Efecto de la modificación del perfil en el rendimiento de altavoces dinámicos de radiación directa

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1 Rev. Int. Mét. Num. Cál. Dis. Ing. Vl. 8, 2, (22) Revista Internainal de Métds Numéris para Cálul y Diseñ en Ingeniería Efet de la mdifiaión del perfil en el rendimient de altaves dinámis de radiaión direta Jesús Alba y Jaime Ramis Departament de Físia Apliada Esuela Pliténia Superir de Gandía Universidad Pliténia de Valenia 4673 Gra de Gandia, Valenia, España Tel.: /284 93, Fax: jesalba@fis.upv.es jramis@fis.upv.es Resumen Un de ls parámetrs más signifiativs de ls altaves es, prbablemente, su rendimient. Este puede definirse m la relaión entre la ptenia radiada y la ptenia elétria nsumida. Nrmalmente se expresa en % y puede ser determinad apliad expresines en las que figuran ls valres de ls mpnentes del iruit equivalente del altavz. Un primer element neesari es la impedania de radiaión, est es, la expresión uantitativa de la frma en la que el medi reaina frente a la superfiie vibrante. En la mayría de las apliaines prátias, es sufiiente utilizar el mdel de pistón plan y irular mntad en pantalla infinita pared rígida. Sin embarg, ls diafragmas de ls altaves n suelen ser plans y el álul de las partes real e imaginaria de la impedania de radiaión sól es psible apliand ténias numérias. En este trabaj se analiza la variaión del rendimient de un altavz dinámi de radiaión direta rrigiend el valr de la impedania de radiaión en funión del perfil del diafragma utilizand ténias numérias de integraión. Además, se mparan ls resultads btenids mediante álul n ls btenids experimentalmente. VARIATION OF THE EFFICIENCY OF ELECTROMAGNETIC DIRECT RADIATOR LOUDSPEAKERS BY CORRECT RADIATION IMPEDANCE IN FUNCTION OF PROFILE Summary One f the mst relevant parameters f a ludspeaker prbably is effiieny. It an be defined by the rati f the radiated austi pwer t the pwer that the eletrial generatr supplies, and an be btained by evaluating the frmulae that ntain the values f austis mpnents f the ludspeaker s equivalent iruit. The first element we will deal with is the impedane f radiatin, i.e., a quantitative desriptin f the manner in whih the medium reats against the mtin f a vibrating surfae. Usually, the mdel f a plane irular pistn munted n an infinite surfae (baffle) is used. Therefre, the prfile f diaphragms f ludspeakers is nt flat and the determinatin f the real and imaginary parts f radiatin impedane is nly pssible by using numerial tehniques. In this paper, we analyse the variatin f the effiieny f eletrmagneti diret-radiatr ludspeakers by rret radiatin impedane in funtin f the prfile f the diaphragm using numerial tehniques f integratin. T demnstrate the auray f the preditin, a mparatin between predited and experimental results is presented. Universitat Plitènia de Catalunya (España). ISSN: Reibid: Diiembre 2

2 244 J. Alba Fernández y J. Ramis Srian INTRODUCCIÓN Un de ls parámetrs más araterístis de un transdutr es su rendimient. Este parámetr representa el iente entre la ptenia útil radiada pr el altavz y la ptenia ttal nsumida pr éste, pr l que, uant mayr sea, mejr aprvehamient de la energía nsumida pr el altavz. Existen expresines matemátias n las que predeir el valr del rendimient. Estas dependen de distintas araterístias nstrutivas: resistenia R E y autinduión L E de la bbina móvil, lngitud l de la bbina dentr del entrehierr, amp magnéti permanente B read pr un imán, masa móvil del diafragma, M MD, defrmaión meánia del diafragma, C MD,pérdidas meánias R MD yademás, la impedania meánia de radiaión de la membrana, relainad n la superfiie de la membrana S yasu frma. En la Figura se muestra un rte transversal del altavz dinámi. Figura. Crte transversal del altavz dinámi 2 Para alular el rendimient es neesari ner el valr de la impedania de radiaión y en muhas apliaines éste se btiene utilizand la simplifiaión de pistón plan y irular mntad en pantalla infinita pared rígida. Sin embarg, la mayría de altaves tienen membranas n planas, pr l que es neesari realizar una rreión de diha impedania. En este trabaj se realiza una rreión del rendimient para distints perfiles utilizand métds m el de Rmberg 3 para efetuar la integraión numéria. EXPRESIÓN TEÓRICA DEL RENDIMIENTO El rendimient del altavz mntad en pantalla infinita se define m el iente de la ptenia radiada pr la ara anterir del diafragma y la ptenia ttal ativa que entrega la etapa de salida del amplifiadr. Se puede demstrar que (Bl) 2 R η (%) = (R g + R E ) MT 2 +(Bl) 2 (2R + R MD ) siend MT (kg/s) la impedania meánia ttal, B (T) el amp magnéti permanente read pr el imán en el entrehierr, l (m) la lngitud de bbina dentr del entrehierr, R g (Ω) la resistenia del generadr netad al altavz, R E (Ω)la resistenia elétria de la

3 Efet de la mdifiaión del perfil en el rendimient de altaves dinámis de radiaión direta 245 bbina y R MD (kg/s) la resistenia meánia del diafragma que da uenta de las pérdidas en el mvimient de ls elements meánis. La impedania meánia ttal se puede btener m MT = MD + dnde MD (kg/s) representa la impedania meánia pura de valr [ MD = R MD + j ωm MD ] ωc MD dnde ω (rad/s) es la pulsaión, M MD (kg) representa la masa móvil del diafragma y C MD (m/n) la defrmaión meánia del diafragma. (kg/s) es la impedania meánia de radiaión =2R + j2x =2R +2jωM siend R (kg/s) la resistenia meánia de radiaión y M (kg) la masa meánia de radiaión. Nrmalmente el rendimient se suministra a la freuenia estandarizada de khz. La respuesta en freuenia del altavz dinámi tiene una zna de muh interés, que se ha marad en la Figura 2 de un altavz merial (Beyma). na de interés Figura 2. Respuesta en freuenia del altavz dinámi Esta zna señalada en la Figura 2 se suele nsiderar teóriamente plana, aunque apareen silaines que se pdrían asiar a prblemas de distrsión del altavz y mds prpis de vibraión de la membrana. La expresión anterir del rendimient se puede simplifiar en esta zna de trabaj del altavz, supniend que el sistema está ntrlad pr masa (Bl) 2 R η (%) = ω 2 (R g + R E )(M MD +2M ) 2 Pr tant, para aumentar el rendimient se puede aumentar la resistenia meánia de radiaión R y disminuir la masa meánia de radiaión M.

4 246 J. Alba Fernández y J. Ramis Srian IMPEDANCIA MECÁNICA DE RADIACIÓN EN PARED RÍGIDA El nept de impedania meánia de radiaión está asiad a la fuerza de reaión F R que ejere el aire sbre la membrana del altavz pniéndse a que la membrana se mueva, respet a la velidad n la que se mueve la membrana u. Matemátiamente, supniend una dependenia armónia 4 = F R u e jωt La fuerza de reaión depende de la presión que se ejere sbre la superfiie de la membrana 4 F R = pds S Para el as de que se tme la membrana m un pistón irular plan situad sbre pared rígida que vibra n mvimient armóni, la expresión mpleja que permite btener la presión en ualquier punt del semiespai dnde radia el altavz es 4 p = jρ fu e jkt σ=a σ= Ψ=2π Ψ= e jk r 2 + σ 2 2rσ sen θ s Ψ σdσdψ r2 + σ 2 2rσ sen θ s Ψ siend r la distania del entr del pistón al punt dnde se quiere alular la presión, σ la distania desde el entr del pistón al element de superfiie, θ el ángul que frma el vetr frmad pr el entr del pistón n el punt de álul y el eje, Ψelángul que el vetr frmad pr el entr y el punt dnde se sitúa el element de superfiie frma n el eje X, j = elnúmer imaginari, ρ (kg/m 3 ) la densidad del aire, f (Hz) la freuenia de la nda emitida pr la fuente simple, u (m/s) la amplitud de velidad de la superfiie vibrante, (m/s) la velidad de prpagaión de la nda en el aire, a (m) el radi del altavz, t el tiemp y k (m ) la nstante de nda de valr k = 2πf La expresión anterir sól tiene sluión numéria. En la Figura 3 se han representad tdas las variables invluradas en el álul. Ψ ds σ r h θ P Ψ θ r h h' P z Y r Pistón plan irular X Φ σ z p Figura 3. Variables invluradas en el álul

5 Efet de la mdifiaión del perfil en el rendimient de altaves dinámis de radiaión direta 247 Sustituyend la expresión anterir de la presión en la fuerza de reaión e integrand sbre tds ls elements de superfiie se btiene 4 F R = jσ fu e jkt σ=a σ= Ψ=2π θ=π r=2 s θ e jk r σdσ dψ dθ 2 + σ 2 2rσ sen θ s Ψ dr Ψ= θ= r= r2 + σ 2 2rσ sen θ s Ψ De la expresión anterir se puede btener fáilmente el valr de la impedania meánia de radiaión 4 = jρ f σ=a σ= Ψ=2π θ=π r=2 s θ e jk r σdσ dψ dθ 2 + σ 2 2rσ sen θ s Ψ dr Ψ= θ= r= r2 + σ 2 2rσ sen θ s Ψ Existe una sluión a la relaión anterir, que se puede parametrizar en funión de [ = πa 2 ρ J ] (2) + j πa2 ρ 2k 2 a K (2) 2 siend J (x) la funión de Bessel de primera espeie y rden y K (x) la funión de Kelvin de rden, dnde la variable x en nuestr as es 2. Ambas funines se pueden btener mediante ls desarrlls en serie siguientes K (x) = 2 π J (x) = x 2 ( ) x 3 3 x x [ ( x ) 2 ( x ) 4 ] ! 2 2!3! 2 En el as de un pistón irular n un iert perfil, el valr de la presión es 5 p = jρ fu e jkt σ=a Ψ=2π σ= Ψ= e jkh σdσdψ h dnde h (Figura 3) se puede btener de la siguiente expresión 5 h 2 = r 2 + σ 2 + z 2 p 2r(σ sen θ s Ψ s Φ + σ sen θ senψ sen Φ + z p s θ) siend z p el valr de la variaión en z prduid pr un perfil determinad. Integrand de nuev la expresión de la fuerza de reaión y dividiend pr la velidad, se puede btener una expresión para la impedania meánia de radiaión n un iert perfil = jρ f σ=a σ= Ψ=2π θ=π r=2 s θ σdσ dψ dθ Ψ= θ= r= Claramente, la expresión sól tiene sluión numéria. e jkh h dr

6 248 J. Alba Fernández y J. Ramis Srian PERFILES SIMULADOS Ls perfiles simulads en este trabaj sn ls que se representan en la Figura 4. Las euaines que dan frma a ests perfiles sn: 5 Perfil lineal: z p = p x a p Perfil uadráti: z p = p ( x a) 2 p Perfil úbi: z p = p ( x a) 3 p Perfil expnenial: z p = p(ex e a ) e a Perfil raíz: z p = p x a p { r2 x Perfil lineal + irular: z p = 2 p x < r x r p(x a) a r 2a 2a p p Lineal 2a Expnenial 2a p p Cuadráti Raíz 2a p p r Cúbi Lineal+irular Figura 4. Perfiles simulads RESULTADOS Para realizar las simulaines se han utilizad algritms de integraión, 6 prgramads en Matlab. Para evaluar el valr de a una freuenia determinada, se realizan ls siguientes pass:. Se definen las nstantes de (ρ, f, k) y ls vetres σ, ψ y θ de frma que el númer de elements sea ptenia de 2.

7 Efet de la mdifiaión del perfil en el rendimient de altaves dinámis de radiaión direta Se realiza un bule desde el primer element al últim de σ. Dentrdeestesehael mism n ψ yasuvezdentrdeψ se hae l mism n θ. 3. Se integra el términ asiad a la expnenial dentr de ess bules anidads. 4. Una vez se ha realizad la integraión de tds ls elements y se ha asegurad que sn ptenia de 2, se realiza un bule m en el métd de Rmberg 3 para mejrar el resultad y se multiplian pr las nstantes, bteniend. La superfiie de las distintas membranas se han disretizad radialmente y angularmente en aprximadamente punts. El tiemp de álul de la impedania meánia de radiaión en un Pentium II-333 MHz es de aprximadamente hra y media pr valr alulad. Para una malla de punts se alulan aprximadamente 5 millnes de integrales. Tdas las impedanias meánias de radiaión se presentan nrmalizadas, dividiend el valr btenid pr el efiiente, siend S la superfiie del pistón, ρ la densidad del aire y la velidad del aire. Se ha de umplir en tds ls ass que si tiende a infinit, la parte real de la impedania meánia de radiaión tiende a la unidad y que la parte imaginaria tiende a er. En la Figura 5 se representa la impedania meánia de radiaión nrmalizada btenida pr integraión y se mpara n ls valres dads pr ls desarrlls en serie Figura 5. Cmparaión integraión n desarrll en serie De la Figura 6 a la se representan las impedanias nrmalizadas para distints perfiles, mparada n la impedania del pistón plan, tmand una prfundidad del perfil igual a la mitad del radi. Las gráfias se representan hasta =, ya que n sn neesaris valres más alts. Pr ejempl, un altavz de 2 da un valr de =4, 89 a Hz.

8 25 J. Alba Fernández y J. Ramis Srian Figura 6. Cmparaión: pistón (línea ntinua), perfil lineal (línea disntinua) Figura 7. Cmparaión: pistón (línea ntinua), perfil uadráti (línea disntinua)

9 Efet de la mdifiaión del perfil en el rendimient de altaves dinámis de radiaión direta Figura 8. Cmparaión: pistón (línea ntinua), perfil úbi (línea disntinua) Figura 9. Cmparaión: pistón (línea ntinua), perfil expnenial (línea disntinua)

10 252 J. Alba Fernández y J. Ramis Srian Figura. Cmparaión: pistón (línea ntinua), perfil raíz (línea disntinua) Figura. Cmparaión: pistón (línea ntinua), perfil irular+lineal (línea disntinua)

11 Efet de la mdifiaión del perfil en el rendimient de altaves dinámis de radiaión direta 253 En la Tabla I se mparan alguns valres de rendimient btenids a partir de las impedanias aluladas anterirmente n ls dats tmads de un atálg de altaves de la empresa Aústia Beyma, S.A. En nret se han btenid ls valres de R y M y se han sustituid ls restantes dats de atálg (Bl, a, R E, R G y M MD )enlaexpresión simplifiada del rendimient. Ls resultads se expresan en el Sistema Internainal de Unidades. Bl a R M R E R G M MD Rendimient Rendimient (aprx.) (fabriante) 8M,5, 4,86,3 7,2,,4 2,47 2,5 B6,9,3 27,84,3 6,,,44,68,75 2B7,6,5 37,,4 6,,,48,9, Tabla I. Cmparativa del rendimient btenid numériamente n el del fabriante CONCLUSIONES Se puede bservar que mediante integraión numéria se pueden btener valres aprximads de la impedania meánia de distints perfiles. Hay que tener en uenta que en ls perfiles prbads siempre se btienen valres resistivs mayres que ls del pistón plan y valres reativs menres, l que permitiría estableer un predimient para ptimizar el rendimient. Hay que rerdar que el margen de validez está limitad para el as de membranas, debid a que ls punts de su superfiie n vibran n la misma amplitud y fase, per se nsideran válids mientras se umpla 7 f< E 2πa ρ( µ 2 ) siend a elradidelamembrana,e el módul de Yung del material del que está mpuest la membrana, ρ la densidad de la misma y µ su efiiente de Pissn. 7 Observand la Tabla I, se puede ver la semejanza existente entre ls valres btenids pr simulaión del perfil y ls dads pr el fabriante. Para valres de > 3 n es sufiiente el muestre de punts. REFERENCIAS Le L. Beranek, Austis, Austial Siety f Ameria, (996). 2 M. Cllms, High perfrmane ludspeaker, Jhn Willey & Sns, N.Y., (997). 3 W.H. Press, S.A. Teuklsky, W.T. Vetterling y B.P. Flannery, Numerial reipes in C, 2 a ediión, Cambridge University Press, (992). 4 P.M.Mrse, Vibratin and Sund, Austial Siety f Ameria, 4 a ediión, (99).

12 254 J. Alba Fernández y J. Ramis Srian 5 J. Alba y J. Ramis, Influenia del perfil de ls ns para altaves en la radiaión snra, Revista Internainal de Métds Numéris para Cálul y Diseñ en Ingeniería, Vl6, N 3, pp , (2). 6 G. Lindfield y J. Penny, Numerial methds using Matlab, Ellis Hrwd Limited, (995). 7 M. Reuer, Ingeniería Aústia, Ediión Paraninf, (994).