5.1 Estúdiese la continuidad y derivabilidad de la función f : R! R dada por 8 x 2 +1 six< 0 f (x):=

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1 5.1 Estúdiese la continuidad y derivabilidad de la función f : R! R dada por 8 >< 2 +1 si< 0 f (): 2+1 si 0 1 >: +1 si >1 La funciónf es continua en los intervalos abiertos ] 1;0[, ]0;1[ y ]1; 1[ porque la restricción de f a dichos intervalos es una función polinómica o racional cuyo denominador es no nulo, y estas son funciones continuas y derivables en todo punto de su dominio de de nición. Además, 8 >< f 0 () : >: 2 si< 0 2 si 0<< si> 1 Comolim!0 f() lim!0 ( 2 +1) 1; ylim!0 +f () lim!0 (2 +1) 1; tenemos que lim!0 f () 1. Así, puesto quef (0) 1; tenemos quef es continua en 0: Sin embargo,f no es derivable en cero pues 1 lim!0 f () f (0) 0 lim! lim!0 0 lim!0 + f () f(0) 0 lim! lim!0 + (2) 2 Finalmente, como lim!1 f() lim!1 (2+1) 3 µ +1 lim!1 +f () lim!1 + 2 f no es continua en 1, y por tantof no es derivable en 1. Así,f es derivable en todo su dominio de de nición ecepto en 0 y Seana;b;c2R yf : R! R dada por ½ f (): 2 ; si c a+b; si>c

2 2 Determínensea yben función dec para que eistaf 0 (c): Siffuese derivable en c, y por tanto, continua enc, tendriamos que tener que: y lim!c + lim!c +f () lim!c +f () f (c) f () f(c) c lim!c f () f(c) c Ahora bien,f (c) c 2, lim!c f() c 2 y lim!c +f() ac +b. Por tanto,c 2 ac+b, es decir,b c 2 ac; y como lim!c f () f(c) c lim!c+ f () f(c) c lim 2 c 2!c c lim!c lim!c ( +c) 2c a +b c lim 2!c+ c lim!c+ a ac c ( c)(+c) c lim!c+ a +c 2 ac c 2 c lim!c+ a( c) c a de donde se deduce quea2c: Por consiguiente,b c 2 ac c 2 : 5.3 Pruébese que la funciónf: R! R dada por ½ f() : 2 ; si2 Q 0; si 2 Q es derivable únicamente en un punto. Seaa 2 R. Sifes continua ena, para toda sucesión ( n ) de números racionales convergente aa( n!a), se tiene quef ( n )!f (a) 0, y para toda sucesión (y n ) de irracionales convergente aa(y n!a), se tiene quef (y n )!f (a) a 2 : Por tantoa 2 0; y el único punto en el quefes continua esa0: Este es también el único punto dondefes derivable, y como para 6 0; f () f(0) 0 8 >< >: si 2 Q si2 Q

3 se tiene que f () f(0) 0 y por tanto, lim!0 f () f(0) 0 jj : Luegof es derivable en 0 yf 0 (0) Seafuna función derivable ena: Pruébese que [f()] 2 [f(a)] 2 lim!a 2f(a)f 0 (a): a siempre que esté de nido el segundo miembro. Para 6a, se tiene [f ()] 2 [f (a)] 2 (f () f(a))(f () +f(a)) a a (f () f(a)) (f () +f(a)) a y comof es derivable ena, y por tanto, continua ena, Luego, lim!a f () f(a) y lim!a f () f(a) a f 0 (a) [f ()] 2 [f (a)] 2 lim!a lim!a (f ()+f(a)) f 0 (a) 2f (a) f 0 (a). a Estúdiese la derivabilidad de la función en los puntos indicados en cada caso: 8 < a)f() : : 2 1<<0, en los puntos 1y0: 8 sen 0 < + 3 ; si<0 b)g(): 0; si0, en el punto 0: : sen; si>0 8 < a) f () : 2 1<<0 : sen 0 Estudio en0 : Comenzamos con la derivada por la derecha, 3

4 4 f 0 (0 + ) lim!0+ f () f(0) 0 y veamos que vale la derivada por la izquierda: lim!0+ sen 1 f 0 (0 ) lim!0 f () f (0) 0 lim!0 2 lim!0 0 Es claro que al no coindidir ambas derivadas, la función no es derivable en cero,. Estudio en 1: Derivada por la derecha: f 0 ( 1 + f () f( 1) ) lim! 1 + lim +1! 1 + ( 1)(+1) lim! Derivada por la izquierda: f 0 ( 1 f () f( 1) ) lim! 1 lim +1! 1 ( 1)(+1) lim! La funciónf es derivable en 1, siendo su derivadaf 0 ( 1) 2. b) 8 < + 3 ; si<0 g() : 0; si0 : sen; si>0 Estudio en 0: Derivada por la derecha: g 0 (0 + ) lim!0+ g() g(0) 0 Derivada por la izquierda: g 0 (0 ) lim!0 g() g(0) 0 lim!0+ sen 1 + lim 3!0 lim!0 (1+ 2 ) 1 La función es derivable en cero, con derivadag 0 (0) Estúdiese en el punto0; la continuidad y derivabilidad de las funciones:

5 a)f () : ½ e 1; 0 3 ; < 0 b)g() : ( 3 sen 1 ; 6 0 0; 0 5 Demuéstrese además queg 0 no es derivable, pese a eistir f (0). ½ e a)f () : 1; 0 3 ; <0 Estudio en 0: Es claro quef es continua en 0, pueslim!0+ f () 0 lim!0 f () f (0): Aplicando la de nición de derivada, tenemos que f 0 (0 + ) lim h!0+ f (0+h) f(0) h lim h!0+ e h 1 h lim h!0+ e h 1 0 h 1; como mostramos a continuación. Haciendoe h 1 t; tenemose h t+1, y por tantoh Ln(t+1), por lo que lim h!0 e h 1 h lim t!0 lim t!0 1 Ln(t+1) 1 t t Ln(t+1) lim t!0 1 Lne t Ln(t +1) (puesto que aún no hemos comenzado a utilizar la regla de L Hopital. También hemos de notar que estamos en condiciones óptimas de aplicar dicha regla). f 0 (0 ) lim h!0 f (0+h) f(0) h lim h!0 h 3 1 h lim h!0 h 2 0 Al no ser iguales la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda, la función f no ( es derivable en cero. b)g() : 3 sen 1 ; 6 0 0; 0 Estudio en0. Aplicando la de nición de derivada, µ 1 h 3 sen 0 µ g 0 h 1 (0) lim h!0 lim h h!0 h 2 sen 0 h

6 6 µ pues 1 sen 1 y lim h!0 h 2 0. Así pues, la funcióng es derivable, y en consecuencia, continua en 0: Utilizando las reglas elementales de derivación, tenemos que8 µ µ µ >< 3 2 sen + 3 g 0 () 2 cos si 60 >: 0 si 0 8 µ µ 1 1 >< 3 2 sen cos si 6 0 >: 0 si 0 µ µ 1 1 Comolim!0 g 0 () lim!0 3 2 sen cos no eiste, entonces g 0 () no puede ser continua en 0, pese a eistirg 0 (0): 5.7 Estúdiese la derivabilidad def,justi cando el dominio de de nición de la función. f () : j 2 1j+ j 3j Solución 8 < si 0 Por ser jj : tendremos que estudiar j : 2 1j en si <0 ] 1; 1[, ] 1;1[ y ]1; 1[. Asímismo, j 3j en ] 1;3[ y ]3;+1[. Para 1<< 1 : 2 1> 0 ) j 2 1j 2 1 1<<1 : 2 1< 0 ) j 2 +1j << 1 : 2 1> 0 ) j 2 1j 2 1 1<<3 : 3< 0 ) j 3j 3 3<< 1 : 3> 0 ) j 3j 3 De aquí obtenemos que:

7 8 >: << <<1 2 1 >< f () << << 1 7 Los posibles puntos dondef puede que no sea derivable son 1, 1 y 3. Para 1; tenemos: lim! 1 + Por otro lado, f () f( 1) +1 lim! 1 + lim! 1 + ( +1) +1 lim! lim! 1 + ( ) 2: lim! 1 lim! 1 f () f( 1) +1 lim! 1 ( 2)(+1) +1 Luegof no es derivable en 1 Para 1; tenemos: lim!1 + Por otro lado, f () f(1) 1 lim!1 + lim!1 + ( 1) 1 f () f(1) lim lim!1 +1!1 + ( 2)(+1) lim! lim! lim! 1 ( 2) 3: lim () 1:! lim! lim! lim ( 2) 3:!1 +

8 8 Luegof no es derivable en 1: Para 3; tenemos: f () f(3) lim!3 + 3 Por otro lado, lim!3 + lim!3 + ( +4)( 3) f () f(3) lim lim !3 3!3 3 lim!3 ( +2)( 3) 3 lim! lim ( +4) 7:!3 + lim! lim ( +2) 5:!3 Luegof no es derivable en 3: Seaf: R! R de nida por f () Pruébese quef es derivable en todo R. Encuéntrense los puntos de la grá ca f en los que la recta tangente tenga pendiente igual a 2. Seaa2Rarbitrario. Veamos quef es derivable ena. lim!a f () f(a) a ( 2 a 2 ) ( a) lim!a a lim 2 +1 (a 2 a+1) lim 2 a 2 +a!a a!a a ( a)( +a) ( a) lim!a a lim!a [(+a) 1] 2a 1 luego f es derivable em a con derivadaf 0 (a) 2a 1: Así,f 0 () 2 1 para todoen R. Si la pendiente es igual a dos,f 0 () 2 1 2, de donde se deduce que 3 2 : µ µ µ 3 Puesto quef , ya que el punto ha de pertenecer µ a la grá ca, el punto donde la recta tangente tiene pendiente 3 igual 2 es 2 ; Sean ; 2 R yf : R! R la función de nida por

9 9 f () R. Pruébese que f es derivable en todo R. Encuéntrense los valores de y que hacen que el punto (2;4) pertenezca a la grá ca de f y que la recta tangente a la misma en dicho punto sea la recta de ecuación: 2 y 0. Seaa 2 R arbitrario. Veamos quef es derivable ena. f () f(a) (a 2 + a+ ) lim lim!a a!a a 2 a 2 + ( a) ( a)( +a)+ ( a) lim lim!a a!a a ( a)[(+a) + ] lim lim [(+a)+ ] 2a+!a a!a luegof es derivable ena con derivadaf 0 (a) 2a+ : Puesto quea es un punto arbitrario,fes derivable en todo R. Así,f 0 () 2 + para todo en R. Puesto que nos dan la recta tangente, que es 2 y 0, es decir,y2; con pendiente igual 2; se tiene que 2 f 0 (2) 2 2+, de donde se deduce que 2: Finalmente, para que el punto (2;4) pertenezca a la grá ca def, se ha de tener quef (2) 4: Así f (2) , esto es, , de donse se obtiene Seana; b; c 2 R y seanf; g :R! R las funciónes de nidas por: f () 2 +a+b 8 2 R g() 3 c 8 2 R Pruébese que g es derivable en todo R (f lo es por el ejercicio anterior). Determínense los valores de a,b, y c que hacen que las grá cas de f y g pasen el punto (1;2) y tengan la misma recta tangente en dicho punto. Seaa 2 R arbitrario. Veamos queg es derivable ena. g() g(a) lim lim 3 c (a 3 c) lim 3 a 3!a a!a a!a a ( a)( lim 2 +a+a 2 ) lim ( 2 +a +a 2 ) 3a 2!a a!a

10 10 luegoges derivable ena con derivadag 0 (a) 3a 2 : Puesto quea es un punto arbitrario,ges derivable en todo R. Así,g 0 () 3 2 para todoen R. El hecho de que las grá cas def yg pasen por el mismo punto (1;2) signi ca quef (1) 2 y queg(1) 2: f (1) 2, 1 +a+b2 )a+b 1: g(1) 2, 1 c 2 )c 1: de donde se deduce quec 1 y queb 1 a: Si queremos que tengan la misma recta tangente en el punto (1;2); hemos de ver quef 0 (1) g 0 (1); pero f 0 () 2 +a )f 0 (1) 2+a g0() 3 2 )g 0 (1) 3 así, 2 +a 3, lo que implica quea 1; y por tantob 0: Hállese la ecuación de la recta tangente y de la recta normal de cada una de las siguientes funciones: i)f () tag(3) en el punto (0;0) ii)f () en el punto (3;11) i) La pendiente de la recta tangente seráf 0 (0); y la pendiente de la recta 1 normal es f 0 (0) : Derivemos primero la función y luego sustituimos 0: f 0 () 3 cos 2 (3) )f0 (0) 3 La ecuación de la recta tangente esy 0 3( 0) )y 3; y la ecuación de la recta normal esy 3. ii) La pendiente de la recta tangente seráf 0 (3); y la pendiente de la recta 1 normal es f 0 (3) : Derivemos primero al igual que antes la función y luego sustituyamos 3: f 0 () 4 4 )f 0 (3) 8

11 La ecuación de la recta tangente es por tantoy 11 8( 3); y la ecuación de la recta normal esy 11 1 ( 3) Encuéntrense las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f () 2 que pasen por el punto (0; 4): Como el punto (0; 4) no pertenece a la curva, no podemos seguir el procedimiento del ejercicio anterior. Hemos de buscar el punto ó los puntos de tangencia. Supongamos que dicho punto es (a;a 2 ) (son de esta forma porque han de pertenecer a la curvay 2 ): La pendiente de la recta tangente se puede calcular de dos maneras diferentes: i) Sabiendo que es la derivada en el punto de tangencia: f 0 () 2 )f 0 (a) 2a ii) sabiendo que pasa por los puntos (0; 4) y (a;a 2 ), de donde resulta: pendiente a2 +4 a Igualando ambos resultados, tenemos la ecuación: 11 2a a2 +4 a )a 2 4 y por tantoa 2 Tenemos pues que hay dos rectas que veri can la condición, una con pendiente 4 y otra con pendiente 4. Sus ecuaciones son: y +4 4( 0) )y+4 4 y +4 4( 0) )y Encuéntrense las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f () en que su ordenada sea igual a su abcisa: 2 9 Si queremos que en cada punto, la ordenada sea igual a su abcisa, hemos de hacer la intersección de f () con f (), esto es,

12 , , p >< >: µ µ 10 2 Entonces, los puntos son: P 3 ;10 yq 3 3 ; 2 µ 3 2 ; yf 0 3 : Las pendi- µ 10 entes de la rectas tangentes seránf 0 3 la función y luego sustituimos 10 3 y 2 3 : f 0 () 1. µ 10 Así pues,f yf0 rectas tangentes son respectivamente: µ 2 3 y µ y µ : Derivemos primero ; luego las Hállense las recta tangentes a la curva f () sen en los puntos 0, y ¼: Las pendientes de la rectas tangentes seránf 0 (0); yf 0 (¼): Al igual que hemos hecho en el ejercicio anterior, derivemos primero la función y luego sustituimos 0 y¼: f 0 () cos )f 0 (0) 1 yf 0 (¼) 1 Teniendo en cuenta quef (0) 0 f (¼), las rectas tangentes son respectivamente: y ey ( ¼).

13 Hállese el punto de f () en que la tangente es perpendicular a 2y+3 0: Despejandoy en la ecuación 2y +3 0, tenemosy , cuya pendiente es 1 : La pendiente de la recta tangente que es perpendicular 2 a esta última, es 2: La pendiente de la recta tangente a la curvaf() seráf 0 (a); que no es otra que : Derivemos primero la función y luego sustituimosa: f 0 () 2 3 )f 0 (a) 2a 3 Puesto quef 0 (a) 2a 3 2, tenemosa 1. Así pues el punto µ µ µ buscado es 2 ;f 2 2 ; Seana;b 2 R y seaf : R! R la función de nida por: f () a 2 +b R Determínense los valores dea ybque la recta tangente en el punto (2;1) tenga pendiente 3. La pendiente de la recta tangente en el punto (2;1) esf 0 (2) que en este caso ha de ser igual a 3: Derivemos primero la función y luego sustituimos 2: f 0 () 2a +b)f 0 (2) 4a+b Puesto que nos dicen que la pendiente es 3; tenemos pues, 4a+b 3: Por otro lado, el punto (2;1) ha de pertenecer a la grá ca def;es decir, f (2) 1; 4a+2b+3 1: ½ 4a+b 3 Resolviendo el sistema, obtenemos queb 5, ya 2. 4a+2b Sean ; 2R yf: R! R dada por f (): ½ + ; si 0 2 ; si>0 13

14 14 Determínense para que valores de y la función es derivable en 0: Siffuese derivable en 0, y por tanto, continua en 0, tendriamos que tener que: y lim!0 +f () lim f () f(0)!0 f () f(c) lim!0+ c Ahora bien,f (0) y lim!0 f () f(c) lim!0 c f () lim ( + ) ; lo cual implica!0 que 0 para quefsea continua en 0, pues lim f () lim 0: Así!0 +!0 pues, +2 ½ si 0 f (): 2 si>0 Comprobemos ahora la derivabilidad: f () f (0) lim!0 0 f () f(0) lim!0 + 0 lim!0 0 0 lim!0 lim!0 lim 2 0 2!0 + 0 lim 2!0 + lim!0 + 0 de donde se deduce que 0: Estúdiese la continuidad y derivabilidad de la función f : R! R dada por f (): 2 1+ jj ; 8 2 R Es claro quef es continua (es cociente de funciones continuas tales que la función denominador no se anula nunca). Por otro lado sabemos que la función j j valor absoluto es derivable en todo punto salvo el 0. Así pues la funciónf es derivable en todo número real no nulo, por ser cociente de dos funciones derivables en todo número real no nulo. Veamos pues que pasa en el punto 0: lim!0 f () f(0) 0 lim! jj 0 0 luegof es derivable en 0, con derivadaf 0 (0) 2. lim! jj 2