Ejemplo 1: Estudiar la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) de la función 2

Transcripción

1 . CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Estudiando l signo d la divada pima podmos sab cuando una función s ccint o dccint. Esto s llama también l studio d la monotonía d la función. Popidad: - Si f '( ), ntoncs la función f s stictamnt ccint n - Si f '( ), ntoncs la función f s stictamnt dccint n Ejmplo : Estudia la monotonía (intvalos d cciminto y dcciminto) d la función f ( ) 5 Lo pimo s fijanos qu su dominio s todo, Dom( f ) Calculamos su función divada, qu sulta f '( ) 5. Qu como vmos también tin sntido n todo, o lo qu s lo mismo, su dominio d divabilidad s todo Vamos a studia ahoa l signo d f '. Pimo vamos dónd s anula. f '( ) 5 5. Con st punto constuimos una tabla d signos paa f ' 5 5 (, ) (, ) f '( ) Los signos los obtnmos d igual foma a como hacíamos n los dominios (sustituyndo po un valo dl intvalo) D la tabla d signos podmos conclui qu: 5 f s stictamnt ccint n (, ) 5 f s stictamnt dccint n (, ) Ejmplo : Estudia la monotonía d f ( ) Tnmos qu Dom( f ) Calculamos la función divada, ( ) f '( ) =. Como vmos, la función s divabl (ó tin po dominio d divabilidad) n Vmos ahoa dónd s anulan l numado y l dnominado, paa pod constui la tabla d signos d la divada. Dl numado: ( ) Dl dnominado: Ya pasamos a constui la tabla d signos: (,) (, ) (,) (, )

2 NOTA: Como podéis obsva n la tabla no hmos pusto l facto dl numado pus al s ( ), ést simp sá positivo dmos l valo qu l dmos y po tanto no influy n l signo d f '. Si l ponnt hubis sido impa, ntoncs si tníamos qu hablo pusto. Podmos conclui qu: f s ccint n (,) f s dccint n (,) f s dccint n (,) f s ccint n (, ). EXTREMOS RELATIVOS Una función y f () tin un máimo lativo n un punto d abscisa (o n l punto f ( ) s l mayo valo qu alcanza f n un ntono d. Una función y f () tin un mínimo lativo n un punto d abscisa (o n l punto f ( ) s l mno valo qu alcanza f n un ntono d. Ejmplo : Tnmos la función y f () cuya gáfica s la siguint:, f ( ) ) si, f ( ) ) si Podmos obsva qu n l punto d abscisa, la función tin un máimo lativo, qu como vmos no s absoluto. También s sul dci qu la función tin un máimo lativo n (-,). Podmos obsva qu n l punto d abscisa, la función tin un mínimo lativo, qu como vmos no s absoluto. También s sul dci qu la función tin un mínimo lativo n (,-). Cómo calcula los tmos lativos d una función dada po su citio o fómula? Si obsvamos la gáfica dl jmplo antio nos damos cunta qu las ctas tangnts tanto n l máimo como n l mínimo lativo son hoizontals. Esto qui dci qu su pndint s, o sa, f '( ) y f '()

3 Efctivamnt, n los tmos lativos, si una función s divabl, su divada tin qu val. Lo vmos gáficamnt d nuvo, con ota función difnt: Como s v la cta tangnt n l mínimo tin po pndint (s una cta hoizontal), y como sabmos la pndint d la cta tangnt n l punto coincid con l valo d la divada. Po tanto, f '( ) Popidad: Si una función y f () tin un tmo lativo n un punto d abscisa y s divabl n, ntoncs f '( ) Vamos a tn dos manas d calcula los tmos lativos aplicando la popidad antio: ª foma: Usando l studio dl cciminto y dcciminto. Si vmos qu a la izquida d un punto (qu sa dl dominio d la función y divabl n él) la función s ccint y a la dcha s dccint, podmos conclui qu la función psnta un máimo lativo n l punto d abscisa. Si vmos qu a la izquida d un punto (qu sa dl dominio d la función y divabl n él) la función s dccint y a la dcha s ccint, podmos conclui qu la función psnta un mínimo lativo n l punto d abscisa. Est método s cómodo d usa pus nomalmnt nos van a pdi n l poblma qu studimos la monotonía, y d paso podmos calcula los tmos lativos. Ejmplo 4: Dada la función f ( ), calcula sus tmos lativos Como vmos s tata d una función polinómica, y po tanto, su dominio s todo y s divabl n todo. Calculamos la función divada f '( ), y vmos dónd s anula (stos puntos sán los posibls tmos y admás nos dtminan los intvalos d monotonía) f '( ) Ahoa hacmos nusta tabla d signos d la divada

4 (, ) (, ) (, ) En, la función pasa d s ccint a dccint, lugo psnta un máimo lativo (también s dic qu la función psnta un máimo lativo n (-,) ) En, la función pasa d s dccint a ccint, lugo psnta un mínimo lativo (también s dic qu la función psnta un mínimo lativo n (,-) ) NOTA: Esta función s la cospondint a la gáfica dl jmplo. Podéis compoba como l studio analítico cospond con l gáfico. ª foma: Usando l citio d la divada sgunda. Aquí s utiliza la siguint popidad: Popidad: Dada una función y f () tal qu f '( ), ntoncs si ist la divada ª n ( f "( ) ) a) Si f "( ), ntoncs f tin un mínimo lativo n b) Si f "( ), ntoncs f tin un máimo lativo n c) Si f "( ), ntoncs no podmos afima nada. Ejmplo 5: Dada la función f ( ), calcula sus tmos lativos. (s igual al jmplo 4) Vmos dond s anula su divada ª: f '( ) Calculamos la divada ª: f "( ) 6 Y po último vmos l valo d la divada ª n los puntos dond s anula la divada ª f "( ) 6 ( ) 6 En, la función tin un máimo lativo f "() 6 6 En, la función tin un mínimo lativo Como obsvamos st método s mucho más coto qu l antio n st caso, po si nos pidn también studia la monotonía, ntoncs s más convnint usa la ª foma. Muchas vcs la divada ª s complja d calcula, po so quizás sa más convnint la ª foma, po s dja a gusto dl alumno su uso. Ejmplo 6: Estudia los tmos lativos d f ( ). (s la misma función dl jmplo ) Vamos a haclo d las dos fomas. ª foma: Usando l studio dl cciminto y dcciminto. Po l Ejmplo, ya tnmos l studio d la monotonía. Ponmos aquí sólo la tabla d signos d la divada ª (,) (, ) (,) (, ) D aquí dducimos qu: En, la función tin un máimo lativo 4

5 En, la función tin un mínimo lativo OJO! En, la función no pud tn tmos pus no s dl dominio ª foma: Usando l citio d la divada sgunda. Po l jmplo tnmos ya calculada la divada:. Divamos ota vz paa la divada ª: f '( ) y dónd s anula qu s n los puntos f "( ) =(sacamos facto común ) 4 = 4 =(simplificamos y opamos)= Vmos ahoa los valos qu toma la sgunda divada n f "() En, la función tin un máimo lativo f "() En, la función tin un mínimo lativo NOTA: El citio d la divada sgunda admit una gnalización paa cuando las divadas sucsivas van dando n l punto. Lo qu nos dic (a gosso modo) s qu si la función tin divadas nulas n, si l ( ) índic d la pima divada sucsiva no nula s pa ntoncs si f n ( ) s un máimo lativo y si ( ) f n ( ) s un mínimo lativo.. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN S tata aquí d poblmas (pacidos a los d cuacions) dond tnmos qu calcula l máimo o mínimo (optimización) d una función con unos condicionants o ligaduas. Lo fundamntal n st tipo d poblmas s ntnd l nunciado y lgi bin las vaiabls, así como las lacions o ligaduas nt llas. Vamos con jmplos como afontalos: Ejmplo 7: Enconta dos númos cuya suma sa y tals qu l poducto d uno d llos po l cuadado dl oto sa máimo Tnmos dos vaiabls (los dos númos) qu notamos po y La lación nt llos o ligadua s: y La función a optimiza (a maimiza n st caso) s : f (, y) y. Como vmos sta función tin dos vaiabls, po la ligadua nos pmitiá hac una sustitución y dja una sola. D la lación tnmos qu y, y sustituimos n la función, qu nos quda sólo con la : f ( ) ( ) Opamos f ( ) ( 44 4 ) Divamos: f d º gado: '( ) f ( ) igualamos a paa calcula sus tmos, solvindo una cuación 5

6 Hay dos posibls solucions. Vamos cuál s l 4 máimo. Lo vamos a hac po l citio d la ª divada. f "( ) 48 6 f "() = s un mínimo lativo y no nos intsa f "(4) = 4 s un máimo lativo y ést s l adcuado. Calculamos y sustituyndo: y = 4 = 8 La solución ntoncs s = 4 y = 8 NOTA: Si n luga d usa la hubiésmos tabajado con la y, la solución d la cuación d º gado s mucho más simpl Ejmplo 8: S dsa constui un dpósito cilíndico d m, abito po aiba. Sabindo qu l matial d la bas s 5 vcs más cao qu l d las pads, halla las dimnsions qu limitan l cost d matial. En la imagn tnmos las fómulas dl áa latal, l áa total (con las dos tapas) y l volumn d un cilindo Tnmos dos vaiabls y h, ambas n la unidad mto (m). La ligazón vin dada po l volumn: h Dado qu l poblma no spcifica l cost po m d la bas y pads, podmos supon, sin pd iguosidad, qu él d las pads s /m, y po tanto l d la bas sá 5 /m. Así, la función cost podmos ponla como sigu: C(, h) h 5 (cost d las pads más l cost d la bas). Odnamos un poco y nos quda: C(, h) h 5 D la ligadua dspjamos una d las vaiabls, n st caso la h (con la nos saln aícs cuadadas y pud qu nos lo compliqu): h. Sustituimos n la función cost y nos quda sólo con C( ) 5 C( ) 5. Divamos C '( ). Igualamos a : qu sá l posibl tmo lativo. Hacmos la ª divada: 4 "( ) C y sustituimos: C" ( ). Lugo s un mínimo. Así las dimnsions dl cilindo sán: Radio d la bas: ' 86m 6

7 Altua: h 4' m 4. CONCAVIDAD O CURVATURA DE UNA FUNCIÓN No vamos a nta n pofundidad n l significado d cóncavo o convo n una función, sólo mdiant unas gáficas vmos su significado. Una función s cónva n un intvalo si su gáfica n s intvalo s simila al siguint dibujo Algunos libos lo llaman también como cóncava hacia las y positivas. Nosotos dimos sólo conva. Una función s cóncava n un intvalo si su gáfica n s intvalo s simila al siguint dibujo Algunos libos lo llaman también como cóncava hacia las y ngativas. Nosotos dimos sólo cóncava Estudia la cuvatua d una función s v dónd s cóncava ó conva. La caactización d dónd una función s cóncava o conva vin dada po l signo d la divada sgunda. Popidad: Si f ", ntoncs la función s cóncava Si f ", ntoncs la función s conva Ejmplo 9: Estudia la cuvatua d f ( ) 6 Como s una función polinómica, su dominio s todo R, y s divabl infinitamnt n todo R Divamos hasta la ª divada: f '( ) f "( ) 6 Vamos a studia l signo d f ". La igualamos a : 6 Constuimos la tabla d signos: (,) (, ) Cóncava Conva 7

8 En (,), la función s cóncava. En (, ), la función s conva. La gáfica d sta función s como sigu, paa qu váis qu coincid con l studio alizado En =, s poduc l cambio d concavidad o cuvatua NOTA: Como simp, s pud dci qu n (, -6) s dond s poduc l cambio d cuvatua, n luga d dci =. 5. PUNTOS DE INFLEXIÓN Dfinición: Dimos qu una función y = f() tin un punto d inflión n, cuando la función cambia d cuvatua n s punto. Si pasa d conva a cóncava, s llama punto d inflión convo-cóncavo. Si pasa d cóncava a conva, s llama punto d inflión cóncavo-convo. Paa calculalos hay también dos fomas, aunqu la más fácil s studiando la cuvatua como hmos hcho n l punto antio. La ota foma s basa n la siguint popidad: Popidad: Si la función y = f() tin divada sgunda nula n un punto, y su divada tca s distinta d, ntoncs s un punto d inflión. NOTA IMPORTANTE: Si ntoncs f "( ) s un punto d inflión y y f () s divabl dos vcs n, Ejmplo : Calcula los puntos d inflión d f ( ) 6 Esta función s la dl jmplo 9, apovchamos lo ya hcho: (,) (, ) Cóncava Como vmos, n, la función tin un punto d inflión cóncavo-convo. Conva Vamos a haclo d la ota foma. 8

9 Hacmos la ª divad igualamos a, sultando los posibls puntos d inflión. f "( ) 6 6 Hacmos la ª divada y vmos l valo n f "'( ) 6 f "'() 6 En, hay un punto d inflión. D sta foma s obtin mnos infomación d la cuva (no sabmos si s convo-cóncavo o vicvsa), po pud sulta a vcs más ápido. Ejmplo : Estudia la cuvatua y los puntos d inflión d la función y Simp pimo tngamos n cunta l dominio: Dom( y). En su dominio sta función s divabl pus s acional y no s anula l dnominado Calculamos la ª divada: y' 4 y ". Vamos dónd s anula qu sán los posibls 4 puntos d inflión y nos pmit hac la tabla d signos: y" 4 = No hay solución. Hacmos la tabla d signos y OJO!!! hay qu tn n cunta también los qu anulan al dnominado qu no son dl dominio. 4 (,) (, ) - + Cóncava Conva Podmos conclui qu: En (,), la función s cóncava. En (, ), la función s conva. Y no tin puntos d inflión, pus n = no tin sntido pus no s dl dominio. 6. REGLA DE L Hôpital Esta gla dic así: San f y g dos funcions continuas qu vifican las siguints hipótsis: f ( ) g( ) - f ( ) g( ) ( o ) - En un cito ntono ducido d, s tin qu g ( ) - Eist l Entoncs s tin qu f '( ) g'( ) f ( ) g( ) = f '( ) g'( ) Esta gla s válida sindo cualqui nº al, o Admás la Rgla d L Hôpital s pud aplica cusivamnt, s dci, d mana itada, hasta qu llgumos a la obtnción dl it. 9

10 También siv paa solv indtminacions dl tipo Ejmplo : Calcula los siguints its qu s pudn tansfoma n o n a) Si sustituimos nos sulta una indtminación dl tipo Ya sabmos solvla aplicando la dscomposición n factos mdiant Ruffini, po aquí vamos a aplica la Rgla d L Hôpital como dic la gla. Nuvamnt sustituimos y nos quda indtminación. Volvmos a aplica la Rgla d L Hôpital. Divando n l numado y n l dnominado, qu vulv a s 6 6 Ruffini Rcomndación: Compoba st it aplicando ln(cos ) b) Al sustitui po nos sulta ln(cos) ln. Aplicamos la Rgla d L Hôpital sn ln(cos) cos L Hôpital sn, qu al sustitui sulta, y volvmos a aplica la Rgla d cos sn cos cos cos cos sn cos sn ln c) ( ) En st caso sal una indtminación ( ) ( ) No podmos aplica la gla aún. Rstamos las faccions paa dja una solamnt: ( ) ln Aplicamos la Rgla d L Hôpital: ln ( ) ln Y ahoa si sulta indtminación dl tipo ( ) ln Volvmos a opa paa simplifica la psión obtnida ln ( )ln ln ln ln ln Qu vulv a s Volvmos a aplica la Rgla d L Hôpital

11 ln d) ln ln Al sustitui nos da, qu s indtminación. Paa solvla nos llvamos uno d los factos, la ó la ponncial, al dnominado. Tnmos dos opcions: ó ( qu nos da indtminación ) qu nos da indtminación Es fundamntal lgi aqulla qu al diva s convita n ota más simpl. Si lgimos y aplicamos la Rgla d L Hôpital a la ª ( ) y nos ha salido oto it más compljo qu l dl pincipio, y no hmos avanzado nada. Con la pima opción: ( ) (aplicamos L'Hôpital)