Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Tarea 3: Conjuntos en el Plano Complejo Problemas Resueltos

Transcripción

1 1. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las siguientes a) Re( i + z) = Im( 2 4 i + z) b) Re(5 + 5 i + z) = Im( i + z) c) Re( 2 3 i + z) = 1 d) 3 < Re( i + ( i) z) 7 e) Im( i + z) = 1 1) recta vertical 2) recta horizontal 3) recta inclinada 4) semiplano vertical Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Tarea 3: Conjuntos en el Plano Complejo Problemas Resueltos 5) banda inclinada 6) anillo 7) el plano complejo excepto un número finito de puntos b) y c) Se resuelven directamente en la TI. La estrategia general para estos problemas es susitituir z por x + y i, simplificar y después aplicar nuestros conocimientos para ubicar el conjunto en el plano complejo. a) Al sustituir z = x + y i obtenemos: ( ) Re ( i + (x + y i)) = Im 2 4 i + (x + y i) Re ( i + x + y i) = Im ( 2 4 i + x y i) Re ( 5 + x + (4 + y) i) = Im (( 2 + x) + ( 4 y) i) 5 + x = 4 y Esto nos da simplemente y = x+1 que corresponde a una linea recta con pendiente m = 1, es decir una recta inclinada hacia abajo y con ordenada al origen 1. Este tipo de problemas son fáciles de trabajar en la calculadora si en lugar de Re( i + z) = Im( 2 4 i + z) lo planteamos como Re( i + z) Im( 2 4 i + z) = 0 al lado derecho lo asignamos a una variable y condicionamos que sea cero. d) Las desigualdades múltiples se trabajan en forma diferente. Sustituiremos z = x + y i y desarrollaremos: 3 < Re( i + ( i) z) 7 3 < Re( i + ( i) (x + y i)) 7 3 < Re (( 4 x 3 y) + (5 + 3 x y) i) 7 3 < 4 x 3 y 7

2 Ma2003, Tarea 3: Conjuntos en el Plano Complejo, problemas resueltos 2 Al sustituir x = 0 y y = 0 en la desigualdad original: 7 3 = (0) > (0) 3 vemos que la desigualdad no se cumple. Por tanto, la región que define x > y es la parte de abajo. Además, como la desigualdad es del tipo > y no el borde de la recta no está incluido en el conjunto. Si sumamos a 4 + x: 7 + x < 3 y 11 + x y al dividir entre 3 obtenemos: x > y x x Observe que como 3 < 0 entonces las desigualdades se cambian de dirección. Observamos que la región anterior es la intersección de las regiones que cumplen y x > y y x x Este tipo de regiones se grafican primeramente convirtiendo la desigualdad en una igualdad, lo que dará una recta en el plano. Esta recta divide al plano en dos partes. Una de ellas es la que cumple la relación; para determinar cuál es se toma un punto que se tenga ubicado o en la parte de arriba o en la parte de abajo y se sustituye en la relación original. Si ésta se cumple el punto está en la región; y en caso de que no se cumpla se trata del otro lado. En nuestro caso, convertimos x > y Repetimos el procedimiento y vemos que la relación y x x define la región de la siguiente figura. Al formar la intersección tenemos nuestra región: una banda inclinada. en la ecuación x = y Al graficar esta recta vemos que el punto P (0, 0) está en la parte de arriba 2. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las siguientes a) i + z = 2 b) i + z 4 c) 4 < Re(4 + 5 i + z) < 3 d) 4 < 2 3 i + z 6

3 Ma2003, Tarea 3: Conjuntos en el Plano Complejo, problemas resueltos 3 e) i + z = 2 1) semiplano inclinado 2) banda horizontal 3) banda vertical 4) círculo con centro en el eje imaginario 5) círculo con centro fuera de los ejes 6) anillo 7) conjunto vacío A veces cuando aparece el módulo en una expresión, es más conveniente no susitituir z por x + y i e intentar reducir a la forma del círculo. e) Llevemos nuestra expresión a la forma z z o = r que al convertir al formato del cículo queda: z (1 + 4 i) = 2 aquí el centro queda en z o = 1+4 i y el radio es r = 2. c) Se entiende que la relación i + z 4 equivale a cumplir simultáneamente las i + z y 5 4 i + z 4 es decir que nuestra región es la intersección de 3 z ( i) que corresponde al exterior (borde incluido por la relación ) de un círculo con centro en z o = i, nuestra expresión: i + z = 2 z ( i) = 2 reconocemos que tenemos un círculo con centro en i es decir en (0, 1) y con radio r = 2. z 0 = i r 1 = 3 z 0 = i r = 2 Mientras que la región que cumple z ( i) 4 que corresponde al interior de un círculo con centro en z o = i y radio r = 4. a) Este problema puede parece confuso por el conjugado dentro del módulo, pero si utilizamos la identidad: r 2 = 4 w = w z 0 = i podemos transformar i + z = 2 en que al simplificar queda: i + z = i + z = 2 Al formar la interseción obtenemos un anillo con centro en z o = i, radio menor de r 1 = 3 y radio mayor de r 2 = 4.

4 Ma2003, Tarea 3: Conjuntos en el Plano Complejo, problemas resueltos 4 r 2 = 4 z 0 = i r 2 = 6 r 1 = 3 z 0 = i r 1 = 4 c) Para la región 4 < Re(4 + 5 i + z) < 3 cambiamos z = x + y i para obtener: 4 < Re(4+5 i+(x+y i)) < 3 4 < 4+x < 3 de donde al sumar a todos los miembros 4 obtenemos: 8 < x < 7 esto correponde a una banda vertical como se ilustra en la figura. 3. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las siguientes a) i + z > 0 b) Re( 1 + i + z) 1 + i + z c) 3 3 i + z i + z = 6 d) Re( 5 + i + z) 5 + i + z e) i + z < 6 1) recta inclinada 2) banda vertical 3) anillo 4) el plano complejo 5) el plano complejo excepto un número finito de puntos 6) conjunto vacío 8 7 En algunos problemas es conveniente utilizar la norma como distancia para poder determinar los conjuntos del plano dados por fórmulas. a) Para determinar la región definida por i + z > 0 el lado derecho lo interpretamos como distancia: i + z = z ( 4 3 i) = d(z, 4 3 i) d) La región definida por: 4 < 2 3 i + z 6 Es un anillo con centro en z = i, con radio menor r 1 = 4 y radio mayor r 2 = 6; en este caso y debido a las desigualdes, el borde interno no está en el conjunto y el externo sí. por consiguiente, buscamos los puntos z del plano complejo cuya distancia al punto z o = 4 3 i es positiva. Como la distancia es siempre mayor o igual que cero y sólo es cero cuando se mide la distancia de un punto a sí mismo, concluimos que todo punto z del plano, excepto el mismo z o, cumple que d(z, z o ) > 0. Por tanto, la región definida es todo el plano complejo excepto el punto z o = 4 3 i: C { 4 3 i}

5 Ma2003, Tarea 3: Conjuntos en el Plano Complejo, problemas resueltos 5 z d 1 z 1 z 0 = 4 3 i d 2 d 3 b) Para identificar: z 2 Re( 1 + i + z) 1 + i + z se debe tener en mente las propiedades del módulo: para cualquier complejo w w Re(w) w en nuestro caso observamos que lo que va dentro del módulo y dentro de la parte real es lo mismo, es como si fuera un complejo w. Por lo tanto, esa desigualdad se cumple para todo complejo. Por tanto, la región es todo el plano complejo. Otro asunto muy diferente hubiera ocurrido si no hubiera igualdad en lo que va dentro de la parte real y dentro del módulo. En ese caso, la única solución posible hubiera sido sustituir z = x + y i y desarrollar. c) Para identificar 3 3 i + z i + z = 6 utilizamos distancias y nos queda: d(z, z 1 = i) + d(z, z 2 = 2 3 i) = 6 es decir: buscamos los puntos del plano z tales que la suma de las distancias desde él a los puntos z 1 = i y z 2 = 2 3 i sea 6. Si recordamos la definición de la elipse: La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. Tomando: d 1 = d(z, z 1 ) d 2 = d(z, z 2 ) d 3 = d(z 1, z 2 ) debería cumplirse que d 1 + d 2 = 6 pero en nuestro ejemplo d 3 = y por la desigualdad del triángulo 6 = d 1 + d 2 d 3 = 7.81 Por lo tanto, y debido a que está igualada a la cantidad 6 ningún punto z puede cumplirla. Si estuviera igualada a una cantidad mayor que d 3 = 7.81 diriamos que es una elipse. La región es el conjunto vacío. d) Es similar al iniciso b): se cumple para todo punto del plano complejo. e) Para determinar la región definida por i + z < 6 tenemos que restando 6 en ambos miembros tenemos: i + z < 0 como el módulo no da valores negativos, concluimos que ningún z puedde cumplir la desigualdad anterior. Por tanto, la región es el conjunto vacío. 4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las siguientes a) Re( i + z) i + z b) 5 + i + z > 0 c) 2 2 i + 5 z = 4 d) i + z < 7 e) Re(1 + 2 i + z) = Im( 4 5 i + z)

6 Ma2003, Tarea 3: Conjuntos en el Plano Complejo, problemas resueltos 6 1) recta inclinada 2) semiplano horizontal 3) banda vertical 4) círculo con centro en el eje imaginario 5) círculo con centro fuera de los ejes 6) el plano complejo 7) el plano complejo excepto un número finito de puntos 8) conjunto vacío En algunos problemas es conveniente utilizar la norma como distancia para poder determinar los conjuntos del plano dados por fórmulas. a) Para identificar: Re( i + z) i + z se debe tener en mente las propiedades del módulo: para cualquier complejo w w Re(w) w en nuestro caso observamos que lo que va dentro del módulo y dentro de la parte real es lo mismo, es como si fuera un complejo w. Por lo tanto, esa desigualdad se cumple para todo complejo. Por tanto, la región es todo el plano complejo. Otro asunto muy diferente hubiera ocurrido si no hubiera igualdad en lo que va dentro de la parte real y dentro del módulo. En ese caso, la única solución posible hubiera sido sustituir z = x + y i y desarrollar. b) Para determinar la región definida por 5 + i + z > 0 el lado derecho lo interpretamos como distancia: 5 + i + z = z ( 5 i) = d(z, 5 i) por consiguiente, buscamos los puntos z del plano complejo cuya distancia al punto z o = 5 i es positiva. Como la distancia es siempre mayor o igual que cero y sólo es cero cuando se mide la distancia de un punto a sí mismo, concluimos que todo punto z del plano, excepto el mismo z o, cumple que d(z, z o ) > 0. Por tanto, la región definida es todo el plano complejo excepto el punto z o = 5 i: C { 5 i} c) Tenemos que 4 = 2 2 i + 5 z = 5 ( 2/5 2/5 i + z) = 5 2/5 2/5 i + z = 5 2/5 2/5 i + z = 5 2/5 + 2/5 i + z = 5 z (2/5 2/5 i) de donde concluimos que la ecuación dada es la misma que: z (2/5 2/5 i) = 4 5 por tanto, la región es el círculo con radio r = 4/5 y centro en z o = 2/5 2/5 i. z 0 = i r = 0.8 d) Para determinar la región definida por i + z < 7 tenemos que restando 6 en ambos miembros tenemos: 1 5 i + z < 0 como el módulo no da valores negativos, concluimos que ningún z puedde cumplir la desigualdad anterior. Por tanto, la región es el conjunto vacío. e) Sustituimos z = x + y i en Re(1 + 2 i + z) = Im( 4 5 i + z) obteniendo Re(1 + 2 i + x y i) = Im( 4 5 i + x + y i) z 0 = 4 i ó 1 + x = y 5 a cual es la ecuación de una recta con pendiente m = 1.