5 Semejanza y trigonometría

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1 Semejanza y trigonometría PIENSA Y CONTESTA Cómo respondió el alumno a la pregunta del eamen? El estudiante respondió: Lleve el barómetro hasta la azotea del edificio, átele una cuerda muy larga, descuelgue el barómetro hasta la calle y después vuelva a subirlo, midiendo la longitud de la cuerda. Dicha longitud será igual a la altura del edificio. El alumno dice que hay muchas formas de responder. Cuántas se te ocurren? Respuesta libre. Por qué el profesor se resistía a darle la nota máima? El profesor se resistía a darle la nota máima porque una nota alta supondría que el alumno certificaba un alto nivel en física, pero con la respuesta aportada no se confirmaba que el estudiante tuviera ese nivel. ANALIZA Y REFLEXIONA Crees que sería válida esta respuesta? Se lleva el barómetro y se llama a la puerta del conserje. Cuando el conserje responda, se le dice lo siguiente: Sr Conserje, aquí tengo un barómetro estupendo. Si me dice la altura del edificio se lo regalo. Respuesta libre. Actividades propuestas. Calcula las longitudes de los lados de un triángulo semejante a otro que tiene por lados, y 0 cm si la razón de semejanza es k. Los lados del triángulo semejante medirán. Actividad resuelta.. Calcula los lados desconocidos de las figuras y 8 8 8, cm, 8, cm y 0 cm. Unidad Semejanza y trigonometría y y + y y + +

2 . Juan mide,7 m y proyecta, en un momento dado, una sombra de, m. Calcula la sombra que proyecta en ese instante una farola de m de altura. Llamamos a la sombra que proyecta la farola.,7,,7,, m,,7. Calcula la distancia que debe recorrer un pájaro que quiere volar desde la copa del árbol A a la del B. Llamamos a la distancia que hay desde el suelo hasta la copa del árbol A. Llamamos d a la distancia que hay entre la copa del árbol A y la copa del árbol B. La altura del árbol A es igual a m y la altura del árbol B es igual a m. Usando el teorema de Pitágoras: + Por semejanza, 8 m. d d 8, m. El pájaro deberá recorrer 8, m.. Razona si los triángulos siguientes son semejantes y calcula los lados desconocidos. Los triángulos son semejantes por tener dos ángulos iguales (Criterio de semejanz. 7 y, cm y + 0,8 cm 0,8 z, cm z Los triángulos son semejantes por estar en posición de Tales. 7,7 cm 7. Los triángulos interior y eterior de un cartabón son semejantes? Razona tu respuesta. Los ángulos que forman los triángulos interior y eterior de un cartabón son iguales pues sus lados son paralelos. Por el criterio de semejanza, los triángulos interior y eterior de un cartabón son semejantes. 8. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 7, cm y su proyección sobre la hipotenusa tiene una longitud de, m. Cuánto mide la hipotenusa del triángulo? Llamamos H a la hipotenusa del triángulo. Por el teorema del cateto, 7,, H H, cm. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y un cateto miden 0 y cm, respectivamente. Halla la medida del valor del otro cateto. Halla la medida de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Halla la altura sobre la hipotenusa. Llamamos a la medida del otro cateto. Aplicando el teorema de Pitágoras: 0 0 cm Llamamos m a la proyección del cateto de cm sobre la hipotenusa y n a la proyección del cateto de cm. Aplicando el teorema del cateto: 0 m m, cm y 0 n n, cm Llamamos h a la altura del triángulo sobre la hipotenusa. Aplicando el teorema de la altura: h m n,, 8, h, cm Semejanza y trigonometría Unidad 7

3 0. Demuestra los criterios y de semejanza de triángulos de forma análoga a la demostración del primer criterio. Criterio : Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales., y los lados que y A Para demostrar el criterio, se parte de dos triángulos, ABC y A B C, con un ángulo igual A lo forman proporcionales, y se prueba que son semejantes. Sobre el lado AB del primer triángulo se lleva la medida A B del segundo y se marca el vértice B. Se traza el segmento B C, paralelo a BC. Los triángulos AB C y A B C son iguales, ya que tienen dos de sus ángulos y un lado iguales. Los triángulos ABC y AB C están en posición de Tales y, por tanto, son semejantes. En consecuencia, los triángulos ABC y A B C son también semejantes. Criterio : Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales. Para demostrar el criterio, se parte de dos triángulos, ABC y A B C con los lados que lo forman proporcionales, y se prueba que son semejantes. Sobre el lado AB del primer triángulo se lleva la medida A B del segundo y se marca el vértice B. Sobre el lado AC se lleva la medida A C y se marca el punto C. Se traza el segmento B C. Los triángulos AB C y A B C son iguales, ya que tienen tres lados iguales. Los triángulos ABC y AB C están en posición de Tales y, por tanto, son semejantes. En consecuencia, los triángulos ABC y A B C son también semejantes.. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando tu respuesta. Dos triángulos isósceles siempre son semejantes. Un triángulo rectángulo con un ángulo de 0º es semejante a otro con un ángulo de 0º. Falso. Dos triángulos isósceles no son siempre semejantes porque sus ángulos no tienen por qué ser iguales. Verdadero. Un triángulo rectángulo con un ángulo de 0º es semejante a otro con un ángulo de 0º porque en ambos casos sus ángulos miden 0º, 0º y 0º. (Criterio de semejanza de triángulos).. Un cateto de un triángulo rectángulo mide 8 cm, y la altura sobre la hipotenusa,. Halla el área del triángulo. Aplicando el teorema de la altura: m n Aplicando el teorema del cateto: m (m + n). Se plantea el siguiente sistema: mn cm m + n + cm m ( m + n ) m m + m 8 m cm n m El área del triángulo es A cm 8 Unidad Semejanza y trigonometría

4 . Pasa a ianes los siguientes ángulos epresados en gos seagesimales. 0º 0º 0º 0º 0º 0º d) º 7 d) º e) 0º e) 0º. Calcula, aproimando a los segundos, la medida de un ián en gos seagesimales. 80º 7º 7. Convierte a gos seagesimales los siguientes ángulos epresados en ianes. d) e) º º 0º d) 0º e) 70º 0º y B,. Calcula en gos y en. Las medidas de dos de los ángulos de un triángulo ABC son A ianes la medida de C. 80º (0º + 88,º),7º 0,, 88,º y C B º. Halla los otros tres ángulos en gos y en 7. La medida de un ángulo de un paralelogramo es A ianes. mide º y, cada uno de los otros dos ángulos, 0º º º El ángulo opuesto de A. 8. Indica las razones trigonométricas que relacionan el ángulo y los lados indicados en los siguientes triángulos rectángulos y calcúlalas. 7 cm. La hipotenusa h mide h sen A 7 8 cos A 7 tg A 8 cm. El cateto c mide c + 7 sen B 7 cos B 7 tg B d) cm. El cateto b mide b + sen C cos C tg C 0 cm. d) El cateto mide mide + sen D 0 cos D tg D 0. Calcula las razones trigonométricas inversas de las obtenidas en la actividad anterior. 7 cosec A 7 cotg A 8 sec A 8 cosec C sec C cotg C 7 cosec B 7 sec B d) cosec D sec D 0 0 cotg D cotg B Semejanza y trigonometría Unidad

5 0. Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos en el siguiente triángulo. Qué relación hay entre las razones trigonométricas del ángulo B y el ángulo C? sen B 0 tg B cos B 0 sen C 0 cos C 0 tg C es: y el ángulo C La relación que hay entre las razones trigonométricas del ángulo B cos C sen B 0 sen C cos B 0 cotg C tg B. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos en estos triángulos rectángulos. Cateto b 8 cm, cateto c cm Hipotenusa a 7 cm, cateto b 8 cm Hipotenusa a cm, cateto c cm La hipotenusa h mide h cm. 8 sen B 8 tg B cos B sen C 8 cos C tg C 8 sen C 7 8 cos C 7 tg C 8 sen C cos C tg C El cateto c mide c cm. 8 sen B 7 cos B 7 8 tg B El cateto b mide b + cm. sen B tg B cos B. Define en ianes los cuatro cuadrantes del plano..er cuadrante: 0.º cuadrante:.er cuadrante: -.º cuadrante: -. En qué cuadrantes se puede encontrar cada uno de los siguientes ángulos? α si > 0 φ si tg φ < 0 e) δ si sec δ < 0 γ si cos γ < 0 d) β si cosec β > 0 f) λ si cotg λ < 0 Primer o segundo cuadrante Segundo o cuarto cuadrante e) Segundo o tercer cuadrante Segundo o tercer cuadrante d) Primer o segundo cuadrante f) Segundo o cuarto cuadrante. Calcula la secante, cosecante y cotangente de los ángulos de 0º y 0º. 0 α sec α cosec α co 0º 0º Unidad Semejanza y trigonometría

6 . Epresa los siguientes ángulos como la suma de un número completo de vueltas más un ángulo menor de 0º. 00º 0º e) º 0º d) 880º f) 000º 00º 0º + 0º 0º 0º + 0º e) º 0º + º 0º 0º + 80º d) 880º 8 0º f) 000º 0º + 0º. Actividad resuelta. 7. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos. sen 00º cos ( 0º) tg ( 80º) sen 00º sen (0º 0º) sen ( 0º) sen 0º cos ( 0º) cos 0º cos (0º 0º) cos 0º tg ( 80º) tg 80º tg (0º + 0º) tg 0º tg (80º 0º) tg 0º 8. Actividad resuelta.. Calcula y si α es un ángulo agudo y 0,7. Como α es un ángulo agudo entonces > 0 y > ,7, cosα 0, 0, ,8 0,8 0, 0, 0. Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo si su coseno vale 0,. Como el ángulo α es agudo entonces > 0 y > , 0, 0, 0,8 0,8, 0,. Calcula la cosecante y la tangente de un ángulo agudo si su seno vale 0,. Como α es un ángulo agudo entonces > 0 y > 0. senα + cosα 0, + cosα cosα 0, 0, 0,8 α tg 0, 0,0 y cosec α 0,8 0,. Calcula las razones trigonométricas de los dos ángulos agudos del triángulo aplicando solo la definición del seno. Como α es un ángulo agudo entonces >0, > 0 y > 0. 0,7 0,7 + cosα 0,7 y 0, 7 Como α y β son ángulos complementarios, entonces: sen β 0,7, cos β 0,7 y tg β co, Semejanza y trigonometría Unidad

7 . Actividad resuelta.. Si Como 8 y < α <, halla, sec α y. < α <, entonces > 0, sec α < 0 y < senα + cosα senα + + 0,8 y sec α 8 0, 8 77 y<α<, halla cosec α y.. Si Como < α < + tgα, entonces <0, cosec α < 0 y < , cosα 0,8 0, senα + cosα senα + ( 0,) senα ( 0,) 0, cosec α,. Actividad resuelta. 7. Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas a partir de las relaciones fundamentales. + + tg α cosα senα ( senα) senα senα senα senα Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas a partir de las relaciones fundamentales d) + e) cosα senαcosα + cosα + + tgα + ( + ) cos α + d) + + e) senαcosα + cosα cosα (senα + cosα) cosα Unidad Semejanza y trigonometría cos α tgα

8 . Demuestra las identidades trigonométricas. cos ) ( + cos ) ( sec + cotg sen + cos sen ( sen cos ) + cotg sen + cos sen + cos sen ( sen + cos ) sen )( + cos ) ( cos ( sen cos ) cos sen sen cos sen cos cos 0. Calcula para qué valores de α es cierta la igualdad cosα + tgα ( ) 0 0 ± { α 0 k α k. Con la ayuda de la calculadora, halla: sen º d) cos ( º) g) arctg 0, cos º e) arcsen 0, h) arccos( 0,) tg, f) arccos 0, i) arcsen sen º 0,8 d) cos ( º) 0, g) arctg 0, º 0 cos º 0,8 e) arcsen 0, º h) arccos( 0,) 0º 7 tg, 0,7 f) arccos 0, 8º i) arcsen 0º. Con la ayuda de la calculadora, halla la medida en gos de los siguientes ángulos. 0,,0 < α < 80º < α < 70º sec α,0 0º < α < 0º d) cosec α,0 <α< arccos 0,, α,,8 0,77 arccos 0,77,º arctg,0,º α 80º +,º,º d) arcsen 0,7, α,,8. Resuelve estas ecuaciones trigonométricas. Epresa los resultados en ianes. cos sen tg tg + k arcsen + k + k arctg + k e) cosec d) sec + k cos arccos + k sen f) cotg d) sec arccos + k, k e) 7 + k cosec arcsen + k + k f) cotg tg arctg + k Semejanza y trigonometría Unidad

9 . Resuelve estas ecuaciones trigonométricas. Epresa los resultados en gos. sen tg cos d) cos + 0 f) sen + sen arcsen 0º + 0ºk, k d) cos cos arccos( ) 80º + 0ºk, k e) sec ( ) { 00º +0º k tg arctg 0º +0º k e) sec f) sen arccos arccos +0º k {º º +0º k º +0º k {º +0º k { 0º +0º k arcsen 0º +0º k. Comprueba que las siguientes figuras son semejantes y calcula la razón de semejanza. Todos los ángulos homólogos son iguales, ya que los lados que los forman son paralelos. Por otra parte, los lados correspondientes son proporcionales, ya que: A B A E B E E C C D E D AB AE BE EC CD ED Por tanto, las figuras son semejantes con razón de semejanza k.. Calcula la razón de semejanza y los valores de los lados desconocidos de las siguientes parejas de triángulos semejantes cuyas medidas en centímetros son:,, y,;, y,, y,, y,, e y,, z La razón de semejanza es,,, cm e y, cm. La razón de semejanza es cm e y 0,, cm. 0, 0, La razón de semejanza es y cm y z cm. El valor de puede ser cualquier número real con el cual se pueda formar un triángulo; es decir, < < De dos triángulos se conocen las medidas de dos de sus ángulos. Indica en cada caso si son semejantes. 0º, 0º y 0º, 0º 0º, 0º y 0º, 0º 0º, 0º y 00º, 0º El tercer ángulo del primer triángulo debe medir 80º 0º 0º 0º. Por tanto, los dos triángulos tienen todos sus ángulos iguales y son semejantes. El tercer ángulo del primer triángulo debe medir 80º 0º 0º 0º. Por tanto, los dos triángulos tienen sus ángulos diferentes y no son semejantes. El tercer ángulo del primer triángulo debe medir 80º 0º 0º 00º. Por tanto, los dos triángulos tienen todos sus ángulos iguales y son semejantes. Unidad Semejanza y trigonometría

10 8. El perímetro de un triángulo equilátero mide 0 cm. Halla las medidas de los lados de un triángulo equilátero semejante a él si la razón de semejanza es k. Cuál es la razón de sus áreas? Cada uno de los lados del triángulo original mide 0 cm. Por tanto, el lado de un triángulo equilátero semejante a él medirá 0, cm. A La razón de sus áreas es k A. La arista de un cubo mide m. Halla la medida de la arista de otro cubo semejante al anterior si la razón de sus volúmenes es. 8 La razón de semejanza entre las longitudes de los cubos es k Por tanto la arista del semejante medirá. 8 m. 0. Las medidas de un rectángulo son y cm. Calcula las medidas de otro rectángulo semejante al anterior y tal que su perímetro mida 0 cm. El perímetro del rectángulo original es P + cm. La razón de semejanza es igual a la razón de los perímetros: k 0, Por tanto, las medidas del rectángulo semejante son, 7, cm y,, cm.. Calcula la longitud. Aplicando el teorema de Tales:,, 7,7,,7,7,7,00. Las medidas de los lados de un pentágono son, 7, 8, 0 y cm, respectivamente. Calcula las medidas de los lados de otro pentágono semejante al anterior y tal que: Su lado mayor mida 8 cm. Su perímetro sea de 0 cm. La razón de semejanza es igual a la razón entre los lados mayores: k Por tanto, las medidas del pentágono semejante son: 8,,, cm, 7, 0, cm, 8, cm y 0, cm La razón de semejanza es igual a la razón entre los perímetros: k Se trata del mismo pentágono del apartado anterior. 0 0, Las medidas de un rectángulo son y cm. Calcula las medidas de otro rectángulo semejante al anterior y tal que su área mida, cm. El área del rectángulo original es A cm. La razón entre sus áreas es k,, k,,. Por tanto, las medidas del rectángulo semejante son,, cm y, cm. Semejanza y trigonometría Unidad

11 . Si los segmentos AC y MN son paralelos, halla la medida del lado BC. Los triángulos son semejantes por están en posición de Tales. + +, cm BC, + 7, cm. Calcula el valor de las variables en las siguientes figuras. {, ±,,, +, 0, 0,8 +, y, y, y +, y y, y, +, +,, +,,,,,,,, y. Utilizando alguno de los criterios de semejanza, demuestra que las siguientes parejas de triángulos son semejantes. d) Los triángulos son semejantes por tener dos ángulos iguales (Criterio ).,, Como, los triángulos son semejantes por tener los tres lados proporcionales (Criterio ).,7,,78, Como,8, los triángulos son semejantes por tener un ángulo igual y los lados que lo forman ser,, proporcionales (Criterio ). d) Los triángulos son semejantes por estar en posición de Tales. 7. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide mm. Calcula el valor de uno de los catetos sabiendo que su proyección sobre la hipotenusa mide mm. Llamando a la medida del cateto desconocido, y aplicando el teorema del cateto: 7 El cateto mide 7 mm. Unidad Semejanza y trigonometría

12 8. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide dm, y su proyección sobre la hipotenusa,, dm. Calcula la medida de la hipotenusa. Llamando h a la medida de la hipotenusa, y aplicando el teorema del cateto:, h h 0, La hipotenusa mide 0 dm.. En un triángulo rectángulo, los catetos miden y 7 cm, respectivamente. Calcula el valor de la hipotenusa y las medidas de las proyecciones de los catetos sobre ella. Calcula también el valor de la altura sobre la hipotenusa. Llamando a la medida de la hipotenusa, y aplicando el teorema de Pitágoras: + 7 cm Llamando m y n a las proyecciones sobre la hipotenusa de los catetos de y 7 cm, respectivamente, y aplicando el teorema del cateto: m m,0 cm 7 n m 7, cm Llamando h a la medida de la altura sobre la hipotenusa, y aplicando el teorema de la altura: h,0,,8 h,8,7 cm 0. En el siguiente triángulo rectángulo en A, calcula la medida de los segmentos desconocidos. La hipotenusa del triángulo mide 8,8 +, cm. Aplicando el teorema del cateto: AC 8,8 AC cm AB, 7 AB 7 cm Aplicando el teorema de la altura: h h 8,8,,,, cm. Epresa en ianes la medida de los siguientes ángulos. º º e) 70º º d) º f) 0º º º 7 º e) 70º 7 d) º f) 0º Semejanza y trigonometría Unidad 7

13 . Epresa en gos seagesimales la medida de los siguientes ángulos dados en ianes º 7 7,º 8 e) d) f) 0º e) º d) 0º f) 8,8º. Epresa los siguientes ángulos como la suma de un ángulo positivo menor de 0º y un número entero de vueltas completas. 0º 0º e) 0º 00º d) 0º f) º 0º 0º + 0º 0º 0º + 80º e) 0º 0º + 0º 00º 0º + 80º d) 0º 0 0º + 0º f) º 0º + º. Epresa los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de ianes d) 0 + d) 0 + e) e) Copia y completa la siguiente tabla. Ángulo Seno Seno Coseno Tangente Ángulo Coseno Tangente. Calcula las medidas de los ángulos indicados en los siguientes triángulos rectángulos. Da los resultados aproimados a los minutos. A cos arcos 0,8 º 0,8 A, 0, B arctg 0, º tg B 8 Unidad Semejanza y trigonometría C cos d) arcos 0, º 0 0, C,8, arctg,7 º D,7 D d) tg,7

14 7. La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden 0 y dm, respectivamente. Cuáles son las razones trigonométricas de su ángulo agudo de menor amplitud? Llamando a la medida del otro cateto, y aplicando el teorema de Pitágoras: 0 La hipotenusa del triángulo mide 0 dm y, los catetos, y dm. El ángulo α de menor amplitud es el ángulo opuesto al cateto que mide dm Con la ayuda de la calculadora, halla los valores de las siguientes razones trigonométricas. sen 7º sen 7 sen 7º 0, sen 0, 7 cos 77º d) cos e) tg º cos 77º 0, d) cos 0, 8 f) tg e) tg º 0,8 f) tg, 8. En qué cuadrantes se puede encontrar cada uno de los siguientes ángulos? α si > 0 β si sen β > 0 γ si tg γ < 0 d) δ si cosec δ < 0 Primer o cuarto cuadrante Primer o segundo cuadrante Segundo o cuarto cuadrante d) Tercer o cuarto cuadrante 70. Sin calcular su valor, indica el signo de las siguientes razones trigonométricas. cos º d) cosec º g) tg 0º sen 70º e) cotg 8º h) cos 0º tg 000º f) sec 80º i) sen º Negativo d) Negativo g) Negativo Positivo e) Positivo h) Negativo Positivo f) Negativo i) Positivo 7. Epresa las razones trigonométricas de 70º, 0º, 00º y 0º en función de las de 0º. sen 70º sen (0º 0º) cos 0º sen 00º sen (80º + 0º) sen 0º cos 70º cos (0º 0º) sen 0º cos 00º cos (80º + 0º) cos 0º tg 70º tg (0º 0º) cotg 0º tg 00º tg (80º + 0º) tg 0º sen 0º sen (80º 0º) sen 0º sen 0º sen (0º 0º) sen 0º cos 0º cos (80º 0º) cos 0º cos 0º cos (0º 0º) cos 0º tg 0º tg (80º 0º) tg 0º tg 0º tg (0º 0º) tg 0º Semejanza y trigonometría Unidad

15 7. Sin ayuda de la calculadora, indica los valores de las siguientes razones trigonométricas. sen 0º d) sen ( 0º) g) cos 0º j) tg 0º sen ( 0º) e) cos º h) cos ( 0º) k) tg 0º sen 0º f) cos ( 0º) i) tg 0º l) tg ( 0º) sen 0º sen (80º 0º) sen 0º sen ( 0º) sen 0º sen 0º sen (0º + 0º) sen 0º sen (80º 0º) sen 0º d) sen( 0º) sen 0º sen (0º + 00º) sen 00º sen (0º 0º) sen ( 0º) sen 0º e) cos º cos (80º + º) cos º f) cos ( 0º) cos 0º cos (80º 0º) cos 0º g) cos 0º cos (0º + 0º) cos 0º 0 h) cos ( 0º) cos 0º cos (0º + 0º) cos 0º i) tg 0º tg(0º 0º) tg 0º j) tg 0º tg(80º 0º) tg 0º k) tg 0º tg(0º + 0º) tg 0º l) tg ( 0º) tg 0º tg(0º + º) tg º 7. Con ayuda de la figura, indica las relaciones que se dan entre las razones trigonométricas de los ángulos α y 0º + α. cos (0º + α) sen (0º + α) cos ( 0º +α ) sen ( 0º +α ) tg(0º +α) 7. Actividad resuelta. 7. Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo α si 0,. Como α es un ángulo agudo, entonces > 0 y > , + 0, 0, 0,8 tg α 0 0, 0,7 0,8 Unidad Semejanza y trigonometría

16 7. Halla el seno y la tangente de un ángulo agudo α cuyo coseno vale 0,7. Como el ángulo α es agudo, entonces > 0 y > ,7 0,7 0,7 0, α tg 0, tg α 0,88 0,7 77. Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo α cuya tangente es igual a. Como α es un ángulo agudo, entonces > 0 y > 0. + tgα + ( ) cosα 0,7 0, + + 0, 0, 0,8 0, 78. Con la ayuda de la calculadora, halla las medidas en gos seagesimales de los siguientes ángulos agudos. Aproima los resultados a los minutos. 0, sen A 0, cos B, tg C arcsen 0, 7º A arcos 0, 7º B arctg, º 0 C 7. Con la ayuda de la calculadora, halla las medidas en ianes de los siguientes ángulos agudos. Epresa los resultados con tres cifras. 0,8 sen A 0, cos B 0, tg C arcsen 0,8,0 A arcos 0, 0,870 B arctg 0, 0,07 C 80. Halla las razones trigonométricas restantes del ángulo α en cada caso. Como < α < 0,7 <α< <α< < α <, entonces α es un ángulo del cuarto cuadrante. Por tanto, < 0 y < 0. senα + cosα senα + senα Como : < α <, entonces α es un ángulo del segundo cuadrante. Por tanto, < 0 y < 0. senα + cosα 0,7 + cosα cosα 0,7 0,7 0, 0,7, 0, Como < α < + tgα, entonces α es un ángulo del tercer cuadrante. Por tanto, < 0 y < 0. + ( ) + cosα 0,7 0, ( 0, ) 0, Semejanza y trigonometría Unidad

17 8. Calcula las razones trigonométricas restantes del ángulo α en cada caso. 7 sec α 80º < α < 70º cosec α, 70º < α < 0º Como 80º < α < 70º, entonces α es un ángulo del tercer cuadrante. Por tanto, < 0, cos < 0 y > 0. sec α 7 7 senα + cosα senα : Como 70º < α < 0º, entonces α es un ángulo del cuarto cuadrante. Por tanto, < 0, > 0 y < 0. cosec α, 0, senα + cosα ( 0,) + cosα cosα ( 0,) 0, 0, 0,,0 0, 8. Comprueba si eiste un ángulo α tal que: 0, y 0,,8 y sec α,78 0,707 y 0,700 senα + cosα 0, + 0, 0, No eiste ningún ángulo α tal que 0, y 0, porque no se cumple la ecuación fundamental de la trigonometría: senα + cosα + tgα +,8, secα Sí que eiste un ángulo α tal que,8 y sec α,78 porque se cumple la identidad trigonométrica + tgα secα 0,707,0 0,700 No eiste ningún ángulo α tal que 0,707 y 0,700 porque siempre se cumple que >. 8. Si, y α es un ángulo agudo halla: sen (α + 80º) cos (80º α) tg (0º α) d) sen ( α) Como el ángulo α es agudo entonces > 0 y > : sen (α + 80º) tg (0º α) co Unidad Semejanza y trigonometría cos (80º α) d) sen ( α)

18 8. Actividad resuelta. 8. Demuestra esta igualdad trigonométrica ( + + ) + + ( + ) 8. Demuestra las siguientes igualdades. cos + tg + tg sen cos sen tg ( + tg)cos cos cos sen cos sen cos cos sen tg sen ( + tg )cos cos + tg cos cos + sen 87. Demuestra las identidades siguientes. ( ) ( ) + (tg + cotg ) sec +cosec cos α + + sen + cos sen cos (tg + cotg ) + sec + cosec cos sen cos sen cos sen cos sen 88. Con la ayuda de la calculadora, halla las medidas en ianes de los siguientes ángulos. 0, sen A < < A 0,77 cos B < < B, tg C Como < < C es un ángulo del segundo cuadrante. < A <, entonces A 0, A arcsen 0, 0,, sen A Como es un ángulo del cuarto cuadrante. < B <, entonces B arccos 0,77 0,8,0 0,77 B cos B es un ángulo del tercer cuadrante. <, entonces C Como < C, C + arctg, + 0,8, tg C Semejanza y trigonometría Unidad

19 8. Resuelve estas ecuaciones trigonométricas. Epresa los resultados en ianes. tg cos tg arctg ( ) + k {,0,7 + k sen 0,8 cos cos arccos ( ) + k sen 0,8 arcsen 0,8 d) sen k {0,,7 + k + k {,,0 + k d) sen + 0 sen arcsen 0. Resuelve estas ecuaciones trigonométricas. Epresa los resultados en gos. cos( 0º) cos( 0º) 0º arccos sen( + 00º) sen( + 00º) + 00º arcsen tg ( º) º arctg tg ( º) 0º + 0º k 0º + 0º k 0º + 0º k 0º + 0º k { 0º +0º k 0º +0º k 0º +0º k { { {0º +0º k 0º +0º k 0º +0º k 70º + 0º k º +0º k º +0º k º + 0º k {. Simplifica las epresiones trigonométricas. sen cos + cos sen sen cos sen cos sen tg + cos sen cos cos tg + tg sen cos sen tg cos sen cos cos sen cos sen sen cos + sen + tg + cos sen cos cos cos ( cos )( + cos ) cos + cos. Utilizando los criterios de semejanza, encuentra triángulos semejantes en las siguientes figuras y calcula las medidas de los segmentos desconocidos. y,, y,7, y y, Unidad Semejanza y trigonometría y d) ; z d) + 8 z z

20 . Halla las razones trigonométricas de º y º. sen º sen (80º + º) sen º sen ( º) sen º cos º cos (80º + º) cos º cos ( º) cos º tg º tg (80º + º) tg º. Si α es un ángulo agudo y tg ( º) tg º, cuáles son las razones del ángulo α + 80º? Como el ángulo α es agudo entonces > 0 y > 0. senα + cosα + cosα cosα 8 : 8 sen (α + 80º) cos (α + 80º) tg (α + 80º). Actividad resuelta.. Verdadero o falso? Razona tu respuesta. Todos los rectángulos son semejantes. Todos los triángulos equiláteros son semejantes. Todos los triángulos que son a la vez rectángulos e isósceles son semejantes. d) Los ángulos de dos triángulos semejantes son proporcionales. Falso Por ejemplo, un rectángulo de lados cm y cm y otro de lados cm y cm no tienen sus lados homólogos proporcionales y, por tanto, no son semejantes. Verdadero Todos los triángulos equiláteros tienen sus ángulos iguales, 0º, y los lados homólogos son proporcionales ya que en un triángulo equilátero los lados son iguales. Verdadero Los ángulos correspondientes son iguales, ya que en todos los casos miden 0, y, y los lados correspondientes son proporcionales, pues son de la forma, y.. d) Verdadero Los ángulos de dos triángulos semejantes son iguales. Es decir, son proporcionales con razón de proporcionalidad. 7. Emprende Halla la altura del edificio donde estudias utilizando únicamente un lápiz, un papel y una cinta métrica. Eplica el método que has utilizado. Respuesta libre. 8. Una plancha de hierro fundido tiene una masa de 8, kg. Qué masa tendrá otra plancha semejante del mismo metal y grosor si sus dimensiones son el triple de las de la plancha original? La razón de semejanza es k. La razón de las áreas será k. Al mantenerse el grosor, la masa de la segunda plancha será nueve veces la masa de la primera: 8, 7, kg Semejanza y trigonometría Unidad

21 . Se quieren fabricar losetas como las de la figura que estén formadas por un rombo de diagonales 8, y 8, cm, respectivamente, y un cuado inscrito en él. Calcula el área de la zona verde (cuado interior) y la suma de las áreas de las zonas naranjas (superficie entre el rombo). Los triángulos ABC y EBD son semejantes por estar en posición de Tales.,8 7,8 7,8,8,0,8 cm,0,0, Área verde:,8,7 cm Área naranja: 8,0 8,, cm,7 00. Observa el decágono regular y contesta. Qué ángulo hay que recorrer para llevar el io r desde el vértice A hasta B en el sentido contrario a las agujas del reloj? A dónde llegará r si se encuentra inicialmente en B y se le aplica un giro de 08º? A dónde llegará r si se encuentra inicialmente en G y se le aplica un giro de º? Desde un vértice hasta el vértice consecutivo, el io r recorre un ángulo de 0º : 0 º. Para ir del vértice A hasta el vértice B el io r recorre un ángulo de º en el sentido de las agujas del reloj. Es decir, recorre un ángulo de 0º º º. Si el io r se encuentra inicialmente en B y se le aplica un giro de 08º º, el io llegará al vértice I. Si el io r se encuentra inicialmente en G y se le aplica un giro de º º, en sentido contrario a las agujas del reloj, el io llegará al vértice C. 0. El carnet del polideportivo tiene la propiedad que el rectángulo ABCD que lo forma es semejante al rectángulo ECDF. La zona ABEF es un cuado de lado b. Calcula el cociente de las dos medidas a y b del carnet. ABCD y ECDF son semejantes por tener sus ángulos iguales y sus lados homólogos proporcionales. ( a b b ± b + b b ± b b ± b b ± a ab b a ab b 0 a b a b ( ) b + a a Como a > 0, entonces b Unidad Semejanza y trigonometría ( b + ) + b )

22 0. El valor h en la siguiente figura es: A. h B. h C. h D. h 0 Un ángulo interior de una circunferencia que abarca un diámetro mide 0º. Por tanto, se forma un triángulo rectángulo cuya altura sobre la hipotenusa es h y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden y. Aplicando el teorema de la altura: h h La respuesta correcta es la C. 0. El seno del ángulo α de la figura vale: A. 0, B. 0, C. 0, D. 0, 8 0, La respuesta correcta es la A. Encuentra el error 0. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo de área,87 cm semejante a otros cuyos catetos miden y cm. El área de un triángulo semejante es cm. 0 cm, y su hipotenusa, + Luego, la razón de semejanza de los dos triángulos es:,87, 0 La hipotenusa mide:, 0, cm Dónde está el error? La razón de semejanza de las áreas es el cuado de la razón de semejanza de las longitudes. En este ejercicio, el error está en considerar que las razones de semejanza de las áreas coinciden con la razón de semejanza de las longitudes.,87 La razón de semejanza entre las áreas es k,. 0 Por tanto, la razón de semejanza entre las longitudes es k La hipotenusa mide:,, cm.,,. Semejanza y trigonometría Unidad 7

23 PONTE A PRUEBA La profundidad del pozo Actividad resuelta. El túnel de Eupalinos Cuando Polícrates encargó a Eupalinos construir un túnel bajo la montaña que, partiendo simultáneamente de A y B, se encontrara en las profundidades de la roca, el sabio griego recurrió a los triángulos semejantes. El siguiente método le permitió calcular la dirección con la que se debía hoar la montaña desde cada uno de los etremos.. Traza el triángulo imaginario ABC y, en la falda de la montaña, toma las medidas AP 00 m, PQ 700 m, QR 00 m y RB 00m, en las que todos los ángulos son rectos. Obtén las distancias AC y CB. AC PQ BR 00 m. CB QR AP 0 m. Cuánto medirá el túnel? Aplicando el teorema de Pitágoras: AB AC + CB El túnel medirá 00 m.. Cómo deben ser los segmentos PX y RY para que los triángulos ABC, XPA y BRY sean semejantes? PX BR AC Los segmentos PX y RY deben ser una prolongación de PQ y QR tales que. AP RY BC. Halla las distancias PX y RY. PX 00 PX,7 m y Unidad Semejanza y trigonometría RY 70 m RY 0

24 Son o no segmentos paralelos? Observa la figura y resuelve. Si las medidas de los segmentos son: OA, cm. OB,7 cm OC 0,7 cm OD,8 cm Compara los productos de las distancias OA OC y OB OD. OA OC, 0,7 7,88 y OB OD,7,8 7,88 Los productos de las distancias OA OC y OB OD son iguales.. Compara los productos de las distancias OA OD y OB OC. OA OD,,8 088,8 y OB OC,7 0,7 8,. Con los resultados obtenidos en los apartados anteriores, puedes decidir si los segmentos AB y CD son o no paralelos? AB y CD no son paralelos porque OA OD OB OC. Y si se modifica únicamente la distancia OD para el valor OD 8, cm? OA OD,,8 8,,7 0,7 OB OC En este caso AB y CD son paralelos porque OA OD OB OC La altura del alcornoque Cinthya ha enconto un alcornoque con un nido de buitre negro en la copa. Se ha alejado unos m del árbol para mirar con su catalejo y poder observar el nido con perspectiva. Sus ojos están a una altura de metro y medio y el catalejo forma un ángulo de º con el suelo.. A qué altura está el nido? A. Menos de m B. Entre y, m C. Entre, y 7 m D. Más de 7 m Llamamos a la distancia que hay desde el suelo hasta el nido. tg º,, tg º,,8 8, La respuesta correcta es la D.. Si se aleja 00 m del pie del alcornoque, aumenta o disminuye la inclinación del catalejo para seguir observando el nido? Qué ángulo forma el catalejo con el suelo en este caso? Si se aleja 00 m del pie del alcornoque la inclinación del catalejo para seguir mirando el suelo disminuye. Llamamos α al ángulo que forma el catalejo con el suelo.,8 0,08 α arctg 0,08 º 00 El catalejo forma un ángulo de º con el suelo. Semejanza y trigonometría Unidad

25 AUTOEVALUACIÓN. Calcula el valor de, y, z en la siguiente figura. Aplicando el teorema de Tales: AB BC,,, A ' B ' B 'C ' A'B ' B 'C ', y,8 y, A '' B '' B '' C '' z, + y, +,8,7. El perímetro de un triángulo es de cm y es semejante a otro triángulo de lados 7,; y cm. Cuánto miden los lados de ese triángulo? Cuál es la razón de semejanza? El perímetro del triángulo semejante es P 7, + +, cm. La razón de semejanza de las longitudes de los triángulos es k,,. Por tanto, los lados del triángulo original medirán: Homólogo al lado de 7, cm:, 7, cm Homólogo al lado de cm:, cm Homólogo al lado de cm:, cm. Las áreas de dos heágonos semejantes son 0 y cm, respectivamente. Cuánto mide el perímetro del mayor si el del menor es de cm? La razón de semejanza entre las áreas es k heágonos es k. 0. Por tanto, la razón de semejanza de las longitudes de los El perímetro del mayor es k cm.. Considera los triángulos de la figura. Cómo deben ser los segmentos MN y BC para que los triángulos ABC y AMN sean semejantes? Halla el valor de suponiendo que se verifica la condición del apartado anterior e indica la razón de semejanza. Para que los triángulos ABC y AMN sean semejantes, los segmentos MN y BC deben ser paralelos , La razón de semejanza es k 7 7, en gos y º en ianes.,.epresa º 0º º Unidad Semejanza y trigonometría

26 . Halla el seno y el coseno del ángulo α del cuarto cuadrante y tal que. Como α es un ángulo del cuarto cuadrante, entonces < 0 y > cosα cos α cos α Si 0,, y α es un ángulo agudo halla: sen (80º α) cos (0º α) cos ( α) Como α es un ángulo agudo entonces > , + 0, 0, 0,8 sen (80º α) 0, 8. cos (0º α) 0, cos ( α) 0,8 Demuestra la siguiente igualdad. sen + sen cos sen + tg sen + sen cos sen + sen cos sen ( sen + sen cos ) sen ( sen + cos ) sen cos sen cos sen + cos tg sen. El triángulo de la figura es rectángulo en A. Calcula las medidas de los lados desconocidos y de h. Calcula las razones trigonométricas del ángulo α. Calcula las amplitudes de los ángulos α y β. Calculamos la distancia CH : cos º CH CH cos º,88 cm Aplicando el teorema de Pitágoras: h,88, cm Por el teorema de la altura:,,88 BH BH,, cm,88 CB CH + BH,88 +, 8, cm Aplicando el teorema de Pitágoras: AB, +, 7, cm El ángulo de º y α son ángulos complementarios. cos (0º α) cos º 0,7 sen (0º α) sen º 0,88 cotg (0º α) cotg º 0, tg º α 80º (0º + º) 80º º 8º sen β, 0,7 β arcsen 0,7 8º 7, Semejanza y trigonometría Unidad