MAE. MA. DE JESÚS ÁLVAREZ TOSTADO URIBE ING. ALFONSO SAMUEL SOTENO TAHUILAN

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1 Autores: MAE.. MA.. DE JESÚS ÁLVAREZ TOSTADO URIIBE IING.. ALFONSO SAMUEL SOTENO TAHUIILAN

2 ÍNDICE TEMÁTICO PRESENTACIÓN 1 INTRODUCCIÓN 2 METODOLOGÍA 3 COMPETENCIAS A DESAROLLAR 3 CONCEPTOS BÁSICOS 4 DEFINICIÓN DE TRIÁNGULO 6 TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS 7 TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS 8 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 9 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA 11 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 13 UNIDADES ANGULARES 14 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 14 VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 15 SENTIDO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 17 APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA 24 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 27 TRIANGULOS OBLICUANGULOS 36 APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA 43 CÁLCULO DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS INACCESIBLES 43 ESTRATEGIA DE LA ALTURA 44 CÁLCULO DE LA ALTURA Y DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 45 FORMULARIO BÁSICO DE TRIGONOMETRÍA 54 Ejercicios 58 MAS EJEMPLOS 61 ACTIVIDADES DE METACOGNICIÓ 68 Bibliografia 69 1

3 PRESENTACIÓN La educación superior en México para su transformación institucional requiere un cambio de paradigma, recordando que una nueva visión traerá como consecuencia un cambio en la acción. La Universidad Autónoma del Estado der México debe estar al frente de estos cambios para hacer frente a las exigencias del medio social en el que se encuentra insertada, en forma operativa cada entidad llevan a cabo una serie de acciones para poder mejorar la calidad de la educación que imparte, así como de los servicios que lleva acabo, además de los mecanismos con que se da la difusión de la cultura. En lo referente a la calidad de la educación, en el Nivel Medio Superior se lleva a cabo la Reforma Integral de la Educación Media Superior en México (RIEMS) para lo cual contemplan una enseñanza centrada en el estudiantes mediante el uso de ambientes de aprendizaje adecuados a contextos novedosos donde el estudiante perciba la aplicación de su conocimiento. Los presentes apuntes respecto al Modulo I de la signatura de trigonometría sobre el tema de triángulos muestran una serie de consideraciones respecto a los conceptos básicos, bajo un proceso matemático paso a paso para propiciar en el estudiante su comprensión para la aplicación de su aprendizaje en situaciones reales. 1

4 INTRODUCCIÓN El objetivo de una gran parte de las matemáticas es el estudio de las relaciones que existen entre las variables, las cuales representan dimensiones y elementos de la realidad, asimismo se estructuran en modelos matemáticos expresados con "fórmulas" como una lista de ecuaciones en la mayoría de las veces para memorizar, dentro del enfoque por competencias esto no es lo más adecuado, por eso los diversos apoyos didácticos se hacen indispensables para complementar la explicación de profesor. Existen muchas ideas importantes en el estudio del álgebra y trigonometría, se utilizan en repetidas ocasiones y en diferentes contextos. Con el apoyo de este material didáctico el estudiante podrá ser capaces de aplicar dichos conceptos, ya que su metodología lleva paso a paso al desarrollo reflexivo de cada uno de los teoremas, leyes, y formulas, con un sentido de aplicación en contextos reales. Otro de los objetivos de estos apuntes es que el estudiante sea capaz de traducir un problema planteado en lenguaje común al disciplinar matemático. A lo largo de estos apuntes, se presentan formulas y modelos matemáticos, así como ejercicios y problemas para que el estudiante adquiera las competencias estipuladas en el perfil de egreso. 2

5 METODOLOGÍA Estrategia de enseñanza: lluvia de ideas y esquemas (reflexión y análisis sobre los dibujos representativos de los modelos matemáticos respecto a triángulos). Estrategia de aprendizaje: aprendizaje basado en situaciones. Método: inductivo y deductivo Técnica: participativa. Medios y recurso: libro de texto, apuntes respecto al tema, videos de apoyo, cañón y computadora. COMPETENCIAS A DESARROLLAR 3

6 CONCEPTOS BÁSICOS Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna. Trigonometría plana 4

7 El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB (figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones son de igual magnitud y en la misma dirección. Una unidad de medida angular se suele definir como la longitud del arco de circunferencia, como s en la figura 2, formado cuando los lados del ángulo central (con vértice en el centro del círculo) cortan a la circunferencia. Si el arco s (AB) es igual a un cuarto de la circunferencia total C, es decir, s = 3C, de manera que OA es perpendicular a OB, la unidad angular es el ángulo recto. Si s = 1C, de manera que los tres puntos A, O y B están todos en la misma línea recta, la unidad angular es el ángulo llano. Si s = 1/360 C, la unidad angular es un grado. Si s = YC, de manera que la longitud del arco es igual al radio del círculo, la unidad angular es un radián. Comparando el valor de C en las distintas unidades, se tiene que 1 ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180 grados = p radianes Cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor exactitud, se utiliza la parte decimal de los segundos. Las medidas en radianes menores que la unidad se expresan con decimales. El símbolo de grado es, el 5

8 de minuto es y el de segundos es ". Las medidas en radianes se expresan o con la abreviatura rad o sin ningún símbolo. Por tanto, ,14" = 1,073 rad = 1,073 Se sobreentiende que el último valor es en radianes. Un ángulo trigonométrico se designa por convenio con la letra griega theta (q). Si el ángulo q está dado en radianes, entonces se puede usar la fórmula s = rq para calcular la longitud del arco s; si q viene dado en grados, entonces: s = π.r. θ /180 DEFINICIÓN DE TRIÁNGULO El triángulo es un polígono de tres lados. El triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices. 6

9 Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos. Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas. Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices. TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS Triángulo equilátero Tres lados iguales. Triángulo isósceles Dos lados iguales. 7

10 Triángulo escaleno Tres lados desiguales. TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS Triángulo acutángulo Tres ángulos agudos Triángulo rectángulo Un ángulo recto El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos. 8

11 Triángulo obtusángulo Un ángulo obtuso. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Seno El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B. 9

12 Coseno El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B. Tangente La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo. Se denota por tg B. Cosecante La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B. Se denota por cosec B. 10

13 Secante La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B. Cotangente La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cotg B. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. QOP y TOS son triángulos semejantes. QOP y T'OS son triángulos semejantes. 11

14 El seno es la ordenada. El coseno es la abscisa. -1 sen α 1-1 cos α 1 12

15 Signo de las razones trigonométricas Tabla de razones trigonométricas RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS cos² α + sen² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α 13

16 UNIDADES ANGULARES En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción. Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes. Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si: y es igual al seno de x, la función inversa: 14

17 x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y. si: y es igual al coseno de x, la función inversa: x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y. si: y es igual al tangente de x, la función inversa: x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y. VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar: Circunferencia en radianes. Circunferencia en Grado sexagesimal. 15

18 Radianes Grados sexag. seno coseno tangente cosecant e secante cotangen te Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto. 16

19 SENTIDO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E. Nótese que el punto A es el vértice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia: a todos los efectos. La recta r, que pasa por O y forma un ángulo sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D. Por semejanza de triángulos: Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una 17

20 circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas: Tenemos: La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta. Primer cuadrante 18

21 Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo. Para, tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto: Si aumentamos progresivamente el valor de, las distancias y aumentaran progresivamente, mientras que disminuirá. Percatarse que y están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia será infinita. La tangente toma valor infinito cuando coseno 0. rad, el seno vale 1 y el 19

22 Segundo cuadrante Cuando el ángulo supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento, el coseno aumenta según el segmento pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo. La tangente para un ángulo inferior a rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo en el 20

23 sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo aumenta progresivamente hasta los rad. Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de,, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para rad, hasta que valga 0, para rad, el coseno,, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para rad, hasta 1, para rad. La tangente conserva la relación: Incluyendo el signo de estos valores. Tercer cuadrante 21

24 En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo rad a rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para rad: Cuando el ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante. A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x., el El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno,. Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente,, aumenta igual que en el primer cuadrante Cuando el ángulo alcance rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá 1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y. El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito. 22

25 Cuarto cuadrante En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre rad y rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para rad: hasta los que toman para una rotación: rad pasando al primer cuadrante, completando 23

26 como puede verse a medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y. Cuando, vale ó al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante. APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA FIGURAS REDUCIBLES A TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS La trigonometría es un instrumento de cálculo muy fecundo. Se aplica en todo problema relacionado con ángulos o con fenómenos periódicos. La estrategia a emplear consiste en transformar la aplicación en un triángulo rectángulo u oblicuángulo y aplicarle las relaciones conocidas. En este tema responderemos a las siguientes preguntas: Qué otras aplicaciones inmediatas tiene la Trigonometría? La resolución de figuras geométricas reducibles a triángulos rectángulos. Cómo lo haremos? 24

27 Utilizando las razones trigonométricas, y las propiedades que ligan a los lados y los ángulos en los triángulos rectángulos y lo obtenido en la resolución de triángulos rectángulos. Por qué? Puede utilizarse como herramienta de cálculo posterior Para qué las usaremos? Para adiestrarnos en su manejo y estar preparados para su potencial utilización y comprobar la polivalencia de los instrumentos matemáticos. 1.- Triángulo equilátero: APLICACIONES Triángulo equilátero es aquel que tiene iguales sus lados y sus ángulos Los triángulos tienen la propiedad: A + B + C = 180 Al tener sus tres ángulos iguales se cumplirá que 3A = 180; luego cada ángulo tiene una amplitud de 60º Los problemas relativos al triángulo equilátero se resuelven sin necesidad de aplicar la trigonometría, solo geométricamente. Un triángulo equilátero también llamado equiángulo es isósceles, los problemas en que interviene aquél se resuelven trigonométricamente, aplicando lo que sigue: 25

28 2.- Triángulo isósceles: Un triángulo isósceles es aquel que tiene iguales dos lados y dos ángulos Si llamamos A al ángulo desigual y B a los ángulos iguales, por las propiedades de los ángulos se sabe que: A + 2 B = 180 La altura AH relativa al lado desigual del triángulo isósceles es bisectriz del ángulo, por tanto dividirá al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos iguales. Los problemas que se nos pueden plantear son los siguientes: 1.- Dado el lado desigual a y uno de los ángulos iguales B, hallar: el ángulo desigual, los otros lados iguales b, la altura h, la superficie S. 2.- Dado el lado desigual a y el ángulo desigual A, hallar: los ángulos iguales, B, el otro lado b, la altura h, la superficie S. 3.- Dado el lado igual b y uno de los ángulos iguales B, hallar: el ángulo desigual, el otro lado a, la altura h, la superficie S. 26

29 4.- Dado el lado igual b el ángulo desigual A, hallar: los ángulos iguales, el otro lado a, la altura h, la superficie S. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver un triángulo consiste en hallar sus lados, ángulos y área. Para resolver un triángulo rectángulo se necesita conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto. Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos rectángulos: 1. Se conocen la hipotenusa y un cateto 27

30 2. Se conocen los dos catetos 3.Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo 28

31 4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo 29

32 Ejercicios De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo. sen B = 280/415 = B = arc sen = C = = c = a cos B c = = m De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo. tg B = 33/21 = B = C = = a = b/sen B a = 33/ = m De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22. Resolver el triángulo C = = 68 30

33 b = a sen 22 c = a cos 22 b = = m c = = m De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo C = = 53º a = b/sen B a = 5.2/ = 8.64 m c = b cotg B c = = 6. 9 m Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12. A qué distancia del pueblo se halla? Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º 31

34 Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30 y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de

35 La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita. 33

36 34

37 Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120. Cuánto distan A y B? 35

38 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno. Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos: 1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él 36

39 De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45 y C = 105. Calcula los restantes elementos. 2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido 37

40 De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30. Calcula los restantes elementos. 38

41 3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto sen B > 1. No hay solución sen B = 1 Triángulo rectángulo sen B < 1. Una o dos soluciones Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder: 1. sen B > 1. No hay solución. Resuelve el triángulo de datos: A = 30, a = 3 m y b = 8 m. 39

42 Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado. 2. sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo Resuelve el triángulo de datos: A = 30, a = 3 m y b = 6 m. 3. sen B < 1. Una o dos soluciones Resuelve el triángulo de datos: A = 60, a = 8 m y b = 4 m. 40

43 Resuelve el triángulo de datos: A = 30, a = 3 m y b = 4 m. 41

44 4º. Conociendo los tres lados Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m. 42

45 APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA Cálculo de la distancia entre dos puntos, uno de los cuales es inaccesible Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los separa: b= 200 m. Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A= 61º 28' y C= 54º 53'. CÁLCULO DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS INACCESIBLES Se fija en el plano horizontal dos puntos C y D, y se mide la distancia que los separa: b= 450 m. 43

46 Se miden con el teodolito los ángulos C y D. C= 68º 11' y D= 80º 40'. También se miden los ángulos BCD = 32º 36' y ADC = 43º 52'. ESTRATEGIA DE LA ALTURA La estrategia de la altura es un método para resolver triángulos oblicuángulos que consiste en elegir convenientemente una de las alturas del triángulo, de manera que ésta lo divida en dos triángulos rectángulos que puedan resolverse con los datos que nos den. 44

47 CÁLCULO DE LA ALTURA Y DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO Altura y área de un triángulo La altura de un triángulo es igual al producto de uno de sus lados laterales (que no es la base) por el seno del ángulo que dicho lado forma con la base. El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman. Demostración: Altura: Consideremos un triángulo oblicuángulo ABC como el de la figura adjunta. Si conocemos el ángulo y el lado ), podemos obtener el valor de la altura utilizando el seno del ángulo dado. Área: Consideremos un triángulo oblicuángulo ABC anterior. Teniendo en cuenta el valor de la altura que hemos obtenido en la demostración anterior, tenemos: 45

48 [editar] Cálculo de las proyecciones de los lados de un triángulo sobre la base Proyecciones sobre la base Las proyecciones de los lados de un triángulo sobre su base se obtienen multiplicando cada lado por el coseno del ángulo que forma con la base. Demostración: Consideremos un triángulo oblicuángulo ABC como el de la figura adjunta. Si conocemos el ángulo y el lado ), podemos obtener el valor de la proyección sobre la base, utilizando el coseno del ángulo : Análogamente para la proyección : 46

49 Método de doble observación El método de doble observación se utiliza cuando tenemos que hallar una altura de un objeto y tenemos como datos dos ángulos de observación desde dos puntos que están separados una distancia también conocida. También el dato conocido puede ser la altura y lo que tenemos que hallar es la distancia entre los puntos de observación. Supongamos que los dos puntos de observación son A y B y que queremos hallar la distancia que hay entre ellos. Supongamos conocidos los ángulos A y B y la altura h. Plantearemos el siguiente sistema de ecuaciones para determinar m y n: El problema puede variar en cuanto a los datos y a las incógnitas, pero mantiene como técnica el aplicar la tangente a los dos ángulos observados para plantear un sistema similar al anterior. 47

50 Ejemplo: Método de doble observación Con objeto de determinar la altura de un árbol situado en un lugar inaccesible, se dispone un teodolito en un punto accesible y desde el mismo se lanza una visual al punto más alto del árbol, obteniéndose un ángulo de inclinación de 22º 47'. A continuación, se adelanta el teodolito una distancia de 10 m en dirección al árbol y se vuelve a lanzar otra visual al mismo punto, obteniéndose, en este caso, un ángulo de 31º 19'. Calcula la altura del árbol, considerando que el anteojo del teodolito está a 1.5 m del suelo. La altura del árbol será, siendo la altura del teodolito, es decir,. Ahora bien, en el triángulo : Por otra parte, en el triángulo BAC: Llamando, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 48

51 Equivalente a: Que podemos resolver por el método de igualación despejando x en ambas ecuaciones: Por tanto, la altura del árbol es: 49

52 FORMULARIO BÁSICO DE TRIGONOMETRÍA Fórmulas del teorema de Pitágoras Teorema del cateto 50

53 Teorema de la altura Teorema de Pitágoras Diagonal del cuadrado 51

54 Diagonal del rectángulo Lado oblicuo del trapecio rectángulo Altura del trapecio isósceles 52

55 Altura del triángulo equilátero Apotema de un polígono regular Apotema del hexágono inscrito 53

56 Lado de un triángulo equilátero inscrito Lado de un cuadrado inscrito 54

57 Fórmulas del teorema de Thales y semejanza de triángulos Teorema de Thales Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. 55

58 Semejanza de triángulos Criterios de semejanza de triángulos 1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. 2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales. 3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual. 56

59 Criterios de semejanza de triángulos rectángulos 1Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual. 2Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales. 3Los triángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto. Semejanza de polígonos Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y los lados homólogos proporcionales. solución de triángulos rectángulos 1. EJERCICIOS 57

60 Resolver un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un cateto 2. Resolver un triángulo rectángulo conociendo los dos catetos 58

61 3. Resolver un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un ángulo agudo 4. Resolver un triángulo rectángulo conociendo un cateto y un ángulo agudo 59

62 Área de un triángulo Fórmula de Herón: 60

63 MÁS EJEMPLOS Resolución de triángulos oblicuángulos 1.Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él 2.Resolver un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido 61

64 3.Resolver un triángulo conociendo dos lados y un ángulo opuesto sen B > 1. No hay solución sen B = 1 Triángulo rectángulo sen B < 1. Una o dos soluciones 62

65 4.Resolver un triángulo conociendo los tres lados Fórmulas de trigonometría Razones trigonométricas Seno 63

66 Coseno Tangente Cosecante Secante Cotangente Identidades trigonométricas fundamentales sen² α + cos² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α 64

67 Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos Razones trigonométricas del ángulo doble Razones trigonométricas del ángulo mitad 65

68 Transformaciones de sumas en productos 66

69 Transformaciones de productos en sumas Teorema de los senos Teorema del coseno Teorema de las tangentes 67

70 Área de un triángulo Fórmula de Herón: 1. Qué aprendiste sobre el tema? Actividades de metacognición 2. Cómo lo aprendiste? 3. Qué cosas no acabaste de entender? 4. Qué te parecen las situaciones planteadas en clase? 5. Te hacen pensar y te ayudan a aprender? 68

71 BIBLIOGRAFÍA Zamora, M. y et al (2009). Matemáticas 2 Geometría y trigonometría. México: Ed. ST Pérez, J. (2009). Matemáticas 2 Geometría y trigonometría. México: Ed. Patria Méndez, H. (2009). Matemáticas 2 Bachillerato. México: Ed. Santillana Negron V. (2008). Conceptos básicos de geometría. Consultado en: vnegron.files.wordpress.com/.../conceptosbasicos-de-geometria Benítez, R. Triángulos (2008).Universidad Metropolitana Intel Education. Funciones trigonométrica. Consultado en agosto 2011 y encontrado en: ca_y_geometria/funciones_trigonometricas/index.html Vitutor: matemáticas. Triángulos Consultado en agosto 2011 y encontrado en: 69