GUÍA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CÓNICAS CON PAPEL

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Juana Suárez Moreno
hace 6 años
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1 GUÍA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CÓNICAS CON PAPEL Geometría integrada Docente: Carlos A. Ríos Villa Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad. Albert Einstein 1. INTRODUCCIÓN. En matemáticas recibe el nombre de cónicas un conjunto de curvas formado por la elipse, la parábola y la hipérbola. Dibujarlas y construirlas no siempre se fácil. En esta experiencia encontrarás un método que te permite llegar a obtener cualquiera de estas tres curvas mediante el plegado de una hoja de papel (papiroflexia). Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley universal de la gravitación describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están muy juntas describen elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas. También son importantes en aerodinámica y en su aplicabilidad industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas. 1

2 2. OBJETIVOS 2.1. OBJETIVO GENERAL. La presente actividad busca facilitar la comprensión de las cónicas y intuitiva sus características principales. deducir de manera 2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS Realizar con papiroflexia una circunferencia y deducir intuitivamente sus principales características Realizar con papiroflexia una parábola y deducir intuitivamente sus principales características Realizar con papiroflexia una elipse y deducir intuitivamente sus principales características Realizar con papiroflexia una hipérbola y deducir intuitivamente sus principales características. 3. MATERIALES. Hojas de papel, compas, regla, lápiz. 4. DEFINICIÓN PREVIA. Lugar geométrico: es un conjunto de puntos del plano o el espacio que cumplen una propiedad común, para que una figura pueda describirse como lugar geométrico debe cumplir dos principios. 1. Principio de inclusión: todo punto que cumplan dicha propiedad pertenece a la figura. 2. Principio de exclusión: todo punto que no cumpla dicha propiedad no pertenece a la figura. En conclusión: todo punto que cumpla la propiedad pertenece a la figura y no existe ningún punto distinto a los que pertenecen a la figura que cumpla la propiedad. 5. PROCEDIMIENTO. 5.1 Construcción 1: Tome una hoja de papel y dibuje con un compás un círculo lo mas grande posible y remárquelo para que pueda verse a trasluz, marque el centro del circulo con un lápiz de manera que se transparente al mirar la hoja por el revés, doble la hoja de papel haciendo coincidir un punto de la circunferencia con el centro, realice el doblez en la hoja y márquelo 2

3 visiblemente y abra nuevamente el papel y repita el procedimiento varias veces (mientras mas, mejor). Con la regla mida la distancia del centro a cualquier punto de la figura resultante. Qué característica cumplen todos los puntos tomados? 5.2. Construcción 2: Tome un papel y dibuje en él una circunferencia lo más grande posible, marque el centro con F 1. A continuación marque un punto dentro de la circunferencia pero procurando que quede lejos del centro de la misma (cerca al borde de la circunferencia) y llámelo F 2. Repita el procedimiento de la construcción uno pero no usando el centro sino el otro punto marcado como lo muestra la figura. Marque bien la línea de pliegue y abra el papel. Repítalo varias veces con distintos puntos de la circunferencia, cuantas más mejor. Después de haberlo hecho suficientes veces, podrá ver claramente una figura. Tome varios puntos de la figura obtenida y mida las distancias a F 1 y a F 2, tome nota de cada una de las distancias para cada punto y realice operaciones con los dos valores obtenidos para cada uno de ellos. Qué característica cumplen todos los puntos? 3

4 Qué nombre toman los puntos F 1 y F 2? Instituto Tecnológico Metropolitano Trace una recta que pase los puntos F 1 y F 2 y marque su intersección con la figura obtenida como V 1 y V 2, Qué nombre toma dicha recta?, Que nombre tomen los puntos V 1 y V 2?, Que nombre toma el segmento V 1 V 2? Trace la mediatriz del segmento V 1 V 2 y marque los puntos de intersección con la gráfica como V 3 y V 4 y al punto de intersección entre V 1 V 2 y V 3 V 4 llámelo C Que nombre tomen los puntos V 3 y V 4?, Que nombre toma el segmento V 3 V 4?; Qué nombre toma el punto C? Si llamamos el segmento V 1 V 2 2a y el segmento V 3 V 4 2b, Qué pasa si 2a = 2b?, Qué sucede si 2a aumenta con respecto a 2b? Que relación se puede establecer entre a y b, que nombre toma y que significa? 5.3. Construcción 3: repita el procedimiento de la construcción uno pero tomando F 2 por fuera del Círculo y tomando una circunferencia un poco mas pequeña que la anterior. Tome varios puntos de la figura obtenida y mida la distancia a F 1 y a F 2 tome nota de estas distancias para cada punto y realice operaciones con los dos valores obtenidos para cada punto. Qué característica cumplen todos los puntos? Qué nombre toman los puntos F 1 y F 2? 4

5 Trace una recta que pase los puntos F 1 y F 2 y marque su intersección con la figura obtenida como V 1 y V 2, Qué nombre toma dicha recta?, Que nombre tomen los puntos V 1 y V 2?, Que nombre toma el segmento V 1 V 2? 5.4. Construcción 4: En este caso en lugar de una circunferencia hay que trazar una recta que llamaremos L. dibújela mejor cerca del borde corto del papel y paralela al mismo. Marque un punto y llámelo F, no demasiado lejos de la recta en el lado que tiene más espacio y lejos de los bordes. Pliegue el papel haciendo que al trasluz coincida un punto de la recta con el que ha pintado. Marque bien el pliegue y después abra el papel. Repítalo varias veces con distintos puntos de la recta. Después de los plegados, al abrir el papel, verá que los pliegues perfilan una curva. Tome varios puntos de la figura obtenida y mida la distancia a F y a L, recuerde que la distancia a L se toma perpendicular a ella. Qué característica cumplen todos los puntos? Qué nombre toman el punto F y la recta L? Trace una recta que pase el punto F y perpendicular a L, llame V el punto de intersección entre esta perpendicular y la curva obtenida, Que nombre toma esta perpendicular?, Qué nombre toma el punto V? 5

6 5. Informe. Debe entregarse un informe de manera individual dentro del portafolio que contenga los siguientes aspectos: 1. Gráficos completos. 2. Tabla de datos. 3. Cálculos. 4. Resultados. 5. Análisis de resultados. 6. Respuestas a todas las preguntas basadas en los resultados obtenidos. 6. Bibliografía. 6.1 Fernández Betancur León Darío y Saldarriaga Rivera Gustavo. Geometría Integrada. Instituto tecnológico Metropolitano. Medellín, 2007.pp 145 a Zill Dennis, Dewar Jacqueline, Algebra y trigonometría. 2ª edición, Mc.Graw Hill editores. pp. 127 a 133 y 486 a

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