ENSAYO PRUEBA DE SELECCIÓN UNIVERSITARIA 3º MEDIO MATEMÁTICA

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1 Código: PSU EXMA-0-3M-205 C u r s o : Matemática ENSAYO PRUEBA DE SELECCIÓN UNIVERSITARIA 3º MEDIO MATEMÁTICA

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3 PSU MATEMÁTICA INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS. Esta prueba consta de 80 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla. 2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios. 3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 4. Antes de responder las preguntas N 74 a la N 80 de esta prueba lea atentamente las instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N 73. INSTRUCCIONES GENERALES. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios. 2. Las figuras que aparecen en el modelo son sólo indicativas 3. Los gráficos que se presentan en este modelo están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. 4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir. 5. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario. 6. Los números complejos i y i, son las soluciones de la ecuación 2 + = Si z es un número complejo, entonces z es un conjugado y z es su módulo. 8. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que z N(0, ) y donde la parte sombreada de la figura representa a P(Z z), entonces se verifica que: Z P(Z z) 0,67 0,749 0,99 0,839,00 0,84,5 0,875,28 0,900,64 0,950,96 0,975 2,00 0,977 2,7 0,985 2,32 0,990 2,58 0,995 0 z Z 3

4 ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo AB trazo AB log logaritmo en base 0 pertenece a conjunto vacío valor absoluto de ln logaritmo base e! factorial de ln unión de conjuntos intersección de conjuntos A C complemento del conjunto A u vector u 4

5 = A) B) 0 00 D) 90 E) La epresión 2 7 es un número A) entero. B) racional. irracional negativo. D) irracional positivo. E) imaginario = A) 9 B) D) 20 9 E) 4. 0,08 0,4 0,04 = A) B) D) E)

6 5. La novena parte de 3 99 es A) 3 33 B) D) 3 90 E) En una fiesta de cumpleaños habían cinco casatas de helados de,5 litros y una de 3 litros, donde cada niño se sirvió, eactamente, 4 vasos llenos de litro. Si sobró ml de helado, cuántos niños asistieron a la fiesta de cumpleaños? A) 9 B) 0 2 D) 8 E) 2 7. Si m = 8 2n + 8 2n, con n un número entero positivo, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) m es divisible por 3. II) m es divisible por 2. III) m es divisible por 7. B) Solo II Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 8. El día de ayer recibí los 3 4 de lo que recibiré hoy y éste será los 5 3 de lo que recibiré mañana. Cuánto recibo mañana si en los tres días obtengo $ 9.400? A) $.800 B) $ $ D) $ E) $

7 9. Si p = ( ), q = ( 2 2 ) y r = 6, entonces A) p < r < q B) q < p < r q < r < p D) r < q < p E) r = q = p 0. En cuál(es) de las siguientes relaciones se puede concluir que SIEMPRE 5ab es un número racional? I) b = 25 a II) a = 5 y b = III) a = 2,5b B) Solo II Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III. Si i es la unidad imaginaria, entonces A) -2 B) 2-2i D) 2i E) 4 ( + i) 4 2 ( i) = 2. Si t es un número real. Para que valor de t, el número complejo z = + i t 2i imaginario puro? es un A) B) - -2 D) 2 E) 0 7

8 3. Cuál de las siguientes igualdades es verdadera? A) log 3 log 3 = log 5 B) log 3 = log 5 ln 5 + ln 3 = ln 8 D) ln e 3 2ln e = E) log 6 3 log 6 2 = log El orden de los números irracionales A = 2; B = 4 3 ; C = 4 5 y D = 6 2, de menor a mayor, es A) A, B, D y C B) D, A, B y C C, A, B y D D) B, A, C y D E) A, B, C y D 5. El doble de la suma de las edades de dos personas es. Si dentro de y años la edad de uno es el doble de la edad del otro hace y años. Cuál es la edad de una de ellas? A) + y B) 3 y 3 y D) E) 6 y y y + y y 2 2 y = A) B) D) E) 2 2 y 2 2 y y 2 2 y 2 2 y y 2 2 y 2 2 y y 2 2 y 8

9 7. Si un prisma rectangular tiene a metros de largo, b centímetros de ancho y c milímetros de alto, cuál de las siguientes epresiones representa su volumen en centímetros cúbicos? A) 0, a b c B) a b c 0a b c D) 00a b c E) 000 a b c 8. Si p es un número distinto de -3 y 2, entonces p p p 2 es igual a A) B) D) E) p 4 (p + 3)(p 2) 2 p 6p 2 (p + 3)(p 2) 2 p 6p + 2 (p + 3)(p 2) 2 p + 6p + 2 (p + 3)(p 2) 2 p 6p 4 (p + 3)(p 2) 9. Si f() = 2 3, con 0 y f(m) = 4, entonces m es A) 7 2 B) D) - 0 E) 0 9

10 20. Si a = -2 y b = 6, entonces la epresión 3a -3-4 b -4-2 a b es igual a A) - 6 B) D) 26 E) 6 2. Cuál es el valor de 3n m m 2n 4n n m m, si m = 2 y n = - 2? A) -2 B) 2 2 D) - 2 E) El perímetro de un sitio rectangular es Q metros. El ancho del sitio es 400 metros menos que su largo. Cuál es la epresión que representa el largo en función de Q? A) B) D) E) Q Q Q Q Q

11 23. Cuál es el producto de las raíces de la ecuación ( 2) 2 + ( )( 2) = 0? A) 7 2 B) D) -3 E) En la función f() representada en la figura, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El recorrido de la función es [n, q[. II) f es continua. III) La imagen de p es 3. B) Solo II Solo III D) Solo I y III E) Ninguna de ellas. y q p n fig Cuáles pueden ser los valores de a, b y c para que el siguiente sistema de ecuaciones NO tenga solución? 2 + 4y = a + by = c I) a = 5, b = 0, c = II) a = -6, b = -2, c = -6 III) a = 8, b = 6, c = 4 B) Solo I y II Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

12 26. En la figura 2, se muestra la gráfica de la recta L. Si -3 p < -, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Las rectas de ecuaciones y = p, intersectan a L en el segundo cuadrante. II) Las rectas de ecuaciones = -p, intersectan a L en el primer cuadrante. III) Las rectas de ecuaciones y = p, intersectan a L en el segundo cuadrante. B) Solo I y II Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III y 3 L fig = A) B) D) E) Si f() = 2 y g() = 3 5, entonces g(f()) f(g()) = A) 6 B) 3 0 D) -6 E) Si + = 0, con > 0, entonces cuál es el valor de +? A) 0 B) 00 0 D) 2 49 E) 7 2 2

13 30. La diferencia entre la mayor y la menor de las soluciones de la ecuación (3 ) = 27 es 22 A) 3 B) -3 0 D) 3 E) Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola de ecuación y = ? A) (-3, -7) B) (-3, 37) (6, 0) D) (3, 4) E) (3, 37) 32. La solución del sistema 3 + 3y = 0 2 2y = m es (a, b), entonces (b a) es A) m 2 B) 0 m 2 2m D) 0 E) - m La función que modela el lanzamiento de un proyectil es h() = , donde es el tiempo en segundos y h la altura que alcanza en metros. Cuál es su mayor altura, en metros? A) 2 B) 2 24 D) 32 E) 72 3

14 34. Si f( + 2) = , entonces f(-2) = A) 2 B) 8 4 D) 32 E) no se puede calcular. 35. Si 6 2 = (0,25) 3, cuál es el valor de? A) 7 B) D) 7 7 E) Qué epresión representa el enunciado: el sétuplo de un número, aumentado en 3 es igual al cuadrado del mismo número, disminuido en 2? A) = ( 2) 2 B) 6( + 3) = ( 2) 2 6( + 3) = 2 2 D) = 2 2 E) (6 + 3) 2 = Dada la función f() = 3 2 para todo 2, cuál(es) de las siguientes 3 afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) La función f es creciente. II) La gráfica de la función f intersecta al eje de las ordenadas en el punto 2 0, 3. III) El recorrido de la función f es el conjunto de los números reales. I B) Solo III Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III 4

15 38. En la figura 3, ABC equilátero y EFD acutángulo. Si I es el incentro del ABC, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) DE, EF y DF son las medianas del ABC. II) EFD es escaleno. III) El trazo DB es transversal de gravedad en el ABC. C fig. 3 B) Solo II Solo III D) Solo I y III E) I, II y III A D I E F B 39. En la circunferencia de centro O de la figura 4, DC = 5 cm. Si AD = BD = 5 cm, entonces el área del círculo es A) 50 2 cm 2 B) 625 cm cm 2 D) cm 2 E) cm 2 A D C O B fig En la figura 5, L // L 2, L 3 // L 4 y L 5 es bisectriz del ángulo CDE. Entonces, cuánto mide? A) 85º B) 75º 80º D) 50º E) 30º B A D C 0º β + 70º L 3 L 4 E L 5 L L 2 fig Si en la circunferencia de la figura 6, AB y CD son cuerdas, entonces la medida de la cuerda AB es A) 3 B) 2 3 D) 5 E) 28 A C B fig. 6 D 5

16 42. En el triángulo ABC de la figura 7, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) A B C es refleión del ABC con respecto al eje y. II) A B C es una traslación a través del vector T (-3, ) del ABC. III) A B C es rotación en 90º con centro en O del ABC. B) Solo II Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III C B y A C A fig. 7 B 43. El punto (, 5) se transformó en el punto (-3, 7) al efectuar la traslación con el vector A) (-2, 4) B) (2, -4) (-4, -4) D) (-4, -2) E) (-4, 2) 44. En la figura 8, el arco AB es una semicircunferencia y A y B son puntos de tangencia, ADE BEC. Si DF y FC miden 4 y 9 cm respectivamente, cuánto mide EF? A) 3 cm B) 4 cm 5 cm D) 6 cm E) 7 cm D F fig. 8 C A E B 45. En la figura 9, hay un heágono regular y dos circunferencias concéntricas de radio OP y OC, respectivamente. Si OP = 2m 3, entonces la razón entre los perímetros de 3 los círculos circunscrito e inscrito, respectivamente es A) 3 : 4 3 B) 2 : 3 3 : 2 D) 3 : 3 3 E) 3 : 4 O P fig. 9 C 6

17 46. En la figura 0, ABCD es un rombo, AC y BD diagonales. Si AC = 2BD = 4a, cuál es el perímetro del rombo? D C A) 4a B) 2a 2a 5 D) 4a 5 E) a 5 A B fig Si al punto A(-2, -2) de la figura, se aplica una traslación T (3, 0) y luego una simetría con respecto a la recta y = 0, se obtiene el punto de coordenadas: A) (-, 0) B) (0, 0) (0, -) D) (, 2) E) (, ) -2 A y -2 fig. 48. En la figura 2, A, B y E son puntos colineales y F pertenece al lado AD. ABCD es un cuadrado de área 256 cm 2 y el triángulo FCE es rectángulo en C y tiene área 200 cm 2, entonces BE = D C A) 2 cm B) 4 cm 6 cm D) 8 cm E) 4 cm F A B E fig En la figura 3, ABCD es un rectángulo de lados AD = 20 cm y AB = 30 cm. Si AGFE es un cuadrado y = 3, entonces el área del círculo es A) 2 cm 2 B) 08 cm 2 36 cm 2 D) 80 cm 2 E) 44 cm 2 E D A F G C B fig. 3 7

18 50. En cuál(es) de los siguientes cuadriláteros las diagonales es (son) congruentes y NO se dimidian? I) Rectángulo. II) Trapecio isósceles. III) Cuadrado. B) Solo II Solo III D) Solo I y II E) En ninguno de los cuadriláteros. 5. En la circunferencia de centro O de la figura 4, arco AB arco BC arco CD arco DE. Si el ángulo = 80º, cuánto mide el ángulo AFC? A) 30º B) 40º 80º D) 20º E) 50º A B O C D F E fig En la figura 5, el trazo DE es paralelo al lado AB del triángulo ABC. Si AC = 8, cuál es la razón entre el trazo DE y el trazo AB? C A) 9 : 4 B) 4 : 3 2 : 5 D) 3 : 4 E) : 3 D 6 E fig. 5 A 2 B 53. En la figura 6, el ABC CED. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) ABC FEC II) AB // FE D fig. 6 III) CAB DCE A B) Solo II Solo III D) Solo I y II E) I, II y III B E F C 8

19 54. Se tiene un triángulo PQR al cual se aplica una homotecia con centro en O(0,0) y razón de homotecia -, obteniéndose el triángulo P Q R. Esta homotecía es equivalente, si al triángulo PQR se aplica I) una rotación en 80 con centro en O. II) una simetría puntual con centro en O. III) una traslación según PP'. Es (son) FALSA(S) B) Solo II Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 55. Se define la variable aleatoria X como el número de sellos obtenidos al lanzar 4 monedas. En cuál de las siguientes tablas se muestra los valores de la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X? A) B) D) E) i P(X i ) 0,0625 0,025 0,375 0,0625 0,375 i P(X i ) i P(X i ) i P(X i ) i CCCC CCCS CCSC CSCC SSSS P(X i ) La desviación estándar de las edades de cuatro amigos de 6, 8, 20 y 0 años, es A) 4 años B) 56 años 56 años D) 6 años E) 2 años 9

20 57. En una tómbola solo hay 4 esferas amarillas, 5 blancas y 2 azul. En el eperimento de sacar simultaneamente 5 esferas de esta tómbola al azar, se define la variable aleatoria X como el número de esferas amarillas etraidas. El recorrido de la variable X es A) {0,, 2, 3, 4, 5} B) {, 2, 3, 4, 5} {, 2, 3, 4, 5, 6} D) {0,, 2, 3, 4} E) {, 2, 3, 4} 58. Sea X una variable aleatoria discreta cuyo recorrido es el conjunto T = {, 2, 3, 4}. Si su función de probabilidad es P(X = n) = nr, para n perteneciente a T, entonces r es igual a A) r B) 4 0r D) 0 E) Ninguna de las epresiones anteriores. 59. En una fila de 9 sillas deben sentarse 4 hombres y 5 mujeres. De cuántas maneras pueden distribuirse los asientos si los hombres deben estar juntos al lado derecho de la fila? A) 9 B) 20 4! 5! D) 4! 5! 2 E) 9! 60. Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de los números sea primo? A) B) D) E)

21 6. Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de los números sea 9? A) B) D) E) En la siguiente tabla, se indica el nivel de estudios (universitarios o no universitarios) de un grupo de 80 trabajadores de una empresa. Si se escoge al azar un trabajador, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La probabilidad de que sea mujer sin estudios universitarios es aproimadamente 6,67%. II) La probabilidad que tenga estudios universitarios sabiendo que es de seo masculino es aproimadamente 64,4%. III) La probabilidad que sea de seo masculino con estudios universitarios o mujer sin estudios universitarios es aproimadamente 58,89%. B) Solo II Solo III D) Solo I y II E) I, II y III Universitarios No Universitarios Hombres Mujeres Cuántos triángulos distintos se pueden formar con los puntos A, B, y C no colineales en un mismo plano? A) B) 2 3 D) 6 E) 9 2

22 64. Las edades de los niños integrantes de un club de ajedrez son:, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 2, 4 y 3 años. Según estos datos, es correcto que I) la media de las edades es 4 años. II) la mediana es 3 años. III) la desviación estándar es,4 años. B) Solo II Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III 65. La tabla de frecuencias adjunta indica las edades de 30 jóvenes. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El 30% de los jóvenes tiene más de 9 años. II) La mediana es 8,5. III) La moda es 7. B) Solo II Solo III D) Solo II y III E) I, II y III Edades f i La media aritmética de los siguientes valores: 2, 2, 5, 7, 3, 4, 9, 0, es A) 8 B) 5 4 D) 3 E) En la tabla adjunta, en qué posición se ubica el percentil número 70? A) B) 2 3 D) 4 E) 5 Posición Intervalo f i [0, 30[ 8 2 [30, 50[ 2 3 [50, 70[ 20 4 [70, 90[ 0 5 [90, 0[ 5 22

23 68. Se estudia un conjunto de datos cuyas unidades se epresan en cm 2. En qué unidades se epresarán su Varianza y su Desviación Estándar, respectivamente? A) m 4 y m 2 B) cm 2 y cm 2 cm 4 y cm 2 D) cm 2 y cm E) cm y cm La tabla de frecuencias adjunta, representa la distribución de los sueldos, en miles de pesos, de 00 empleados de una pequeña industria. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El rango es 850. II) El intervalo modal es [350, 450[. III) La marca de clase en el tramo [550, 650[ es 00. B) Solo II Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Tramos f i [50 250[ 4 [ [ 6 [ [ 25 [ [ 8 [ [ 5 [ [ 9 [ [ Si el gráfico de la figura 7 muestra las edades de 08 niños, en qué intervalo se encuentra la mediana? Nº de niños fig. 7 A) [0, 4[ B) [4, 8[ [8, 2[ D) [2, 6[ E) [6, 20[ Edades 7. En el estudio de un conjunto de datos, se observa que todos ellos son iguales. Entonces, es siempre correcto afirmar que I) la mediana es igual al promedio. II) la media aritmética es cero. III) la desviación estándar es cero. B) Solo II Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 23

24 72 En un grupo de 400 hombres y 600 mujeres, la probabilidad de que un hombre tenga la presión arterial alta es de 0,05 y la de una mujer con presión arterial alta es de 0,0. Cuál es la probabilidad de que una persona del grupo tenga la presión arterial alta? A) B) D) E) Una evaluación de diagnóstico se aplica a 50 estudiantes. Los resultados se presentan en la tabla adjunta. Si se aprueba con nota mayor o igual a 4, qué porcentaje de los estudiantes aprueba? A) % B) 5% 25% D) 20% E) 50% Nota f i [ 2[ 4 [2 3[ 6 [3 4[ 5 [4 5[ [5 6[ 9 [6 7[ 5 24

25 Evaluación de Suficiencia de Datos Instrucciones Para las Preguntas N 74 a la N 80 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones () y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar la letra: A) () por sí sola, si la afirmación () por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación () por sí sola no lo es. Ambas juntas, () y (2), si ambas afirmaciones () y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, () ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. Ejemplo: P y Q en conjunto tiene un capital de $ , cuál es el capital de Q? () Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2. (2) P tiene $ más que Q. A) () por sí sola B) (2) por sí sola Ambas juntas, () y (2) D) Cada una por sí sola, () ó (2) E) Se requiere información adicional En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición () es posible llegar a la solución, en efecto: P : Q = 3 : 2, luego (P + Q) : Q = 5 : 2, de donde $ : Q = 5 : 2 Q = $ Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ ) y en la condición (2) (P = Q + $ ). Por lo tanto, usted debe marcar la clave. Cada una por sí sola, () ó (2). D 25

26 74. Una caja tiene sólo bolas verdes y rojas de iguales características. Se puede determinar la probabilidad de que al sacar una bola, ésta sea roja, si: () El número de bolas rojas es mayor que el número de bolas verdes. (2) El número total de bolas es 28. A) () por sí sola B) (2) por sí sola Ambas juntas, () y (2) D) Cada una por sí sola, () ó (2) E) Se requiere información adicional 75. En el rectángulo PQRS de la figura 8, de perímetro 28 m. Se puede determinar el área del triángulo RTQ, si: () PQ : QR = 4 : 3 (2) PQ = 8 S R A) () por sí sola B) (2) por sí sola Ambas juntas, () y (2) D) Cada una por sí sola, () ó (2) E) Se requiere información adicional P T Q fig El precio de un paquete de galletas se puede calcular, si: () El paquete de galletas vale $ 200 menos que una lata de bebida. (2) El precio de una lata de bebida es múltiplo de $ 200. A) () por sí sola B) (2) por sí sola Ambas juntas, () y (2) D) Cada una por sí sola, () ó (2) E) Se requiere información adicional 77. Si f() = 0a + b, se puede conocer f(5), si: () a b = (2) a = 2b = 2 A) () por sí sola B) (2) por sí sola Ambas juntas, () y (2) D) Cada una por sí sola, () ó (2) E) Se requiere información adicional 26

27 78. Se puede determinar el valor de la epresión ( + y) y, si: () + y = 0 (2) y = 0 A) () por sí sola B) (2) por sí sola Ambas juntas, () y (2) D) Cada una por sí sola, () ó (2) E) Se requiere información adicional 79. Se puede determinar el valor del número mayor, entre dos enteros positivos a y b, si: () a b = 5 2 (2) a 2b = 0 A) () por sí sola B) (2) por sí sola Ambas juntas, () y (2) D) Cada una por sí sola, () ó (2) E) Se requiere información adicional 80. Veinte operarios de una empresa están de vacaciones. Se puede calcular el total de operarios de la empresa, si: () La razón entre los operarios que están de vacaciones y los operarios que están trabajando es : 3. (2) El 75% de operarios está trabajando. A) () por sí sola B) (2) por sí sola Ambas juntas, () y (2) D) Cada una por sí sola, () ó (2) E) Se requiere información adicional 27