FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA U.N.R.

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA U.N.R. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA: GEOMETRÍA I Código L-103 PLAN DE ESTUDIOS: 2002 CARRERA: Licenciatura en Matemática DEPARTAMENTO: de Matemática E.C.E.N. PROFESOR: Graciela G. Garguichevich 2002 HASTA AÑO 2003 TENTATIVO DEFINITIVO DE EXAMEN PROGRAMA ANUAL SEMESTRAL TRIMESTRAL Táchese lo que no corresponda. OBSERVACIONES: PRESUPUESTO HORARIO SEMANAL PROMEDIO TEORÍA: 4 1 PRÁCTICA: 3 2 LABORATORIO: - 3 TOTAL ASIGNADO: DEDICACIÓN DEL ALUMNO FUERA DE CLASE: 7 5 PRESUPUESTO TOTAL: PROGRAMA BASADO EN SEMANAS ÚTILES : 30 7 HORAS TOTALES ASIGNADAS: 210 7x4 HORAS TOTALES PRESUPUESTAS: 210 7x6 OBJETIVOS: (qué debe saber el alumno al concluir el curso) Los objetivos del curso consisten en lograr que el alumno conozca los contenidos básicos de la Geometría Métrica Sintética y Analítica del plano y del espacio que se explicitan en el programa analítico expuesto a continuación, para poder encarar sin inconvenientes: 1) El desarrollo de demostraciones, fijado un sistema axiomático y dentro del nivel del curso. 2) La expresión analítica de conceptos y relaciones geométricos y, recíprocamente, la identificación geométrica de expresiones analíticas. 3) El empleo de un lenguaje simbólico preciso. 4) La identificación de problemas geométricos o de otra índole que puedan visualizarse como tales y su correspondiente resolución, debidamente justificada. 5) La búsqueda bibliográfica que le permita ampliar los conocimientos tratados en las clases. 6) El estudio de las asignaturas posteriores haciendo uso de la intuición geométrica adquirida. UBICACIÓN EN LA CARRERA Y CARACTERÍSTICAS GENERALES: Pertenece al 1er año de la carrera. Esta inserción en el plan de estudios hace que reviste características especiales ya que los alumnos deben adaptarse a una forma de razonamiento lógico y a una precisión en el lenguaje a los cuales no están acostumbrados, por lo cual se necesita que el trabajo sea gradual, continuo y más intenso que el desarrollado durante el ciclo anterior, para lograr los objetivos. MATERIAS RELACIONADAS: Previas: Simultáneas recomendadas: Álgebra, Cálculo I, Taller de Problemas. Posteriores: Álgebra Lineal, Cálculo III, Métodos Matemáticos. Graciela Garguichevich Firma Profesor Fecha Aprob. Escuela Fecha Aprobado en reunión de Consejo Académico de fecha:...

2 CONTENIDO TEMÁTICO Ordenar temas utilizando codificación decimal I GEOMETRÍA MÉTRICA SINTÉTICA I -1 GEOMETRÍA DEL PLANO. I.1.1- Introducción. Términos y relaciones no definidos Nociones comunes de Euclides. I.1.2- Axiomas de incidencia y orden. Definiciones relacionadas: Puntos alineados. Rectas concurrentes. Haz de rectas. Segmento. Semirrecta. Semiplano. Ángulo. Ángulos adyacentes, opuestos por el vértice, consecutivos. Figuras planas convexas. Polígonos convexos. Su clasificación. Axioma de las paralelas. Consecuencias. I.1.3- Axiomas de congruencia: Trasformaciones rígidas. Propiedades: Imagen de una semirrecta, un semiplano, un segmento y un ángulo. Comparación de segmentos. Punto medio. Comparación de ángulos. Bisectriz. Perpendicularidad. Mediatriz de un segmento. Figuras unidas. Las trasformaciones rígidas fundamentales y sus propiedades: Simetría Central, Simetría Axial, Traslación paralela y rotación. Congruencia de triángulos. Criterios. Congruencia de figuras planas. Cuadriláteros. Base media. I.1.4- El axioma de continuidad. Medida de un segmento. Distancia entre dos puntos y de un punto a una recta. Medida de ángulos. Relaciones de desigualdad en el triángulo. La circunferencia y el círculo. Rectas y circunferencias: secantes y tangentes. Ángulos en la circunferencia: centrales, inscritos y semiinscritos. Perímetro de polígonos regulares. Longitud de la circunferencia. I.1.5- El concepto de área. Área del rectángulo. Área de figuras elementales. Teorema de Pitágoras. El teorema fundamental de la proporcionalidad. El teorema de Thales. Aplicaciones. Homotecia. Propiedades. Semejanza de figuras planas. Homotecia y semejanza. Criterios de semejanza de triángulos. Proporcionalidad en triángulos rectángulos. Semejanza de figuras planas. Comparación de áreas. Propiedades de las cuerdas y tangentes de la circunferencia. Área de polígonos regulares. Área del círculo. I.1.6- Relaciones métricas en un triángulo rectángulo. Trigonometría plana. Funciones trigonométricas. Teoremas del coseno y del seno y sus consecuencias. Fórmula de Herón. Las cevianas de un triángulo. El teorema de Ceva y sus consecuencias. Puntos y líneas notables del triángulo: las medianas y el baricentro; las bisectrices, el incentro y los excentros; las alturas y el ortocentro. El triángulo órtico. El triángulo medial. La recta de Euler. La circunferencia de los nueve puntos. El teorema de Feuerbach. I-2- GEOMETRÍA DEL ESPACIO. I.2.1- Rectas y planos en el espacio. Axiomas. Posiciones relativas de rectas y planos. Rectas perpendiculares y ortogonales. Perpendicularidad entre recta y plano. Ángulos diedros. Perpendicularidad de planos. Ángulos triedros. Ángulos poliedros. I.2.2- Superficies poliédricas y poliedros. Fórmula de Euler. Cuerpos platónicos. Prismas, paralelepípedos y pirámides. Cuerpos redondos o de revolución. Cilindros. Conos. Esfera. Cuña y huso esféricos. Segmento y casquete esféricos. I.2.3- Área de superficies poliédricas. Área lateral del prisma, de la pirámide del cilindro y del cono. Área de la superficie esférica. I.2.4- Volumen de cuerpos: el paralelepípedo rectangular. Principio de Cavalieri. Volumen del prisma, la pirámide, el cilindro, el cono y la esfera. II- GEOMETRÍA MÉTRICA ANALÍTICA. II-1- SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS. II.1.1-Introducción a la geometría analítica. Sistemas de coordenadas en la recta, el plano y el espacio. Representación de puntos. Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento. II.1.2- Los problemas fundamentales de la geometría analítica: Identificación de lugares geométricos y ecuaciones de los mismos. Simetrías. La pendiente de una recta en el plano. Rectas perpendiculares.

3 II-2- ALGEBRA VECTORIAL. II.2.1- Segmentos orientados y vectores. Suma de vectores y producto de un vector por un número real. Propiedades. Espacios vectoriales V1, V2 y V3. Combinación lineal de vectores. Dependencia e independencia lineal. Bases y dimensión de V1, V2 y V3. Componentes de un vector y operaciones en forma analítica. Bases canónicas. Vector posición de un punto. Aplicaciones a la geometría analítica. II.2.2- Proyecciones de un vector sobre otro. Producto escalar de dos vectores. Propiedades. El espacio euclídeo. Expresión analítica del producto escalar. Aplicaciones. II.2.3- Producto vectorial de dos vectores del espacio. Propiedades. Expresión analítica del producto vectorial. Aplicaciones. Producto mixto de tres vectores del espacio. Propiedades. Interpretación geométrica. Aplicaciones. II-3- LA RECTA EN EL PLANO Y EL PLANO Y LA RECTA EN EL ESPACIO. II.3.1- La recta en el plano. Diversas formas de su ecuación: vectorial, paramétrica, general, normal, explícita y segmentaria. Interpretación geométrica de los coeficientes. Ángulo entre rectas. Caracterización de rectas paralelas, coincidentes y perpendiculares. Distancia de un punto a una recta y entre dos rectas paralelas. Intersección de rectas. Haz de rectas en el plano. Inecuaciones lineales en dos variables. Su resolución geométrica. Sistemas de inecuaciones lineales. Aplicación a problemas de programación lineal. II.3.2- El plano y la recta en el espacio. Sus ecuaciones vectoriales. Diversas formas de la ecuación del plano: paramétrica, cartesiana, normal y segmentaria. Interpretación geométrica de los coeficientes. Ángulo diedro. Paralelismo y perpendicularidad de planos. Distancia de un punto a un plano. Intersección de planos. Haz de planos. Diversas formas de la ecuación de la recta en el espacio: paramétrica, cartesiana y simétrica. Paralelismo y ortogonalidad de rectas en el espacio. Intersección de rectas. Distancia de un punto a una recta en el espacio. Distancia entre rectas paralelas o alabeadas. II-4- SECCIONES CÓNICAS. II.4.1- Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Sus ecuaciones canónicas. Excentricidad. Construcciones gráficas. Otra definición de las secciones cónicas. Propiedades de reflexión de las cónicas. Teorema de Dandelin. II.4.2- La ecuación cartesiana general de segundo grado en dos variables. Trasformación de coordenadas por traslación y rotación de ejes. Invariantes en la ecuación. Lugares geométricos: elíptico, hiperbólico y parabólico. Criterios para el reconocimiento de los diferentes lugares geométricos: secciones cónicas y cónicas degeneradas. II-5- SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO. II.5.1- Superficies. Forma cartesiana y paramétrica de su ecuación. Trazas. Secciones planas y simetrías. Superficie esférica. Coordenadas esféricas. Superficie cilíndrica. Coordenadas cilíndricas. Superficies cónicas. Superficies de revolución. Superficies regladas. II.5.2-Ecuación cartesiana general de segundo grado en tres variables. Cuádricas con y sin centro. Sus ecuaciones canónicas. Cuádricas regladas. II.5.3- Curvas en el espacio. Sus ecuaciones paramétricas. Curva intersección de dos superficies cilíndricas. Superficies cilíndricas proyectantes de una curva del espacio.

4 TRABAJOS PRÁCTICOS a) Enumeración: GEOMETRÍA MÉTRICA SINTÉTICA 1) Puntos y rectas en el plano. Semiplanos. Ángulos. Polígonos convexos. 2) Transformaciones rígidas. Congruencia de triángulos, cuadriláteros y polígonos. 3) Medida de segmentos y de ángulos. Relaciones de desigualdad en el triángulo. 4) Circunferencia. Polígonos regulares. 5) Área de polígonos. Teorema de Pitágoras. 6) Teorema de Thales. Semejanza. Homotecia. 7) Trigonometría plana. Puntos y líneas notables en el triángulo.longitud de la circunferencia y área del círculo. 8) Geometría del espacio. Rectas, planos y ángulos. 9) Poliedros y cuerpos redondos. 10) Área de superficies. Volumen de cuerpos. GEOMETRÍA MÉTRICA ANALÍTICA 1) Sistemas de coordenadas en el plano y en el espacio. Lugares geométricos, ecuaciones e inecuaciones. 2) Vectores en la recta, el plano y el espacio. Espacios vectoriales y euclídeos. 3) La recta en el plano. 4) El plano y la recta en el espacio. 5) Secciones cónicas. Ecuación general de segundo grado en dos variables. 6) Curvas y superficies en el espacio.. b) Guías de trabajos prácticos publicadas: (con su código de publicación) Las guías de trabajos prácticos enumeradas en el ítem a) se encuentran a disposición de los estudiantes en la fotocopiadora del Centro de Estudiantes.

5 BIBLIOGRAFÍA a) Adecuada al programa. Ordenada por temas y con su codificación de biblioteca, incluidas las publicaciones de la Cátedra con su código de publicación. GEOMETRÍA MÉTRICA SINTÉTICA S.S. de Hinrichsen, L.L. de Cattaneo, N.B. de González Beltrán, Geometría métrica. Estructura modular Nº1, Marymar Ed.,1992. S.S. de Hinrichsen, L.L. de Cattaneo, N.B. de González Beltrán, Geometría métrica. Estructura modular Nº 2: Transformaciones rígidas, I.P.S. Gral. San Martín, U.N.R., Rosario, J. A. Tirao, El plano. Matem. Universitaria Ed. Docencia, Bs. As., A. V. Pogorelov, Geometría Elemental, Ed. MIR, Moscú, H.S.M. Coxeter y S.L. Greitzer, Retorno a la Geometría, La tortuga de Aquiles. DLS_EULER Ed., Madrid, J. Araujo, G. Keilhauer, N. Pietrocola, V. Vavilov, Área y volumen en la geometría elemental, Red Olímpica OMA, Bs. As., GEOMETRÍA ANALÍTICA A. Nasini, R. López, Lecciones de Álgebra y Geometría Analítica. Vol I (Cap. 3 y 5) y Vol. II (Cap. 9) EUCA Bs. As., (512 N254) E. de Oteyza, E. Osnaya, J.A. Gómez Ortega, A. Ramírez Flores, C. Garciadiego, Geometría Analítica, Prentice Hall, C. H. Lehmann, Geometría Analítica, Limusa, México, b) Complementaria para profundización o extensión de temas. GEOMETRÍA MÉTRICA SINTÉTICA P. Puig Adam, Curso de Geometría métrica. Tomo I. Fundamentos. Biblioteca Matemática, Madrid, H.S.M. Coxeter, Fundamentos de Geometría, Centro Regional de Ayuda Técnica, A.I.D., México-Bs. As., GEOMETRÍA ANALÍTICA J. Rey Pastor, L. Santaló, M. Balanzat, Geometría Analítica. Ed. Kapeluz, Bs. As., 3ª ed., 1958 (516R456) M. Albino de Sunkel, Geometría Analítica en forma vectorial y matricial. Nueva Librería, Bs. As., (516S958) J.H. Kindle, Geometría Analítica. Serie Schaum. McGraw Hill.

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