Estudio de la viabilidad del algoritmo Super-Twisting de ganancias variables para el control de pilas de combustible PEM

Transcripción

1 XV Reunión de Trabajo en Proeamiento de la Informaión y Control, 16 al de eptiembre de 1 Etudio de la viabilidad del algoritmo Super-Twiting de ganania variable para el ontrol de pila de ombutible PEM Carolina Evangelita 1, Paul Puleton y Critian Kunuh CONICET y LEICI, Faultad de Ingeniería, Univeridad Naional de La Plata (UNLP), La Plata, Argentina. IIF Marie Curie Fellow en IRI, CSIC-UPC, Barelona, Epaña. Intitut de Robòtia i Informàtia Indutrial, CSIC-UPC, Barelona, Epaña. 1 ae@ing.unlp.edu.ar puleton@ing.unlp.edu.ar kunuh@iri.up.edu Reumen En ete trabajo e preenta el dieño de un ontrolador para maximizar la efiienia de una pila de ombutible, en bae a un algoritmo Supertwiting (ST) on ganania variable. La etrategia onite en regular la relaión de oxígeno en exeo, manteniendo la mima en un valor óptimo. El algoritmo empleado poee la ventaja onoida del ST de ganania fija original, tale omo robutez frente a inertidumbre y perturbaione, hattering reduido, y onvergenia en tiempo finito. Ademá, el diponer de ganania variable permite ampliar el rango de operaión, in modifiar demaiado la impliidad de la ley de ontrol. La forma de variaión de la ganania e determina hallando ierta funione ota, proeo que reulta algo trabajoo en un itema no lineal omo éte, pero e realiza en forma off-line por únia vez en la etapa de dieño, y permite obtener muy bueno reultado. Lo mimo, obtenido por imulaión, e preentan y analizan al final, a fin de evaluar u implementaión real. P alabra Clave Pila de ombutible, Control de etequiometría, Modo Delizante de Segundo Orden, Super-Twiting de ganania variable 1. INTRODUCCIÓN La pila de ombutible (PC) on dipoitivo que onvierten la energía químia del hidrógeno en energía elétria, in produir má reiduo que agua pura, ontratando on la produión de energía baada en ombutible fóile [1]. Aí mimo, el hidrógeno que requieren omo ombutible, puede er obtenido por eletrólii de agua utilizando energía renovable (olar, eólia, mareomotriz, et.) que, partiularmente, abundan en la Argentina. Eto fatore ombinado haen que la PC e poiionen omo una alternativa no ontaminante altamente prometedora para ontribuir a la utituión de lo ombutible fóile, tanto en apliaione móvile omo etaionaria [][]. Para lograr avane que permitan haer que lo itema baado en PC ean ompetitivo, e requiere de un importante trabajo onjunto entre diiplina tale omo la químia, la eletrónia y el ontrol automátio. En eta última área, el dearrollo de nuevo ontroladore epeífio, apae de lidiar on la inertidumbre y exigenia propia de eto itema, repreenta un progreo ruial para la tenología de la PC. Un tema rítio, por ejemplo, e el dieño de algoritmo efiiente para el ontrol de la oordinaión ombutible-oxidante en régimen evero de arga variable. De alanzare ete objetivo, no olo e logra evitar un deterioro en el oneuente uminitro de energía, ino también poible daño permanente en la membrana de la elda []. No obtante, dede la óptia del ontrol automátio, la PC repreentan un reto importante debido a que preentan dinámia no lineale ompleja, modelo etruturado en bae a tabla y dato empírio, perturbaione externa e inertidumbre, y variable interna inaeible, que no pueden er utilizada en el algoritmo de ontrol. E aí, que para poder intetizar un ontrolador efiiente para itema de generaión baado en PC, e neeario reurrir a ténia de ontrol avanzada que puedan afrontar on éxito eto deafío. En partiular, lo algoritmo que perteneen a la familia del ontrol por modo delizante de egundo orden (-MD) e erigen omo una opión epeialmente apta [][5]. Ete trabajo e entra en el ontrol de la relaión de exeo de oxígeno para maximizar la efiienia de la PC. Dado que en eta apliaión el itema e de grado relativo (GR) 1, de entre lo poible algoritmo por -MD, e ha optado por una verión reientemente dearrollada, el algoritmo Super-twiting (ST) de ganania variable [6] [7]. Ete onerva de u predeeor de ganania fija [8], u apliabilidad a itema de GR 1, no requerir informaión de la derivada de la variable de delizamiento, robutez frente a inertidumbre y perturbaione, y tiempo finito de onvergenia, entre otra ventaja. Por u parte, la preente verión inorpora la apaidad de expandir el rango de operaión y permite reduir oniderablemente el hattering en apliaione reale.. EL SISTEMA Y EL OBJETIVO DE CONTROL El itema bajo etudio onite en una pila de ombutible (PC) de membrana de interambio protónio (PEM). Una deripión detallada de eta PC PEM, aí omo u prinipio de funionamiento, pueden en-

2 XV Reunión de Trabajo en Proeamiento de la Informaión y Control, 16 al de eptiembre de 1 ontrare en [], en tanto que en la Fig. 1 e preenta un diagrama equemátio de la mima. I p V p ompreor aire w p H W p DC/DC O + N + HO humidif Cátodo humidif Ánodo H + HO LH Cátodo LH Ánodo CARGA I t V t PC PEM Figura 1: Diagrama del itema de la PC tipo PEM. Para dieñar el ontrolador e utiliza un modelo que deribe la dinámia de ino magnitude fíia del itema, x 1 = w p : veloidad de rotaión del eje del ompreor (rad/), x = m air,hum : maa de aire en el humidifiador del átodo (kg), y x = m O,a, x = m N,a, x 5 = m v,a, la maa de oxígeno, nitrógeno y vapor en el átodo de la pila, repetivamente (kg). Se onidera omo únia entrada de ontrol la tenión de armadura del ompreor, U = V p (V). La euaione dinámia pueden eribire omo: ẋ 1 = b + b x 1 + b x 1 + b x + b 5 x + b 1 x 1 x + b u U (1) ẋ = e + e x 1 + e x 1 + e x + e 5 x + e 1x 1 x q(x) () ẋ = X o (m a + m 5 x )(p(x) m 1 )q(x) [p(x) (m 1 m 1 )] [m 5 x (m 1 m 11 )] + + K a,n [p(x) P a ]R o G o x + ng o R o G o x + R n G n x + R v G v x 5 F I t () ẋ = (1 X o)(m a + m 5 x )(p(x) m 1 )q(x) [p(x) (m 1 m 1 )] [m 5 x (m 1 m 11 )] + + K a,n [p(x) P a ] R n G n x () R o G o x + R n G n x + R v G v x 5 q(x)(m a + m 5 x )m 1 ẋ 5 = [p(x) (m 1 m 1 )] [m 5 x (m 1 m 11 )] + + K a,n [p(x) P a ] R v G v x 5 R o G o x + R n G n x + R v G v x 5 + ng v F I t (5) donde e uó p(x) = m 8 (R o x + R n x + R v x 5 ), m a = m 9 /G a m 1, y: q(x) = C C 1 p(x) + C p (x) C p (x)+ + [ C 1 C p(x) + C p (x) ] x m [C C p(x)] x m 5 + C x m 5 (6) Lo valore de lo parámetro pueden enontrare en []..1. Objetivo de ontrol El objetivo de ontrol e mantener la etequiometría del oxígeno (o relaión de exeo de oxígeno) en u valor óptimo durante la operaión de la PC en régimen de arga variable. De ete modo, e logra maximizar el rendimiento energétio de la mima y e evita la inaniión del átodo, que podría oaionar un daño permanente de la membrana. Diho ontrol de etequiometría puede er alanzado indiretamente ontrolando el flujo de aire entregado por el ompreor, iguiendo una apropiada referenia de flujo, funión de la orriente de alida de la pila. Se entiende por etequiometría del oxígeno a la relaión: λ O = W O,in/W O,reat (7) donde W O,in e el flujo parial de oxígeno en el átodo, dependiente del flujo de aire entregado por el ompreor, W p, y del vapor inyetado por el humidifiador. W O,reat e el flujo de oxígeno onumido en la reaión, el ual puede er diretamente relaionado on la orriente de la pila (I t ) a travé de la expreión: W O,reat = G O n I t /F (8) on G O la maa molar de O, n el número total de elda de la pila y F la ontante de Faraday. Exite un onjunto de valore λ O,opt (funión de I t ) para lo uale el itema genera la máxima potenia neta de alida (P net ), reultando P net de la diferenia entre la potenia produida por la pila y el onumo del ompreor. Eto valore óptimo on obtenido experimentalmente a travé de enayo. Para alguna PC, omo en el ao de etudio, el valor óptimo e mantiene prátiamente igual para un amplio rango de I t. Etableido el λ O,opt, puede alulare la expreión para el flujo óptimo de O entrante al átodo y a partir de éta, onoiendo la fraión molar de oxígeno en el aire eo (χ O ) y la humedad relativa del aire (w amb ), determinare el valor óptimo del flujo de aire entrante: W airopt = 1 n I t λ O,optG O χ O F (9) Diponiendo de W airopt, el objetivo del eguimiento del flujo de aire óptimo puede er planteado en término de la iguiente variable de delizamiento (de GR 1): = W p W ref (1) donde W p e el flujo de aire entregado por el ompreor, el ual e una variable medible de la pila, y e ha utilizado W ref = W airopt. El ontrol por modo delizante fuerza en forma robuta a que el itema onverja en tiempo finito a =, impliando eto que la PC opere a óptima etequiometría de oxígeno y, por ende, que el rendimiento energétio ea maximizado y e extienda u vida útil.. DESARROLLO DEL CONTROLADOR.1. Dieño egún ST de ganania variable La idea general de la ténia de ontrol por -MD onite en dieñar una funión de lo etado del itema, la llamada variable de delizamiento, y un algoritmo que anule tanto a omo a u primera derivada temporal, ṡ. El dieño de en bae a lo objetivo de ontrol

3 XV Reunión de Trabajo en Proeamiento de la Informaión y Control, 16 al de eptiembre de 1 deeado, tal que éto e umplan uando =. Cuando el itema opera obre la uperfiie = ṡ = en el epaio de etado, puede deire que e etá operando en modo -delizante. Se han dearrollado divero algoritmo -MD, ada uno on araterítia propia, y vario han ido apliado on éxito en diferente apliaione, inluyendo itema baado en PC [][9][1][11]. En la preente propueta e utiliza una variante on ganania variable del algoritmo ST. Tanto la verión original del mimo [8], omo una propueta má reiente donde e demuetra la onvergenia por Lyapunov [1], reponden a la ley de ontrol original, muy enilla, ontinua y de ganania fija, difiriendo entre ella en el método de dieño. Amba on de apliaión direta a itema de GR 1 y tiempo de onvergenia finito, y garantizan la operaión en modo -delizante en forma robuta aún en preenia de perturbaione e inertidumbre en el modelo y parámetro del mimo. El algoritmo empleado en ete trabajo reponde al dearrollo preentado en [7], que reelabora la propueta de [6], baada en Lyapunov. La aión de ontrol igue iendo ontinua y uave, y garantiza también tiempo de onvergenia finito. Si bien la ley de ontrol e algo meno imple que la del algoritmo de ganania fija, la araterítia variable de la ganania da la ventaja de permitir expandir el rango de operaión del ontrolador por -MD onervando la bondade y araterítia de deempeño del anterior, omo e explia má adelante. Para lograr el objetivo de ontrol deeado, e elige la variable de delizamiento tal que el mimo e verifique uando =. En ete ao, entone (ver E. (1)): = W p W ref = e + e x 1 + e x 1 + e x + + e 5 x + e 1x 1 x W ref (11) El proedimiento de dieño requiere realizar luego un ambio de variable, tal que forme parte de un nuevo onjunto de etado que deriba al itema. Aí, e trabaja on el onjunto [ x ], x R n 1, en lugar del original, x R n. Luego e requiere enontrar una expreión de forma regular para la dinámia de la variable de delizamiento, ṡ, de manera que pueda eparare la parte que e anula uando =, de la parte que no, e deir: ṡ = f (, x, t) + u = = f (, x, t) + [ f (, x, t) f (, x, t) ] +u (1) }{{}}{{} g (x,t) g 1(,x,t) donde e ha denotado u a eta aión de ontrol en eta expliaión general. En eta propueta, la aión de ontrol u e dieña egún el algoritmo ST de ganania variable, in término adiionale, y e de la forma: u = k 1 (, x, t)φ 1 () t k (, x, τ)φ ()dτ (1) φ 1 () = k 1 ign() (1) φ () = k /ign() (15) donde k 1 (, x, t) y k (, x, t) on la ganania variable y k > e un parámetro ontante que, adeuadamente eleionado, permite mejorar el omportamiento del itema ontrolado, por ejemplo frente al hattering. En el ao del algoritmo de ganania fija, la mima e dieñan en bae a ota ontante. Por eta razón, en general, e limita el rango de operaión del algoritmo, buándoe un ompromio entre el tamaño de la zona de operaión y el valor mínimo de la ota (y aí en el valor de la ganania), para obtener un buen deempeño del itema ontrolado. En eta ondiión, debe agregare un término extra a la aión de ontrol que lleve al itema a la zona reduida donde el algoritmo ST garantiza onvergenia y robutez. El algoritmo ST on ganania variable, al realular la ota y la ganania egún va evoluionando el itema, permite garantizar onvergenia y operaión robuta en modo -delizante en un rango má amplio de operaión para lo mimo requerimiento de deempeño del itema ontrolado. Para la aión de ontrol propueta (1)-(15), e demuetra por Lyapunov que la trayetoria de etado del itema onvergerán al origen del plano ṡ en tiempo finito y el itema e mantendrá en ea ondiión, en tanto la ganania variable e alulen egún: k 1 (, x, t) =δ + 1 [ (ǫ 1 + ) + ǫ + ǫ + β ǫ ] + (ǫ + 1)(β + ǫ ) (16) k (, x, t) =β + ǫ + ǫ k 1 (, x, t) (17) donde δ, β y ǫ on ontante poitiva arbitraria y la funione 1(, x, t) y (, x, t) on poitiva y deben determinare de manera que aoten g 1 y ġ (derivada de la expreión de ṡ, E. (1)), de la iguiente forma (ondiione ufiiente): g 1 (, x, t) φ 1 () 1( ) = k 1/ 1( ) (18) dg dt (, x, t) φ () ( ) = k ( ) (19) Debe notare que i al hallar la ota para la expreione de g 1 y g, e inorporan lo efeto de perturbaione y variaione de parámetro, y otro errore, podrá garantizare la onvergenia y validez del algoritmo en todo lo ao ontemplado y no olo en ondiione nominale. E deir, la robutez del ontrolador etá diretamente vinulada a eta do última relaione... Cambio de variable Una vez determinada la variable de delizamiento, debe realizare un ambio de variable, de manera que forme parte del nuevo onjunto de etado, omo e explió previamente. Analizando (11) y la euaione de la PC PEM, (1)-(5), e oberva que una oluión onveniente e reemplazar por x 1. Para ello, e depeja x 1 en la E. (11) y e utiliza eta expreión para realizar el ambio de variable, in modifiar la demá (x i = x i,

4 XV Reunión de Trabajo en Proeamiento de la Informaión y Control, 16 al de eptiembre de 1 i =,..,). En ete proeo e obtiene una euaión uadrátia en x 1, on una únia oluión on entido fíio (la otra no e enuentra dentro del rango de valore fíio reale de eta variable): x 1 = h(, x, t) = d + d x d + d 1 x + d x + W ref + () B donde x e el onjunto de lo retante etado, x... x 5, luego del ambio de variable, y lo oefiiente d i, i =,... dependen de lo e i. La dinámia de la variable puede expreare omo: [ ṡ = (e + e x 1 + e 1 x )ẋ 1 + (e + e 5 x + + e 1 x 1 )ẋ on: x 1=h Ẇref = f (, x, t) + g (x, )U = f (, x, t) + U (1) }{{} U g = m m 5 (B 1 + m 6 B 11 + B h + m 5 B 11 x ) () f = n 9 e q(x) + [n e 5 q(x)] x + n 7 x + + n 8 x + h [ n + n 1 x + n x e 1q(x) ] + + h (n + n 5 x ) + h n 6 Ẇref () La expreión de la dinámia de x en la nueva variable y que reemplaza a la E. () e la que igue: ẋ = W ref + C + C 1 p(x) C p (x) + C p (x)+ + x m 5 [ C1 + C p(x) C p (x) ] + + x m 5[ C + C p(x) ] x m 5 C () Por último, la expreione de la euaione dinámia orrepondiente a lo etado x, x y x 5 no e modifian, ya que no dependen explíitamente de x 1. Aí, luego del ambio de variable, la deripión dinámia del itema queda expreada por la E. (1), () y ()-(5)... Hallazgo de la funione ota Luego del ambio de variable debe trabajare on ṡ, E. (1)-(), enontrando expreione para la parte que e anula uando = y para la que no, egún E. (1): g (x, t) = n 8 x + n 7x + [n e 5 q(x)] x e q(x) + h [ n + n 1 x + n x e 1 q(x) ] + + h (n + n 5 x ) + h n 6 + n 9 Ẇref (5) g 1 (, x, t) = (h h ) [ n 1 x + n x e 1q(x) + n ] + + (h h )(n + n 5 x ) + (h h )n 6 (6) donde e ha erito h en lugar de h(, x, t). Al momento de determinar la funione ota, e emplean expreione de g 1 y de la derivada de g reale, e deir, ontemplando perturbaione y variaione de divero parámetro. Dado que el algoritmo garantiza onvergenia a = ṡ = y robutez en la operaión durante el modo -delizante en tanto e verifiquen (18) y (19), el ontrolador reultará robuto a la perturbaione y variaione de parámetro oniderada al hallar la ota. Para enontrar expreione para la ota e halló en primer lugar la de la derivada temporal total de (5). A ontinuaión e trabajó on eta derivada y on (6), teniendo en uenta qué variable y parámetro pueden oniderare onoido y uále no, y en qué rango de valore pueden varia eto último. En ete entido, la variable, x 1 y x pueden er medida, en tanto que lo etado x, x y x 5 no on aeible y deben aotare, aí omo lo valore on inertidumbre de lo parámetro fíio del itema y lo errore de mediión. Luego de un análii ompleto de la euaione y onideraione fíia, e obtuvieron alguna opione diferente que fueron evaluada mediante imulaione por omputadora, eleionándoe la iguiente opione omo funione ota: ( ) 1 = 1/ r + r 1 x (7) k = ( ) ] [ k x x M + x + 1 (8) Determinada la funione ota, la ganania variable del ontrolador, k 1 y k, e omputan en tiempo real inluyendo la ota en la expreione (16) y (17), debiendo determinare previamente lo valore de lo parámetro ontante δ, ǫ, β y k. Lo mimo fueron eleionado mediante ajute a travé de imulaione por omputadora, buando reduir el hattering y lograr un buen deempeño dinámio. Lo valore de todo lo parámetro del ontrolador e litan en el Apéndie A.. SIMULACIONES y RESULTADOS Con el fin de analizar el deempeño y la robutez del ontrolador dearrollado, e realizaron divera imulaione on el itema operando en ditinto punto de funionamiento, on variaione en la arga e inertidumbre en divero parámetro. A ontinuaión, e preentan reultado repreentativo de eta imulaione, omparando un ao donde no e onideró inertidumbre en lo parámetro del itema, y otro donde í e inluyó. En partiular, en ete egundo ao, e onideraron la iguiente variaione de parámetro, repeto de lo valore nominale: Preión atmoféria (P a ): +1 % Temperatura ambiente (T amb ): +1 % Temperatura de la pila (T t ): +1 % Volumen del átodo (V a ): +5 % Reitenia elétria del motor (R): +5 % Ineria del motor (J): +1 % Contante del motor (k φ ): -1 % El perfil de orriente de arga oliitado a la PC puede vere en la Fig.. La mima e generó a partir de

5 XV Reunión de Trabajo en Proeamiento de la Informaión y Control, 16 al de eptiembre de 1 ealone filtrado, aemejando aí la araterítia de una arga real. En el reuadro dentro de la imagen e ha inluido para má detalle, la ampliaión de una de eta variaione de la orriente. It (A) 5 detalle tiempo () Figura : Corriente de la PC PEM, I t (A). El éxito del algoritmo de ontrol queda a la vita en la Fig., donde e muetra la evoluión temporal de la variable de delizamiento. Tanto en el ao imulado on parámetro nominale omo en el ao on inertidumbre en lo parámetro, e mantenida ai en todo momento en valor ero, in ditinguire hattering. Puede notare que lo alejamiento del ero ourren en lo ambio má grande de la orriente de arga, donde el algoritmo vuelve a onverger, llevando al itema a operar nuevamente en =. (kg/) x x 1 7 detalle tiempo () Figura : Variable de delizamiento, = W p W ref (kg/). y : ao on y in perturbaione. La onvergenia de la trayetoria del itema al origen del plano -ṡ e muetra en la Fig.. Puede obervare que la forma de la trayetoria reponde a la forma de onvergenia onoida del algoritmo ST de ganania ontante, aunque en un ao general tal araterítia no e neeariamente mantenida por eta variante del algoritmo on ganania variable. La relaión de oxígeno en exeo e muetra en la Fig. 5. Puede notare que la regulaión e muy buena, ya que para lo valore de orriente de una PC de ete tipo, el valor óptimo e enuentra entre, y, 5. En la Fig. 6 e oberva la entrada de ontrol, U = V p, en lo do ao imulado. Debe menionare que, dado que la tenión del motor etá limitada entre y 1V, e inorporó al ontrolador una proteión anti-windup, que deoneta el integrador uando el valor de la aión de ontrol neearia e enuentra fuera de tale límite. ṡ 1 x 1 x x 1 5 detalle x 1 6 Figura : Plano delizante -ṡ. y indian imulaión on y in perturbaione, repetivamente. λo tiempo () Figura 5: Relaión de oxígeno en exeo, λ O. y : imulaión on y in perturbaione, repetivamente. Vp (V) tiempo () Figura 6: Tenión de ontrol, V p (V). y indian imulaión on y in perturbaione, repetivamente. La evoluión temporal de la ganania variable e muetra en la Fig. 7. Ademá de la pequeña variaione que mantienen la operaión en =, puede obervare a imple vita ómo aumenta el valor de amba ganania orrepondiéndoe on lo ambio mayore de la orriente de arga. Puede notare también que la do ganania on algo mayore en el ao imulado on inertidumbre en lo parámetro.

6 XV Reunión de Trabajo en Proeamiento de la Informaión y Control, 16 al de eptiembre de 1 k1 k tiempo () Figura 7: Ganania variable, k 1 y k. y indian imulaión on y in perturbaione, repetivamente. 5. CONCLUSIONES En ete trabajo e preentó el dearrollo y evaluaión por imulaión de un ontrolador para maximizar la efiienia de una pila de ombutible PEM, a travé de mantener la relaión de exeo de oxígeno en un valor óptimo. El ontrolador fue dieñado en bae a una verión de ganania variable del algoritmo Super-twiting, baado en funione ota determinada para la pila bajo etudio. Si bien la relaión entre la forma y amplitud de la funione ota on la ganania variable no e direta, lo ual difiulta un poo la itematizaión de eta etapa del proeo de dieño y la uantifiaión de la mejora en un ao general, e obtuvieron muy bueno reultado por imulaión, lográndoe la regulaión de la relaión de oxígeno en exeo in hattering apreiable, y en un amplio rango de funionamiento. Ete dearrollo forma parte de un proyeto en el ual e etá evaluando y omparando la apliaión de lo - MD a la PC. Como parte del mimo, ya e han realizado experimento on algoritmo -MD de ganania fija en el Laboratorio de Pila de Combutible del Intitut de Robòtia i Informàtia Indutrial (CSIC- UPC, Barelona), on muy bueno reultado. El próximo pao onite en la implementaión del ontrolador aquí dieñado para obtener dato reale que permitirán, por un lado, validar lo reultado preentado y, por otro, ompararlo on otro algoritmo -MD. Ademá de evaluar el deempeño individual del ontrolador, e podrá analizar otro apeto, tale omo uantifiar la ventaja real de la ampliaión del rango de operaión v. el aumento de la omplejidad de la ley de ontrol. A. Valore de lo parámetro utilizado β =, ; =, 85; r = 1, 1 ǫ =, 1; 1 =, 95; r 1 = 1751 k =, ; = 19, 7; x M =, 5; δ = 1,1 9 ; =, 78,1 8 RECONOCIMIENTOS Ete trabajo fue realizado on el apoyo de la UNLP, CONICET, y SECyT, de Argentina; y del FP7- PEOPLE-11 Marie-Curie Ation, Proyeto IIF - ACRES (99767/911767) y (GA: PCIG9-GA ), de la Unión Europea, lo proyeto Puma-Mind (GA: FCH-JU ) y CICYT DPI (MINECO-Epaña) y el programa JAE-DOC del CSIC. Lo autore deean agradeer a todo el peronal ténio epeializado del Laboratorio de Pila de Combutible del Intitut de Robòtia i Informàtia Indutrial (CSIC- UPC, Barelona). REFERENCIAS [1] J. Larminie and A. Dik, Fuel Cell Sytem Explained, nd ed. John Wiley & Son In,. [] F. Barbir, PEM Fuel Cell: Theory and Pratie. Amterdam: Elevier, 5. [] C. Kunuh, P. Puleton, and M. Mayoky, Sliding- Mode ontrol of PEM fuel ell. Springer, 1. [] J. Pukruhpan, A. Stefanopoulou, and H. Peng, Control of Fuel Cell Power Sytem. Springer,. [5] C. Kunuh, P. Puleton, M. Mayoky, and L. Fridman, Experimental reult applying eond order liding mode ontrol to a PEM fuel ell baed ytem, Control Engineering Pratie, vol. 1, no. 5, pp , 1. [6] T. Gonzalez, J. Moreno, and L. Fridman, Variable gain uper-twiting liding mode ontrol, IEEE Tran. Automat. Contr., vol. 57, no. 8, pp. 1 15, 1. [7] C. Evangelita, P. Puleton, F. Valeniaga, and L. Fridman, Lyapunov deigned Super-twiting liding mode ontrol for wind energy onverion optimization, IEEE Tran. Ind. Eletron., vol. 6, no., pp , Feb. 1. [8] A. Levant, Sliding order and liding auray in liding mode ontrol, Int. J. Control, vol. 58, no. 6, pp , 199. [9] G. Bartolini, A. Piano, E. Punta, and E. Uai, A urvey of appliation of eond-order liding mode ontrol to mehanial ytem, Int. J. Control, vol. 76, no. 9/1, pp ,. [1] A. Piano and E. Uai, Sliding mode ontrol: A urvey with appliation in math, Mathemati and Computer in Simulation, vol. 81, no. 5, pp , 11. [11] L. Fridman and A. Levant, Sliding Mode Control in Engineering. Marel Dekker, In.,, h.. [1] J. A. Moreno and M. Oorio, A Lyapunov approah to eond-order liding mode ontroller and oberver, in Pro. 7th IEEE Conf. Deiion and Control, Mexio, De. 8, pp