Aplicación del principio de Fermat a la tomografía sísmica. Parte I: fundamentos físicos

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1 Artíulo ientífio / Sientifi paper La Granja 3 Apliaión del prinipio de Fermat a la tomografía ímia. Parte I: fundamento fíio Appliation of Fermat priniple for eimi tomography. Part I: phyial foundation Sebatián Araujo Centro de Invetigaión en Modelamietno Ambiental - CIMA, Univeridad Politénia Saleiana, Campu Sur, Quito, Euador * Autor para orrepondenia: jaraujo@up.edu.e Manurito reibido el 30 de otubre de 200. Aeptado, tra reviión el 5 de diiembre de 200. Reumen Ete artíulo bua analizar la naturaleza de lo imo deduiendo la euaión fundamental de la tomografía ímia. Para llegar a ella e analiza la importania de ontruir la fíia dede prinipio fundamentale, epeífiamente dede el prinipio de mínima aión; éte puede er apliado a lo rayo ímio, llegando aí al prinipio de Fermat. Utilizando ete prinipio, originalmente enuniado para la óptia, e obtiene la euaión fundamental de la tomografía ímia. Se analizan ademá la impliaione de la euaión de la tomografía para la reoluión del problema direto y el problema invero. Todo ete aparataje teório e impreindible para obtener imágene ímia de la región de Piayambo. Palabra lave: Prinipio de Fermat, tomografía ímia, prinipio fíio. Abtrat Thi artile ha the purpoe of analyzing the nature of earthquae, deduing the fundamental equation of eimi tomography. To get there, we mut analyze the importane of building Phyi from ome fundamental priniple, peifially from the priniple of leat ation. Thi an be applied to eimi ray thu leading to the priniple of Fermat, by uing thi priniple, originally enuniated for opti, we an get the fundamental equation of eimi tomography. We mut alo analyze the impliation of the equation of the tomography for the reolution of the diret problem and the invere one. All thi quantity of theory i eential to get eimi image of Piayambo region. Keyword: Fermat priniple, eimi tomography, phyi priniple. For ma u ge ri da de i tar: Araujo, S La naturaleza de lo Rayo Símio. La Granja. Vol. 2(2). pp ISSN: La Granja 2(2): , Univeridad Politénia Saleiana, Euador

2 4 Artíulo ientífio / Sientifi paper Sebatián Araujo. Introduión La tomografía ímia e baa en la apliaión de ierto prinipio fíio fundamentale que permiten etudiar la propagaión de onda a travé de un medio extremadamente heterogéneo omo e el ao de la orteza terretre. El proeo que provoa la onda ímia que nootro entimo omo un temblor o terremoto e muy omplejo y en la atualidad todavía no e onoen todo u detalle. Sabemo bien que lo terremoto on originado por el movimiento de la plaa tetónia (Sarria Molina, 2007), aunque el meanimo exato de la generaión de lo imo tetónio ontinúa iendo objeto de debate (Koyama, 997). Una vez que la onda ímia e ha generado y ha empezado a propagare u etudio e implifia lo ual no permite, a partir de u amino reorrido, obtener informaión de la etrutura del medio por el ual tranita. Eto e lo que báiamente pretende la tomografía ímia. Dado que en el Euador exite una zona de gran atividad ímia: el luter de Piayambo (Araujo et al., 2009), el interé prátio etará dirigido poteriormente a la apliaión de un programa oftware de tomografía ímia a lo imo produido en Piayambo (Figura ). Para etudiar la propagaión de una onda ímia e pueden tomar do vía. El amino difíil e etudiar toda la euaione para la elatodinámia de lo medio ontinuo (Nolet, 978). Pero para llegar a la euaión a partir de la ual podemo dearrollar el etudio tomográfio e tiene una alternativa má imple, utilizando un prinipio fíio: el prinipio de Fermat (Nolet, 978). La importania de omenzar la fíia dede uno prinipio fundamentale e que iempre ha llevado a una mejor ompreión de lo fenómeno y por ende haía una mayor poibilidad de ontrataión experimental. Cabe indiar que la vía ontraria, partir de axioma matemátio in onexión on la realidad, permite obtener reultado imilare mediante el formalimo etétio de la herramienta matemátia; pero ouree el diuro y lleva irremediablemente a teorizaione lejana de la realidad objetiva (Bunge, 2002). El prinipio del tiempo mínimo fue enuniado por Pierre Fermat en 650 para lo rayo luminoo y, en término generale die: de todo lo amino que puede eguir la luz para ir de un punto a otro, la luz iempre eoge el amino que requiere el tiempo má orto (Feynman, 97). El prinipio del tiempo mínimo e un prinipio variaional (Elgoltz, 983), e trata de una epeializaión del prinipio de mínima aión para la onda. Un prinipio variaional exprea matemátiamente el heho de que un fenómeno en la naturaleza ourre de la forma má óptima poible. Lo intereante de lo prinipio variaionale e que on el punto de partida para poder ontruir nuetra omprenión de la fíia ontemporánea (Nottale, 993). 3. El prinipio de Fermat Figura. Laguna de Piayambo que refiere el itio geográfio donde e loaliza el luter ímio del mimo nombre. 2. Prinipio fíio Para una ompreión profunda de lo que ignifia ete prinipio eguiremo a Landau (Landau y Lifhitz, 98): una onda ea éta eletromagnétia o ímia e llama onda plana i u amplitud y u direión de propagaión permaneen ontante. Eto no e neeariamente ierto para toda la onda, pero iempre e pueden definir pequeña regione del epaio donde eto e umpla. Aí, e puede delimitar una uperfiie de la onda donde todo lo punto tengan la mima fae para un intante dado. Si ahora e traza la direión perpendiular a la uperfiie de la onda e define una direión de propagaión de la mima. Finalmente, e puede unir todo eto punto de direión y obtener lo que e onoe omo un rayo. El análii que igue e exluivo para lo rayo de naturaleza eletromagnétia o, en el ao preio de nuetro interé, rayo ímio. El prinipio de mínima aión en la meánia e eribe omo: () La Granja 2(2) , Univeridad Politénia Saleiana, Euador

3 Apliaión del prinipio de Fermat a la tomografía ímia. Parte I: fundamento fíio 5 L e el lagrangiano de la partíula. La uetión e i e puede obtener una expreión imilar para lo rayo ímio. La repueta iniial e que no, pue, el lagrangiano e alula: (2) Donde H e el hamiltoniano. Para un rayo el hamiltoniano e reemplaza por la freuenia v y la antidad de movimiento p por el vetor de onda : para la euaión de una onda ímia ontiene muho término que no neeariamente on en u onjunto onda plana. Eto e debe a que la energía ímia e radiada dede fuente puntuale, por lo tanto lo frente de onda on iempre efera en la región má próxima al hipoentro del evento. Sin embargo, uando la ditania e ufiientemente lejana de la fuente, el frente de onda deviene plano. Má aún uando la oluione para ete ao on onda plana monoromátia (Shearer, 2009). Un rayo ímio entone puede propagare entone dede el hipoentro iendo regitrado en la uperfiie terretre por una etaión ímia omo e equematiza en la (Figura 2): L =. ω - ω (3) Si tomamo en uenta que v=: L =. - ω (4) De donde, finalmente, e llega a que el lagrangiano para un rayo e igual a ero. Para oluionar ete problema e puede eribir el prinipio de mínima aión en forma del prinipio de Maupertiu para la aión S de un itema on energía ontante: δs = δ p.dl = 0 (5) Figura 2. Un imo que e genera en el hipoentro genera una onda ímia que i e deteta a ufiiente ditania puede er oniderada omo una onda plana. La trayetoria de diha onda entre el hipoentro y la etaión e onidera omo un rayo ímio. La integral e realiza a travé de toda la trayetoria dl de la partíula. Para un rayo, la aión S e orreponde on una funión de onda y: δψ = δ.dl = 0 (6) La euaión(6) e onoe omo el prinipio de Fermat. 4. Apliaión a lo rayo ímio Para poder apliar el prinipio de Fermat a la onda ímia e neeario aber i éta pueden er oniderada omo onda plana. La oluión ompleta Se puede aí paar a utilizar (6) y oniderar un rayo de freuenia ontante que igue un amino : entone: δ δ ω d = 0 d = 0 (7) (8) La euaión (8) e el prinipio de Fermat para lo rayo ímio. La Granja 2(2) , Univeridad Politénia Saleiana, Euador

4 6 Artíulo ientífio / Sientifi paper Sebatián Araujo Formalmente e puede alular la variaión expreada en (8). Pueto que e trata de una funional: F () = de una ola variable. Tenemo (Landau y Lifhitz, 978): F ( d = 0 ) δ realizando la derivaión: ) ( ) ( d = 0 δ δ d = 0-2 La euaión (2) exprea el heho de que una variaión infiniteimal en la veloidad de propagaión del rayo deja invariante el amino de propagaión del mimo. O omo reíproo, i e onideran do rayo infinitamente próximo u veloidade de propagaión eguirán iendo la mima. E de interé motrar que al mimo reultado de (2) e puede arribar on ierta aproximaione que evitan el uo del álulo variaional. Para ello e perturbará infiniteimalmente la veloidad de propagaión del rayo y e aproximará la variaión de (8) por: + δ d - Ω d = 0 Si e aepta el prinipio de Fermat, lo rayo y 0 on iguale: ( - ) d + δ = δ ( ) d ( + δ) = 0 (9) (0) () (2) (3) Si e onidera la aproximaión + δ ~ otra vez e llega a la expreión (2). Ahora e requiere oniderar el tiempo de propagaión de un rayo ímio. Ete dato e de interé pue e la magnitud que miden lo imómetro. Una etaión ímia medirá un tiempo de propagaión del rayo, que e puede entender omo una integral de línea del epaio reorrido dividido para la veloidad: t = d Por otro lado, e puede haber alulado el tiempo de propagaión del imo utilizando un modelo: t o = o d De la forma de la euaione (4) y (5) e puede obervar que el prinipio de Fermat (8) e un variaional obre lo tiempo de propagaión de lo rayo. A la diferenia entre el tiempo medido y el tiempo alulado la llamamo reiduo: o r = t - t 0 (6) Ahora viene la aproximaión lave que permite llegar a la tomografía ímia (Nolet, 978); e upondrá que el error que e omete al alular el tiempo de propagaión e un infinitéimo repeto al tiempo medido. Eto quiere deir que r tiende en límite al diferenial de tiempo. Con ello podemo igualar el prinipio variaional (8) al reiduo: δt = δ d Si e reemplaza la variaión obtenida en (2) llegamo a: δt = - δ 2 d (4) (5) (7) (8) La euaión (8) e el fundamento de la tomografía ímia. También e puede obtener fáilmente (8) i e oberva que: La Granja 2(2) , Univeridad Politénia Saleiana, Euador

5 Apliaión del prinipio de Fermat a la tomografía ímia. Parte I: fundamento fíio 7 t - t o = d - o o d (9) e muetra en la figura 3 para evento loalizado por el Obervatorio de Etraburgo en Frania ( rena.u-trabg.fr/). La veloidade de aproximaión difieren en un infinitéimo = o+ δ. De ahí podemo retomar la euaión (3) y arribar nuevamente a (8). Para terminar, e eribirá la euaión fundamental de la tomografía ímia en forma diferenial. Para ello implemente e toma la derivada parial del tiempo de propagaión del rayo repeto a la veloidad: = Se pueden interambiar lo operadore derivada en integral: = La Granja 2(2) , Univeridad Politénia Saleiana, Euador d ( ) Si e efetúa la derivada e llega al valor de la integral: d 2 = - d Si e reemplaza en (8) finalmente obtenemo: δt = δ De la euaión (23) podemo partir para ualquier proeo de tomografía ímia (Monteiller et al., 98). 5. La tomografía ímia (20) (2) (22) (23) La euaión (23) permite reolver do tipo de problema. El primero onite en alular el tiempo de propagaión onoida la veloidad del medio. El reolver el problema direto implia a u vez trazar el rayo ímio dede la fuente hata el reeptor. Aquí el prinipio de Fermat e fundamental pue no permite alular el tiempo de propagaión del rayo mimo i no onoemo exatamente la verdadera trayetoria del rayo ímio pue, en primera aproximaión, el tiempo de propagaión e inenible a la perturbaione en el amino del rayo (Shearer, 2009). E por el prinipio de Fermat entone que podemo, i lo evento e produen en profundidad y tenemo etaione en la uperfiie, aproximar lo rayo por línea reta omo Figura 3. Rayo ímio retilíneo trazado dede el hipoentro hata la etaione reeptora en la uperfiie. El que podamo oniderar a lo rayo ímio omo línea reta e una oneuenia direta del prinipio de Fermat. Imagen ray2meh/img/0.png. El egundo problema e má ompliado pue, e trata de alular la veloidad del medio onoido lo tiempo de propagaión, e el problema invero. Ete ejeriio e omplia ya que en la integral (8) el mimo amino de integraión () e funión de la veloidad. Para el problema invero, por tanto lo errore ya no erán de primer orden. La forma aeptada de ataar el problema invero onite en tener no ólo un rayo ino i evento regitrado en etaione. Entone: t obai - ti = i m δm Lo reiduo, la diferenia, entre lo tiempo obervado y lo tiempo alulado e relaionan on la perturbaión modelo de veloidade δm i : r i = δmi i m Podemo eribir (25) omo matrie (Monteiller et al., 2005): r = G δ m Enontrar el modelo de veloidade m de un medio onoido lo tiempo de propagaión de lo rayo ímio e lo que e onoe omo tomografía i (24) (25) (26)

6 8 Artíulo ientífio / Sientifi paper Sebatián Araujo ímia. Para reolver ete problema invero no lineal y ubdeterminado e deben haer uo de aproximaione probabilítia (Araujo, 2008). Conluione Definir la fíia dede uno prinipio fíio fundamentale e una tarea que iempre permite la reaión de nueva ienia. En el ao de la imología, una vez definido el onepto de rayo ímio e puede haer un alane del prinipio de mínima aión para eto rayo. Ete prinipio e onoe omo prinipio de Fermat y u apliaión lleva a la euaión de la ual podemo partir para obtener imágene tomográfia del interior de la Tierra. Dada la difiultade matemátia que e preentan al tratar de reolver tanto el problema direto omo el problema invero, la aproximaión de lo rayo ímio retilíneo pueden er un intereante punto de partida para llegar a una tomografía de la región de Piayambo (Tarantola, 2007). Bibliografía Araujo S., L. Tronoo y M. Ruiz Reloalizaión por doble diferenia del lúter íimio de Piayambo. La Granja. 0 (2). Pp ISSN: Araujo, S Soluión probabilítia del problema invero. Memoria del XI Enuentro de Matemátia y u apliaione. Euela Politénia Naional. Bunge, M Ser, Saber, Haer. Paidó. Elgoltz Euaione difereniale y álulo variaional. Mir. Feynman, R. 97. Fíia Tomo : Meánia, Radiaión y Calor. Fondo Eduativo Iberoameriano. Koyama, J The omplex faulting proe of earthquae. Kluwer. Landau L.D., E.M. Lifhitz Meánia. Editorial Reverté. Landau L.D., E.M. Lifhitz. 98. Teoría Cláia de lo Campo. Editorial Reverté. Monteiller,V., JL. Got, J.Virieux y P. Oubo An efiient algorithm for Doubble diferene tomography and loation in heterogeneou media with appliation to the Kilauea volano. J. Geophy. Re.0. B2306. Nolet, G A Breviary Of Seimi Tomography - Imaging The Interior Of The Earth And Sun. Cambridge: Univerity Pre. Nolet, G Seimi tomography: with appliation in global eimology and exploration geophyi. Springer. Nottale, L Fratal pae-time and mirophyi: toward a theory of ale relativity. World Sientifi. Sarria Molina, A Dinámia Terretre: viión integral para la ingeniería moderna. Univeridad de lo Ande. Shearer, P Introdution to eimology. Cambridge: Univerity Pre. Taranto, A Invere Problem: Exerie,With mathematia, matlab, and ilab olution. Submited to SIAM. La Granja 2(2) , Univeridad Politénia Saleiana, Euador