POLÍGONOS REGULARES. DEFINICIÓN DE POLÍGONO REGULAR Son los polígonos cerrados y convexos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales.

Transcripción

1 LÍGNS RGULRS FINIIÓN LÍGN RGULR Son los polígonos cerrados y convexos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales. 1 LMNTS LS LÍGNS RGULRS omo el resto de polígonos, tienen vértices, lados, ángulos y diagonales. ero los regulares tienen además otras propiedades y elementos. Todos los polígonos regulares tienen centro, circunferencia inscrita, circunferencia circunscrita, apotemay radio.. ircunscrita:. Inscrita: potema: Radio: Ángulo central: Ángulo interior: La que pasa por todos los vértices del polígono. La que es tangente a todos los lados del polígono. s el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado. s el segmento que une el centro con un vértice. l que forman dos radios consecutivos. l que forman dos lados consecutivos, por el interior del polígono. circunferencia circunscrita circunferencia inscrita radio ángulo central apotema ángulo interior RIS l centro del polígono es a su vez centro de ambas circunferencias. l radio del polígono es el radio de la. ircunscrita, y la apotema del polígono es el radio de la. Inscrita. Todos los polígonos regulares pueden construirse a partir de uno solo de sus datos: radio, apotema, lado, ángulo, diagonal... l polígono regular de tres lados es el triángulo equilátero, el de cuatro es el cuadrado. l triángulo no tiene diagonales, el cuadrado y el pentágono tienen las diagonales iguales; a partir del hexágono (incluído) las diagonales pueden tener diferentes medidas. partir del pentágono (incluído) todos tienen los llamados polígonos estrellados. M RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

2 LÍGNS RGULRS MÉTS NSTRUIÓN xisten varios métodos, unos son los llamados métodos generales, que en algunos casos son únicamente aproximados y no son recomendables si se requiere exactitud y precisión. Sirven para dibujar cualquier polígono regular. Los métodos específicos son exactos y existe uno para cada polígono regular hasta once lados aproximadamente. xisten métodos a partir del lado y a partir del radio. 2 MÉTS GNRLS or los ángulos centrales onsiste en calcular la medida del ángulo central del polígono regular a construir y después, mediante un transportador de ángulos, ir sumando ángulos iguales al calculado. Veamos un ejemplo: onstruir un eneágono regular de radio 3 cm. Marcamos el centro de la circunferencia con un punto; trazamos un radio con la medida pedida y luego una circunferencia con el mismo radio del polígono. Un eneágono es un polígono de nueve lados, por lo tanto tiene también nueve ángulos centrales. Hacemos el cálculo del valor de cada ángulo central, dividiendo el ángulo completo de la circunferencia entre nueve: 360º : 9 = 40º 40º on el transportador construimos un ángulo de 40º y trazamos el segundo radio. Sobre este nuevo radio construimos otro ángulo de 40º, así sucesivamente hasta completar el polígono. asar medidas repetidamente con un transportador puede dar mucho error de dibujo. ara que ese error sea mínimo procedemos de la siguiente forma: n lugar de situar el transportador cada vez que marquemos un ángulo central, lo dejamos fijo y vamos marcando las sumas de los ángulos sucesivamente: 40º, 80º, 120º, 160º, 200º... N 40º 40º 40º 40º SÍ 160º 40º 40º 40º 120º 80º 40º 0º RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

3 LÍGNS RGULRS 3 MÉTS SÍFIS RTIR L RI Recordemos primero que el radio del polígono y el de la circunferencia circunscrita miden lo mismo. La circunferencia tiene infinitos radios y el polígono regular tiene tantos radios como vértices, pero miden lo mismo. sto quiere decir que el problema es el mismo en estos casos: - uando se da el radio del polígono - uando se da el radio de la circunferencia circunscrita - uando se da la circunferencia circunscrita ya dibujada - uando se pide un polígono inscrito en una circunferencia n cualquiera de los casos y para cualquier polígono empezaremos siempre a partir de la circunferencia con el radio dado. ara hacerlo correctamente reduciendo en lo posible el error de dibujo, seguiremos estos pasos: Trazamos dos ejes perpendiculares, con escuadra y cartabón. odemos conseguir también los polígonos de doble número de lados trazando la mediatriz de un lado o la bisectriz de un ángulo central. or ejemplo, el dodecágono a partir del hexágono: Mediante una bisectriz o una mediatriz encontramos un vértice intermedio del dodecágono. on la medida del lado del hexágono hacemos centro en el nuevo vértice y pasamos la medida por el resto de la circunferencia. Medimos el radio que nos dan y trazamos una circunferencia, que será la circunscrita al polígono pedido. lado hexágono radio Unimos todos los vertices, los anteriores y l o s n u e v o s, o b t e n i e n d o e l dodecágono. RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

4 LÍGNS RGULRS UR a partir del radio s el polígono regular de cuatro lados. l radio es la mitad de la diagonal. 4 Trazamos dos ejes perpendiculares, con escuadra y cartabón y la circunferencia circunscrita con el radio. Unimos los puntos de corte de los ejes con la circunferencia. radio Si queremos que el cuadrado quede derecho trazamos otros dos ejes a 45º con los anteriores, bien con escuadra y cartabón o mediante la bisectriz del de 90º. TÓGN a partir del radio Si estudiamos el cuadrado veremos que con dos pares de ejes perpendiculares y a 45º, uniendo todos los puntos de corte obtenemos el octógono. RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

5 LÍGNS RGULRS HXÁGN o XÁGN a partir del radio s el polígono regular de seis lados. ropiedad importante: el radio y el lado miden lo mismo. e esta propiedad se deduce la forma de construirlo, pasando la medida del radio por la circunferencia circunscrita. 5 Trazamos dos ejes perpendiculares, con escuadra y cartabón y la circunferencia circunscrita con el radio. on el compás y la medida del radio, hacemos centro en un punto de la circunferencia, por ejemplo el. Trazamos un arco que corte a la circunferencia y obtenemos el punto el punto. radio Repetimos la operación esta vez con centro en, para obtener el punto. Hacemos lo mismo sucesivamente desde cada nuevo punto. Si se traza correctamente, el último punto debe coincidir con el primero, el. Uniendo los vértices,,... en el mismo orden en que se hicieron obtenemos el hexágono. Si observamos el hexágono ya construido vemos que podemos simplificar el trazado con dos único arcos desde los extremos de un diámetro. uede hacerse cuando se tienen los diámetros perpendiculares; si no se tienen hay que realizar el trazado anterior. F F RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

6 LÍGNS RGULRS TRIÁNGUL QUILÁTR a partir del radio s el polígono regular de tres lados. Si observamos el hexágono regular veremos que uniendo vértices alternos obtenemos nos queda un triángulo equilátero, por lo que el método es el mismo pero tomando sólo tres vértices. Si queremos que el triángulo tenga la base horizontal empezaremos haciendo centro en el vértice inferior. 6 HTÁGN a partir del radio s el polígono regular de siete lados. artimos igualmente de los ejes. on el compás y la medida del radio, hacemos centro en el punto de la circunferencia, y trazamos un arco que corte a la circunferencia en los puntos 1 y 2. r=m2 l segmento 1-M (o el 2-M ya que son iguales), es la medida del lado del heptágono. Tomamos esta medida con el compás y, al igual que con el hexágono, la pasamos por la circunferencia. 2 2 G M 1 F Trazamos el segmento 1-2, que corta al radio en el punto medio M. ara que el polígono tenga la base horizontal empezamos a pasar los lados desde el vértice superior. tención: no confundir el vértice con el punto 1. M G F RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

7 LÍGNS RGULRS 7 NTÁGN a partir del radio s el polígono regular de cinco lados. arece el más complicado pero es el mismo que el heptágono y un paso más. artimos igualmente de los ejes. on el compás y la medida del radio, hacemos centro en el punto de la circunferencia, y trazamos un arco que corte a la circunferencia en los puntos 1 y 2. Trazamos el segmento 1-2, que corta al radio en el punto medio M. 2 2 M 1 1 Tomamos como centro el punto M y abrimos el compás La distancia -3 es la medida del lado del pentágono. hasta el punto. Trazamos el arco desde hasta cortar omo en el heptágono pasamos esta medida por la en el punto 3. circunferencia, comenzando en el vértice para que la base quede horizontal. 2 2 M M r=3 RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

8 LÍGNS RGULRS 8 ÁGN a partir del radio s el polígono regular de diez lados. l método es exactamente el mismo que el del pentágono. Únicamente hay que tomar como medida del lado el segmento -3. artimos igualmente de los ejes. on el compás y la medida del radio, hacemos centro en el punto de la circunferencia, y trazamos un arco que corte a la circunferencia en los puntos 1 y 2. Trazamos el segmento 1-2, que corta al radio en el punto medio M. 2 2 M 1 1 Tomamos como centro el punto M y abrimos el compás hasta el punto. Trazamos el arco desde hasta cortar La distancia -3 es la medida del lado del decágono. omo en los anteriores pasamos esta medida por la en el punto 3. circunferencia. Si queremos que un lado quede horizontal comenzamos a pasar el lado desde M M r=0-3 RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

9 LÍGNS RGULRS 9 NÁGN a partir del radio s el polígono regular de nueve lados. s algo diferente al resto de polígonos regulares. artimos igualmente de los ejes. on el compás y la medida del radio, hacemos centro en el punto de la circunferencia, y trazamos un arco que corte a la circunferencia el punto 1. on centro en el punto y radio -1, trazamos un arco que corte a la prolongación del eje horizontal de la circunferencia en le punto Haciendo centro ahora en el punto 2 y abriendo el compás hasta, trazamos un arco hasta encontrar el punto 3 sobre el eje horizontal. l segmento Q-3 es la medida del lado del eneágono. omo en los otros, pasaremos esta medida por la circunferencia con el compás. Si comenzamos en quedará la base horizontal. 2 Q r=q-3 RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

10 LÍGNS RGULRS 10 SQUM RSUMN xcepto para el eneágono, podemos reunir todos los polígonos en un único esquema, con lo cual no es necesario memorizar ocho métodos, sino recordar sólo un trazado. Realizando los trazados del pentágono marcamos sobre el mismo dibujo los segmentos correspondientes a cada polígono. Q 3 N 2 1 M 1-2 = lado del triángulo equilátero Q-N = lado del cuadrado -3 = lado del pentágono - = lado del hexágono M-2 = lado del heptágono -3 = lado del decágono Los lados del octógono y del dodecágono se obtienen, como se indicó en la 1ª página, a partir del c u a d r a d o y d e l h e x á g o n o respectivamente, trazando la mediatriz de un lado o la bisectriz de un ángulo central. omo se puede comprobar con solo dos operaciones (una mediatriz más un arco) se consiguen los más complicados. ara el heptágono y el triángulo equilátero solo hace falta la mediatriz y para el cuadrado y el hexágono bastan los ejes perpendiculares. Lógicamente no hay que realizar todos los trazados siempre, sino únicamente los necesarios para cada polígono. RRRS IUJ l error de dibujo se nota especialmente en trazados en los que hay que repetir muchas veces ciertas operaciones, como en los polígonos regulares, en los que hay que pasar la medida de los lados repetidamente. Un error de dibujo de 0,2 mm (que es poco a simple vista) repetido doce veces en un dodecágono se convierte en un error visible. ara minimizar o al menos reducir a la mitad el error de dibujo, cuando hayamos obtenido la medida del lado, deberemos pasar la mitad de los lados en un sentido y la otra mitad en el otro alrededor de la circunferencia. RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

11 LÍGNS RGULRS 11 MÉTS SÍFIS RTIR L L l dato de partida será el lado del polígono, bien por su medida o bien por un segmento ya dibujado en el papel. Los métodos a partir del lado son, en general, algo más complicados, por el número de operaciones y porque son bastante diferentes entre sí, a diferencia de los métodos por el radio. NTS MZR lgunas cosas de interés comunes a casi todos los trazados: 1. Los métodos están relacionados en cierta forma, lo que facilita su memorización. omo se verá el polígono de 6 está relacionado con el de 3, el de 8 con el de 4, el de 9 con el de 3, el de 10 con el de 5, el de 12 con el de 6. s decir, están relacionados los que son múltiplos unos de otros. 2. n casi todos los métodos el objetivo de los trazados es obtener el centro de la circunferencia circunscrita, y una vez dibujada ésta, pasar la medida del lado por ella, como en los métodos del radio. 3. Los trazados deben hacerse muy minuciosamente ya que es fácil confundir centros, puntos, etc. fijándose bien en los dibujos explicativos. 4. l error de dibujo es mayor que en los métodos del radio por el número de trazados. Hay que cuidar la precisión en los trazados desde el primer paso. 5. Se usan frecuentemente los trazados de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, que recordamos debajo. También las perpendiculares y paralelas, que realizaremos con escuadra y cartabón. MITRIZ de un segmento: Recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio. Se toma con el compás una medida claramente mayor que la mitad del segmento. Haciendo centro en los extremos y del segmento trazamos dos arcos que se cortan en los puntos 1 y 2. La recta que pasa por ellos es la mediatriz. 1 2 ISTRIZ de un ángulo: Recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales, pasando por el vértice. Se toma con el compás una medida cualquiera y se traza un arco con centro en el vértide del ángulo, obteniendo los puntos 1 y 2. Se traza la mediatriz del segmento 1-2 que resulta ser la bisectriz. V 2 1 RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

12 UR a partir del lado s el polígono regular de cuatro lados. LÍGNS RGULRS 12 Trazamos dos perpendiculares por los extremos del lado, suficientemente largas. on centro en un extremo y con el radio igual al lado, trazamos un arco hasta encontrar el punto. or trazamos una paralela hasta encontrar. También puede trazarse un ángulo de 45º con escuadra y cartabón, desde uno de los extremos del lado hasta encontrar el vértice. TRIÁNGUL QUILÁTR a partir del lado s el polígono regular de tres lados. on centro en un extremo y la medida del lado trazamos un arco que sobrepase el centro del segmento por arriba. 45º on la misma medida y centro en en otro extremo trazamos un arco similar que se cortará en el vértice. Unimos el vértice con los otros dos. RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

13 LÍGNS RGULRS 13 HXÁGN XÁGN a partir del lado s el polígono regular de seis lados. ara comprender el trazado veremos primero la relación entre el hexágono y el triángulo equilátero. Si observamos un hexágono regular comprobaremos que está compuesto de seis triángulos equiláteros. demás todos los triángulos tienen uno de sus vértices en el centro de la circunferencia circunscrita del hexágono. or lo tanto, para construir un hexágono a partir del lado primero construiremos el triángulo equilátero inferior. on centro en el vértice superior del triángulo haremos una circunferencia que pase por y, que es la circunferencia circunscrita del hexágono. on la medida del lado del hexágono hacemos el trazado de un triángulo equilátero. (No es necesario dibujar el triángulo, aquí se representa por facilitar la comprensión). on centro en el vértice superior trazamos una circunferencia que pase por y, que será la circunferencia circunscrita del hexágono. Tomando la medida del lado con el c o m p á s, l a p a s a m o s p o r l a circunferencia, como en el método del radio. RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

14 LÍGNS RGULRS 14 NTÁGN a partir del lado s el polígono regular de cinco lados. ara entender mejor el proceso observemos antes el esquema inferior. Si tomamos un lado y dos diagonales convenientemente veremos que se forman tres triángulos isósceles, uno de vértices y otros dos iguales de vértices y. 2º 3º 1º l proceso es dibujar primero el triángulo y luego añadir los otros dos. Si conociéramos la medida de la diagonal el problema se reduce a construir triángulos a partir de los tres lados. l método que veremos a continuación sirve para encontrar la medida de la diagonal a partir del lado. Trazamos una perpendicular por el extremo, con escuadra y cartabón. on centro en el extremo y radio, trazamos un arco hasta la perpendicular, encontrando el punto. Trazamos la mediatriz del lado, encontrando el punto M. M M on centro en M y radio M trazamos un arco hasta encontrar el punto Q, en la prolongación del lado hacia la derecha. Q RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

15 LÍGNS RGULRS 15 NTÁGN ontinuación a partir del lado l segmento Q resultante es la medida de la diagonal del pentágono que estábamos buscando. M Q hora construimos los triángulos isósceles que se indicaban al principio: primero el, luego los y. Únicamente queda tener en cuenta que no es necesario dibujar el triángulo interior y que N debemos borrar los trazados anteriores, eliminados arriba para facilitar la comprensión. l conjunto quedará como en el dibujo inferior. radio Q M Q radio RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

16 LÍGNS RGULRS 16 ÁGN a partir del lado s el polígono regular de diez lados. omo se indicó en la página 11 el decágono y el pentágono están relacionados, lo que facilita mucho su trazado. Si observamos el decágono inferior veremos que, al construir un pentágono con el mismo lado, el vértice superior coincide con el centro del decágono, al igual que ocurría con el hexágono y el triángulo equilátero. e aquí deducimos el método: primero construimos un pentágono regular con el lado del decágono. l vértice superior será el centro de la circunferencia circunscrita del decágono, por la que pasaremos el lado. onstruimos un pentágono a partir del lado lado del decágono. asamos la medida del lado por la circunferencia, la mitad en un sentido y la otra mitad en el contrario, para reducir el error. radio I on centro en el vértice superior trazamos una circunferencia por y, que es la circunscrita al decágono. Uniendo los puntos de corte obtenemos el decágono. J H G F RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

17 LÍGNS RGULRS 17 TÓGN a partir del lado s el polígono regular de ocho lados. omo se indicó en la página 11 el octógono y el cuadrado están relacionados, lo que facilita mucho su trazado. Si observamos el octógono inferior veremos que, al construir un cuadrado con el mismo lado y trazar su circunferencia circunscrita, ésta pasa por el centro del octógono. e aquí deducimos el método: primero construimos un cuadrado con el lado del octógono. Trazaremos el centro de la circunferencia circunscrita del cuadrado y hallaremos, centro de la circunferencia circunscrita del octógono, por la que pasaremos el lado. onstruimos un cuadrado a partir del lado lado del octógono. on centro en trazamos una circunferencia por y, que es la circunscrita del octógono. Trazamos las diagonales del cuadrado para hallar su centro y su circunferencia circunscrita. on escuadra y cartabón trazamos la mediatriz del lado, que debe pasar por el centro del cuadrado. La prolongamos hacia arriba hasta cortar en a la circunferencia. asamos la medida del lado por la circunferencia, en ambos sentidos. Uniendo construimos el octógono. H G radio F RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

18 LÍGNS RGULRS 18 ÁGN a partir del lado s el polígono regular de doce lados. stá relacionado con el hexágono y a su vez éste con el triángulo equilátero. l dodecágono tiene su centro en la circunferencia circunscrita del hexágono. V Método: on el lado del dodecágono construimos un hexágono y su circunferencia circunscrita. on ella hallamos. centro de la circunferencia circunscrita del dodecágono. o n st r u i m o s u n t r i á n g u l o equilátero a partir del lado lado del dodecágono. on centro en el vértice superior V t ra za m o s l a c i rc u n fe re n c i a circunscrita del hexágono, que no es necesario dibujar. V on escuadra y cartabón trazamos la mediatriz del lado, que debe pasar por el vértice V del triángulo. La prolongamos hacia arriba hasta cortar en a la circunferencia. on centro en trazamos una circunferencia por y, asamos la medida del lado por la circunferencia, en que es la circunscrita del dodecágono. ambos sentidos. Uniendo construimos el dodecágono. J K L I radio H G V F RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

19 LÍGNS RGULRS 19 NÁGN a partir del lado s el polígono regular de nueve lados. stá relacionado con el triángulo equilátero. Método: artimos del lado del eneágono. Los pasos a realizar sirven para obtener el centro de la circunferencia circunscrita del eneágono. o n st r u i m o s u n t r i á n g u l o equilátero a partir del lado del eneágono. Hallamos el centro del triángulo mediante dos alturas, con escuadra y cartabón. on centro en V, vértice superior del t r i á n g u l o, t r a z a m o s u n a circunferencia que pase por. rolongamos los lados del triángulo hasta cortar a la circunferencia en M y N. Unimos los puntos M y N y prolongamos la altura del triángulo, que corta a MN en el punto. TNIÓN: No confundir el punto en MN con el punto de corte en la circunferencia. N on centro en trazamos una circunferencia por y, asamos la medida del lado por la circunferencia, en que es la circunscrita del eneágono. ambos sentidos. Uniendo construimos el eneágono. H I G radio F SÍ RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

20 HTÁGN a partir del lado s el polígono regular de siete lados. LÍGNS RGULRS 20 Método: artimos del lado del heptágono. Los pasos a realizar sirven para obtener el centro de la circunferencia circunscrita del heptágono. onstruimos un triángulo rectángulo tomando como cateto el lado del heptágono, y con un ángulo de 30º. btenemos el tercer vértice. Trazamos la mediatriz del lado. 30º on centro en el extremo, (el vértice del ángulo de 30º siempre) trazamos un arco que pasae por, hasta cortar a la mediatriz en. l punto es el centro de la circunferencia circunscrita del heptágono. asamos la medida del lado por la circunferencia, en ambos sentidos. Uniendo construimos el heptágono. radio RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

21 LÍGNS RGULRS 21 TRS RIS QU YUN MJRR LS TRZS LÍGNS N NÚMR R IMR LS olígonos con número par de lados: olígonos con número impar de lados: Tienen siempre lados opuestos paralelos. Tienen siempre un vértice opuesto a otro. Las diagonales que unen vértices opuestos se cortan en el centro. Tienen un vértice opuesto a un lado, pero no otro lado opuesto. No hay diagonales que pasen por el centro. NTR L LÍGN RGULR l centro del polígono es también el de sus circunferencias inscrita y circunscrita. Las mediatrices de los lados se cortan en el centro. Las bisectrices de los ángulos interiores se cortan en el centro. Las diagonales que unen vértices opuestos (número par) se cortan en el centro. circunferencia inscrita circunferencia circunscrita ara hallar el centro de un polígono regular dado podemos hacer cualquiera de estas cosas: Las mediatrices de dos lados que no sean opuestos. Las bisectrices de dos ángulos que no sean opuestos. os diagonales entre vértices opuestos ( polígonos pares). Una combinación de las anteriores. RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

22 LÍGNS RGULRS 22 LTUR UN LÍGN RGULR n un polígono impar la altura se mide desde el punto medio de un lado hasta el vértice opuesto. n uno par se mide desde el punto medio de un lado hasta el punto medio del lado opuesto. r a altura a a altura Impares: La altura es la suma de una radio más una apotema. ares: La altura es la suma dos apotemas. MITRIS de los lados Las mediatrices de los lados en un polígono regular coinciden con las bisectrices de los ángulos centrales. Si se dibuja bien y se dispone de un buen material, pueden hacerse con escuadra y cartabón, trazando una perpendicuar al lado pasando por el centro. M = = LÍGNS de número doble de lados odemos conseguir los polígonos de doble número de lados trazando la mediatriz de un lado o la bisectriz de un ángulo central. Se halla el centro del polígono y se traza su circunferencia circunscrita. Trazamos una mediatriz o bisectriz hasta cortar a la circunferencia circunscrita en V, que será un vértice intermedio del polígono doble. V l vértice nuevo unido a uno del anterior nos da el lado del polígono doble. V RFSR: lfredo once inos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.