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1 CÓNICAS:(ELIPSE(E(HIPÉRBOLA( ELIPSE& DEFINICIÓN:Lugargeométricodelospuntosdelplanocuyasumadedistanciasadospuntos fijos,llamadosfocos,esconstante(eigualaa). B A FbF A ca B ELEMENTOSDELAELIPSE: Vértices:Puntosdeintersccióndelaelipseconlosejes:A,A,B,B Distanciafocal(c):distanciaentrelosfocos.Semidistancia+focal=c. Ejemayor(a):distanciaentrelosvérticesAA.Semieje+mayor=a. Ejemenor(b):distanciaentrelosvérticesBB.Semieje+menor=b. Excentricidad:e= c a ;Enlaelipselae<1. ECUACIÓN: a + y b = 1 ; b + y a = 1 SilaelipseestuvieracentradaenelpuntoP(x 0,y 0 ): ( x x 0 ) ( ) + y y 0 = 1 y a b 0 x 0 info@academiacae.com MADRID

2 Enestaecuaciónoperandoyagrupandotérminosnosqueda: A + By + mx + ny + p = 0 OJO:Enlaecuacióndelaelipse,losnúmerosquemultiplicana ey son distintos(ayb)yademás,tenemosun + entre A + By RELACIÓN+ENTRE+++a+(semieje+mayor),++b++(semieje+menor)+++y+++c++(semidistancia+focal): a = b + c PROBLEMAS+DE+ELIPSE: Datos: Centroysemiejes: 1.DeterminarlaecuacióndelaelipsedecentroelpuntoP(e1,)yde semiejesa=3yb=1. Posicióndelosvértices:.Determinalaecuacióndelaelipsecentradaenelorigencuyosvérticesson A=(,0)yB=(0,1).Determinasuexcentricidad.(nosestándando a y b ) 3.DeterminalaecuacióndelaelipsesabiendoquelospuntosA=(,0)y A (e4,0)sonextremosdeunejededichaelipseyqueelvalordelotro semiejees1.determinalascoordenadasdelosvértices.(parasacarelcentro calculamoselpuntomedioentreaya PM( x A + x B, y A + y B ) Dosdelosvaloresa,boc,obien,algunodedichosvaloresylaexcentricidad: 4eDeterminalaecuacióndelaelipsedecentroelorigendecoordenadascuyos semiejesvalen3y4.determinalaposicióndelosfocosdedichaelipseysu excentricidad. 5.Determinalaecuacióndelaelipsedecentroelpunto(0,0), sabiendoqueunodelosfocoseselpunto(0,)yqueelsemieje mayores4. 6.Determinalaecuacióndelaelipsedesemiejemenorydistanciafocal. Determinalaexcentricidadylaposicióndelosvérticesdedichaelipse. 7.Determinalaecuación,verticesyfocosdelaelipsecentradaenelorigen,de excentricidade=0,6yunodelosfocossituadoenelpunto(6,0). info@academiacae.com MADRID

3 8.Determinasemiejes,vértices,focosyexcentricidaddelaelipsedeecuación 5 + y 9 = 1 9.Hallarlaecuacióndelaelpse: a)cuyoejemayores10yunvérticedelejemenores(0,4). b)cuyaexcentricidadese=1/13yelejemenores10. c)cuyadistanciafocales 4 focoses8. 3 ylasumadedistanciasdeunpuntocualquieraalos d)sabiendoquea(0,5)yf(0,4). e)sabiendoquepasaporelpunto(0,4)yelsemiejemayores5. f)sabiendoquepasaporlospuntos( 3,4)y(3, 3 ). Lassolucionesdeesteejercicioestánentrelossiguientes: 5 + y x = 1; y 4 x = 1 ; 36 + y x = 1; y = y 56 = 1; y x = 1; y x = 1; y 169 = 1 NOTA:+DADA+LA+ECUACIÓN+DE+LA+ELIPSE+OBTENCIÓN+DE+LAS+COORDENADAS+DEL+ CENTRO,+DE+LOS+VÉRTICES+Y+DE+LOS+FOCOS:+ 4 +3y 8x+1y+15=0 1. Agrupamoslostérminosdelasiguienteforma (4 8x)+(3y +1y)=e15;. Sesacafactorcomun,siesposibleencadaparéntesis: 4( x)+3(y +4y)=e15 3. Expresamoselparéntesisenformadecuadradoperfecto: x= x+1e1=(x 1) 1 y +4x=y +4x+4e4=(y+) 4 4. Laexpresiónquedaráasí:4n((x 1) 1)+3n((y+) 4)=e15 4n(x 1) 4+3n(y+) 1=e15;4n(x 1) +3n(y+) =1 info@academiacae.com MADRID

4 ( x 1) 5.Laecuacióndelaelipseserá: 1 4 HIPERBOLA& + ( y ) 1 3 DEFINICIÓN:LugargeométricodelospuntosdelplanocuyaDIFERENCIAdedistanciasados puntosfijos,llamadosfocos,esconstante(eigualaa). = 1 ELEMENTOSDELAHIPERBOLA: Vértices:Puntosdeintersccióndelaelipseconlosejes:A,A,B,B Distanciafocal(c):distanciaentrelosfocos.Semidistancia+focal=c. Ejemayor(a):distanciaentrelosvérticesAA.Semieje+mayor=a. Ejemenor(b):distanciaentrelosvérticesBB.Semieje+menor=b. Excentricidad:e= c a ;Enlaelipselae>1. Asintotas:quesonlasdiagonales(rectas)delrectangulodeladosaybconcentroen elorigendecoordenadas.suecuacióndelarectaes y = ± b a x ECUACIÓN: a y b = 1 Horizontal; y a x b = 1 VerticalOJO info@academiacae.com MADRID

5 SilahiperbolaestuvieracentradaenelpuntoP(x 0,y 0 ): ( x x 0 ) ( ) y y 0 = 1 a b Enestaecuaciónoperandoyagrupandotérminosnosqueda: A By + mx + ny + p = 0 OJO:Enlaecuacióndelahiperbola,losnúmerosquemultiplicana ey son distintos(ayb)yademás,tenemosun entre A By RELACIÓN+ENTRE+++a+(semieje+mayor),++b++(semieje+menor)+++y+++c++(semidistancia+focal): c = a + b HIPÉRBOLA&EQUILÁTERA:& Sia=btenemosunahipérbolaequilátera ECUACIÓN: y = a Secumplequexny= a Ecuacióndelasasintotas:y= ± x PROBLEMAS+DE+HIPERBOLA: Datos: Centroysemiejes: ;c= a ;e= 1.DeterminarlaecuacióndelahiperboladecentroelpuntoP(e1,)yde semiejesa=3yb=1. Posicióndelosvértices:.Determinalaecuacióndelahiperbolacentradaenelorigencuyosvértices sona=(,0)yb=(0,1).determinasuexcentricidad.(nosestándando a y b ) info@academiacae.com MADRID

6 3.DeterminalaecuacióndelahiperbolasabiendoquelospuntosA=(,0)yA (e 4,0)sonextremosdeunejededichaelipseyqueelvalordelotrosemiejees 1.Determinalascoordenadasdelosvértices.(Parasacarelcentro calculamoselpuntomedioentreaya PM( x A + x B, y A + y B ) Dosdelosvaloresa,boc,obien,algunodedichosvaloresylaexcentricidad: 4eDeterminalaecuacióndelahiperboladecentroelorigendecoordenadas cuyossemiejesvalen3y4.determinalaposicióndelosfocosdedicha hiperbolaysuexcentricidad. 5.Determinalaecuacióndelahiperboladecentroelpunto(0,0),sabiendoqueuno delosfocoseselpunto(0,)yqueladistanciadelorigenalvérticeaes1. 6.Determinalaecuacióndelahiperboladesemiejemenorydistanciafocal6. Determinalaexcentricidadylaposicióndelosvérticesdedichahiperbola. 7.Determinalaecuación,verticesyfocosdelahipérbolacentradaenelorigen,de excentricidade=yunodelosfocossituadoenelpunto(4,0). 8.Determinasemiejes,vértices,focosyexcentricidaddelahipérboladeecuación 5 y 9 = 1 *10.Obtenerencadacasoloselementosquedefinenlacónicaydibujarla. ( x +1) a)y 9 =4;b) 16 + ( y 1) 5 c) y =9;d)16 +9y =144 = 1 (Sitengounacónicam +ny =1º)Sedividetodopor: mx bajanlosnumeradoresdividiendo: mx b= n ) + ny x = 1 ; m + y n + ny = ;º)se = 1entoncesa= m ; *11.Hallarlaposiciónrelativadelarectax y+3=0respectodelacircunferencia +y y 1=0(Secalculaladistanciadelcentrodelacircunf.alarectaysecomparacon elradio:siesmenor=secante;siesigual=tangente;siesmayor:exterior) info@academiacae.com MADRID

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