7. Programación lineal y SIMPLEX

Transcripción

1 7. Progrmción linel y SIMPLEX Definición de problems de progrmción linel. Método gráfico. Método del SIMPLEX. Método de ls dos fses. Análisis de sensibilidd y problem dul Progrmción Linel Técnic de modeldo mtemático diseñd pr optimizr el empleo de recursos limitdos Bse pr el desrrollo de lgoritmos más compleos de modelos de IO, incluyendo l progrmción enter, no linel y estocástic. Frncisco R. Villtoro 1

2 Modelo de PL Elementos básicos (pr plnter el problem): Vribles de decisión Función obetivo (linel) Restricciones (lineles) Solución fctible: culquier solución que stisfce tods ls restricciones Solución fctible óptim: solución fctible que produce el vlor óptimo en l función obetivo Modelo de PL Propieddes intrínsecs en l linelidd: Proporcionlidd: l contribución de cd vrible de decisión en l función obetivo y en ls restricciones es directmente proporcionl l vlor de l vrible Aditividd: l contribución totl de tods ls vribles en l función obetivo y en ls restricciones es l sum de l contribución individul de cd vrible. Frncisco R. Villtoro 2

3 Método Gráfico Válido pr modelos de dos vribles Psos básicos: Determinción del espcio de ls soluciones fctibles Determinción de l solución óptim de entre todos los puntos en el espcio de solución fctible: Dibur un rect con vlor función obetivo constnte (contorno) Mover dich rect de form prlel en l dirección en l que se optimiz l función obetivo El espcio de ls soluciones fctibles es un conunto convexo. Si un problem de PL tiene solución óptim, ést es un punto extremo o esquin del espcio de ls soluciones fctibles. Solución de un problem PL Cutro csos: Solución óptim únic Vris soluciones óptims: todo un segmento de soluciones L región de soluciones fctibles está vcí L región de soluciones fctibles no está cotd Frncisco R. Villtoro 3

4 Método del SIMPLEX Método lgebrico pr l determinción de l solución fctible óptim de un problem de PL con culquier número de vribles de decisión. Requiere que el problem esté en form estándr: tods ls restricciones deben ser de iguldd y tods ls vribles no negtivs L ide básic es: prtiendo de un vértice de l región fctible buscr otro dycente en el que meore el vlor de l función obetivo. PL estándr en form mtricil Mximizr o minimizr z= CX Suet AX=b X 0 donde b 0 X = T ( x, x, K, x ), C = ( c, c, K, c ) 1 11 = 21 A M m M m2 n K 1 n b1 K 2n b = 2, b O M M K mn b m 1 2 n Frncisco R. Villtoro 4

5 Form estándr Vrible de holgur: En ls restricciones ( ) el ldo derecho represent el límite sobre l disponibilidd de un recurso y el ldo izquierdo el uso de ese recurso limitdo. Un holgur represent l cntidd del recurso que no se utiliz. Vrible de superávit: Ls restricciones ( ) determinn requerimientos mínimos de especificciones. Un superávit represent el exceso del ldo izquierdo sobre el requerimiento mínimo. Vrible no restringid: El método del símplex exige trbr con vribles no negtivs. Ls vribles no restringids pueden expresrse como l diferenci de dos vribles no negtivs. Conversión form estándr Conversión de desigulddes igulddes: ( ): se introduce un vrible de holgur E: x1+x2 3 x1+x2+s1=3, s1 0 ( ): se introduce un vrible de supervit E: x1+3x2 7 x1+3x2 s2=7, s2 0 Convesión de un vrible no restringid vribles no negtivs: x= x + - x -, x +, x - 0 Frncisco R. Villtoro 5

6 Soluciones básics L form estándr de PL incluye m ecuciones y n vribles (m<n). A n-m vribles se les sign el vlor 0 Ls m vribles restntes se determinn resolviendo ls m ecuciones. Si se obtiene un solución únic ls m vribles socids se les llm vribles básics y ls n-m vribles no básics: solución básic. Si tods ls vribles de l solución básic tomn vlores no negtivos l solución básic es fctible, si no, es no fctible. El número máximo de posibles soluciones básics pr m ecuciones con n incógnits es: n n! = m m!( n m)! Representción vectoril de un bse El sistem de ecuciones AX=b con m ecuciones y n incógnits se puede expresr en form vectoril como n = 1 P x = b donde P represent el vector de l column de A Un subconunto de m vectores formn un bse, B, si y sólo si son linelmente independientes (det(b) 0, B no singulr) Frncisco R. Villtoro 6

7 Soluciones básics AX= b, sistem de m ecuciones y n incógnits X B un subconunto de m elementos de X B mtriz mxm que incluye los elementos de A socidos X B Al signrles el vlor 0 los n-m elementos restntes de X el sistem se reduce BX B = b Si B es un bse obtenemos solución únic: X B =B -1 b solución básic de AX=b Si B -1 b>=0 X B es fctible Si X B >0 solución no degenerd B y B son dycentes si tienen m-1 columns comunes Optimlidd del lgoritmo del símplex El conunto Q de tods ls soluciones fctibles es convexo L solución óptim pr el problem de l progrmción linel: Mximice z=cx, suet AX=b, X>=0 cundo es finit debe ocurrir en un extremo de su espcio fctible Q Un fctor necesrio y suficiente pr que X se un punto extremo del espcio fctible Q es que X se un solución básic fctible (SBF) Frncisco R. Villtoro 7

8 Condición de fctibilidd Ddo x, SBF, socido l bse B (índices J) buscmos x*=x+t mx d dycente x tmbién SFB: d dirección de búsqued d ˆ = 1, d k = 0 k J { ˆ } Ax*=b Ad=0 J d + ˆ = 0 d J = B 1 ˆ x*>=0 t mx x = min, J, d < 0 d Condición de optimlidd Beneficio reducido Beneficio en l dirección x+td: c T T T T T T T 1 ( x+ td) = c x+ tc d = c x+ t( cˆ + cj dj ) = c x+ t( cˆ cj B ˆ ) Beneficio reducido pr l vrible no básic : c c Condición de optimlidd: elegir no básic pr que el beneficio reducido se máximo T J B 1 Frncisco R. Villtoro 8

9 Algoritmo del SIMPLEX 1. Determinr un solución básic fctible y su bse socid B con índices J. 2. Clculr los beneficios reducidos: 1 c = c c B 3. Si c 0 terminr (l solución es óptim) si no, elegir un con c > Clculr l dirección d, d J = B 5. Si d 0 terminr (beneficio óptimo ) si no, determinr xk tmx = min, k J, dk < 0 dk 6. Nuev solución fctible básic x+t mx d, ctulizr J y B T J Csos especiles Solución ilimitd Si hy un vector P r que h de entrr en l bse pero sus componentes son tods menores o igules que 0 (no se puede plicr criterio de slid) Infinits soluciones Hy un vrible no básic con beneficio reducido 0 en l tbl finl (condición necesri) Frncisco R. Villtoro 9

10 Solución inicil rtificil Encontrr un solución básic fctible inicil es fácil si tods ls restricciones son (<=) y se considern como vribles básics ls vribles de holgur Cundo esto no sucede hy que recurrir vribles rtificiles que sumen el ppel de ls holgurs en l primer iterción y que se eliminn en iterciones posteriores Método de ls dos fses Modificr ls restricciones pr que el ldo derecho se no negtivo Convertir ls desigulddes su form estándr. Añdir un vrible rtificil no negtiv () ls restricciones que en el pso 1 fuern = o ( ) Frncisco R. Villtoro 10

11 Método de ls dos fses Resolver un problem LP cuy función obetivo (w) se minimizr l sum de ls vribles rtificiles (FASE 1) Si el vlor óptimo de w es positivo el problem originl no tiene solución fctible Si el vlor óptimo de w es 0 y no hy vribles rtificiles en l solución básic se eliminn ls columns de l tbl óptim de l fse 1 que corresponden ls vribles rtificiles y se combinn l función obetivo originl con ls restricciones de dich tbl. (Fse 2). Si el vlor óptimo de w es 0 y hy vribles rtificiles en l solución básic, eliminmos de l tbl óptim de l fse 1 ls vribles rtificiles no básics y forzmos ls vribles rtificiles básics en ls iterciones de l fse 2 permnecer nuls o slir de l bse. Análisis de sensibilidd Permite determinr los cmbios en l solución óptim que resultn de hcer cmbios en los prámetros del modelo: conduct dinámic de l solución óptim. Anliz cmbios discretos en los prámetros del modelo. Frncisco R. Villtoro 11

12 Análisis de sensibilidd Si l bse ctul permnece óptim después de cmbir el coeficiente de un vrible no básic en l función obetivo, los vlores de ls vribles de decisión y el vlor obetivo óptimo no cmbin. Si cmbi el coeficiente de un vrible básic, los vlores de ls vribles de decisión pueden permnecer constntes, pero el vlor obetivo óptimo puede cmbir Si cmbi el ldo derecho de un restricción los vlores de ls vribles de decisión y de l función obetivo pueden cmbir Problem dul Mximizr z=c t x Sueto Ax b, x 0 Minimizr w=b t y Sueto A t y c, y 0 Lem 1: Si x,y son soluciones fctibles, entonces z(x) w(y) Corolrio: L solución del problem dul d un cot superior del problem originl Lem 2: x,y soluciones fctibles. Si z(x)=w(y) entonces x e y son óptims. Lem 3: Si el problem originl es no cotdo, el problem dul es no fctible Lem 4: Si el problem dul es no cotdo, entonces el problem originl no es fctible Frncisco R. Villtoro 12

13 Teorem dul Si X B es un bse óptim pr el problem priml entonces C J B -1 es un solución óptim del problem dul. Además los vlores obetivos óptimos de mbos problems coinciden. Si un conunto de vribles básics X B es fctible, entonces es óptimo si y sólo si l solución dul socid C J B -1 es fctible en el dul. Ide de l demostrción: B bse óptim y B =c J B -1 fctible xb solución con vlor obetivo óptimo c J B -1 b=z(x B ) = y B b=w(y B ) vlor óptimo dul Relción entre el primrio y el dul El dul del problem dul es el problem originl (primrio) Pr culquier pr de soluciones fctibles primri y dul el vlor del obetivo en el problem de mximizción es menor o igul que el vlor del obetivo en el problem de minimizción. En el óptimo, l relción es válid con l iguldd. Culquier de los dos problems tiene solución si y sólo si l tiene el otro. Si no hy solución óptim sólo pueden drse dos relciones: Inconsistente-Inconsistente Inconsistente-Ilimitdo Frncisco R. Villtoro 13