +y 2,, x 2 +y 2 donde D = {(x,y) R 2 : (x,y) (,)}. Es decir, f = (f,f 2 ), donde (a) Demostrar que para todo (x,y) D. f (x,y) = y x 2 +y 2 f 2 (x,y) = f y (x,y) = f 2 x (x,y), x x 2 +y 2. (b) Sea C una circunferencia con centro en el origen, recorrida en sentido antihorario. Demostrar que C f dx+f 2 dy = 2π. (c) Demostrar que no existe ningún campo escalar ϕ : D R tal que f = ϕ. (d) Demostrar que si S es un subconjunto abierto y conexo de D entonces existe un campo escalar ϕ : S R tal que f S = ϕ. (e) Explicar y justificar lasiguiente afirmación: Si C esuna curva cerrada ysimple que no pasa por el origen, entonces f dx+f 2 dy 2π C es el número de vueltas que la curva C da alrededor del origen. (f) Sea T = R 2 \{(x,y) R 2 : y =,x } y, para (x,y) T, sea arctan y si x >, x π θ(x,y) = si x =, 2 arctan y +π si x <. x Demostrar que θ = f T.

17 INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. 3 (g) Interpretar geométricamente el significado de la función θ. En base a esta interpretación justificar (2e). Notar que este ejercicio muestra que el conjunto donde está definido un campo vectorial influye de manera determinante sobre la posibilidad de que este campo vectorial sea un gradiente. (2) Hallar una familia de soluciones para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. (a) (x+2y)dx+(2x+y)dy =. (b) 2xydx+x 2 dy =. (c) (x 2 y)dx (x+sen 2 y)dy =.

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19 Análisis vectorial. () Sea F un campo vectorial derivable dado por F = (P,Q,R). Halle una fórmula para rotf = en los siguientes casos: (a) F(x,y,z) = (y 2,xy,xz), (b) F(x,y,z) = (y z,yz, xz). (( R y Q ) ( P, z z R ) ( Q, x x P )). y (2) Sea F un campo vectorial derivable dado por F = (P,Q,R). En los siguientes casos halle una fórmula para (a) F(x,y,z) = (x,y,z), (b) F(x,y,z) = (x 2,y 2,z 2 ). divf = P x + Q y + R z (3) Encuentre el área de la rampa espiral representada por: g(u,v) = (ucosv,usenv,v), con u, v 3π. (4) Calcular F ds, donde F(x,y,z) = x+y +z y S está dado por S g(u,v) = (u v,u+v,uv), para u, v. (5) Aplicando el teorema de Stokes hallar (y +z)dx+(z +x)dy +(x+y)dz L donde L es la intersección de las superficies dadas por x+y +z =, x 2 +y 2 +z 2 = a 2, y a es un número positivo. 5

20 6 ANÁLISIS VECTORIAL. (6) Encuentre la masa total de una película esférica cuya densidad en cada punto es igual a la distancia del punto a un punto fijo de la esfera. (7) Sea G : R 3 R una función de clase C. Supongamos que G determina implícitamente un pedazo de superficie lisa S en la cual G/ z, que yace sobre una región D del plano xy tal que hay un solo punto de S sobre cada punto de D. Demostrar que área(s) = D ( G ) 2 + x ( ) 2 G + y ( G z ) 2 G z dxdy. (8) Encuentre una parametrización como superficie lisa por pedazos, orientable, con normal apuntando hacia afuera, para cada uno de los siguientes conjuntos: (a) El cilindro con una tapa dado por x 2 +y 2 =, z y x 2 +y 2,z =. (b) El embudo dado por x 2 +y 2 z 2 =, z 4 y x 2 +y 2 =, z. (9) Sea F el campo vectorial en R 3 dado por F(x,y,z) = (x,y,2z x y). Calcular la integral de F sobre las superficies orientadas del Ejercicio 8. () Hallar x 2 y 3 dx+dy +dz, donde L es la intersección de las superficies L x 2 +y 2 = r 2, z =. () Usando el teorema de Stokes, calcular la integral de superficie rotf ds para: (a) F(x,y,z) = (y 2,xy,xz) y S es el hemisferio x 2 +y 2 +z 2 =, z. (b) F(x,y,z) = (y z,yz, xz) y S consta de las cinco caras del cubo x 2, y 2, z 2 no situadas en el plano xy. S (2) Transformar la integral de superficie usando el teorema de la divergencia en los siguientes casos: (a) F(x,y,z) = (x,y,z) y S es la superficie dada por x 2 +y 2 +z 2 =. (b) F(x,y,z) = (x 2,y 2,z 2 ) y S está limitada por las superficies dadas por x 2 +y 2 = 4, z =, z +x = 2.

21 ANÁLISIS VECTORIAL. 7 (3) Sea f : [a,b] R una función de clase C y no negativa. El gráfico de f rotado alrededor del eje x genera una superficie de revolución S en R 3. (a) Encontrar una parametrización de S en términos de f. (b) Demostrar que área(s) = 2π b a f(x) +(f (x)) 2 dx. (4) Verifique que si F(x,y,z) no depende de z y la tercera coordenada de F es cero entonces la fórmula de Stokes, aplicada a una superficie en el plano xy, se reduce a la fórmula de Green. (5) Demuestre que si R es una región en la que se puede aplicar el teorema de Gauss, entonces Vol(R) = xdy dz +ydz dx+zdx dy. 3 R

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