UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE MATEMÁTICAS

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1 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INFORMÁTICOS Y PROGRAMACION MÉTODOS DE TABLEAUX PARA LÓGICAS CON DECLARACIONES DE TERMINOS, DOMINIOS PREORDENADOS Y OPERACIONES MONÓTONAS PEDRO JESÚS MARTÍN DE LA CALLE MADRID, Myo 2000

2 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INFORMÁTICOS Y PROGRAMACIÓN * UNIVERSIDAD COMPLUTENSE MÉTODOS DE TABLEAUX PARA LÓGICAS CON DECLARACIONES DE TÉRMINOS, DOMINIOS PREORDENADOS Y OPERACIONES MONÓTONAS Mmori q pr optr l grdo d DOCTOR EN MATEMÁTICAS prsnt PEDRO JESÚS MARTÍN DE LA CALLE DIRECTOR: ANTONIO GAVILANES FRANCO Mdrid, Myo 2000

3 Agrdcimintos VJodr, vr si pr (l llovr!, trbjndo todo l dí y ncim no vs l sol! pnsb mndo drnt l lborción d st mi tsis Ahor q stá cbd, rondn por l cbz mchs prgnts, qizá dmsids Por n prt, n n tsis tn tóric, no dd d l rlvnci d ss rsltdos; qiro crr q l trbjo no sólo s novdoso, d lo cl stoy sgro, sino q s incidnci srá significtiv, o l mnos intrsnt, y s plicción, inmdit n l progrso d l informátic Admás no no sb cándo dtnr l procso d invstigción, y ponrs scribir st grn rsmn En st sntido, ntindo q l tsis s sólo n trámit forml q crdit l sfrzo rlizdo, nq sint q podí hbr rdonddo más los tms, llgndo obtnr más rsltdos, Por otr prt, no s contgi d l lgrí q spon l hbr dsrrolldo n invstigción sri, d form contin, drnt tnto timpo, y q dtrás qd n lbor dr bin hch Rslt n orgllo no sólo llgr hst qí, sino l hbrlo intntdo con tnt ilsión Ojlá l timpo dpr momntos tn gozosos como st Qiro grdcr todos los q hn yddo n l lborción d st tsis, tnto dirct como indirctmnt Entr los q hn intrvnido d form xplícit, dbo grdcr n primr lgr l colborción d mí jf Antonio, no sólo por s ddicción, poyo, consjos y orintción técnic - vcs comprb nstrs improvisds rnions con n visit l siqitr-, sino por s vlios mistd Est tsis no xistirí como tl sin s dircción Tmbién grdzco profndmnt l colborción spci] d Ssn y Jvir por ss provchosos comntrios y ss consjos Otros compñros dl dprtmnto hn hcho q m sintir como n cs drnt mi stnci qí; sí grdzco l bn rollo d mis migos Pri, Jsús, An, Jim, Rf, Ev Otrs prsons q nd tinn q vr con mi trbjo n l Fcltd hn colbordo indirctmnt drnt stos ños En primr lgr Conchi, q m h gntdo y nimdo dsd simpr, y con l q tmbién h clbrdo los bnos momntos Mi fmili, Pdro, Lot, Mrí y Crlos, tmbién m h poydo incondicionlmnt y por so ls doy ls grcis q s mrcn A Conchi y mis pdrs ddico st tsis Tmbién grdzco Nivs y Mlici por djrm sborr l músic d form tn intns y los chicos dl Kimr por ss bnos momntos d disfrt Grcis mis migos Chchi y Mnolito Dlgdo, l bno, mis bls Trs y Agstín, mis primos Víctor, Lr y Pblo, mis gtos Rin-Rn, Clois, Clmoxyl, Frndol, Mln, Aril y Grillo, y por último mi Villmnriq, l lgr dond todo s posibl Grcis

4 Índic 1 Introdcción 2 Métodos d tblx pr l lógic d primr ordn 21 Sintxis 22 Sstitcions y nificción 23 Smántic 24 Tblx smánticos pr LPO 241 Tblx básicos 242 Tblx con vribls librs 3 Prórdns y génros dinámicos 31 Introdcción 32 Prliminrs 33 Sintxis d LPGD 34 Sstitcions pr LPGD 35 Smántic d LPGD 36 Tblx básicos pr LPGD 361 Corrcción y compltitd 37 Tblx con Vribls Librs 371 Corrcción 372 Compltitd 38 Ejmplos 39 Implmntción 391 Chsl 392 Chs2 310 Conclsions y trbjos rlciondos 4 Dclrcions d términos 41 Introdcción 4,2 Sintxis d LOT 43 Smántic pr LOT 44 Sstitcions pr LDT 45 Tblx básicos pr LOT 451 Corrcción y compltitd

5 2 Índic 46 Tblx con vribls librs 47 Unificción rígid tipd 471 El cálclo tipdo C 472 Propidds dl cálclo C 473 Bn tipificción frnt siiprbn tipificción con rspcto tons 48 Unificción rígid tipd simltán 481 Propidds dl cálclo D 49 Tblx con vribls librs con nificción rígid tipd sim[tán 410 Conclsions y trbjos rlciondos 5 Prórdns monótonos 51 Introdcción 52 Prsntción d l lógic LPM 53 Tblx básicos pr LPM 54 Unificción prordnd rígid 541 Propidds dl cálclo P 55 Tblx con vribls librs y nificción rígid prordnd 551 Cirr simnltáno frnt cirr locl 56 Técnics d rscritr pr prórdns 57 Unificción rigid prordnd y monóton 571 Propidds dl cálclo MP 58 Tblx con vribls librs y nificción rígid prordnd simltán 59 Conclsions y trbjo ftro Bibliogrfí simltán y monóton lcd

6 Cpítlo 1 Introdcción Como s titlo indic, l objtivo d st tsis consist n l dsrrollo d dmostrdors tomáticos bsdos n tblx pr dtrminds xtnsions d l lógic clásic d prdicdos En concrto, stdimos l incorporción, n l lógic d primr ordn, d (lclrcions d términos y prórdns monótonos A continción prsntmos n pqñ introdcción d cd no d los lmntos q configrn st trbjo El método d tblx Un lógic pd crctrizrs d distints forms mdint lgn d ls trs proximcions sigints: Trdicionlmnt s h hcho 1 Un motivción intitiv, qizá ligd lgn plicción n lgún ár 2 Un intrprtción smántic 3 Un sistm forml d prbs D ntr tods ls mtodologís xistnts n l cmpo d l dmostrción tomátic, hmos lgido los métodos d tbicz porq rúnn, n n único mrco, ls crctrístics propis d ls proximcions orintds l stdio d prbs (3) y qlls fndmntds smánticmnt (2) Admás, los tblx prsntn los sistms lógicos d n form intitiv (1), clr y concis, por lo q ctlmnt sln sr tilizdos como l primr mcnismo ddctivo q prndn los stdints d lógic n l myorí d ls nivrsidds Por otr prt, n los últimos ños s hn dsrrolldo grn cntidd d divrsos sistms lógicos, origindos por mltitd d pliccions, pr los q l mtodologí bsd n tblx rslt sr l mcnismo propido, dbido q s dptn prfctmnt ls distints xigncis spcifics Por stos motivos, los tblx s hn xtndido mplimnt y son l foco d tnción d n grn cntidd d invstigdors

7 4 1 r ntrodcción CXRACTERÍST[CAS DEL MÉTODO DE TXBLEAUX Bjo l dnominción m4todo d tbln s nciíntr n distintos sistms ddctivos q comprtn crctrístics comns: 1 Los sistms bsdos n tblx son procdimintos formls sintácticos q gnr prbs por rftción Esto signific q pr probr q n fórml ; s válid, mpzmos con lgn xprsión sintáctic 7 q stblzc q no [o s, Obvimnt, st xprsión dpnd d l lógic sobr l q trbjmos Hcho sto, dscomponmos sintácticmnt 7, distingindo csos cndo s ncsrio Est prt dl procdiminto (l tblx -tp d xpnsión- pd ntndrs como n gnrlizción dl procso d trnsformción form norml disyntiv Un crctrístic propi d los métodos d tblx s l principio d sbfórrnl: ls fórmls introdcids n st tp son sbfórmls d ls y xistnts Finlmnt, stos métodos disponn d rgls pr crrr qllos csos q impliqn condicions sintáctics imposibls d stisfcr Si todos los csos stán crrdos, l tbln stá crrdo y tnmos n prb d q l fórml 7 no s stisfctibl 2 Dsd l pnto d vist smántico, n tbl rprsnt l búsqd d n modlo q vrifiq cirts condicions En st sntido, cd rm birt d n tbln pd considrrs como n dscripción prcil d n modlo D hcho, si sts rms stisfcn dtrminds propidds d strción ntoncs dfinn n modlo d l fórml inicil 7 Por st motivo, los métodos d tblx pdn srs pr gnrr contrjmplos, y q clqir modlo d 7 s n contrjmplo d l vlidz d ~ t ml m Pr profndizr n ls nocions ntriors, ncsitmos mcnismos sintácticos pr stblcr q n fórml no s válid, nlizr los distintos csos y crrr qllos csos imposibls Ddo q stos mcnismos dpndn d l lógic n cstión, srnos l lógic proposicionl como jmplo Rslt obvio q l ngción lógic vp s l mcnismo ntrl pr xprsr q y y no s válid Pr prsntr d n modo sncillo los mcnismos q dscomponn sintácticmnt n fórml y nlizn los csos corrspondints sponmos, sin pérdid d gnrlidd, q los únicos conctivos dmitidos son l ngción y l conjnción A Ls rgls d xpnsión dscomponn tod fórml q no s tin vribl proposicionl o s ngción Por st motivo sólo ncsitmos trs rgls: dobl ngción conjnción y conjnción ngd ~ A V

8 5 Ests rgls hn d ntndrs corno sig: si l prmis s vlíd, ntoncs l con- <:liisión tmbién lo s En st sntido, ls rgls d l dobl ngción y d l conjnción rsltn sncills Pr l cso d l conjnción ngd sbrnos, por ls tbls vrittivs, q si m(y A ~b) s cirt, ntoncs my o mv~ son cirts, por lo q bifrcmos n dos csos L rprsntción hbitl d los tblx consist n n árbol cyos nodos son fórmls y q s prolong o bifrc mdint l plicción d ls rgls ntriors D st form l rprsntción d n tbln vrí con l timpo; d hcho dbrímos hblr d scncis d tblx Dsd l pnto d vist smático, dbmos ntndr n rm como l conjnción d tods ls fórmls q contin y n tbl, como l disynción d ss rms Obsérvs q n nodo pd prtncr distints rms nq sólo przc scrito n únic vz En st sntido, los tblx no son rdndnts ps rtilizn informción n lgr d dplicrí Un crctrístic propi d los sistms d tblx, y n concrto dl q nos vnimos ocpndo, s l indtrminisíno con l q plicmos ls rgls d xpnsión Es cirto q s pdn mplr distints strtgis pr gir l xpnsión, pro ésts no formn prt d l propi mtodologí bsd n tblx En l Figr 11 prc n xpnsión q cominz por l fórml y pa -jp A -z(q A (p A q))) 1: ya i(p A jq A -<y A q))) 2: y conjnción 1 conjnción ngd 3 4: mp 5: - - (qa- (paq)) dobl ngción 5 6: qa (yaq) conjnción 6 7: q 8: m(paq) conjnción ngd 8 9: mp 10: mq Figr 11: Expnsión pr y Finlmnt, ls condicions sintáctics q cirrn n rm son sncills: n rm stá crrd si contin y y my, pr lgn fórml y D st form, l tbln d l

9 6 1 Introdcción Figr 11 stá crrdo y q ss ctro rms lo stán En ocsions pd ocrrir q no xist n tbln crrdo, por lo q po(linos sr l método (l tblx como n gnr(lor d contrjmplos Así, si intntrnos probr l vlidz d ~dj -n(p A }q A ~)>podrnos constrir l tbln d l Figr 12 Est tbl no stá crrdo, y q l rm d l izqird rio lo stá y~ s tp d xpnsión h conclido D hcho, l tp d xpnsión pr clqir fórml d l lógic proposicionl rslt sr n procso finito dbido q podmos dscrtr ls fórmls q y hn sido sds Por st motivo, dcirnos q l lógic proposicionl s dcidibl Volvindo l jmplo, podrnos sr ls fórmís d l rm birt pr constrir n modlo d l fórml 1 y por tnto, n contrjmplo d 4 En fcto, smos 3 y 5 pr dfinir l vlorción v(p) tim, v(q) fls Obvimnt stisfc 3 y 5, por lo q, rtrocdindo n l constrción dl tbln, tmbién s modlo d 4, 2 y 1 1: -- (ya--}qa y)) dobl ngción 1 2: ya-(qay) conjnción 2 3: y 4: (qay) conjnción ngd 4 Figr 12: Expnsión pr 4 r No todos los métodos d tblx sign n prsntción bsd n árbols como l q cbmos d vr n nstro jmplo pr l lógic proposicionl Dsd l pnto d vist mtodológico, indpndintmnt d l lógic scogid, todos stos sistms comprtn ls crctrístics ntriors, nq mpln distints notcions: Mnn y Wldingr sn n notción distint pr s prticlr vrsión d los tblx [MW 90] [MW ~ l método d conxión pd ntndrs como n sistm bsdo n tblx n l q los árbols s rmplzn por grtos más gnrls [BKAHS 87], tc D hcho, l prsntción originl bsd n árbols difir d l q hoy considrmos hbitl VENTAJAS DEL MÉTODO DE TABLEAUX Dsd l pnto d vist práctico, los tblx ntrñn n indtrminismo cotdo y q stisfcn l principio d sbfórml, s dcir, ls fórmls introdcids son sbfórmls d ls y xistnts D st form, n cd nv xpnsión optrnos ntr n númro finito d posibilidds y l compljidd d ls fórmls no mnt Esto no

10 7 ocrr por ]rnplo, n los ntigos sistms xiomáticos dl tipo Hilbrt dbido l mods ports (pr probr y bscmos clqir fórml 4 tl q 4 * y) En l cso proposicionl, st indtrminismo no infly ddo q si constrimos los tbliix d form jst tods ls posibls constrccions conclirán n n tbl crrdo si lgn d lls lo hc En l cso d l lógic d primr ordn, los cntificdors nivrsls introdcn n nvo problm dbido q hy infinits forms d plicr l rgl d xpnsión corrspondint Pr solcionr st problm ficintmnt, los tblx hcn so d ls vribls librs y d l nificción sintáctic No obstnt, como ls fórmls cntificds nivrslmnt no pdn dscrtrs n vz sds, l procdiminto d xpnsión no cb y l método d tblx rslt sr n procdiminto d smidcisión (cord con l indcidibilidd d primr ordn) Tods sts rzons hcn d los tblx n rncnísrno dcdo pr s implmntcion Dsd l pnto d vist smántico, los tblx dstcn como método pdgógico idl pr inicirs n l mndo d l lógic Por otr prt, l cohsión ntr ls rgls sintáctics dl método y l smántic socid l lógic n cstión, hc q los tblx sn trctivos pr n grn myorí d los invstigdors ddicdos l stdio d nvs lógics HISTORIA DEL MÉTODO DE TABLEAUX L histori d los métodos d tblx s inici con Cntzn n 1935, ño n l q pblicó s fmoso cálclo d scnts [Cnt 35] Est cálclo, orintdo l gnrción (l prbs formls, spr por primr vz ls propidds strctrls ddctivs d l lógic, d ls rgls d conctivos y cntificdors Mnos s rgl d cort ( q rsltó liminbl!), tods ss rgls prtn d prmiss más sncills q l conclsión por lo q, n cirto sntido, stisfcn l principio d sbfórml común todos los métodos d tblx D hcho, ést s l primr cálclo q s jst st principio, psto q los ntriors sistms xiomáticos d tipo Hilbrt disponín d l rgl dl mods ponns Por otr prt, si rzonmos hci trás sobr ls prbs q l cálclo d Gntzn constry, podmos comprr tls prbs con rftcions bsds n tblx q sn n rprsntción dl tipo conjnto d conjntos Dspés d Gntzn, prciron los trbjos d Bth y Hintikk n los ños 50, q stviron movidos por cstions smántics n vz d por rzons sintáctics (constrcción d prbs formls) como ls q giron s prdcsor Gntzn En 1955 Bth introdjo l término tbl smántico por primr vz, y pnsó n los tblx como métodos q trtbn d ncontrr contrjmplos d form sistmátic [Bth 55] L rprsntción q só sprb ls fórmls ngds d ls no ngds distribyéndols n dos colmns Los stdios d Hintikk coincidiron con los d Hth n spírit smántico y n époc Así, n 1955, prc s trbjo más rlvnt [Hint 55], n l q considr los tblx como mcnismos d rftción q bscn contrjmplos L mtodologí sd n st rtíclo pr dmostrr l compltitd spr ls propidds bstrcts d stisfctibilidd, d los dtlls spcíficos dl procso d constrcción d los tblx Ests ids hn prdrdo hst nstros dís dbido q l prb d compltitd rslt sn-

11 8 1 Introdcción cill, si srnos los conocidos conjntos d Hintikk L rprsntción sd por Hintikk s l d n árbol cyos nodos son conjntos d fórmls Corno los nodos pdn comprtir fórmls, st rprsntción rslt rdndnt, ps l prición (l n fórml pd rptirs inncsrimnt L rprsntción ctl (l los tblx, corno árbols cyos nodos stán tiqtdos por fórmls, f introdcid por Srnllyn Trs otros trbjos prvios, n 1968 Srnllyn pblic s libro First-Ordr Logic [Srnl 681 l q dbmos l grn difsión q los tblx hn xprimntdo dsd ntoncs L prsntción d ls rgls d xpnsión s convirtió n n tr cómod prtir d q introdjr s fmos ívotción Uniform, consistnt n n prtición dl conjnto d tods ls fórmls Por primr vz Smllyn innj l término tbln nálitico pr xprsr q l principl crctrístic común todos stos métodos s l principio d sbfórml Trs Srnllyn, Fitting h finzdo ls bss dl método d tblx n pbliccions más rcints [Fitt 96], sindo st libro constnt objto d rfrnci MÉTODOS DE TABLEAUX PARA LÓGICAS NO CLÁSICAS En l myorí d los csos, trs l disño d métodos d tblx pr ls lógics clásics d proposicions y prdicdos, los invstigdors s prgntron qé psrí si ls propidds ddctivs d l lógic frn modificds D st form, l stdio d métodos d tblx pr sts nvs lógics h vnido dsrrollándos dsd los trbjos d Gntzn Vmos lgnos d los csos n los q los sistms d tblx s hn dptdo cómodmnt sts modificcions W U Lógic inticionist Pr n mtmático inticionist ncsitmos prbs fhcints pr podr firmr q n fórml s válid En st sntido, -ny s cirt si no disponmos d n prb fhcint d y, q no s lo mismo q tnr n prb d -ny Esto rprct n ls rgls d los otros conctivos, por jmplo M~ ~ 4 ) s válid si no disponmos d n prb d y 4 4 lo q s vz signific q no tnmos n mcnismo q trnsform prbs d y n prbs d 4 En st sitción, disponmos d n prb d y (y s cirto) y ningn d 4 (- 4 s cirto) Hbitlmnt, s sn ls tiqts T y F pr xprsr l disponibilidd ctl 9 o no d n prb fhcint Así l rgl d xpnsión plicbl l fórml tiqtd E : y * 4 prolong l rm con T : y y E : 4, pro como hor disponmos d n prb d y~ dbrnos modificr l rsto d ls fórmls d l rm d crdo con st informción Dbido q ls prbs rsistn l pso dl timpo, rsptmos tods ls fórmls positivs (tiqtds con T); sin mbrgo, liminmos tods ls fórmls ngtivs d l form E : y, porq l flt d n prb pr y n l psdo pd plirs hor con l prb d y Los tblx pr l lógic inticionist fron introdcidos por Cntzn [Cnt 35] y Bth [Bth 56] [flth 59], y lgo trtdos por Fitting [Fitt 69] t m Lógics mltivlords En st cso disponmos d n conjnto finito d vlors smánticos ordndos y tiqtmos ls fórmls pr xprsr l vlor vrittivo q sprmos d lls Por jmplo, n l lógic trivlord frt d Kln, m

12 9 disponmos dl nvo vlor smántico 1 pr dnotr lo indfinido, y smos ls tiqts T F y? pr dnotr qlls fórmls q s vlún tim, fls y 1, rspctivmnt Admás, n st lógic l ordn ntr los vlors vrittivos s fls < 1 < tim y l smántic socid, por jmplo, l conctivo disyntivo y vin xprsd por l sigint tbl: dond hníos brvido tr y fls t y f rspctivmnt Entoncs l rgl d xpnsión disyntiv plicd, por jmplo, sobr l fórml tiqtd?: y V 4 dbrí bifrcr l tbln d l sigint form:?: yv 4 F:y En fcto, si l vlor smántico d y V 4 s 1, ntoncs no d sos trs csos db drs, como s comprb, d form iníndit, xminndo l tbl Los tblx pr lógics mltivlords prcn por primr vz n [Sch 74] y lgo n [Srm 84], [Crn 87] y [Crn 91] Lógics modls y tmporls Fron introdcids por Kngr [Kng 57], Hintiklc [I-Iint61] [Hint 62] y Kripk [Krip 59] En lls s sn dos nvos oprdors nnos, E y 0, q, nq pdn tnr distints intrprtcions, trdicionlmnt s ntind q xprsn ncsidd y posibilidd, rspctivmnt L plicción d stos oprdors sobr fórmls prmit stblcr divrss propidds tmporls o modls L vrcidd d ls misms s consig tnindo n cnt mndos y n rlción d ccsibilidd S ntr llos Entoncs, l fórml Ey s cirt n n mndo w, si pr todo mndo 2 ccsibl dsd w, scrito S(w,w ), s cirto y; nálogmnt, ~y s cirt n n mndo w, si xist n mndo? tl q n l q y s cirto Por jmplo, sgún sto, l vlidz d l fórml ~y * Oy xprs q pr todo mndo w xist otro w tl q S(w,w ) Pr constrir tblx modls/tmporls podmos optr, dmás d considrr fórmls con signo T, F, por tiqtrís con mndos Podmos ntoncs ntndr n rgl como l sigint: Fw: Ey Ew : y

13 10 1 Introdcción con ll s prmit xtndr n rm con l fórml tiqtd d bjo, pr lgún rnndo? tl q S(w,?) L corrcción d l rgl s sig d l intrprtción dl oprdor C y l sntido d los mndos q cbrnos d vr El tín rí los tblx pr lógics modls y tmporls s mnplísirno y pd consltrs n visión gnrl (lí misrno n l cpítlo corrspondint (l [DGHP 99] IMPLEMENTACION DE MÉTODOS DE TAELEAUX Ants d cbr l stdio d los métodos d tblx pr otrs lógics, y s mpzó considrr s implmntción Rslt crioso cornprr los objtivos inicils d los tblx con los d s grn comptidor: l rsolción Anq s introdcción n l timpo stá próxim, Robinson n 1965 [Rob 65] disñó l rsolción corno n mcnismo d dmostrción tomátic, mintrs q l objtivo inicil d los tblx r prmnt smántico Est s l rzón por l q, históricmnt, s h ddicdo más tnción l rsolción n l cmpo d l dmostrción tomátic L implmntción d los tblx pr l lógic d primr ordn prsnt dificltds socids con l mnjo d los cntificdors L rgl d xpnsión xistncil corrspondint ]xy(x) introdc n l rm l fórml y(c), dond c s n constnt nv n l rm; mintrs q l rgl d xpnsión nivrsl corrspondint V xy(x) xtind l rm con y(t), pr clqir término t D st mnr disponmos d n númro infinito d posibls xpnsions nivrsls, por lo q l xpnsión d los tblx rslt sr n procso q no cb En st sitción l implmntción d los tblx pr l lógic d primr ordn dbí sprr st difícil problm En 1960 Wng [Wng 60] constryó n sistm d dcisión bsdo n tblx pr n sbconjnto dcidibl d l lógic d primr ordn, ls llmds APi-fórmls En r sts fórmls, los cntificdors xistncils simpr prcdn los nivrsls, por lo q l rgl nivrsl sólo ncsit sr l conjnto finito d ls constnts introdcids prvimnt por l rgl xistncil Más trd, n [CTW 74], [Bown 80] y [Brod 80] s introdjron ls vribls librs y l nificción sintáctic d Robinson pr vitr l indtrminismo incontroldo q s drivb d l rgl d xpnsión nivrsl Así, st rgl plicd Vxy(x) introdc l fórml 93(y), dond y s n vribl libr nv q dnot n lmnto rbitrrio, Ests vribls s instncin convnintmnt l hor d crrr l tbl sin más q plicr n mcnismo d -ni-ficción-sintáct-ic---e-st--forn d-procdrpr-crá bndntmnt n st trbjo Los sistms d tblx pr l lógic d primr ordn no ncsitn ningún tipo d prcomptción dicionl No obstnt, l procso d Skolmizción s rconocido como n hrrmint intrsnt q s ncrg d l liminción d los cntificdors xistncils D hcho, st procso db incorporrs implícitmnt n l rgl d xpnsión xistncil cndo mnjmos vribls librs En 1987, Schmitt [Schm 87] prsntó n nv rgl q, prtir d 3xy(t, introdcí n l rm y(f(xi,, dond f s n nvo símbolo d fnción y 1,, r,~ son ls vribls librs q prcn n l rm Años dspés, s dmostró q st conjnto d vribls librs podí rdcirs ún más y rstringirs ls q prcn n l propi fórml Rxy(x) [HS 94] Entr ls implmntcions rcints más poplrs dbmos citr THOT [Schm 87],

14 11 1L4RP [OS 88], ST~4P [BGHK 92] y lntap [BP 94] Actlmnt l intrés n l disño (l ilvs implmntcions s h incrmntdo notblmnt, qizá nimdo por l prición d divrsos workshops y confrncis ddicds l tm Dclrcions d términos Un lógic htrogén s n lógic n l q l nivrso d discrso stá dividido n sbconjntos llmdos génros Ests lógics disponn d n conjnto d símbolos d génro S q s intrprtn corno dominios spcíficos n clqir modlo Por jmplo, podmos dividir l nivrso d discrso n difrnts clss (génros) d nimls y plnts Ls vribls d sts lógics tinn socido n génro q rstring s dominio d cción, y xistn divrsos mcnismos pr dscribir l comportminto, con rspcto los génros, (l los símbolos d fnción y prdicdo En dfinitiv, ls lógics htrogéns disponn d hrrmints spcífics pr l mnjo d informción txonómic El intrés d l dmostrción tomátic n sts lógics strib principlmnt n s ficinci comptcionl: l spcio d búsqd pd rdcirs porq s fácil dtctr cirts infrncis q no condcn l constrcción d n prb; n concrto, qlls infrncis q prodcn fórmls ml constrids Por jmplo, l rgl d xpnsión d los tblx plicd Vxsy(yS), dond x~ indic q l vribl x tin génro s, db introdcir n l rm l fórml y(t), pr clqir término t dl q podmos sgrr sintácticmnt q tin génro s, disminyndo sí l indtrminismo inhrnt dich rgl d xpnsión Est id pd xtndrs otros métodos ddctivos n los q l nificción tin n ppl rlvnt, como s l cso d l rsolción o los tblx con vribls librs En sos csos, ls sstitcions dbn sr corrcts n l sntido d q dbn rsptr l génro d cd vribl sstitid En l mndo d l rsolción, los génros son cptdos como n mcnismo dcdo pr incrmntr l ficinci [Wlt 87], [SS 89), [BHPSS 92], [Cohn 92], [Wid 93]; sin mbrgo, pr los tblx, sólo conocmos los trbjos d Schmitt y Wrnck [5W 89] y Widnbch [Wid 95] Gogn y Msgr stdin ls lógics con génros, pro n n mrco más bstrcto [GM 92] Por otr prt, l so d génros spon n incrmnto dl podr xprsivo d l lógic Por incrmnto dl podr xprsivo no dbmos ntndr q los génros prmitn xl)rsr concptos q nts stbn formlmnt fr dl lcnc d l lógic (como s l cso d l lógic d prdicdos, q xtind l d proposicions), sino q rslt más sncillo xprsr cirtos concptos (dándos n rlción similr l q s d ntr los lngjs d lto nivl y l código máqin) D hcho, los génros ctún como prdicdos nrios y s posibl probr rsltdos q sgrn l qivlnci xprsiv ntr lógics d primr ordn con y sin génros Sin mbrgo, l importnci d st qivlnci s mrmnt tóric, ddo q ls xprsions q rsltn cndo trnsformmos otrs q sí considrn génros, son mchos más compljs y, por nd, mnos lgibls y ls prbs involcrds más difícils d tomtizr No tods ls lógics htrogéns ctlmnt disñds incorporn los génros dl mismo modo Pr hcrlo s importnt consgir n combinción dcd ntr los

15 12 1 Introdcción sigints dos lmntos: L informción txonómic rltiv los génros, tls como ls jrrqís ntr los rnísmos y ls dclrcions (l los símbolos d fnción y prdicdo Los citos (lininicos dl lngj s dcir, ls fórmls D st intgrción dpndrá l podr xprsivo d l lógic y l ficci d los mcnismos d infrnci Anq xistn otros nfoqs mixtos, ls dos grnds tndncis sgids n l intgrción d los génros difirn n l modo d mnjr l informción txonómic Trdicionlmnt, l informción sobr los génros s fij d form státic n l signtr En st sntido, los génros s prcn los tipos n progrmción convncionl; d hcho, comprtn los mismos problms d n lngj d progrmción frtmnt tipdo, como s l cso d Pscl n l q l noción d polimorfismo rslt inccsibl Por otro ldo, cirts pliccions n l ár dl procsminto dl lngj ntrl y d l rprsntción dl conociminto n ingnirí dl softwr, indicn q rslt intrsnt xtrr l informción rltiv los génros d los propios dtos [Hr-+-86] Así prcn ls lógics q mnjn los génros d form dinámic Podmos trtr l rlción d sbgénro, y por tnto dfinir l jrrqí d génros, d form dinámic [GLMN 96], o inclso llgr incorporr ls dclrcions d ls oprcions dntro d ls xprsions dl lngj Con st id, Widnbch [Wid 91] introdjo ls lógics con dclrcions d términos como qlls n ls q l informción rltiv los génros coxist con ls xprsions dl lngj; y llo mdint l constrctor t c s, q xprs q l término t tin génro s L principl vntj dl nfoq dinámico, y por tnto d ls dclrcions d términos sobr l stático consist n l incrmnto dl podr xprsivo: podmos rzonr sobr ls propidds d los génros l nivl mismo d ls fórmls; por jmplo, podmos condicionr nstros dtos bjo cirts sposicions sobr l comportminto d los génros D st form, l signtr no dpnd d ls sntncis sobr ls q trbj nstro sistm d infrnci Admás, dsd l pnto d vist d los tblx, podmos disponr d n jrrqí d génros distint por cd rm dl tbl Prórdns monótonos El rzonminto sobr dtrminds torís s n técnic importnt pr lcr- mntr l ficci d los sistms d dmostrción tomátic En concrto, podmos provchr ls pcliridds spcífics d n dominio dtrmindo (o torí) l hor d disñr sistms d infrnci q rzonn sobr dicho dominio Por otr prt, ls m pliccions rls n l cmpo d l intlignci rtificil tñn dominios bin dfinidos, por lo q l stdio d sts técnics tin n lto vlor L torí q dsd simpr h dsprtdo más intrés s l indcid por l igldd m L igldd sirv, por jmplo, pr vrificr l softwr involcrdo n l spcificción

16 13 (l tipos bstrctos d dtos y pr plntr otros problms mtmáticos implicdos n cirts torís lgbrics como ls torís AC, ls cí grpos, tc El mnto d l xprsividd q s prodc l incorporr l igldd n lin lógic s d sobr conocido, pro tmbién s sbido q st incorporción spon n mnto considrbl (lí spcio d búsqd d los sistms d infrnci compltos En l lógic d primr ordn, l igldd no pd crctrizrs mdint n conjnto finito d xioms, y s ncsrio disñr técnics spcífics pr intgrrl n los sistms d ddcción si no qrmos nfrntrnos con n conjnto infinito No obstnt, no bst con crr rgls d infrnci pr st prdicdo q rcojn implícitmnt ss propidds, sino q hy q dsrrollr strtgis d control q rdzcn l mplio spcio d búsqd q sts rgls sln prodcir Existn sistms d infrnci q considrn l igldd, pr l myorí d los prdigms conocidos n dmostrción tomátic (pdn consltrs los compndios [BFP 92], [Frb 94] y [Bm 98]) Por jmplo, pr rsolción tnmos ls poplrs rgls d prmodlción y sprposición, más tods ls vrints q conllvn [Rsi 91], [BGLS 92], [NR 92], [BGLS 95] El so d los métodos d tblx pr rzonr sobr dominios concrtos, y por tnto sobr l igldd, rslt intrsnt porq podmos sprr l compljidd propi d l lógic d primr ordn, d l corrspondint l torí n cstión Un d ls proximcions más stdids l hor d incorporr l igldd n los tnétodos d tblx con vribls librs, consist n dividir l constrcción dl tbl n dos tps: 1 L tp d xpnsión, q no considr ls pcliridds d l igldd, sino sólo l significdo d los conctivos y cntificdors d primr ordn 2 L tp d cirr, n l q smos ls crctrístics propis d l igldd pr instncir ls vribls y consgir l cirr d ls rms D ls dos tps ntriors, sólo l tp 2 considr ls propidds spcífics d l igldd, por lo q hmos sprdo l compljidd inhrnt l igldd d l dl rsto d l lógic Dsd l invnción d st técnic, q implic l rsolción d problms d E-nificción rigid, hn prcido grn númro d pbliccions sobr l trn [GRS 87], [CNPS 90], [Bm 92], [BH 92] Algnos d stos rtíclos stbn bsdos n l conjtr d q l E-nificción rígid simltán r dcidibl; sin mbrgo, Dgtyrv y Voronkov probron n 1995 q st problm r n rlidd indcidibl [DV 96] Admás d st técnic, s hn sdo otrs pr intgrr l igldd n los métodos d tblx: L trnsformción prvi dl conjnto d sntncis inicil b n otro b d form q l stisfctibilidd n n modlo con igldd d 1 qivlg l stisfctibilidd d t n clqir modlo (sin igldd) [Brd 75] El so d rfinmímntos bsdos n l prmodlción, como l sprposición básic rígid [DV 94], [DV 98] En st último rtíclo, Dgtyrv y Voronkov prbn q bst n cálclo trminnt, pro no complto, pr l E-nificción rígid simltán, l hor d disñr n método d tblx corrcto y complto

17 S m 14 1 Introdcción L técnic d míns-normnliztion [Wng 60] [Kng 63], [Mtii 63], [Msí 67] q pd ntndrs tmbién como n cálclo incomplto pr l E-ííificción rígid simltán, pro q intgrdo n los tblx prodc n método complto Est tcnmc consist n strr l plicción d l rgl d xpnsión introdcindo todos los términos básicos q y prcin n l tbl Dd s inficinci, s vlor s sólo tórico Algns invstigcions rcints hn sñldo l ncsidd d xtndr l stdio d l igldd l d otrs rlcions trnsitivs (no simétrics) Est s l cso, por jmplo d CLP [JM 94], dond l rsolción d rstriccions s ñd l progrmción lógic Ls torís prordnds tmbién s tilizn n l ár d ls álgbrs d procsos [mv 94] como n hrrmint útil l hor d stblcr rlcions ntr ls distints dscripcions dl sistm, y n concrto s hn sdo pr spcificcions prcils [Wlk 90] y divrgncis ntr modlos [AH 92] En l cmpo d l dmostrción tomátic, st sitción y h propicido l dsrrolío d dmostrdors con rgls spcifics pr l rlción q s stdi Est lín s sig por jmplo n [BKS 85] y [Hins 92] y, niás rcintmnt, n [LA 93], [Lvy 94], [BG 94], [BG 95] y [LA 96] plicndo técnics d rscritr q vitn l cálclo dl cirr trnsitivo d l torí Ests y otrs proximcions stán bsds n l rsolcion corno método d infrnci En st tsis stdimos, por primr vz, l intgrción d los prórdns (rlcions binris trnsitivs y rflxivs) n los métodos d tblx y smos técnics d rscritr pr rstringir l spcio d búsqd Tmbién xtndmos los prórdns pr considrr monotoní, ocpándonos dl disño d técnics spcilizds Como vrmos, l flt d simtrí spon n nvo problm cndo prmitimos l so d vribls nolinls (qlls q prcn rptids), y q dbmos divinr cirtos contxtos Al igl q ocrr con l igldd [Brnd 75], probmos q los, por otr prt, inficints xioms d rflxividd fncionl, q crctrizn l igldd como n rlción <l congrnci, son liminbls Estrctr d l tsis Primro introdcimos ls principls nocions d l lógic d prdicdos y d ss métodos d tblx hbitls, n l Cpítlo 2 En l Cpitlo 3 xtndmos st lógic con todos los ingrdints dsdos: génros dinámicos, dominios prordndos y opr- cions monótons y ntimonótons Sin mbrgo, los génros dinámicos no provchn todo l podr xprsivo d ls dclrcions d términos, psto q sólo xprsn l rlción d sbgénro dinámicmnt Por otr prt, los mcnismos d infrnci disñdos pr mnjr los prórdns y l (nti)mnonotoni n los métodos d tblx corrspondints rsltn inficints dbido q sn xioms d rfixividd fncionl Es por llo q n los cpítlos sigints spcilizmos nstros métodos d tblx n mbs dirccions En l Cpítlo 4 stdimos l incorporción d ls dclrcions d términos y disñmos cálclos d nificción tipd corrctos, compltos y trminnts S

18 15 Fiíílrnnt, n l Cpítlo 5 nos cntrmos n l stdio d los prórdns monótonos y prsntmos cálclos d nificción prordnd y monóton, corrctos y compltos, pro (Inc solo son trminnts cndo no considrrnos monotoní

19 16 1 Introdcción

20 Cpítlo 2 Métodos d tblx pr l lógic d primr ordn En st cpítlo introdcimos, n primr lgr, l lógic d primr ordn (LPQ), sin dd l más sd y stdid ntr tods ls conocids Como clqir lógic, LPO stá dtrmind por n lngj y s smántic L sintxis dl lngj spcific l conjnto d xprsions grmticlmnt corrcts, constrids prtir d n conjto d símbolos fl, q rprsnt l lfbto dl lngj L sniántic, n cmbio, s ncrg d dotr d significdo dichs xprsions Prsntmos rsltdos sobrdmnt conocidos q rlcionn sintxis y smántic n LPO; rsltdos q srán frcntmnt citdos n los sigints cpítlos Dspés d sto introdcimos los tblx smánticos como mcnismo d dmostrción toniátic tilizdo lo lrgo st trbjo S trt d n método rftcionl dl q prsntmos ss vrsions básic y con vribls librs pr LPO, sí como rfrncis los rsltdos d s corrcción y compltitd 21 Sintxis Los símbolos prmitidos n tpo son d dos tipos: 1 Símbolos lógicos con n significdo prdfinido -como los conctivos ma y l cntificdor B- y n conjnto nmrbl d vribls X {xí,r2, 2 Un signtr o lfbto S q const d conjntos finitos d símbolos d constnt C {,b,c,}, d fnción Y {f,g,} y d prdicdo 7 {P,Q,} Cd no d stos símbolos llv n númro socido q dnot s ndd; ls fncions d ndd O rprsntn n rlidd constnts Con stos símbolos podmos constrir términos y fórmls como sig Dfinición 211 El conjnto T(fl, X) d S-términos s dfin mdint ls sigints rgls d formción:

21 18 2 Métodos d tblx pr l lógic d primr ordn <E A ) < C) J f(t 4~) (1 - d ndd n; ¼c T(E A )) El conjnto F(E, X) d E-fórmls s dfin mdint s sigints rgls d forni cion: y :: P(ti,,t,,) (F d ndd n;t~ E T(EX)) [- y ya y ] ry Un fóml tómic o átomo s n E-fórml dl tipo P( ) Llmmos litrl n fórml tómic o s ngción En lo q sig, tilizrmos ls brvitrs Vry, y y y, y * y n lgr d ls E-fórmls - Bx(--~y), -<- y A -ny ) y -nyv y rspctivmnt Pr rfrirnos posicions concrts dntro d n término srmos l sigint notción Dfinición 212 Ddo n término t, Fos(t) dnot l conjnto d posicions d t dfinido rcrsivmnt por: S Pos) ),~ J (4 si t s n vribl o constnt {r} U {ip p Pos(t 1), 1 < z < n} si t s f(tí,, tq Dos posicions s comprn dicindo q p q, si xist n posición r tl q pr q, dond s l oprción d conctnción d scncis; n st cso q p dnotrán Dd p c Pos(t), ti,, rprsntrá l sbtérmino d t n l posición p, y t[t ]~ l rsltdo d sstitir t~ por t n t Posicions, sbtérminos y rmplzmintos pdn sr xtndidos d form ntrl litrls A continción introdcimos l notción corrspondint l prición d vribls n n término o fórml Dfinición vr(t) dnot l conjnto d vribls q prcn n n término t Un término t s básico si vr(t) 0 Rprsntmos l conjnto d términos básicos mdint 22(E) 2 Un vribl stá ligd n n fórml y si stá fctd por n cntificdor con l mismo nombr d vribl En cso contrrio, dcimos q l vribl prc libr vr(y) dnot l conjnto d vribls librs q tin l fórml y Un fórml y s n sntnci si vr(y) 0 Rprsntmos l conjnto d sntncis mdint F(E) D form ntrl, xtndmos l notción vr() conjntos d términos y d fórmls

22 22 Sstitcions y nificción Sstitcions y nificción Ls vribls librs d ls fórmls pdn rmplzrs por términos más compljos Dfinición 221 Dd n signtr E n sstitción 6 s n plicción dl conjnto d vribls A n l conjnto d términos T(E, A ): O : A > T(E, X) El dominio d n sstitción 6 vin ddo por dom(o) {x X~O(x) # s Dcimos q n sstitción s básic si 6(x) s básico, pr tod vribl x dom(o) Sponrnos q l dominio d n sstitción O s simpr finito dom(o) {íí y rprsntmos O como: O [tj/ít,, t~/í~] dond t~ s l imgn mdint 6 d i~ El rngo d n sstitción O vin ddo por: rn(o) {6(x) x E dom(6)} El codominio d n sstitción O s dfin como: codom(o) vr(rn(6)) L sstitción idntidd id s qll q tin dominio vcío L plicción d n sstitción pd xtndrs fácilmnt clqir término; n fcto, sndo l notción to n lgr d 0(t) tnmos: 1 ío 0(x), pr clqir vribl í E A 2 f(t 1,, t,~)6 f(t10,, t,~6), pr clqir símbolo d fnción f Y d ndd n Tmbién podmos xtndr l cción d n sstitción sobr fórmls, nq sin sstitir ls vribls ligds y no prmitindo l cptr d ls nvs vribls introdcids Es dcir: 1 P(t1,, t~j6 P(tiO,, t,~6), pr clqir símbolo d prdicdo P E 7 d ndd 2 Si y,4 F(E, A ) ntoncs (- y)6 - (yo) y (y A 4 )6 yo A Si y F(E, A ) ntoncs (Bxy)O By((y[y/x])6), dond y s n vribl nv q no prc n y tl q y «dom(o) y ~ codom(6)

23 20 2 Métodos d tbtx pr l lógic d primr ordn Dfinición 222 Dd n sstitción O y n conjnto d vribls V C A, l sstilción O rstringid V, scrito O~ y, s dfin como: 0(x) notrocso Dfinición 223 L composición d dos sstitcions O y s otr sstztción q scribimos Oc y q dfinimos por xo ojo(x)), pr tod vribl x E A Dfinición 224 Un sstitción O s idmpotnt cndo 00 O Podmos comprr sstitcions ntr sí stdindo si tin d lls s n cso prticlr d l otr, n l sigint sntido Dfinición 225 Un sstitción O s más gnrl q otr si xist n trcr sstitción r tl q 0v Dfinición 226 Dos térm nos st E 22(2, A ) son nificbls si xist n sstitción O tl q so 10 En tl cso dcimos q O s n nificdor d l cción s 1 L dfinición d nificdor d n cción formd por términos pd xtndrs d form ntrl átomos y conjntos d ccions d términos o átomos D ntr todos los nificdors d n cción ntr términos, qizá infinitos, sólo nos intrsn los más sncillos, n l sntido q s prcis contincion 4 S Dfinición 227 Un nificdor O d dos términos s, t s d máxim gnrlidd {mg) si pr clqir nificdor d s, t s vrific Oc D ntr tods ls difrnts dfinicions corspondints l noción d nificdor d máxim gnrlidd, l dfinición q nosotros mnjmos concrd con l d nificdor cnónico dbid Robinson [Rob 65] Obsérvs q con ést podmos sgrr ls sigints propidds lm 228 S O n nificdor d máxim gnrlidd d los términos s y 1, ntoncs s vrific: 1 0 s más gnrl q clqir otro nificdor 2 6 s idmpotnt 3 dom(o) C vr(s) vr(t) 4 codom(o) C vr(s) U vr(t)

24 23 Smántic 21 Dmostrción (1) y (2) s ddcn trivilmnt prtir d l dfinición d nificdor d máxim gnrlidd Pr (3), spongmos q xist x c dom(o) tl q x ~ vr(s) U vor(t) Entoncs l sstitción w q s comport como O xcpto q x ~ dom (i-) nific t y s, pro no vrific Oir ir, contr lo spsto En fcto, si Oir ir ntoncs xow xi- x; s dcir, xist n vribl y # x tl q xo y y yw x Pro ntoncs y E dom(o) yo yw, por lo q obtnmos contrdicción y q y xo yoo (porq x yw yo) yo (por (2)) pr Pr (4), spongmos q xist x c codom(o) tl q x ~ vr(s) U vr(t), por tnto x ~ dom(o) por (3) Entoncs xist ye vr(s) Uvr(t) tl q x E vr(yo) Sin pérdid d gnrlidd spongmos q yo [x]p, pr lgún término con n posición p Sn v1,v 2 dos vribls nvs distints y iv l sstitción con dom(ir) dom(o) U {x} dfinid por: ir( z) f zo[vi/x] y2 si z E dom(o) zx Entoncs ir nific s,t, y q sir so[v±/xj to[v j/x] Lv En conscnci, como O nificdor d máxim gnrlidd, obtnmos q Oir ir, lo q rslt flso En fcto, pon ([x]~)iv (ir)[v]p # ([vi/x])[vi]~ yo[vi x] yir L nificción sintáctic, sto s l problm corrspondint dtrminr si dos términos son nificbls, s dcidibl En 1965, Robinson disñó n lgoritmo [Rob 65] q prmit dcidir si dos términos ddos son nificbis o no, y n cso d srio cicl n mg, q dmás s único slvo rnombrminto [LMM 86] 23 Smántic Pr intrprtr términos y fórmls n n contxto dtrmindo srnos E-strctrs os Dfinición 231 Un E-strctr V s n tripl compsto por: 1 Un dominio no vcío D 2 Un conjnto d intrprtcions d los símbolos d constnt gv E Dic E C} 3 Un conjnto d intrprtcions d los símbolos d fnción Y~ {fv : D~ * Dj c Y d ndd n} 4 Un conjnto d intrprtcions d los símbolos d prdicdo ~ : D~ ~ {f,t}ip E 7 d ndd ]> Un E-strctr nos prmit intrprtr términos básicos y sntncis Pr mnjr vribls librs smos vlorcions Dfinición 232 Un vlorción p pr l E-strctr V s n plicción p : A * D Ddo d E D, p[d/x] dnot l vlorción q coindic con p n tods ls vribls, xcpto n x dond vl p[d/x](x) d

25 2 Métodos d tblx pr l lógic d primr rdn 22 El pr formdo por imn E-strctr y n vlorción s l contxto dond intrprtmos términos y fórmls Dfinición 233 Un E-intrprtción s n pr <D,p> dond D s n E-strctr y p s n vlorción pr D Dfinición 234 El vlor smántico d n E-término t n n E-intrprtción (D, p> s n lmnto ~ti~e D 2 [f(ti,, t,,)j~ ndd dfinido por indcción strctrl sobr t como: ~ fv(iti?,, pr clqir símbolo d fnción f E Y d, Dfinición 235 El vlor vrittivo d n E-fórml y n n E-intrprtción <D, p> s n vlor boolno [yj~ E U t} dfinido por: 2 Si y,4 E F(E, A ) ntoncs ~ y~ 3 Si ~ E F(E, A ) ntoncs [BJV { not [y~ Í y [y A 4 I? ~y~7 nd [4* si xist d c D tl q ~ n otro cso t Dfinición 236 Dcimos q n fórml y E 22(2 A ) s stis/ctibi n n E- # intrprtción $, p>, scrzto <7, p> y, si ~y]~ t Un fórml y s stisfctibí si xist n E-intrprtción p> tl q <7, y En cso contrrio, dcimos q y sinstisfctibi Dcimos q n E-strctr 7 s modlo d n fórml y scrito 7 ysi pr tod vlorción p pr V s tin <7, y Dcimos q n fórml s cirt si tin n modlo Un fórml y s válid si clqir E-strctr s modlo d y 0 0 0h < Ls iitriors dfinicions pdn xtndrsc d form ntrl n conjnto fimito d fórmls ~; sto s, ntndindo ~ como l conjnción d ss fórmls Obsérvs q si trbjmos sobr sntncis tnr n modlo s qivlnt sr stisfctibl Hrmos so d st hcho rptids vcs lo lrgo dl trbjo Gnrlmnt, n dmostrción tomnátic, stmos intrsdos n probr l vlidz VS U d n fórml y El sigint lm (cfr [EFT 94] pr s dmostrción) nos prmit trnsformr l problm y psr procprnos nicmnt d l instisfctibilidd d srmtncis U Lm 237 Dd n signtr E y n fórml y E F(E, A ), ntoncs: Ls oprcions nol, nd ntr los vlors smánticos t f corrspondn ls tbls vrittivs clásics pr los conctivos -m, A

26 23 23 Smántic 1 Pr clqir E-intrprtción <7, 0tnrnos: <7, 0h y si y sólo si <7, p> ~ y 2 y s válid si y sólo si - y s instisfctibl 19 Si y, y E ~ ntoncs ~ s instisfctibl 4 y s válid si y sólo si Vx 1 ~my s válid, dond vr(y) {xi,, x4 Dfinición 238 Dcimos q n fórml y E F(E,X) s conscnci lógic d n conjnto d fórmls ~ G F(E, A ), scrito ~ y, si pr tod E-strctr 7 tl q 7 ~ ~, s vrific 7 ~ y Si b y y son sntncis, rslt obvio q b h y si y sólo si l conjnto ~ U {-my} s instisfctibl Sin mbrgo, st rsltdo no s cirto n prsnci d vribls librs, porq l dfinición ntrior ls considr nivrslmnt cntificds Por jmplo, si {P(x)} y y P(y) ntoncs obvimnt I y, pro ~U{- y} s stisfctibl Ddo q lgnos métodos d tblx rzonn con vribls librs, rslt intrsnt consgir q st propidd, q rlcion los concptos smánticos d conscnci lógic y stisfctibilidd, rslt cirt Pr llo, considrrmos ls vribls d vr(~ U {y}) xistncilmnt cntificds, s dcir, ls vribls librs dnotn n único lmnto rbitrrio Así dfinimos l noción d conscnci lógic rígid corno sig h Dfinición 239 Dcimos q n fórml y E F(E, A ) s conscnci lógic rígid d n conjnto d fórmls P C F(E, A ), scrito ~ ms tisf ti bl y, si l conjnto b Los sigints lms stblcn propidds clásics d {- y} s LPO q rsltn crcils l hor d probr l corrcción y compltitd d los métodos d tblx q stdirmos dspés Ss dmostrcions pdn ncontrrs n [EFT 94] Lm 2310 (Sstitción) Dd n signtr E, n E-intrprtción <7,p> y n término t c T(E, A ), s tin: 1 Pr clqir término t E T(E,A ), ~t[t /x]j~ 2 Pr clqir fórml y E F(E, A ), ~y[t x]]~ lm 2311 (Coincidnci) Dd n signtr E: 1 Si t E T(E, A ) (rsp y E F(E, A )) y 7 y 7 son dos E-strctrs q coincidn n l dominio y n clqir intrprtción d los símbolos q prcn n t (rsp y) ntoncs ~ti? ~tj~ (rsp ~yj~ ), pr tod vlorción p pr 7 ~~]? 2 Si t E T(E, A ) (rsp y E F(E, A )) y p y son dos vlorcions pr n Estrctr 7 q coincidn n vr(t) (rsp vr(y)) ntoncs [tj~ ~t]~ (rsp [y]~ [y~?)

27 24 2 Métodos d tblx pr l lógic d primr ordn 24 Tblx smánticos pr LPO Como y hmos mnciondo n l cpítlo ntrior, l método d los tblx f intro dcido por E XV Bth [Bth 55] y K 1 Hintikk [Hint 55] n los ños 50 nq l vrsion más popi dr s <jb R Srnllyn [Sml 68] qin introdtijo l lgnt not(:ión q hoy conocmos Existn distints vrsions d tblx pr LEO d ntr ls q prsntrmos los métodos stándr d tblx básicos y d vribls librs Un tbl pr n conjnto d fórmls s n árbol, con fórmls n ss nodos, q crc y s rmific mdint l plicción d ns rgls d xpnsión q dpndn dl tipo d ls fórmls q tiqtn ss nodos Atndindo dicho tipo, Smllyn dividió l conjnto d fórmls F(E, A ) n cinco clss: 1 Fórmls dl tipo Alf Son ls conjntivs ym A 932 y ls doblmnt ngds - y 2 Fórmls dl tipo Bt Son ls disyntivs - (yj A 932) 3 Fórmls dl tipo Gmm Son ls nivrslmnt cntificds - ]xy 4 Fórmls dl tipo Dlt Son ls xistncilmnt cntificds Rxy 5 Litrls Obsérvs q st clsificción d ls fórmls rprsnt n prtición dl conjnto (E, A ) 241 Tblx básicos Spongmos q hmos mplido l signtr dl lngj E con n conjnto infinito d constnts (d Skolm) xilirs, y q rprsntrnos tl xtnsión como 2 Pr cd n d ls ntriors clss d fórmls -xcpto l d los litrls- xist n rgl q xpnd l tbl sgún l cráctr lógico d ést: 1 Rgl Añdimos no o dos nvos nodos l rm dond s ncntr l fórml Alf Esqmáticmnt: y1ay2, - - y Rgl 3 Bifrcmos l rm dond s ncntr l fórml Bt ñdindo n nvo nodo n cd nv rm: - (y~ A y~) - yí

28 241 Tblx básicos 25 3 Rgl y Añdimos n nvo nodo l rm dond s ncntr l fórml Gmm, sstityndo l vribl nivrslmnt cntificd por n término básico clqir E 22(E): nbxy - y[t/x] 4 Rgl 5 Añdimos n nvo nodo l rm dond s ncntr l fórml Dlt sstityndo l vribl xistncilmnt cntificd por n constnt d Skolm q no przc n l rm: 3xy y[c/x] Dfinición 241 Un scnci d tblx pr n conjnto finito no vcío 4 d Esntncis s clqir scnci Fo, T1, T2 dond: 1 Fo s n árbol linl con n sól rm con tntos nodos como sntncis tin 4 Admás stos nodos stán tiqtdos con ls sntncis d 4 2 7j~ provin d Tk mdint l plicción d lgn d ls rgls d xpnsión, 3, y y 5 sobr los nodos d ss rms Un tbl infinito pr n conjnto 4 d E-sntncis s dfin como l límit d lgn scnz d tblx Sgún ls rgls d xpnsión, cd rm d n tbl pd vrs como l conjnción d tods ls sntncis q tiqtn ss nodos, y l tbl ntro, como l disynción d tods ss rms Dsd l pnto d vist smántico, n scnci d tblx básicos pr 4 rprsnt n búsqd sistmátic d n modlo pr 4 A cd rm d stos tblx ls corrspond n posibl modlo prcil n l q ls fórmls d l rm s hcn cirts Cd vz q s plic n rgl sobr n nodo d n rm, dmos n pso más n l constrcción d n modlo pr dich rm Obvimnt, cndo n n rm prcn n pr d nodos tiqtdos con fórmls complmntris (y y - y), l conjnto d fórmls d dich rm srá instisfctibl Dich complmntridd pd rstringirs fórmls tómics Dfinición 242 Dcimos q n rm B n n tbl stá crrd, y ntoncs no s prolong ni bifrc más, cndo s dtct n contrdicción tómic ntr ss tiqts Esto signific q xistn n B dos fórmls y y - y, sindo mbs tómics En otro cso B stá birt Un tbl básico stá crrdo si tods ss rms stán crrds L corrcción y l compltitd dl método d tblx básicos qd stblcid por l sigint rsltdo

29 26 2 Métodos d tblx pr l lógic d primr ordn Torm 243 (Corrcción y Compltitd) {fltt 961 Pr todo conjnto finito 4 d E-sntncis, 4 tin n tbí crrdo si y sólo si 4 s instisfctibl Obsérvs q nq st torm sólo hc rfrnci l instisfctibilidd d ls smítncis, ésto mio s n problmn por l Lm 217 En st smiti(lo (lcinios q l método d tblx s n sistm d rftción y q stdi l instisfctibilidd d l smitncí - y n lgr d l vlidz d y En cnto l ficci dl método, si 4 s stisfctibl y dmás contin lgn siíbfórml dl tipo y, l procso d xpnsión pd no cbr nnc -por st rzón s dic q l sistm d tblx básicos s prcilmnt dcidibl pr LPO Por otr prt, l implmnntción q smos db sr, n torí, cpz d ncontrr mí xpnsión crrd pr 4 simpr q 4 s instisfctibl -lo q s conoc como strtgi d xpnsión jst [Fitt 96] En st sntido, inclso ls implmntcions jsts d tblx básicos no son dl todo complts, y q l trbjr d form finit s posibl q no llgn lcnzr n xpnsión crrd por limitcions físics d spcio o timpo 242 Tblx con vribls librs A continción prsntmos n método d tblx con vribls librs pr LPO n l q ls fórmls d cls Gmm introdcn vribls librs, n lgr d términos básicos Ests vribls son instncids l hor d crrr n rm, sndo lgún lgoritmo d nificción sintáctic, El sistm d tblx con vribls librs stá compsto por ls ntriors rgls cv, 3 y por ls nvs y,3 Pr 3, spondrmos dmás q l signtr xtndid E tmbién contin infinitos símbolos d fnción d Skolm, pr clqir ndd, 1 Rgl y Añdimos n nvo nodo l rm dond s micntr l fórml Gmm, sstityndo l vribl nivrslmnt cntificd por n vribl libr y, nv n l tbl: - Bxy - y[y/x] 2 Rgl 3 Añdimos n nvo nodo l rm dond s ncntr l fórml Dlt, sstityndo l vribl xistncilmnt cntificd por l término f(xj,,x~), dond f s n símbolo d Skolm, nvo n l tbl, y ls vribls xj, son,, ls vribls librs q prcn n l rm: si Bxy y[f(xs r)/x] Dfinición 244 (Cirr d máxim gnrlidd) Un tbl con vribls librs F y rms Bm,,Bk stá crrdo si xist n conjnto nificbl d ccions d átomos fyi 4 i,,yk 4 ~}, dond y~ y - 4 ~ son dos litrls q prcn n B~, 1 < < k

30 Tblx con vribls bbrs Obsérvs q, n l ntrior dfinición, hblmos d n conjnto n vz d n mlticonjnto Esto s sí porq sponmos q hmos limindo ls rdndncis q drivn d (1lls clm(:lons rptids Est prcisión tñ ls rgls d cirr q prcn lo lrgo dl trbjo L corrcción y compltitd dl método d tblx con vribls librs s stblc como sig Torm 245 (Corrcción y Compltitd) Pr todo conjnto finito 4 d E-sntncis, 4 tin n tbl con vribls librs crrdo si y sólo si 4 s instisfctibl L prb d st tormn pd ncontrrs n [Fitt 96] No obstnt, comntmos q l dmostrción <l l compltitd s bs n n lm q lv clqir tbl básico crrdo otro con vribls librs crrdo Como scdí con los tblx básicos, l método con vribls librs s n sistm d rftción prcilmnt dcidibl Sin mnbrgo, l sistm con vribls librs no introdc términos básicos ltorimnt cndo plic l rgl y, sino q s vribls librs q son instncids postriori Existn vris mjors q prsrvn l corrcción y l compltitd dl método d tblx con vribls librs Por jmplo, Háhnl y Schmitt [HS 94] rstringiron l conjnto d vribls librs involcrds n l rgl 5 Así s rgl ó~ sstity l vribl xistncilmnt cntificd xpor l término f(xm, x,, dond ls vribls1, son únicmnnt ls vribls librs q prcn n ]xy,, Ejmplo 246 Dmostrmos q si hy n hombr n l cidd q fit todos los q no s fitn sí mismos, ntoncs xist n hombr n l cidd q s fit sí mismo Formlizndo l rlción x fit y mdint A(x,y), s trt d probr l sigint conscnci lógic: {(4 )BxVy(- A(y, y) A(x, y))} )BxA(x, x) ~ h (~ Usmos l tbl básico d l Figr 21 pr dmostrr q l conjnto {4, - y} s instisfctibl Tmbién podmos sr l sistm con vribls librs pr constrir l tbl crrdo d l Figr 22 Obsérvs q st tbln stá crrdo sin más q plicr l sstitción O [c/x,c/y] q corrspond l mg dl conjnto d ccions {A(x,x) A(y, y), A(x, x) A(c, v)}

31 28 2 Métodos d tblx pr l lógic d primr ordn 1: BxVy(-m4(g,y) Á(x,y)) * 2: mbx4(rx) l 3: Vg(- A(yy) A(c,y)) * y2 3: - A(c,c) y 3 4: - ~4(, c) 4 t, ) 94 5: - A(c,c) 6: A(c,c) o S 7: -4(c,c) Figr 21: Expnsión pr 1: BxVy( A(y,y) {4, - y} A(x,y)) + 2: - BxA(x,x) l 3: Vy(- A(y, y) *, A(c, y)) y2 mi 3: - A(x,x) 4: - A(y, y) * y3 A(c, y) 34 o: 6: A(c,y) cx5 7: A(y,y) Figr 22: Expnsión pr f 4, - y},,

32 Cpítlo 3 A Prórdns y gnros dinámicos En st cpítlo prsntnmos n lógic spcilmnt disñd pr prmitir l rzonminto con prórdns y génros ordndos, n l q ls fncions y los prdicdos s comportn d form monóton o ntimonóton n ss rgmntos y dond l informción sobr l rlción ntr génros stá incorpord xplícitmnt n l sintxis dl lngj Pr st lógic proponmos dos métodos ddctivos bsdos n tblx, no básico y otro con vribls librs, d los cls probrmos s corrcción y compltitd Al finl dl cpítlo s sbozn ls bss d n implmntción dl núclo dl método con vribls librs, bsd n progrmción lógic 31 Introdcción El stdio d métodos ficints pr l trtminto d l igldd s h considrdo trdicionlmnt n importnt lín d trbjo n difrnts árs d l informátic tóric No obstnt, lgns invstigcions rcints hn mostrdo l ncsidd d xtndr st stdio rlcions trnsitivs distints d ls d qivlnci o d l igldd, n prticlr Est s l cso, por jmplo, d CLP [JM 94], dond l rsolción d rstriccions s ñd l progrmción lógic En l cmpo d l ddcción tomátic, st sitción h propicido l dsrrollo d dmostrdors tómticos con rgls spcífics q crctrizn l rlción q s stdi Est lín f sgid por jmplo n [BKS 85] y [Hins 92] y, más rcintmnt, n [LA 93], [Lvy 94], [BG 94], [flo 95] y [LA 96], plicndo técnics bsds n rscritr Ests y otrs proximcions stán bsds n rsolción como método rftcionl d prb Por otr prt, l so d génros pd srvir d grn yd pr proximr l progrmción l mndo rl y, n prticlr, l so d génros ordndos sirv pr incorporr, d n modo simpl y lgnt, fncions prcils, rprsntción múltipl y constrctors y slctors n dtos strctrdos [CM 92) En dmostrción tomátic, dmás d lo dicho, l so d génros conlív n rdcción significtiv dl spcio d búsqd Cndo s rzon dntro d n jrrqí d génros ordndos, s hbitl mntnr l informción d los génros sprd d los dtos En st sntido, s dic q st